练案7 6.3.1 平面向量基本定理-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[7] 第六章 6.3 6.3.1 平面向量基本定理 A组·基础巩固 1.如图所示,点0为正六边形ABCDEF的中心, ~ ( 相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于 则可作为基底的向量是 点N,设AB=a,AC=b,则用a,b表示DN= 8.如图,在△MAB中,C是边 AB上的一点,且AC=5CB. A.0A.BC B.OA.C 设MA=a.MB=b$则MC= C.AB.CF D.AB.DE .(用a,b表示) 2.下列说法中错误的是 9.设四边形ABCD为平行四边形,1AB1=6. A.一个平面内只有一对不共线的向量可构成 ADI=4.若点M.N满足BM=3MC.DV= 表示该平面内所有向量的基底 2NC.则AM·NM= B.一个平面内有无数多对不共线的向量可构 10.设e,e:是不共线的非零向量,且a=e- 成表示该平面内所有向量的基底 2e.,b=e.+3ez. C.零向量不可以作为基底中的向量 (1)证明:a.b可以作为一个基底; D.一对不共线的单位向量可以作为基底 (2)若4e -3e。=a+ub,求A,的值 3.在长方形ABCD中,E为CD的中点,F为AE 的中点,设AB=a.AD=b.则BF= ( ) 4.(多选)如图,在□0ACB 中,E是AC的中点,F是 BC上的一点,且BC=。 4BF,若OC=mOE+nOF,其中m,nER,则 A.m+n=#7# 10 C. 2m=3n D.3m=2n 5.(多选)点D.E.F分别为△ABC的边BC.CA AB上的中点,且BC=a.CA=b,则有 ( - A#-b# C.CF-## 6.如图所示,在正方形ABCD中,E 为DC的中点,若AE=AAB+ AC,则A+= -217 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a- 15. 用向量法证明三角形的三条中线交于一点 $.CD=-5a-3b,其中a.b不共线,则四边 形ABCD为 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 12.(多选)如果e,e。是平面a内两个不共线的 向量,那么下列说法中正确的是 ) A.Ae.+ue(A,uER)可以表示平面a内的 所有向量 B.对于平面a内任一向量a,使a=Ae,+ne 的实数对(入,n)有无穷多个 C.若向量Ae+le与Ae,+{e。共线,则 A-A.=0 D. 若实数Au使得xe +ue,=0,则A==$$ 13.在△ABC中,D是直线AB上的点,若2BD= 16.如图,在△ABC中,点 CB+ACA.记△ACB的面积为S,△ACD的 P满足PC-2B,o 是线段AP的中点,过 点0的直线与边AB 14.设e,e。是平面内两个不共线的向量,AB= (1)若-,求的值 AC分别交于点E,F. (a-1)e.+e,AC=be.-2e(a>0,b>0). (2)若EB=AE(A>0).FC=AF(>0). 1的最小值. -218-c=a+b,2=d+2ab+=1+2x1x2×(-）+4 练案[7] =3, 1.B由题中图形可知O与B武，A序与C京，A与D成共线，不能作 .lel =3. 为基底O与C可不共线，可作为基底故选B. 11.C~a1ba·b=0,1a+2h1=a+4a·b+4b=2.A平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内，任意一对 a+4b,1a-2b1=√a-4a…b+4h=√a+4h,.(a 不共线的向量都可构成表示该平面内所有向量的一个基底， +2b)·(a-2b)=a2-4h3=√a+4b.a+4b· 故A错误，B,D正确：零向量与任一向量平行，故零向量不可 m120,化简得0-2水=0合-29 以作为基底中的向量，故C正确。 3.A 由题意=市-店=花-店=】（市+成）-店 12.C由题可得A亦-A店，AC=B·BC+C.C成，即A,( -AC=B成.(Bi-C).即A店.C店=BC.BC..A.B元+ (而+3函)-店=而-是：子+故 BC.BC=0.BC·(A+BC)=0.即BC·AC=0,即B武⊥ 选A AC,BC⊥AC,.△ABC是直角三角形故选C 4.ABC在平行四边形中=B成，O成=A亡0心=O+0丽.因为 13.B设向量m与向量c的夹角为8，向量c=7m+2n,则 E是AC的中点，所以花=花=成，所以0成=0+店 1c=√7+2=3，m·c=7m2+2m·n=7,则有c0s8= 治-号又0≤s,则m9=V个-0 O+成，因为B配=4成，所以B成=武=}O,所以O 31 14.(1)(a-3b)·(a+b)=3, =0+脉=0成+}，因为0心=m成+n0,所以0d la2+a·b-3a·b-31b12=3. ,4-2a·b-3=3.即a…b=-1, (m+子）耐+（分m+n）成，所以 m+4n=l, 故la+b=√1a+b下= 解得 2mtn-l. √/1a3+2a·b+1b=√4-2+I=3. (2)设向量a与a-2b的夹角为8， 6 cos 0=a.(a-2b)=lali-2a.b m三 lalla-261 lal la-2b1* 4 所以m+n=号m-n=号2m=3,故选AC = la-2b1=√1a-2b= 5.AD如图，在△ABC中，A市=Ad+C V1a2-4a·b+41b12=√4+4+4=23， c0s8=4+2-3 =-d+}:-b-a,故A正 2×252· 确：成=8配+店=a+b,故B错误： 又6e[0,]0=石，即a与a-2b的夹角为后 15.[0,2]b·(a-b)=a·b-1b12=lallb1cos0-1b12= 宿=心+函=-b-a.:d武+ 0,∴.Ib1=|al cos(8为a与b的夹角)或lb1=0,又8E[0, T],0≤1b|≤2. =b+-b0)=70+0,故C 16.(1)~E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， 成=成=而.-成=应 错误：=成=-，故D正确赦选A0 E=元+C=-}+. 由题意，得店=之（市+心）.又=成=心-应，所 又E=AA店+4Ai, 以正=子(-店+2=-函+花又正=A店+记. 所以A+以=一子+1=分 (2)设c=mCi(0≤m≤1). 1.名(b-0）由题意得示=成=宁（店-而）=名（记 则B成=B武+C中=A市-mA店， 又正=+成=+，.市=0 =名b-a. 脉=(+号动)·（访-m):-m破+行+名动配=+花=+名店=赋+名（弱 亦=-4m+2=1, i)=名n+名诚=石+名b, 故m=子应，市=(+币）·（市+子函）= 9.9考虑以A,Ad为基底来计算.：B丽=3M心，D示=2乙 矿=+而.耐=可--+兮 子府+访=3+2=5， 易得11=5，=务 网=(+而)·(-而+兮）=访-应 mLr:店：平5,25 =号×36-6×16=9 丽5x是等 10.(1)证明：若a,b共线，则存在eR,使a=b,则e,-2e k(e+3e2). 369 rk=1, 16.(1)因为P元=2亦 由e,不共线得， 「=1， 所以市=丽+郦=丽+配=+（武+花）=子 所以k不存在，故a与b不共线，可以作为一个基底 (2)由4e1-3e1=Aa+b,得4e1-3e2=A(e,-2e:)+u(e +记 +3e2)=(λ+4)e1+(-2λ+3u)e. 又e,与e,是不共线的非零向量， 因为0是线段AP的中点，所以d=中=+心. - 所以A+=4, 又因为=号花设店=x店则有而=证+矿 11.C因为Ad=Ai+BC+Ci=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a 因为0，F三点共线，所以号+=1，解得=是，即A -2b=2(-4a-b)=2BC.即AD=2BC,所以AD∥BC且AD ≠BC.故四边形ABCD为梯形.故选C. 12.ACD根据平面向量的基本定理可知A正确，B错误：根据 共线向量定理，存在唯一的实数A,使得A,,+41e,=A(入，e 所- +4e,),即=M消去A可得A4,-A4=0,放C正 41=42, (2)因为A店=正+E店=A正+AA正=(1+A)A正，A元=正+ 确：若实数业有一个不为0，不妨设A≠0，则气=一女 F元=A序+uA序=(1+)A产， 此时e,e2共线，这与已知矛盾，所以A=4=0,故D正确.故 (1)可知，市=市=成+石花，所以'病+ 选ACD. 13.号依题意作图，设励=业成 6 u(-C=-uC成+uCd,由条 因为E,0,F三点共线所以A+1上=1，即21+u=3, 3 6 件励=号应+分d-立n4 所以L。 含==-分励=}瓜点 2高)2 4 D在B的延长线上.并且D=多B是=8 AD=3 当且仅当4+1=2A,即A=4-224=42-5时取等号， 14.:A,B,C三点共线.A与AC共线， 分+红+的最小值为3+2包 所以 1 4 存在实数A,使得i=AAC,即(a-1)e1+e2=Me -2Ae1 练案[8] 66不线2解得子 1.D由题意，向量AB=(-2,4)与终点、始点的坐标差有关，所 b▣2-2a 以A点的坐标不一定是(-2,4).故A错误：同理B点的坐标 ,a>0.b>0,.0<a<1, 不一定是(-24)，故B错误；当B是原点时，A点的坐标是 1 1 (2,-4),故C错误：当A是原点时，B点的坐标是(-2.4) -a +a 故D正确.故选D. 2.A因为点A在30°角的终边上，10A1=2,2(0是坐标原 -(+4)+4(-+好 点)，所以点A在第一象限，且到原点的距离为22，根据直角 三角形的边角关系得，A点的横坐标x=22©s30°=6，纵 当a=时，。+云取得最小值最小值为4 坐标y=22sin30°=2，放所求的坐标为(6,2). 15.如图，设A=a,A店=b,D,E,F分 3.C:四边形ABCD为平行四边形.A亿=A+AD=(1,10) 别为△ABC三边的中点： ⑦=Ad-Ai=(5.4)..A元-B配=(1,10)-(5,4)=(-4， 期而=(a+b).成=a-众 6). 设AD与BE相交于点G,且AG= GG,) 4.B=D元+i+B=-Ci-C-Ai=-(-1,4)-(m n)-(2,3)=(-1-m,-7-n). A,G=u成，则AG=分(a+B4 5.ABD由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相 等的向量，故C错误，A,B、D正确 b).BC=4a-ub. 6.ABC设点D的坐标为(x,y).若是平行四边形ABCD,则有 因为G=+C=与a+(1-b, A=D元即(5-3.4-2)=(6-x,7-y),解得x=4,y=5,所 以所求顶点D的坐标为(4,5)，所以A正确：若是平行四边形 2 4BDC,则有AB=Ci,即(5-3,4-2)=(x-6,y-7),解得x= 所以 ”解得A=号即G= 8,y=9,所以所求顶点D的坐标为(8.9)，所以B正确：若是 2 =1- 平行四边形ACBD,则有AC-D成，即(6-3,7-2)=(5-x,4- 再设AD与GF相交于点G, y),解得x=2,y=-1,所以所求顶点D的坐标为(2，-1)，所 同理可得G=子d, 以C正确.综上，顶点D的坐标为(4,5)或(8,9)或(2-1). 故选ABC. 故点G,G重合.即AD,BE,CF相交于一点，故三角形的三：7.(2，-3)在平面直角坐标系内，已知ij是两个互相垂直的 条中线交于一点 单位向量，若4=2i-3,则向量用坐标表示4=(2，-3). 370-