练案8 6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案!8" " ""第六章"#!/"#!/!."平面向量的正交分解及坐标表示 #!/!/"平面向量加"减运算的坐标表示 """""""""""""""" $组!基础巩固 !!已知"##$(! 9.$4"$则下列说法正确的是 !""" $!#点的坐标是! 9.$4" %!$点的坐标是! 9.$4" &!当$是原点时$#点的坐标是! 9.$4" '!当#是原点时$$点的坐标是! 9.$4" "!设点#在/*0角的终边上$)"#"# 槡)(. . !"是坐 标原点"$则向量"#"#的坐标为 !""" $!!槡# $槡. " %!!槡. $槡# " &!! 槡9. $ 槡9# " '!! 槡9# $ 槡9. " #!已知平行四边形#$%&中$ "##&(!/$;"$ "##$( ! 9.$/"$对角线为#%$$&$则"##%9"#$&( !""" $!!!$!*" %!!+$4" &!! 94$#" '!! 9+$." $!设"##$(!.$/"$ "#$%(!5$6"$ "#%&(! 9!$4"$则 "# &#( !""" $!!! 25$; 26" %!! 9! 95$ 9; 96" &!!! 95$; 96" '!! 9! 25$ 9; 26" %!"多选#下面几种说法正确的有 !""" $!相等向量的坐标相同 %!平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 &!一个坐标对应唯一的一个向量 '!平面上一个点的坐标与以原点为始点#该 点为终点的向量的坐标一一对应 &!"多选#已知#!/$."$$!+$4"$%!#$;"$则以 #$$$%为顶点的平行四边形的另一个顶点& 的坐标为 !""" $!!4$+" %!!8$1" &!!.$ 9!" '!!/$ 9!" '!在平面直角坐标系内$已知($)是两个互相垂 直的单位向量$若! (.(9/)$则向量用坐标表 示! (""""! (!已知. *.+个向量的和为零向量$且其中一个 向量的坐标为!8$!+"$则其余. *.4个向量的 和为""""! )!已知向量! (!.5$5"$" (!6$ 9.6"$若! 2" (!1$ 98"!5$6 ( ""$则596 (""""! !*!已知向量"##$与! (!#$ 98"的夹角为 $ $且 ) "# #$)()!)$若点#的坐标为! 9!$."$求点 $的坐标! %组!综合运用 !!!已知点#!!$!"$$!.$4"$将向量"##$向右平移 !个单位长度$再向下平移!个单位长度$所 得向量"#%&的坐标是 !""" $!!.$." %!!/$/" &!!!$/" '!!/$4" !"!若($)分别为与3轴#9轴方向相同的单位向 量$取(($))作为基底$设! (!3. 232!"(9 !3 . 932!")!其中3 ( ""$则向量!对应的 坐标位于 !""" $!第一#二象限 %!第二#三象限 &!第三象限 '!第四象限 !#!已知#!;$."$$!!$4"$直线9(! . 73与线段 #$交于%$且"##%("#%$$则实数7 ("""" & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &'(#& !$!".*.4!内蒙古呼伦贝 尔高一下阶段检测#如 图$ 在平行四边形 #$%&中$#$(!$#&(.$ ' $#&(#*0$$&$#% 相交于点"$,为$"中点!设向量"##$(!$ "# #&("! !!"用!$"表示"##,' !."以#为坐标原点#&所在直线为3轴建 立平面直角坐标系$求点,的坐标! &组!拓展提升 !%!".*.4!辽宁抚顺高一下阶段检测#在第六 章平面向量初步中我们学习了向量的加法# 减法和数乘向量三种运算$以及由它们组合 成的线性运算!那向量乘法该怎样运算呢% 数学中向量的乘法有两种,数量积和矢量积! 这些我们还都没学到!现在我们重新定义一 种向量的乘法运算,若! (!3 ! $9 ! "$" (!3 . $ 9 . "$则! . " (!3 ! $9 ! "-!3 . $9 . " (!3 ! 3 . 9 9 ! 9 . $3 ! 9 . 23 . 9 ! "!请按这种运算$解答如下两 道题! !!"已知! (!!$."$" (!.$/"$求! . "! !."已知! (!!$."$! . " (!#$+"$求"! !&!".*.4!北京海淀高一下期中#根据毕达哥 拉斯定理$以直角三角形的三条边为边长作 正方形$从斜边上作出的正方形的面积正好 等于在两直角边上作出的正方形面积之和$ 现在对直角三角形%&'按上述操作作图后$ 得如图所示的图形$若"##(( "#3#$2 "#9#&$求 399! & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &"##& k=1, rk=1, 16.(1)因为P元=2亦 由e,e不共线得， 所以市=丽+郦=丽+配=+（厨+花）=子 所以k不存在，故a与b不共线，可以作为一个基底 (2)由4e,-3e:=Aa+b,得4e1-3e2=A(e:-2e:)+u(e +记 +3e2)=(A+4)e1+(-2λ+3u)e. 又e,与e,是不共线的非零向量， 因为0是线段P的中点，所以而=办=+人花. - 所以A+=4, 又因为=号花设店=x店则有而=音证+矿 11.C因为Ai=Ai+BC+Ci=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a 因为E0,F三点共线，所以号+=1，解得x=},即A -2b=2(-4a-b)=2BC.即AD=2BC,所以AD∥BC且AD ≠BC.故四边形ABCD为梯形.故选C. 12.ACD根据平面向量的基本定理可知A正确，B错误：根据 共线向量定理，存在唯一的实数A,使得A,e,+4e3=A(A, +4,),即=M·消去A可得A4,-A4=0,放C正 41=2, (2)因为A店=正+E店=A正+AA店=(1+A)A正，A元=正+ 确：若实数入业有一个不为0，不妨设A≠0，则G=一女， F元=序+4A市=(1+红)A产. 此时e,e2共线，这与已知矛盾，所以入=4=0，故D正确.故 (1)可知，而=市=成+石花，所以币证+ 选ACD. 13号依题意作图，设励=北成 + 6 u(-C=-uC成+uCd,由条 因为E.0,F三点共线所以A+1上=1，即2A+u=3. 3 6 件励=号函+今du=-分n4 所以L 子==-分励=-瓜点 2高)2 4 D在B的延长线上，并且AD=之B是=8 AD=3 当且仅当4+1=2A,即A=4-224=42-5时取等号， 14.:A,B,C三点共线.A与AC共线， 方+红+的最小值为3+2包 所以 1 4 存在实数A,使得Ai=AAC,即(a-1)e1+e2=bMe -2Ae 练案[8] 66不关线日2解阅子 1.D由题意，向量AB=(-2,4)与终点、始点的坐标差有关，所 b▣2-2a 以A点的坐标不一定是(-2,4).故A错误：同理B点的坐标 ,a>0.b>0,.0<a<1, 不一定是(-24)，故B错误；当B是原点时，A点的坐标是 1 (2,-4),故C错误：当A是原点时，B点的坐标是(-2.4) -a2+a 故D正确.故选). 2.A因为点A在30°角的终边上，10A1=2,2(0是坐标原 -(@-*)+-(（-）+好 点)，所以点A在第一象限，且到原点的距离为22，根据直角 三角形的边角关系得，A点的横坐标x=2v2©s30°=6，纵 当a=时，。+名取得最小值，最小值为4 坐标y=22sin30°=2，放所求的坐标为(6,2). 15.如图，设A元=a,A店=b,D,E,F分 3.C:四边形ABCD为平行四边形.AC=AB+AD=(1,10) 别为△ABC三边的中点， Bd=Ad-Ai=(5,4),.A花-B配=(1,10)-(5,4)=(-4， 期而=(a+b).成=a-A 6). 设AD与BE相交于点G,且AG= GG, 4.B=D元+C成+B=-Ci-C-Ai=-(-1,4)-(m n)-(2,3)=(-1-m,-7-n). A,G=u成，则AG=分(a+B4 5.ABD由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相 等的向量，故C错误，A,B、D正确. b),BG=片a-b 6.ABC设点D的坐标为(x,y).若是平行四边形ABCD,则有 因为G=+C=与a+(1-b, A=D元.即(5-3.4-2)=(6-x,7-y),解得x=4,y=5,所 以所求顶点D的坐标为(4,5)，所以A正确：若是平行四边形 4BDC,则有AB=Ci,即(5-3,4-2)=(x-6,y-7),解得x= 所以 解得A=4=子，即C=号d 2 8,y=9,所以所求顶点D的坐标为(8.9)，所以B正确：若是 2 =1-4 平行四边形ACBD,则有AC-D成，即(6-3,7-2)=(5-x,4- 再设AD与CF相交于点G, y),解得x=2,y=-1,所以所求顶点D的坐标为(2，-1)，所 同理可得G=子d, 以C正确.综上，顶点D的坐标为(4,5)或(8,9)或(2，-1). 故选ABC. 故点G,G重合.即AD,BE,CF相交于一点，故三角形的三：7.(2，-3)在平面直角坐标系内，已知ij是两个互相垂直的 条中线交于一点 单位向量，.若4=21-3，则向量用坐标表示4=(2，-3). 370 8.(-8,-15)设其余2024个向量的和为(x,y),则(8,15)+ 所以a⑧b=(x-2y,2x+y), (xy)=(00),.(x,y)=(-8.-15) 因为a⑧b=(6.5).所以(x-2y,2x+y)=(6.5). 9.-3a+b=(2m+n,m-2n)=(9,-8),∴ 2m+n=9, 6 1m-2n=-8, 解2=6得 x=5 m-2-5-3 2x+y=5, 7 10.由题意知，A与a方向相反，又1A=la, 即=（总子） A话+a=0. 16.建立如图所示平面直角坐标系： 设B(x,y),则B=(x+1,y-2), 六88解得化0 故点B的坐标为(-7,10). 11.C点A(1,1),B(2,4),A=(1,3),将向量A向右平 移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小 和方向没有变化，C=A店=(1,3).故选C 12.D向量a对应的坐标为(x2+x+1,-x2+x-1).x2+x+ 1=(*）2>0,-*-1(--< 0.∴向量a对应的坐标位于第四象限. B 1B子设点c(）由于花=所以(-7,4 设DC=2a(a>0).则EC=a,DE=√3a. 0-7=1-, 则A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(5+1)a -2）=(-4-西)则 解 7-2=4-w, 所以xe=(5+1)a·c%30°，yr=2a+(3+1)a·sin30°， 方4 即(5 得= 所以-(5。，5）=(20)币=0.2. 14.依题意建立直角坐标系，求得A,B,D的坐标，再利用向量线 性运算的坐标表示即可得解. 因为市=xA店+y心， (1)由四边形ABCD是平行四边形，BD,AC相交于点O, 所以d=花=(+而)=(a+b). 所以(35。，5a）=(2,0)+y(0,2a 3+3 因为M为0中点，所以矿=子（动+应） 则 2a=2ax, 5+3 }a+b++ (2w=2ay, (2)依题意，建立直角坐标系，如图， 则2-22.5。-6化简得-y=- 2 练案[9] 1.B对于A,因e,=0,则有e∥e,e,与e不能作为基底：对 于B,因e1=(-1,2),e3=(5,7),(-1)×7-2×5≠0，则有 D 因为AB=1.AD=2,∠BAD=60°， e1与e不共线，e,与e可作基底：对于C,因e,=(3,5),e= (6,10),则有e2=2e,e与e,不能作为基底：对于D,因e,= 所以A(0.0).D2.0).B1×m60,1×in60).即B(号 （2,-3)4=(分，-子）则有e,=4,e与号不能作为 ) 基底，故选B. 2.A设点D(x,y),Ai=(x+1,y-2),A=(3,1).武=(1 则a==(3号）b=动=(2.0). -4).则d=2A3-3B武=(6.2)-(3.-12)=(3.14)=(x 所u+=(宁）+2.o)=(仔， +1y-2i解得.即D02.16.放连 ly=16, ) 3.DA心=A店+B武=(4，m+6),因为A,C,D三点共线，所以A心 与共线，所以4×2m=-(m+6),解得m=一子故选D 故点业的坐标为（冬，） 4.AD,a=(5.4).b=(3.2).,2a-3b=(1.2).则与2a-3b 15.(1)因为a=(1,2),b=(2,3),a⑧b=(y)·(为为2)= 平行的向量c=(x,y)需满足y-2x=0,即y=2x.选项A,D中 向量满足，故选AD. (-y3,x1+1）, 所以a⑧b=(1×2-2×3,1×3+2×2)=(-4,7). 5.ABD因为A2=0i-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2).AC= (2)设b=(x,y）, 0元-0=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假设A,B, 因为a=(1,2),a⑧b=(,,)·(,2）=(x-为2， C三点共线，则1×(m+1》-2m=0,即m=1.所以只要m≠ x11+x2y1), 1,则A,B,C三点即可构成三角形.放选ABD. 371