练案6 6.2.4 第2课时 向量数量积的运算-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案[6] 第六章6.26.2.4[第二课时向量数量积的运算] A组·基础巩固 9.若向量a,b满足Ial=23,Ib1=2,1a+b1= 1.若e1,4,是夹角为写的单位向量，且a=2e,+ Ia-bI,则向量a与向量a+b的夹角为 e2,b=-3e1+2e2,则a·b= 10.已知平面向量a,b,若1a|=1,1b1=2,且 A.1 B.-4 la-b1=7. c-3 (1)求a与b的夹角0； 2.已知a⊥b,1al=2,1b1=3,且3a+2b与Aa- (2)若c=1a+b,且a⊥c,求1的值及|cl. b垂直，则实数入= A号 c±号 D.1 3.已知向量a,b满足Ia1=21b1=2,且I2a-b1 =√15，则1b-al= A.1 B.2 C.2 D.5 4.设非零向量a,b,c满足1a1=1b1=1c|,a+b =c,则a与b的夹角0= A.150 B.120° C60° D.30 5.（多选)设a,b,c是任意的非零向量，且它们相 互不共线，给出下列结论中正确的有( A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.lal -Ibl la-bl B组·综合运用 D.(3a+2b)·(3a-2b)=91a2-41b1 11.已知非零向量a,b满足a⊥b,且a+2b与 6.（多选)已知正三角形ABC的边长为2，设AB a-2b的夹角为120，则份 () =2a,BC=b,则下列结论正确的是 ( A.1a+b|=1 B.a⊥b A.5 B③ C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 7.已知向量01AB,101=3,则0·0店= c.23 3 0③ 12.在△4BC中，A=AB.AC+B.BC+C. 8.已知G,4是夹角为的两个单位向量，a=4 CB,则△ABC一定是 () -2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,则实数k= A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 -215 13.已知单位向量m,n满足m⊥n,若向量c= C组·拓展提升 万m+2n,则向量m与向量c夹角的正弦15.(2024·毫州阶段性检测)已知a是平面内的 值为 ( 向量且Ia|=2,若向量b满足b·(a-b)= 9 B② 0,则1b1的取值范围是 3 16.如图，在正方形ABCD中，E是D D. BC的中点，点F在CD边上 运动（含C,D点） 14.已知向量a,b满足1al=2,1b1=1,(a-3b)· (1)若点F是CD上靠近点C (a+b)=3. 的三等分点，设E示=入A+uAD,求A+ (1)求Ia+b1的值； (2)求向量a与a-2b的夹角. 4的值； (2)若AB=2,当AE.BF=1时，求cos∠EAF 的值。 -2162 根据平面向量夹角的定义可得结 所 MC=-3-(+)-a- 果.如图:延长AB到D.则乙CBD为AB (2)易知 DMC=60*,且IMCI-1MDI. 与BC的夹角,所以,AB与BC的夹角 那么只需求MC的最大值与最小值即可 #为2 82 #则 0 则:Dcs 80 当MC与MO重合时,MC最大,此时MC-1. 所以C·的取值范围为[31 两个单位向量a与b的夹角为-.a·a+a·b=lal}+ 练案[6] 10.(1)a.b=ta|hes10-4 ×(-)--4- )(-3+2)-61e 1+21e 1+-,故 (2)因为a1b.所以a·b=0 (3)因为a/b,所以a与b的夹角为0或180*. 选C 所以a·b=+lallbl=+(4x2)=+8. 2.A.3a+2b与Aa-b垂直.(3a+2b).(Aa-b)-3} 11.B 根据题意,设a与b的夹角为6.已知向量a在向量b上 +($-3)a·b-2b=3xa-2b=12a-18=0=2 3. B 因为(2a-b)}=4a^}+b$-4a·$=4x2^}+1}-4a·b=$ 又0<8180,所以8=60。 15.所以a·b=,故lb-al=(b-a)= 12.C 由2A-AB+AC,得点0是BC的中点,而0是△ABC 的外接圆圆心,则AB1AC,又1AC1-10C1,于是△AOC是正 ##6-26-271f-2x-2. 三角形,ACB=60” ABC=30” AB-BC,显然BA·BC 4.B由lal=b=lc且a+b-c,得a+bl=1b1,两边平方得 -1B1BC(cos30*-31BC1,所以向量可在向量BC上的 l}+lb}+2·b=lb1}2a·b=-lal,则2lal1blcos 6= -lal.cos 8=-).又0<61808=120°. 投影向量为&3. 5.ACD 根据数量积的分配律知A正确;[(b·c)·a-(c· 1 a)·b]·c=(b·c) ·(a·c) -(c·a)·(b·c) =o.(b 13.D 由题意可画出图形,如图所示,在 ·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;a,b不共线, △0AB中,因为 0AB=60*,1bl=2lal,所 .lal.lbl.la-bi组成三角形..lal-lbl<la-bi成立,C 以乙AB0=30*,0A10B,即向量a与c的 正确;显然D正确,故正确结论的选项是ACD. 夹角为90{。 6.CD 分析知lal=1.1b1=2.a与b的夹角是120*,故B错误; 14.ABC 根据投影向量的定义,知A正确; (a+b)2}=lal}+2a·b+lb1}=3.la+bl=3,故A错$ .a·b=Ial1blcosθ<0.则cos θ<0. 误:'(4a+b)·b=4a·b+b}-4x1x2xcos 120*+4=0 又:0”..9e(,"],故B正确;a .(4a+b)1b,故C正确;a·b=1x2xcos 120*=-1.故D 正确 在e上的投影向量为lalcose=6x0e=.故C正确;由题 7.9 0A1A .0A·=0(0-0)-0.-0A -0.0-9=0.即0.0-9 意知,a·b=Ial1blcos θ=lalIbllcos 91.所以cos 8= lcos61,则6可能为锐角,也可能6--,故D错误. 8. 15. 由题意PA1OA.PB1OB,乙APO=乙BP0 26_0.v:末+(1-21)co21-2=0.解得k- 设PO-x.则PA=PB--1. 设AP0=/BP0=8. 则cosθ-r 即a}+2a·b+b^}=a}-2a·b+b^},故a·b=0,la+bl= 所以p ·Pb-1p 1ìPèteos20=(x-1)(1-)-+ $0. (1)由la-bl-/7,得a^*-2a·b+b-7. ~. 81-2x1x2xcos8+4=7. 因为P0=x-3. cosθ=- #以.--3- 又e[0.].8-2 16.(1)由已知可得oC-30A,连接MA.MB(图略). (2):a1c...a.(ta+b)-0. 四边形0AMB是菱形,则OM-0+0B t=1. -368一 .c=a+b.e*=-a+2a·b+6-1+2x1x2x(-)+4^{ 练案[7] =3 1.B 由题中图形可知OA与BCAB与CF,A与DE共线,不能作 .lcl-5. 11.C a1b..a·b=0.la+2bl=+4a·b+4b=2.A 平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内,任意一对 为基底,0A与CD不共线,可作为基底.故选B +4bla-2bl=a-4a·b+4b=Va+4b(a 不共线的向量都可构成表示该平面内所有向量的一个基底 +$b)(a-2b)=a-4b=a+46·a+46. 故A错误,B、D正确;零向量与任一向量平行,故零向量不可 以作为基底中的向量,故C正确. 3. A 由题意F--A---(A+D)-= 12.C 由题可得A-A·A-可·B+C·CB.即AB·(A #3(,分)-=--3-△6.故 -A)B·(-CA).即A·C=·BA·B+ B.B-0.B.(A+B)-0.即B·A-0.即B1 选A. AC..BC1AC.v.△ABC是直角三角形,故选C. 4. ABC 在平行四边形中O=BC.0B=AC.0C=0A+0B.因为 13.B 设向量m与向量c的夹角为6.向量c=7n+/2n.则 r是Ac的中点,所以----oB,所以o-oA+- l$cl= 7+2=3.n·c= 7m+/2m·n= 7.则有 os8= ## ,因为B-4B,所以-士-士oA.所以oF -B+B-o+-oA.因为o-mo+n0F,所以o- 14.(1):(a-3b)·(a+b)=3. .lal+a·b-3a·b-31b1②=3. .4-2a·b-3=3.即a·b=-1. 解得 故la+bl= la+bl= lal+2a·b+1b-/4-2+1-3 (2)设向量a与a-2b的夹角为8. 则cos8-.(a-2b)1a-2a.b lalla-2b1lalla-21' *la-2bl-1a-2b- 5.AD如图,在△ABC中,A-AC+C lal-4a·b+41b1=$/4+4+4=2/3 --a,--b-a,故A正 .co-4+2 2x22 确;B=BC+CE=a+-b,故B错误: 又:θe[0.n].θ-吾,即a与a-2h的夹角为吾 #B-+c--b-a.CF-c+-4 15. [0.2] b·(a-b)=a·b-lbl}=lallblcos θ-l$b}= 0. lbl=lalcos θ(e为a与b的夹角)或1bl=0,又θ=[0 #-)-#改 n]..01b12. 16.(1)·E是BC的中点,点F是CD上靠近点C的三等分点, 错误;E-c--a.故D正确故选AD. #.E-c---- 6由题意,得=(+A).又=-a-,所 #:-E+Cr--+寸. 以-(-A8+2A)--+Ac.又=A+A. 又F-AB+A. #--1--,△+--+- #以△ (2)设CF-mCD(0<m<1). 7.(b-a)由题意得D--(A-A)-(A- 则-B+C-A-mA. #)-(b-a). #-+=AB+4·=0. :=()·(A-)--;6-,-,-,(- #)-#-△。 l:-4m+2=1. 故m-:·-()·(43)- 9.9 考虑以AAD为基底来计算·=3M.D=2 ---c---+.. 3,n=3.2=5. #(+)·(-,)-- 易得11-v5.A-. -3-#(16-9. 10.(1)证明:若a.b共线,则存在keR.使a=hb,则e.-2e= l(e.+3e). -369一