练案1 6.1 平面向量的概念-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

!练案部分" 练案!$" $!+!时间和距离只有大小!没有方向!是数量!不是向量!故* 错误"两个有共同起点且相等的向量!其终点一定相同!故+ 正确"所有的单位向量的模都相等!但方向不一定相同!故, 错误"平行向量也叫做共线向量!故-错误!故选+! %!+!因为$是 ( "#%的外心!所以&!""$&.&!"#$&.&!"%$&! )!+!因为"#与"%不平行!所以!""#与!""%不共线!*错误"因为 &!'分别是"#!"%的中点!则&'与#%平行!故!"&'与!"%#共 线!+正确"因为%&与"'不平行!所以!"%&与!""'不相等!,错 误"因为!""&与!"#&的方向相反!所以!""&与!"#&不相等!则-错误! 故选+! /!*-!因为点$是平行四边形"#%&的对角线的交点!所以$ 是"%的中点!即有!""$.!"$%!*正确"平行四边形对角线长不 一定相等!则&!""$&与&!"#$&不一定相等!+不正确"点"!$!#不 共线!,不正确"平行四边形"#%&中!"# # %&!即有!""#与!"%& 共线!-正确!故选*-! 2!*,-!若! .$!则!与$的长度相等且方向相同!所以! # $! *正确"若&!&.&$&!则!与$的长度相等!而方向不确定!因 此不一定有! # $!+错误"方向相同或相反的向量都是平行向 量!因此若!与$方向相反!则有! # $!,正确"零向量与任意 向量平行!所以若&!&.'或&$&.'!则! # $!-正确! "!菱形!8!""#.!"&%!5"#.&%!"# # &%!5四边形"#%&是平 行四边形!8&!""#&.&!""&&!5四边形"#%&是菱形! G!西北方向槡2 % 67!根据题意画出图形!如图! 由题可知&!"#% 槡&.2 % 67!且'"#%./23!故% 地相对于#地的位移是西北方向槡2 % 67! 1!!"向量)与向量!""#是平行向量!则向量)与 向量!""#方向相同或相反"向量)与!"#%是共线向量!则向量) 与向量!"#%方向相同或相反!由"!#!%是不共线的三点!可知 向量!""#与向量!"#%方向不同且不共线!则).!! D!#$$与!"$"的模相等的线段是六条边和六条半径#如$#$!而每 一条线段可以有两个向量!所以这样的向量共有%)个! #%$存在!由正六边形的性质可知!#% # "$ # '(!所以与!"$"长 度相等)方向相反的向量有!""$!!"$&!!"('!!"#%!共/个! #)$由#%$知!#% # $" # '(!线段$&!"&与$"在同一条直线 上!所以与!"$"共线的向量有!"#%!!"%#!!"'(!!"('!!""$!!"$&!!"&$!!""&! !" &"!共D个! $'!+!一个单位长度取% 7时!% 7长的有向线段刚好表示单 位向量!故*不正确"+显然正确"方向为北偏西2'3的向量 与南偏东2'3的向量是一对方向相反的向量!因此是平行向 量!故,不正确"根据位移的定义可知向量!""#表示这个人从 "点到#点的位移!故-不正确!故选+! $$!*,-!若! .$!则!与$方向相同!模相等!所以*),)-正 确!+错误! $%!$!如图!连接"%!由&!"$%&.&!"$#&!得 ' "#%. ' $%#.)'3! 又 ' "%#.D'3!则&!""%&.$ % & !" "#&. $ % (% .$! $)!#$$画出所有的向量!""%!如图所示! #%$由#$$所画的图知! $ 当点%位于点% $ 或% % 时!&!"#%&取 得最小值$% 0%槡 % 槡.2 "%当点%位于点%2 或%" 时!&!"#%& 取得最大值/% 02槡 % 槡. /$!所以&!"#%&的最大值为槡/$ !最 小值为槡2! $/!*+,!由于!""#.!"&%!因此与!""#相等的向量只有!"&%!而与!""# 的模相等的向量有!"&"!!"&%!!""%!!"%#!!""&!!"%&!!"%"!!"#%!!"#"!因此 选项*!+正确"而在9: ( "$&中!因为 ' "&$.)'3!所以 & !" &$&. 槡) % & !" &"&!故&!"&# 槡&. ) &!"&"&!因此选项,正确"由于 !" %#. !" &"!因此!"%#与!"&"共线!因此选项-不正确! $2!由题可知!集合>中的元素实质上是;中任意两点连成的有 向线段!共有%' 个!即!""#!!""%!!""&!!""$!!"#"!!"#%!!"#&!!"#$!!"%"! !" %#! !" %&! !" %$! !" &"! !" &#! !" &%! !" &$! !" $"! !" $#! !" $%! !" $&!由平行四边形 的性质可知!共有1对向量相等%即!""#.!"&%!!""&.!"#%!!"&". !" %#! !" #". !" %&! !" "$. !" $%! !" $". !" %$! !" &$. !" $#! !" $&. !" #$!因为集合 元素具有互异性!所以集合>中的元素共有$%个! 练案!%" $!-! !" "#0 !" %"0 !" #&. !" %"0 !" "#0 !" #&. !" %&! %!+!如图!易知:A= ! . $ 槡) !所以 ! .)'3!故! 0$的方向是北 偏东)'3!又&! 0$&.% 67! )!-!因为在平行四边形"#%&中!!"%#.!"&"!所以!"%#0!""#.!"&" 0 !" "#. !" &#! /!,!易知!""%.!""#0!"#%!所以!"#%.!""&!无法判断其他关系!则四 边形"#%&是平行四边形! 2!*,!由题意!向量! .#!""#0!"%&$ 0#!"#%0!"&"$ .!""&0!"&".!! 且$是一个非零向量!所以! # $成立!所以*正确"由! 0$ .$!所以+不正确!,正确"由&! 0$&.&$&!&!&0&$&.&$&! 所以&! 0$&.&!&0&$&!所以-不正确!故选*,! "!*,-!由向量加法的平行四边形法则可得!""#0!""&.!""%!故* 正确"由向量加法的三角形法则可得!""#0!"%&0!"&$.!""#0!"%$ . !" "#0 !" $". !" $#!故+错误"由向量加法的平行四边形法则可 得!""#0!""&0!"%&.!""%0!"%&.!""&!故,正确"!""%0!"#"0!"&".!""& 0 !" &".!!故-正确!故选*,-! G !" !"%!# !" "#0 !" )#$ 0# !" #$0 !" #%$ 0 !" $). !" "#0 !" #$0 !" $)0 !" )#0 !" #%. !" % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % "%! ()*#( 书 练案!!" """"第六章"#!!"平面向量的概念 """""""""""""""" $组!基础巩固 !!下列四个命题中正确的是 !""" $!时间#距离都是向量 %!共起点的相等向量$其终点一定相同 &!所有的单位向量都相等 '!平行向量不一定是共线向量 "!设"是 ! #$%的外心$则"##"$ "#$"$ "#%"是 !""" $!相等向量 %!模相等的向量 &!平行向量 '!起点相同的向量 #!在 ! #$%中$#$(#%$&$'分别是#$$#%的 中点$则 !""" $ "# !#$与"##%共线 % "#!&'与"#%$共线 & "# !%&与"##'相等 ' "#!#&与"#$&相等 $!"多选#点"是平行四边形#$%&的对角线的 交点$则下列结论正确的是 !""" $ "# !#"( "# "% %!) "# #")() "# $") & "# !#"( "# $" ' "# !#$与"#%&共线 %!"多选#下列能使! $ "成立的是 !""" $!! (" %!)!)()") &!!与"方向相反 '!)!)(*或)")(* &!在四边形#$%&中$若"##$( "#&%且)"##$)( ) "# #&)$则四边形#$%&的形状为""""! '!若#地位于$地正西方向+ ,-处$%地位于# 地正北方向+ ,-处$则%地相对于$地的位 移是""""! (!已知#$$$%是不共线的三点$向量#与向量 "# #$是平行向量$与"#$%是共线向量$则#( """""! )!如图所示$ "是正六边形 #$%&'(的中心! !!"与"#"#的模相等的向量有多 少个% !."是否存在与"#"#长度相等#方向相反的向 量% 若存在$有几个% !/"与"#"#共线的向量有几个% %组!综合运用 !*!下列结论中正确的是 !""" $!. -长的有向线段不可能表示单位向量 %!若"是直线)上的一点$单位长度已选定$ 则)上有且只有两个点#$$$使得"#"#$ "#"$ 是单位向量 &!方向为北偏西+*0的向量与南偏东+*0的 向量不可能是平行向量 '!一人从#点向东走+ -到达$点$则向量 "# #$不能表示这个人从#点到$点的位移 !!!"多选#在下列结论中正确的有 !""" $!! $ "且)!)()")是! ("的必要不充分 条件 %!! $ "且)!)()")是! ("的既不充分也不 必要条件 &!!与"方向相同且)!)()")是! ("的充 要条件 '!!与"方向相反或)!) % )")是! % "的充 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 分不必要条件 &!"#& !"!在如图所示的半圆中$#$为直径$点"为圆 心$%为半圆上一点$且 ' "%$(/*0$) "# #$)( .$则)"##%)( """""! !#!如图的方格纸由若干个边长为!的小正方形 组成$方格纸中有两个定点#$$!点%为小正 方形的顶点$且)"##% 槡)(+! !!"画出所有的向量"##%' !."求)"#$%)的最大值与最小值! &组!拓展提升 !$!"多选#如图$在菱形#$%&中$ ' $#&( !.*0$则以下说法正确的是 !""" $!与"##$相等的向量只有!个!不含"##$" %!与"##$的模相等的向量有1个!不含"##$" & "# !$&的模恰为"#&#的模的槡/倍 ' "# !%$与"#&#不共线 !%!如图所示$平行四边形 #$%&中$"是两对角线 #%$$&的交点$设点集 * ((#$$$%$&$")$向量集合+(( "#,-),$- ( *$且,$-不重合)$试求集合+中元素的 个数 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! &$"#&