练案5 6.2.4 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案!+" """第六章"#!."#!.!4"!第一课时"向量数量积的 概念"运算及投影向量# """""""""""""""" $组!基础巩固 !!已知)!)(.$)")(/$!与"的夹角为$ / $则!- " ( !""" $!9/ %!/ &!槡/ / '! 槡9/ / "!对于非零向量!与"$下列不等式中恒成立的 是 !""" $!!-" + )!)-)") %!!-" , )!)-)") &!!-" 7)!)-)") '!!-" 3)!)-)") #!如图所示$一力作用在小车 上$其中力&的大小为!* <$ 方向与水平面成#*0角!则当 小车向前运动!* -时$力&做的功为!""" $!!** = %! 槡+* / = &!+* = '!.** = $!".*.4!潍坊阶段检测#已知)#)(#$)')(/$ #-'(9!.$则向量#在向量'方向上的投 影向量的长度为 !""" $!94 %!4 &!9. '!. %!"多选#对于任意向量!$"$$$下列命题中正确 的是 !""" $!若!-" (*$则!与"中至少有一个为! %!非零向量!$"共线时其夹角为* &!若! ) "$则!-" (* '!)!)( !-槡! &!"多选#已知向量!$"和实数 ! $则下列选项中 正确的是 !""" $!若!与"是两个单位向量$则!. (". %!)!-")()!))") &! ! !! 2"" ( ! ! 2 ! " '!若! 与" 为非零且不垂直向量$则)! ) ( !-" )")>?@ # '!".*.4!江苏苏州#已知正 ! #$%$则向量"##$与 "# $%的夹角为""""!!用弧度表示" (!已知)")(+$!-" (!.$则向量!在向量"上 的投影向量为""""! )!两个单位向量!与"的夹角为$ / $则!-! 2 !-" (""""! !*!已知)!)(4$)")(.$求分别在下列条件下 !-"的值, !!".!$"/ (!.*0' !."! ) "' !/"! $ "! %组!综合运用 !!!已知)!)()")(/$%是与"方向相同的单位 向量$向量!在向量"上的投影向量为/ . %$ 则向量!与"的夹角为 !""" $!/*0 %!#*0 &!!.*0 '!!+*0 !"!".*.4!河北承德# 已知 ! #$%的外接圆圆心为"$且 . 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E,如图所示，由O+3O亦+40元= 0.得0+0元=-30丽-30元= 4.AD当A>0时，a与Aa方向相同.当A<0时，a与Aa方向 -3(0+0元).即20币=-3× 相反，故A正确：当a≠0时.结论才成立，故B错误：当1b1= 21al时，b与2a不一定共线，故C错误；显然当b=±2a时， 20成，故0币=-3成，所以点0在 1b|=2Ial.故D正确： △ABC的中位线DE上，即haAm= 2 5.AB选项A,由2a-3h=4e且a+2b=-2e,可得a=气e aw,Sm=子AB·ham 2 b三-e,则力=-4如，故a,b共线：选项B,不妨设A0,则 1 Saw=2B,h6c,故Sam=2Sar,故选C 有a=-上b,故a,b共线：选项C,a,b显然不共线：选项D, 14.(1)由题意知，A京∥C⑦，则存在AeR,使得A=ACi,即e -4e2=A(-e1+e2).整理，得(k+A)e1=(A+4)e2,又 当AB,CD分别为梯形ABCD的两腰时，直线AB与直线CD是 相交直线，则向量A京，C可不是共线向量，即不能判定a,b共 66是不共线向量，所以以4。.解得己，或 kM+4=0, 线.故选AB 6A因为点C在线段4上.且品=子所以花=2应 价22国为函，可方向相反所以2,2之收5=2 1k=2, 5+2 (2)Ai=A+B丽=(k+1)e,-2e,由A,C,D三点共线，得 号，心成，成=5威-号成，放A正确，B.CD 存在ueR,使得A=uCi,即(+1)e1-2e2=u(-e,+ 错误 e,),整理，得(+4+1)e,=(u+2)e2,又e:,e,是不共线 7,±号由a=Ab,得a1=ab1=1A1b1:1a1=3,1b1=5 肉量，所以你00解得2政你三之散= Lu+2=0. 2A=号即A=±号 或4=-2 练案[5] 8.-2解法一：因为点P在直线AB上，所以AP=AA正，A∈R, -0,A(成-，即亦=Ai+(1-A),所以1.Bab=la·b1m号=2x3x分=3 小-入=3所以x=-2. 入=￥， 2.B设非零向量a与b的夹角为0，则0e[0,T],cs0e 解法二：因为P在直线AB上，即A,B,P三点共线，所以3+x3.C由题意，根据向量的数量积的定义.可得力F做的功W [-1,1].则a·b=1a·1b1·em8≤lal·1bl. =1.即x=-2 F·s=I0×10×c0s60°=50(J). 9如图，因为B成-3励.所以=花+可=花+成=花+4B依题意，向量m在向量方向上的投影向量的长度为 子花-丽=应+号花 号=4 10.B由于a,b为不共线的非零向量，向量店和B配，向量配和5.CD4:b=0a1b或a=0或b=0,所以A错误：非零向量 a,b共线时其夹角为0或π，所以B错误：由数量积的定义知， C币显然没有倍数关系，根据共线向量定理，它们不共线，A,C C正确：因为a·a=|a||as0=la,所以lal=a·a,所 选项错误；B励=B武+C⑦=a+5b=A,于是A,B,D三点共以D正确 线，B选项正确：AC=A店+BC=-a+I3b,显然和Ci没有倍6.ACD选项B中，Ia·b1=1 lallb1cosl,其中0为a与b的 数关系，D选项错误.故选B. 夹角，故B错误， 367 7.罗根据平面向量夹角的定义可得结 3 所以=0心-成i=-(o+0=-a-0成 果.如图：延长AB到D,则∠CBD为A正 (2)易知∠DMC=60,且1M元=1Mii. 与BC的夹角，所以，AB与B配的夹角 那么只需求MC的最大值与最小值即可。 当MC10A时，NC最小，此时MG= 8是与b方向相同的单位向量为合力 则元.而×xm60=是 ，所以向量口在向量6上的投影向量为·号 当MC与M0重合时.MC最大，此时M=1, 品 则配.而=as60=号 两个单位向量a与b的夹角为等，a·a+a:b=aP+ 所以心·心的取值范围为列号打 1al.1b1s0=1+1x1xs号=1+7=2 13 练案[6] 101)ab=-lalb1ems120=4x2×(-）=-4 1.C由已知，得e号=lel6lom号=子ab=(2e,+ (2)因为a⊥b,所以a·b=0. 6)(-30,+2%)=-61e,2+2e2+e,6=-子，故 (3)因为a∥b,所以a与b的夹角为0°或180°， 选C. 所以a·b=±1alIb1=±(4×2)=±8. 2.A3a+2b与Aa-b垂直，.(3a+2b)·(Aa-b)=3Aa 11.B根据题意，设a与b的夹角为a.已知向量a在向量b上 的投影向量为1a1sk=子c,a1=3,则有m0=子 +(2A-3)ab-28=3Aa2-26=2A-18=0A=号 3.B因为(2a-b)2=4a2+b2-4a·b=4×22+12-4a·b= 又0°≤0≤180°，所以0=60°. 12.C由2Ad=Ai+AC,得点0是BC的中点.而0是△ABC 15,所以a·b=子，故b-al=(b-a= 的外接圆圆心，则AB⊥AC,又1AC1=1O元1，于是△AOC是正 V@+6-2ah=√2+P-2×-2 三角形，∠AB=60,∠AC=30,4B=受c,显然i,B配4B由1al=b1三1c且a+h=C,得a+b1=1b1,两边平方得 lal2+1b2+2a·b=1b12,∴.2a·b=-la,则2 lallb1cos0= =威1应m30=子，所以向量风威在向量成上的 -1a'.ms6=-2又0°≤8≤180°8=1209 投影向量为：配配=子成 5.ACD根据数量积的分配律知A正确：[(b·c)·a-(e· 1B12 4 a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,(b 13.D由题意可画出图形，如图所示，在 B ·c)·a-(c·a)·b与c垂直，B错误；，a,b不共线， △OAB中，因为∠OAB=60°，1b1=21a,所 ,.1al,1b1,1a-b1组成三角形.∴，1al-1b1<la-b1成立.C 以∠AB0=30°，0A1OB,即向量a与c的 正确；显然D正确.故正确结论的选项是ACD. 夹角为90°. 6 6.CD分析知1a=1,1b1=2,a与b的夹角是120°，放B错误： 14.ABC根据投彩向量的定义，知A正确： .(a+b)2=la2+2a·b+1b=3,∴.1a+b=3,故A错 ,a·b=1a1Ib1cs9<0.则c0sp<0. 误：(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cw120°+4=0， 又：0≤0≤m0e(受，小，故B正确：a0 .(4a+b)⊥b,故C正确：a·b=1×2×cos120°=-1，故D 正确。 在e上的投影向量为1aet=6×0e=0,故C正确：由题7.9二0店0，店=·(0亦-0i)=0,0成-0成 意知.a·b=Ia11b1cos日=|a1Ib1Ico%g1,所以cos0= =0.0i-9=0,即0.0成=9. 1c1,则0可能为锐角，也可能0=受，故D错误 4 a·b=(e,-2e,)·(ke1+e2)=ke+(1-2h)e·e 15.由题意PA⊥OA.PB⊥OB.∠APO=∠BPO -2e=0÷k+(1-26)cms2红-2=0，解得k= 3 4 设P0=x,则P4=PB=√x2-1. 设∠APO=∠BPO=8, 9.石设向量a与向量a+b的夹角为0，？1a+b1=la-b1, 6 则ms0=F1 ,c0520=200s20-1=1-号. 即a2+2a·b+b32=a2-2a·b+b,故a·b=0,∴.1a+b= 所以可，成=im20=(2-D(-是）=2+ 4m0-8iaa的-号又：0e0,l0-8 10.(1)由1a-b1=7,得ad2-2a·b+=7, 是-3 .1-2×1×2×c0w0+4=7. 因为P0=x=3, 4cs0=-2 所以同，顶9+号-3=曾 又0e[0,m]0= 2T 16(1)由已知可得0C=子可，连接MA,MB8(图路)， (2)a⊥c,.a·(a+b)=0 四边形0AMB是菱形，则Oi=O+O a+ah=01x2×(-）=0, ,1=1, -368-