练案14 6.4.3 第2课时 正弦定理-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[14] 第六章 6.4 6.4.3 [第二课时 正弦定理] A组·基础巩固 1.在△ABC中.A=105*$C=45*,AB=4.则AC= ) 9.设△ABC的内角A,B.C的对边分别为a.b,c. A.1 B.2 C.2/2 D.23 2.在△ABC中,角A,B.C所对的边分别是a,b. c.且b=4,c=6,C=60,则cos B= ) 10.在△ABC中,根据下列条件解三角形: I## (1)/A=30*,$C=105^*,a=2; D.# $$2 )b=3.c =3/3.B=30 ) C A.30d B.458 C.60o D.90o 4. △ABC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c. 已知B=",.bcsin A=8sin B.a=2,则b= 。 B.2/3 A.4 C.22 D.2 5.(多选)在△ABC中,角A.B.C的对边分别为 a.b,c,若sinA sinB_ sinC(k为非零实数), ### 4 则下列结论正确的是 _~ A.当k=5时,八ABC是直角三角形 B. 当k=3时,八ABC是锐角三角形 C.当k=2时,△ABC是钝角三角形 D.当k=1时,△ABC是钝角三角形 6.(多选)在△ABC中,角A.B.C所对的边为a, B组·综合运用 b.c.则下列说法正确的有 ( A.A:B:C=a:b:c 11. △ABC中,B=60{*},最大边与最小边之比为 . (3+1):2.则最大角为 _~ B._a+b+c C.75。 sin A+sin B+sin C sinA A.45o B.60d D.90* C.若A>B.则a>b 12.在△ABC中,若sinC=2sinBcos B,且 Be D.若A>B,则sinA>sinB (吾,),则的取值范围为 _ ~ 7. △ABC的内角A.B.C所对的边分别为a,b. A.(2,3) B.(3,2) 且满足a-2b+c=0.3a+b-2c=0.则sin/A C.(0,2) sinB:sinC= D.(22) -231- 13.锐角三角形的内角分别是A.B.C,并且A> C组·拓展提升 B.则下列三个不等式中成立的是 15.如图,在△ABC中,之ABC= (填序号) BPC=90*AB= ③,B$C= ①sinA>sinB 1. APC=120*.则tan BCP ②cos A<cos B: ③sin A+sin B>cos A+cos B 16.在△ABC中,AD是之BAC的平分线,用正弦 14.已知△ABC的内角A.B.C所对的边分别为 10 定理证明: a.b.c.且A-C=90{}.a+c=②b.求C -23212.D根据题意.如图，在△ABD和 4.B因为besin A=8simB.所以abc=8b,即ac=8.又a=2.所 △ADC中由余弦定理得：AB=AD 以e=4,由余弦定理得：b=a2+c2-2 aceos B,从而b= +DB-2AD·DBoos∠ADB,AC= AD厅+DC-24D·DC·cs∠ADC √2+4-2×8x号=2月，故选且 又cos∠ADB=-s∠ADC,两式相B 加得AB+AC=2AP+DB+DC, 5.ABC对于A,当k=5时，n4.mB=血C,根据正弦定理 5 3 4 即42+6=2A+42+42,.2AD2=20,六AD=/0.即 不奶设a=5,b=3.c=4,a2=2+c2,故△ABC是直角三角形： △ABC的中线AD的长为/I0.散选D. 13.4或5因为∠B4C=90°，AB=35,4C=3,所以mB= AC 对于B,当=3时，：：二，根据正弦定理不妨设 3 a=3,b=3,c=4,显然△ABC是等腰三角形，且C为最大角， 一方=号在△D中，由余德定理的报论可 a2+2-2=9+9-16=2>0,说明C为锐角，故△ABC是锐 sB=B+BD-A4D5=27+D-7BD-98D+20 角三角形：对于C,当=时，，鸟根据正弦定 3 2AB·BD 22 63BD 理不妨设a=2,b=3.c=4.可得a2+62-c2=4+9-16=-3 =0=BD=4或BD=5 <0,说明C为饨角，故△ABC是纯角三角形：对于D,当k=1 14.(1)(a+b+e)(b+e-a)=3c 时，_四B。血C,根据正弦定理不坊设a=1,6=3e= 4 a2=+c2-bc, 而a2=2+c2-2 bceos A.∴.2eosA=1, 4,此时a+b=c,不能构成三角形.故结论错误，故选ABC ·0sA= 6.BCD由正弦定理得a:b:e=sinA:sinB:sinC,所以A选 2 项错误；设a b a+b+e 4e(0,)4=号 sin A"sin Bsin6.期nA4曲B+mC e (2)在△ABC中，a2=62+2-2 becos A,且a=5, 《mA8:m==B法顶正确：在三角形中 sin A sin B sin C 大角对大边，所以C选项正确：若A>B,则a>b,由正弦定理 (B)2=b+c2-2c…7=b+c2-c0 又b+c=25,与①联立，解得e=3, sm-inB得mA>血B,D选项正确故选BCD, 6+c25b=c=5. 1.3:5:7由a-26+e=0,3a+b-20=0,得a=之b=c, be =3. 35 △ABC为等边三角形. 所以imA:imB:inC=a:b:c=:7c:c=3:5:7 15.(I)证明：由题意得acos B+bcsA=a,+c2-E +b. 2ae 8+d-d.d+2-B++2-正=c 由正弦定用，得m4物B。×兰角 2e 8号或 万= 所以acos B+beos A=c,得证 （2)因为号一合4所以2amA=kamA+amB, 又Ae(0,),a>bA>B4=号玻号 9.1 由()可知，2osA=6,即msA=子，因为Ae(0,a),所以 在△6C中.血B=之0<B<mB=君或B= 6 4=号 叉B+6<,G=后B=若4=m-君君=号= sinusin. a b 在△ABC中，由余弦定理a2=b+e2-2 beeos A,得：25+c2- sin A 1cx7=49,即2-5c-24=0,解得c=8或c=-3(舍 10.(1)A=30°，C=105°，B=180°-(4+C)=459 去)， sin A=sin B sin C 所以a+b+e=7+5+8=20.即△AC的周长为20. .b=asin B2sin 45 练案[14] in A sin30°=2,2， e=asin C2sin 105 1C由题意可得B=180°-A-C=30°，由正弦定理-4C sin 306= sin A sin30°=2+6 ,.B=45°，b=22.e=2+6 in45,因此，4C= AB -=22.故选C (2)由正弦定理，得6 sin B sin C' 2A由正孩定理得动6°C代人数据可得，血B: mC·解得smC= 即3=33 2 3又 2 c>b,∴，C=60°或C=120° 6C6B<6mB>0mB=5放选 ①当C=60°时.A=180°-(B+C)=90°，△ABC为直角三角 3B由正弦定理，知4=血CC_C,C= 形，此时a=√+c=6. ②当C=120°时，A=180°-(B+C)=30°=B.,a=b=3. %inC,.tanC=1,又0°<C<180°.，C=45 综上可知.A=90°，C=60°.a=6或A=30°，C=120°，a=3. -377 1山.C设C为最大角.则A为最小角，A+C=120°，.￡= 得BD=BC2+CD-2BC·CDeos C,知BD=22+2-2×2 ×2c06120°=12.所以BD=2,5,所以S边EMm=SAw+ C-m(120-)-im120°o4-ews120°sm4_ 对inA sin A sin A 2 5am=7×4x25+×2x2×血120°=56 分-号+分小1m41.又：A为说角，5A0B店，C1,B:云又由余弦定里得4C A=45°，C=75 +BC2-2AB·BC·C%B.,BC2-3BC+2=0.,.BC=1或 12A由正弦定理得5=mC.2 in BeosB=2csB又及<B b“anB sin B BC=25ac=寸·AB,Bc·mBSa=号或Sa <号，余弦隔数在此施围内单调递议放号<一B<县。 4 6e(5,月). 6.AC根据余弦定理，可得a2=+2-2 ccos A,故A正确： 根据正弦定理，可得asin B=bsin A白ab=ab,故B正确：根据 13.①②③A>B一a>b与sinA>sinB,故①成立.函数y= 正弦定理，得a=beos C+coos B:→sinA=sin Boos C+sin Ceos B csx在区间[0，T]上单调递威，，A>B,.csA<osB,故 =sin(B+C)=sinA,故C正确：根据正弦定理可得， ②成立.在镜角三角形中，：A+B>受0<受-B<A< sin Acos B+sin Beos C sin C sin(A +B)sin Acos B+ 2 oos Asin B.即sin Boos C=os Asin B.又sinB≠0.所以osC= 号，又函数)=mx在区间[0，引上单调递增，则mA> cs4,当A=C时，等式才成立，故D不正确 im(号-B）,即mA>sB,同理inmB>wA,故③成立 .3在△中，a=2,c=3,B=号，由余弦定理得 7 14.由A-C=90°.得A为钝角，且A-90°=C 。+2-2ameB=4+9-2x2×3×2=7,解得6=（负值 .'sin A cos C. 由a+c=26及正弦定理，得sinA+sinC=2sinB, 合去)，设AC边上的商为h,则Sec=子sin后=6，即 .'sin A+sin C=eos C+sin C=sin(C+45)=sin B, 又角A,B,C是△ABC的内角，.C+45°=B或(C+45°)+B 之×2×3×血号=克×元，解得63四 7 =180°（含去）. ∴.A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°，∴C=15°. 3 a 3 ,解得inC= 6 由正弦定理得 由题得AC=√+(5)2=2，∠ACB=60°.设∠BCP sin Csin即 sin C= 3 2 =a,∴∠ACP=60°-a,∠CAP=180°-120°-(60°-a)= x,在R△PBC中，PC=1×cosa=cosa.在△ACP中，由正弦 2又c<a,所以C<A,且0°<C<180°，所以C=30°，故B= in a sin 120..tan a= 定理得0s4=2 BB3 90,所以s==x1×号-号 16.如图，设∠BAD=a,∠BDA=B,则 9.1 ∠CAD=,∠CDA=180°-B 因为6=2.c=5.S--A=女nAe5m4,所以 在△ABD和△ACD中分别运用正 弦定理，得 =sinB Ac a所以nA+oA=子omA+cm2A= sin A =1 sin a'DC B180°-B 5 =sin(180°-B2 B2 40sA=1所以csA=2 5 .所以a2=+c2-2 becos A=4 sin a 又因为n(180°-B)=imB,所以5-4 +5-2×2×5×25=9-8=1,所以a=1。 BD DC 10.(1)因为(e-b)(sinB+sinC)=(inC-inA)a, 是咒 所以由正弦定理得c2-2=ac-a2,即a2+c2-b=ac, 练案[15] 由余弦定理的推论得msB=。+C之-。心=1 2ac=2ac=2 1.B由题中条件及正弦定理得6=2=4，由面积公式得. 因为0<B<,所以B=号 △MBc的面积为oim4=文×4×2×号 =25.故选B (2)因为c=4,△ABC的面积为33， 2.A 由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积Saw= 所以2 acsin B=35, 2 absin C= 4 2 bC.可得sinC=cosC,“Ce 时4a×号=3后，解得a=3 (0,)心C=平故选A 由余弦定理得2=d2+2-2a0cosB=9+16-2×3×4× 、1 3.A asin A-bsin B=4 esin C,由正弦定理，得a2-= 4c,即a=4c2+b.由余弦定理的推论，得csA_尽+c-d =13,所以6=/3（负值含去）， 2bc 所以osC=0+B-c.9+13-16,3 ±：法分之=6故选 2ab 2x3×/1313 2be 4B连接BD(图略.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC= 1.B由题意及三角形的面积公式，得2 absin C=5万，即 180°，120°=30°，所以∠ABD=90.在△BCD中，由余弦定理 2 x5×=5尽，解得a=4,根据余弦定理，得2=a+- 2 -378-