练案10 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[10] 第六章 6.36.3.5平面向量数量积的坐标表示 A组·基础巩固 10.已知a=(2,1),1b1=25 1.向量a=(1,-2),b=(-1,2),则(2a+b)· (1)若a∥b,求b的坐标： a= (2)若(5a-2b)⊥(a+b),求a与b的夹角 A.-1 B.0 C.2 D.5 2.已知向量a=(3,-2),b=(m,1),若a⊥b,则 a-3b= A.(0,5) B.(5,1) C.(1,-5) (停-5列 3.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0), 1b1=1,则1a+2b1= ( A.√3 B.23 C.4 D.12 4.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),0为坐标原 点，若四边形OABC是平行四边形，则向量OA 与0C的夹角为 ( A号 B平 C. 6 D.号 5.（多选)已知向量a=(2,-1),b=(-3,2), c=（1,1),则 A.a∥b B.(a+b)⊥c C.a+b=c D.c=5a+3b 6.(多选)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则 () La与a-b夹角的余弦值为 B组·综合运用 B.(a+b)∥a 11.若向量AB=(3,-1),n=(2,1),且n·AC= C.向量a在向量b上的投影向量的模为0 7,则n·BC= () 2 A.-2 B.2 n若c=(停2).则a1c C.-2或2 D.0 7.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma- 12.(多选)在△ABC中，AB=(2,3),A元= b),则m= (1,k),若△ABC是直角三角形，则k的值可 8.已知向量a=(2,1),a·b=10,1a+b=5v2, 能为 () 则Ib1= B. 11 9.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单 C.3±I3 位向量，且a·b=√3，则b= 2 —223 13.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中 C组·拓展提升 点，点F在AD上，A正=2FD,则BE·C= 15.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角， 向量p=(sinA,1),g=(1,-cosB),则p与 14.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中 q的夹角是 () a=(1,2). A.锐角 B.钝角 (1)若1c1=25,且c与a方向相反，求c的 C.直角 D.不确定 坐标； 16.(2024·河北保定高一下阶段检测)在等腰 (2)若1b1=,且a+2b与2a-b垂直，求a 梯形ABCD中，CD的中点为O,以O为坐标 原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的 与b的夹角0. 平面直角坐标系，已知A(-2,4),D(-3, 0),BC=4 BE (1)求C正.D正： (2)若点F在线段CD上，F元·C尼=6，求 cos(F元，Ci. -2246.-9由已知，可得(1,2)+(-3,5)=A(4,),所以 所以-子-2(y-5)=0.即7x+4y=200 仙2解阳之所似+-受 =（-子）.=(4，子）.a/成，所以好 x=-14。 7.2向量a=(1,2),b=(2,3),.Aa+b=A(1,2)+(2,3) 4y-子）=0，即7x-16=-20② =(A+2,2A+3),又向量Aa+b与向量c=(-4,-7)共线 (A+2)×(-7)-(2A+3)×(-4)=0.∴.A=2. 联立①2解得x=号=2，故点M的坐标为（号2）】 8(6.-9）设点P的坐标为(x,),由条件可知=-2P,14.号 4 由x0+h+z0=(1,1), [x= 2+(-2)×4 1+(-2)1 由定比分点坐标公式可知 =3+-2x-3 即点P的 3,√3 3 即》 0-)=1, 1+(-2) 得 坐标为(6，-9) 2 9.解法一（共线向量定理法）：a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k- 2 3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3.2)=(10.-4),当a+b 故 [y-:=- 从而x2+y2+2=x2+ 与a-3h平行时，存在唯一实数A,使ka+b=A(a-3b). t-322=A(10,-4.得60n.得- y+z=2(x-1). *-=2+2(x-12+子=3(x-子)+ 2 =子当k=一号时，a+b与a-3动平行，这时如+b 手故2+y+2的最小值为号 1 -3a+b=-3(a-3b),因为A=-3<0,所以a+b与a 15.由题设知，A,B,P三点共线，且1A=31A币1.设A(,0), -3b反向. B(0,y) 解法二（坐标法）：由题知知+b=(k-3,2k+2),a-3b= ①若点P在A,B之间，则有=3A产】 (10。-4). .(-x,y）=3(-2-x,3), 因为a+b与a-3b平行，所以(k-3)×(-4)-10×(2k+ 1 2)=0,解得k=-3 {-6-3解得二g3 y=9, ,点A,B的坐标分别为(-3,0)，(0,9). 这时a+b=(-分-3.-号+2）=方（a-3动)，所以当 ②若点P不在A,B之间，则有A店=-3A正， k=-了时，a+b与a-3动平行，并且反向. ∴(-xy）=-3(-2-x3). 3 10.D由题设知，C在第三象限内，又1O心1=22且∠AOC= [-x=6+3解得 y=-9 y=-9. 年，所以C(-2,-2),所以00=(-2，-2)，而0=(-3， 点4，B的坐标分别为(-号0小(0，-9. 0),0亦=(0，-2)，则0元=A0+0成，即(-2，-2)= A(-3,0)+(0,-2)=(-3A,-2),可得A=号故选D 综上，点A,B的坐标分别为(-3,0)，0,9)或(-是.0 (0,-9). 11.CA店=(4，-7)，设C(x,y),则A记=(x-2,y-3),AD为 △4c的中线而=函+=（是，0）又花 练案[10] 1.D由题意得，2a+b=(2,-4)+(-1,2)=(1,-2),所以 =2成=号市=（告是，0）4(2.3），c4, (2a+b)·a=1×1+(-2)×(-2)=5.故选D. x+2=2 .C因为a16,所以3m-2=0,解得m=子，所以a-3b=(3, -1),G=(2,-4), 3 y-10 解得 =-4 -2)-3号1)=1.-5.故选C 3 {仁42.c4.-2.放选C 3.Ba=(2,0),lbl=1,∴.al=2,a·b=2×1×eos60°=1. .1a+2h1=a2+4a·b+4b=23. 2(号，3）(2,3)由题可得△48c的重心G的坐标为4B:四边形048C是平行四边形，耐=函，即(4-0,2 0)=(a-2,8-a),a=6,.0=(4,2).0C=(2,6),设向 (号3,59)脚（号3小由题意得励=3成设 量o与0元的夹角为0，·c0s8= o.0元 D(x,y),则B币=(x+1,y),D元=(3-x,4-y),所以x+1= 10i110C 3(3-x),y=3(4-y）,解得x=2,y=3,即D(2,3). 1因为d=i=号0,5)=(0，)所以c(0,子) 4x2+2x6一又0e(0,0与0心的夹角 4+2×√2+6 因为0=成=4,3)=(2.2）所以D(2.）月 为经 5.BD由2×2-(-3)×(-1)≠0知，A错误：由题意得a+b 设M(x,y),则=(x,y-5),因为A∥A.A= =(-1,I),所以(a+b)·c=-1+1=0,所以B正确.C错 (2-3) 误：由题意得5a+3b=5(2,-1)+3(-3,2)=(1,1)=c,所 以D正确.故选BD. -372 6.ACD由题意得，a-b=(5,0),所以a与a-b夹角的余弦值 为2X5+1×0-25,故A正确：由题意得，a+b=(-1,2). 所u成子 W22+下×55 因为c与a方向相反，所以c=(-2,-4). 所以(a+b)·a=-1×2+1×2=0.所以(a+b)⊥a,故B不 (2)因为(a+2b)⊥(2a-b). 所以(a+2b)·(2a-b)=0: 正确：易知ab=2x（-3)+1×1=3=-.所以向 即21a2+3a·b-21b12=0. b1 √(-3)+下10 量0在向量6上的投影向量的模为，故C正确：因为。 所以2x5+3ah-2×存=0， 2.c=(停25)所以c=2x 所以a一子 +1×(-) 所以m0=治=-1 =0,所以a⊥c,故D正确.故选ACD. 7.-1由题意得ma-b=(m+1,-m),根据向量垂直的充要 又因为8∈[0，π]，所以8=m 条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1. 15.A因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>号，即号>A> 8.5a=(2,1),.a2=5,又1a+b1=52,(a+b)2=50 即a2+2a·b+b=50,.5+2×10+b2=50,b2=25,.1b1 乏-B>0,又因为函数y=s血x在(0，受)上单调递增，所 =5. 9(侵号)设b=(,.b1=+了=1…2+y 以i血A>i加（于-B）=csB,所以p·9=血A-mB> 1.a·b=3x+y=v5,x2+[5(1-x)]2=1.4r2-6r 0,设p与g的夹角为0.所以m0=洛>0，又因为p与 q不共线，所以p与g的夹角是锐角. +2=0.22-3x+1=0.六当=1，南=2方=0为= 2 16.(1)依题意，y轴是等腰梯形ABCD的对称轴，则B(2,4), (1.0)是与x轴平行的向量，舍去b=(分号) C(3,0),由BC=4BE 得ad=成=是(-1,4)=(-子3成=心+成 10.(1)因为a∥b,所以可设b=Aa=(2A,A). 则1b1=√(2A)2+A2=51A1=25,解得A=±2 60)+(子3=(43 因此b=(4.2)或b=(-4.-2). (2)由已知可得1al=√22+1下=5】 所以d:成：(-）×斗+3x3 16 因为(5a-2b)⊥(a+b).所以(5a-2b)·(a+b)=5a2- (2)设F(t,0)(-3≤1≤3)，则F2=+C2=(3-1,0)+ 2h2+3a+h=3a·b-15=0. 故a·b=5, (-3=(-3小 所设oma,a:ho=宁 1 成.成=(-)（骨-）+3x3=6解得1=-子即 又(a,b)e[0,],所以(a,b)=票 Fi=(4,3),1F21=④+3=5， 11.BA店+B=Ad..n·(A店+B成)=n·A花即n·+ 而a3 n·BC=n…A元，n·BC=n·A-n·A=7-5=2 12.ABC=(2,3),A=(1,k).B成=A花-A=(-1,k 所以cs(,C=庄.正 6-817 IFELICEI 5x37 85 -3).若A=90,则.心=2x1+3×k=0k=-子：若 4 练案[11] B=90,则.成=2x(-1)+3(k-3)=0k=号：若C 1.D =90°，则花.成=1×(-1)+k(k-3)=0.六k=3±国 由题图可知y均为正数，且+y=1,子+手 y 2 故所求的值为-号浅号或 (仕+)*=5++当5+2任变9当组 x y 2 仅当子一华即宁子时等号皮立，则上+兰的最小 x Y 13.子建立平面直角坐标系如图所示. 值为9 则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0 2.D由题意可得可=(4,3).0=(1.2).则0+10=(4,3) 0).C(2.0),因为A市=2F可.所以 +4(1,2)=(4+1,3+2),10i+10i1= F(子，2所以腕=(2,1).市=08十 √(4+t)2+(3+21)7=√5+20r+25=√5(1+2)2+5，结 合二次函数的性质可得，当1=-2时，10+t0=5. (分2）-(2.0)=(-子2所以应=(2… 3.A设a与b的夹角为8.8e[0.r].因为(a-b)⊥(3a-b), 所以(a-b)·(3a-b)=0,整理可得3a-4a·b+b=0,即 (-号2）=2×(-号)+1×2=号 31a2-4a·b+1b12=0.将1al=I代人3la2-4a·b+1b 14.(1)设c=(x,y),由c∥a及1cl=25. =0,可得3-4b1cs0+1b12=0,整理可得os8=4b+ 可200 中>2品要=号当且仅当高即1=5 -373-