练案15 6.4.3 第3课时 用余弦定理，正弦定理解三角形-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

11.C设C为最大角，则4为最小角A+C=120,。= 得BD=BC+CT-2BC·CDeos C,知BDT=22+22-2×2 ×2e0s120°=12.所以BD=2,5,所以S边电m=SAAn+ mC-im(120°-41-sim120osA-es120°sin4-5 sin A sin A sin A 56m=×4x25+7×2x2xm120=5 号=号+分，=1.六m4=1.又A为镜角，5ADAB=5,4C=1,B=若又由余弦定理，得AC=A极 mA+2=+2 sin A .A=45°C=75. +BC-2AB·BC·e0sB.BC2-3BC+2=0.BC=1或 12.A由正弦定理得5=C2BoB=2sB又及<B sin B sin B 6 BC=2:Sm=分·AB,BC·nR5A=或S <号，余弦而数在此范間内单司递减，故号<mB<号， 4 分e(25). 6.ABC根据余弦定理，可得2=+2-26sA,故A正确： 根据正弦定理，可得asin B=bsin A一ah=ah,故B正确：根据 13.①②3A>B→a>b与sinA>sinB,故①成立.函数y= 正弦定理，得a=bosC+ccsB→sinA=inB%C+sin Ceos B 0sx在区间[0，T]上单调递减，A>B,.sA<cosB,故 =sin(B+C)=sinA,故C正确：根据正弦定理可得， ②成立在锐角三角形中，：A+B>受0<受-B<A< sin Aeos B+sin Bcos C sin C sin(A +B)=sin Acos B+ 2 cos Asin B,即sin Beos C=cos Asin B.又sinB0,所以c0sC= 受，又函数y=simx在区间[0，]上单调递增，则snA> c8A,当A=C时.等式才成立，故D不正确， sim(受-B）,即sinA>sB,同理mB>sA,故③成立 7.3② 7 在△4BC中，a=2,c=3,B=于，由余弦定理得= 14.由A-C=90°，得A为纯角，且A-90°=C d+d-2acoB=4+9-2x2×3×2=7,解得b=7(负值 ∴.sinA=csC, 由a+c=2b及正弦定理，得inA+sinC=2sinB, 舍去)，设4C边上的高为h,则Sac=了4血B=6·6,即 ∴，sinA+sinC=cosC+inC=2sin(C+45)=2sinB. 1 又角A,B.C是△ABC的内角，G+45°=B或(C+45)+B ×2x3×m骨=宁x7,解得3四 7 =180°（舍去）， ÷,A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°，∴.C=15°. 由正弦定理得 ,解得sinC= 5③ 4 由题得AC=√+(3)2=2，∠ACB=60°.设∠BCP c品A即c 2 =x,.∠ACP=60°-u.∠CAP=180°-120°-(60°-a)= &,在R△PBC中，PC=I×csa=co%a.在△ACP中，由正弦 2义e<a,所以C<A,且0°<C<180°，所以C=30°，故B= 定理得%=2 sin a sin 1206,.'.tan a=3 90,所以s={心=1× 33 2=2×1×-6 16.如图，设∠BAD=a,∠BDA=B则 ∠CAD=a.∠CDA=180°-B. 9.1 因为6=2e=5S=A=号an4=5n4所以 在△ABD和△ACD中分别运用正 弦定现，得 =血g4C 血A=方s在所以A+清=子A+A sin a'DC 5 =sin(180°-B) B 180°-B 子A=1.所以omA=2所以r=+-2ksA=4 5 sin a B 又因为sim(180°-B)=imB,所以期-4C BD DC +5-2x2x5x25=9-8=1,所以a 10.(1)因为(c-b)(sinB+simC)=(sinC-sinA)a, 光肥 所以由正弦定理得c2-b=c-a,即a+c2-6=c, 练案[15] 由余弦定理的推论得cosB=0+-。c。1 2c-2ac-2 1.B由题中条件及正弦定理得6=2c=4,由面积公式得， 因为0<B<m,所以B=5 △ABC的面积为与如si血4=分×4×2x 2=25,故选B (2)因为e=4,△ABC的面积为35， 2.A 由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△m= 所以2 B=35, 3 absin C=+-C=2bsC,可得i血C=sCce 4 即时×a×号=3，解得a (0,m)C=平故选A 由余弦定理得公=d2+2-2 ace=9+16-2×3x4×分 3.A asin A-bsin B=4 esin C,.由正弦定理，得a2-b= =13,所以b=√3（负值舍去）， 4c,即a2=4c2+.由余弦定理的推论，得csA=+c2-a 所以sC=。+6-c2-9+13-16。国 +-茫。一子…名=6放选人 2×3×313 2be 4.B连接BD(图略).在△BCD中，由已知条件，知∠DBC= 1.B由题意及三角形的面积公式，得子absin C=5,5,即a 180°-120°=30°，所以∠ABD=90.在△BCD中，由余弦定理 ×5×5=55,解得a=4,根据余弦定理，得C=日+- 2 -378 2 aleoC.即e2=16+25-2x4×5x号=21，c=五，所以 因为0<A<石，所以石<号-A<号，所以号<m(号 △ABC的周长为9+√2I.故选B. 12.A因为e0s2A+e%2B-cs2C>1,故1-in2A+1-inB-1 小 +simC>1,故sinC>sinA+sinB,故e>a2+b,故csC _+6-C<0,而C为三角形内角，故C为纯角，但若 则6<2,6m(号-4）<32， 2ab 所以迈a+6的取值范围为(、6,32) △48C为能角三角形，比如取G=B=君A:,此时cwA 练案[16] +em2B-C=<1,故m2A+emB-m2C>1不成1.C如图所示，在点4处测得点B的方位角是 180°-30°=150°.故选C 立，故选A. 2.D如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75, 13.号7由已知及正弦定理可得，2msA(sin Beos C+ 所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10 sin Ceos B)=sinA,可得2 cos Asin(B+C)=sinA,即 (海里)，在R△ABC中，由正弦定理，可得AB 2 Asin A=血A.又nA40sA=子4e(0,m, =5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时. 故选D. A:号由面积公式可得，3尽=snA:c,即c 北牛，东 150 60 12.由余弦定理a2=62+c2-2 bccos A,得13=(b+c)2-3hc =(b+c)2-36.解得6+c=7. 1)10C 14.(1)由三角形的面积公式及正弦定理得S=2 3.D如图所示，由题意得∠ABC=30°，AB=x,BC=3,S△ 3 =号AB·BCsin LABC==A ADn∠BAD,Sax=AC,ADin∠CD 4x=.由余弦定理得 AC=AB+BC2-24B·BCCs∠ABC=12-63eos30°=3， 由题意有S△=2S△e,∠BAD=∠CAD,故有AB=2AC .AC=3,即此人这时离出发点的距离为3m故选D. 由正弦定理可得mB-4C。1 sin C=AB=2 (2)因为S6A:SAe=BD:DC 所以BD=2. B 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得： 4.D在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，所以∠CAD= AB=AD+BD-2AD·BDos∠ADB,① 30°，则有∠ADC=∠G4D,所以AC=CD=I03.又∠ACB= AC=ADP+DC-2.AD·DCos∠ADC,② 75°，所以∠BCD=45°，在△BDC中，∠CBD=180°-(30+ 由①2式得AB+2AC=3AD+BD+2DC=6. 又由(1)知AB=24C.所以AC=1. 45°+45°)=60°，由正弦定理.得C=105n75°=52+ sin60° 15.(1)因为asin A+b(3sinA+sinB)-esin C=0. 56.在△ABC中，由余弦定理，得AB=AC+BC-2AC· 由正弦定理得2+3b+2-c2=0. 由余弦定理斜sC=+-心业：- BCes∠ACB=(10,3)2+(52+5,6)2-2×103×(5/2+ 2ub 2 56)×6:2=500,所以AB=105,即A,B两个基站之间 4 又0<G<m,所以C=5 6 的距离为10,5km.故选D. (2)因为D为AB的中点，所以C+C=2C 5.AC由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所 则(C+C)2=(2C)2 以B=180°-60°-75°=45°.AB=126,AC=83,在△ABD 所以C+C亦+2C.C=4C亦 AB 所以(23)2+2+2×23×2c0s5严=41C2. 中，由正弦定理得出m期：所以A n6是 6 解得C=1,所以CD的长为1. (n mile),故A正确：在△ACD中，由余弦定理得CD= AC+ADP-2AC·ADeo8∠CAD, 即 CD A D B √85)2+2#-2x85x24×号 =85(n mile),故B错误：因 (3)由正弦定理知？ "s2. 为CD=AC.所以∠CDA=∠CAD=30°.所以打塔C在D处的 2 西偏南60°，故C正确：由∠ADB=60°，D在灯塔B的北偏西 60°，故D错误.故选AC. 所以a=23sinA,b=23sinB, 所以2a+6b=26(3sinB+simA)= 2,63m(石-A+mA -2a(分sA-mA+m小 =2.6(停mA-n4=26m(号-A) -379练案[15] 第六章 6.4 6.4.3 [第三课时 用余弦定理、正弦 定理解三角形] A组·基础巩固 8.在△ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b. 1.在△ABC中,a.b.c分别是角A.B.C所对的 积为 ( 9.若△ABC的内角A.B.C的对边分别为a,b,c. A.3 B.2/3 C.2 D.4 2sA,则 2.△ABC的内角A.B.C的对边分别是a.b.c,若 a= ) 10.已知△ABC的三个内角A,B.C所对的边分 4 A D. 别为a.b.c.H(c-b)(sinB+sinC)=(sinC -sinA)a. 3. △ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.已 (1)求角B; (2)若c=4.△ABC的面积为3/③,求cosC ### “;; 的值. 。 C.4 B.5 A.6 D.3 4. 如图,在四边形ABCD中.B=C=120*,AB= 4.BC=CD=2.则该四边形的面积等于 ( ) 120120 A.3 B.5/3 C.6/3 D.7/3 5.(多选)在△ABC中,AB=3,AC=1,B=,则 6 B组·综合运用 △ABC的面积可以是 ## D# 11.在△ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b. B.1 c.若b=5.C=60*},且△ABC的面积为53.$ 则△ABC的周长为 ( 6.(多选)在△ABC中,角A.B.C所对的边分别 _ A.8+21 C B.9+/21 为a.b,c,则下列等式恒成立的是 ) C.10+/21 A.a?=62}+c}-2bccosA D.14 B. asin B=bsin A 12.已知△ABC,则“cos}A+cos{B-cos^{C→1”是 ( “△ABC为钝角三角形”的 C.a=bcos C+ccos B ) D. acos B+bcos C=c A.充分不必要条件 7.记△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c,若 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 -233- 13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a, C组·拓展提升 b.c,若2cos A(bcos C+ccos B)=a=13. 15.(2024·河北期单高一下期末)在△ABC中. △ABC的面积为33,则A= ,b+c 角A.B,C的对边分别为a.b,c.目asinA+ b(3sin A+sin B)-csin C-0 14.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分 (1)求角C: /BAC,ABD的面积是入ADC面积的2倍 (2)若a=2.b=2/3,D为AB的中点,求CD (1)值: 的长; (3)若c=③,求/2a+6b的取值范围 2,求BD和AC的长. -234