第6章 平面向量及其应用 章末及习与总结(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

章末复习与总结 .FGHIJ $(* KLM(NO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! M(;% 平面向量的基本概念 !!'"($多选%下列命题正确的是 '!!( -!! " " + 存在唯一的实数 !* ""使得" % ! ! .!%为单位向量"且! " %"则! %D1!1% /!1!2!2!1%1!1 , 0!若!2" %"2#且" ) '"则! %# '$(若向量! %'2"$("" %'$",("#%'$" 7&("且! " #"则!在"上的投影向量为 '!!( -     ! 7 ; ", " 7 "$     ", .     ! 7 ; ", " "$     ", /     ! ; ", " "$     ", 0     ! ; ", " 7 "$     ", M(<% 平面向量的线性运算 "!'"(如图"在正方形$"%&中"'是"%的中点!若#$$$$%% ! #$$$ $'6 " #$$$ "&"则 ! 6 " 的值为 '!!( -! & , .! # , /! "# ; 0!$ '$(如图"四边形)$&"是以向量#$$$)$%!" #$$$)"%"为邻边的平行四边形!又"'%" , "%"%(% " , %&"则用!""表示 #$$$'(% '!!( -! " 3 ! 6 # 3 " .! $ , '! 6"( /! " $ ! 7 " 3 " 0! " $ ! 6 " 3 " M(=% 平面向量的数量积运算 #!'"(已知平面向量!""的夹角为) , "且1!1%""" %' 7""槡, ("则1! 7$"1% '!!( -!槡# .!& /!槡", 0!$槡, '$(在平行四边形$"%&中"若$"%$"$&%"" #$$$$"2 #$$$$&%7""点'在边%&上"则#$$$'$2 #$$$'" 的最大值为!!!!! $(+ M(D% 利用正弦定理(余弦定理解三角形 $!已知 ( $"%中"角$"""%所对的边分别为9":";"满足'$9 7;(=>?"% :=>?%! '"(求"的大小) '$(如图"$"%$%"在直线$%的右侧取点&"使得$&%$%&%&!当角&为 何值时"四边形$"%&面积最大! M(E% 平面向量的应用 %!'"()是 ( $"%所在平面内的一定点"*是 ( $"%所在平面内的一动点"若' #$$$*"7 #$$$*%(2' #$$$)" 6 #$$$ )%( %' #$$$ *%7 #$$$ *$(2' #$$$ )$6 #$$$ )%( %'"则)为 ( $"%的 '!!( -!内心 .!外心 /!重心 0!垂心 '$(在直角梯形$"%&中"$%B'2""%,'2"$"%$槡, ""%%$"点,在线段%&上"若 #$$$ $,% #$$$ $& 6 " #$$$ $""则 " 的取值范围是!!!!! M(P% 判定三角形的形状 &!在 ( $"%中"内角$"""%所对的边分别为9":";"且:$ 6;$ %9$ 6:;!若?89 "2?89 %%?89$$" 则 ( $"%的形状是 '!!( -!钝角三角形 .!直角三角形 /!等边三角形 0!等腰直角三角形 M(Q% 余弦定理(正弦定理在实际问题中的应用 '!测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注"$'$'年"$月;日"中国和尼泊 尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为; ;&;!;3 )!某课外兴趣小组研究发 现"人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量"其方法为&首先在同一水平 面上选定两个点并测量两点间的距离"然后分别测量其中一个点相对另一 点以及珠峰顶点的张角"再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角"最后计算得 到珠峰高度!该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度"已知该旗杆'%'%在水平面( 垂直于水平面"水平面上两点$""的距离为&# $ )"测得 ' '"$% # " ' '$"% # ) 3 7 # "其中 ?89 # % " , "在$点处测得旗杆顶点的仰角为 % "=>? % % , # "则该旗杆的高度为'单位&)( '!!( -!B .!"$ /!"# 0!"; 请同学们认真完成考案#一$ $!$ ACAf-C.即AC+Af-CM-5AC·AM ①. 2AC·AM 6R. 由余弦定理得=+-2hbeeos a=(6+e)-3be. 2CM·AM BM$+AM-AB 4CM’+AM$-4AC 2BM·AM 4CM·AM 一,由乙BMA+乙CMA= $3R=6R-12$=2.$= 3 0--)- tn B -,则AC 4CAC0.化简得,A 2CM·AM 例3:(1)cos 4CM·AM =2AC*-2CM ②将②代入①可得,AV-2AC ③,将③ 由正弦定理得 sin BsinA sin Asin B. #sin4-2-nos4.#Ae(0)4(0.). 2.故选A. .sin4y0,得co4-.即4-.4-2=. 例5:(1)由正弦定理和已知条件得BC-AC-AB=AC·AB. ① (2) BA·AC=3:becos(-A)=3.得be=6 由余弦定理得BC}=AC{}+AB-2AC·ABcosA. ② 由余弦定理得b^}+c2=a2}+2bccosA=13 由①②得cosA=- :A-(A+A). .-(4)-(e+2hroA)-. -2 3sin B.AB=23sin(-A-B)=3cos B-3sinB 故BC+AC+AB=3+3sin B+3eos B=3+23sin B+ 1). 跟踪训练3:(1)由asinB=3bcosA及正弦定理可得sinAsinB =3sin BcosA. 又0<B<-,所以当B--时,△ABC周长取得最大值3+ 因为A.Be(0.-),则sinB>0.可得sinA=3cosA>0 则tanA-v3.,因此A- 23. (2)因为-(+). 所以tanC=3. 所以2A-AB+A所以4A-(A+A)-A+A 因为o<C<n,所以c=" +2A. 即28-e+b+2bceos BAC-}+6+bc. (2)由已知 sinA·sin B=sinA·sin(-C-A)=sinA· 即^+4-12=0.解得$=2(负值舍去). sin(2--4)- sin (cos +sin A)-sin 2A- 例4:易知A-2-由可·A,得 cbeos-..be=3.又 #oo。2-△n(24-)4 a=2/3. '=b+c2-2bcceos A=(b+c)3-2bc+be=12 可得b+c=/12+3=15. .Sne=So+Saco. 所以当24-吾--,即A-吾时,rinA·inB取最大值寻 #e.AD sin. AD. sin是, 所以sinA·sin B的最大值是 besin2nm 章末复习与总结 .AD-- (#to) n# 例1:(1)BC(2)C(1)若a为零向量,则A不成立.根据向量 sinA 数量积的概念可知D错误.易知B.C正确. 跟踪训练4:A 由条件有,2sinC_1+4 (2)因为a=(x.2).c=(2.-4).且a/c.所以-4x=4.解得 sin B sinB cosBCf -1×2+2×3(2.3)-1(2.3)-(.1).故选C. =1、 sin AhsB sinBeos sin Aes B sin BoosA sin Boos A -sin(A+B) 例2:(1)B(2)C(1)以A为坐标原点建立平面直角坐标系 -sin Bos.,又sin(A+B)=sin(n-C)-sin C.sin B0. (图略),设正方形边长为1.则AC-(1.1),n=(1.). -2AC.且乙CAM=乙BAM= ".在△ACM中.cosZCAM- (2):四边形0ADB是以向量OA=a.0B-b为邻边的平行四 -332- 边形,BM-$c-cn--o-o+ =1,所以0 ----(+o)--(0--A-例6:C 由=a+be及余弦定理知A-又 sinB sinC=sinA及正弦定理得be=a^}=b^}+c2}-be,所以(b- )} =0.即b=c.所以△ABC为一个内角为-的等腰三角形,即 例3:(1)C(2)2(1)因为平面向量a,b的夹角为吾,且lal 为等边三角形. =1.b=(-1v3),所以lbl=v1+3=2.a·b=1x2eos" =$.所以la-2b|=(a-2b)=lal-4a·b+4lb1= .A MA siZAMB snMBA'. MA=15.在Rt △ACM 中,MC= 1-4x1+4x4=/13.故选C. (2)因为AB·A--1,AB=2,AD- 1.所以1A1·1A1·cos2BAD= 第七章 复数 -1.所以2co BAD=-1.cos BAD -.所以乙BAD=120°.以点A为 0(A) 7.1 复数的概念 原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 则A(0.0).B(2.0),设(.)[-].所以 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 #-(-)(2-.),则·- 教材梳理 明要点 新知初探 (-2)+-(x-1)-令(x)=(x-1)-s^选 知识点一 1.(1)a+bi 虚数单位 -1 a b [-3].则/(x)在[-1)上单调减,在1.]上单 过2.(1)全体复数(2)C 想一想 调递增,所以(x)=/(-)-2. 1.不对. 2.6-0时,复数为实数 知识点二 1.b=0 a=0 (2a -c) cos B= beos C...(2sin A-sin C) cos B= 知识点三 sin Beos C. a=cHb-d 即2sin Aeos B= sin Bcos C +cos Bsin C= sin( B+C)= sin A. 预习自测 1.B 由题意,复数;满足:=2-1.根据复数的概念,可得复数。 的虚部为-1.故选B. (2)由(1)知,B=吾.AB=AC..△ABC为等边三角形, 2.C 2.(1-3)i是纯虚数,2+7.0.618是实数,8+5i是虚 在△ACD中,由余弦定理知 数,故纯虚数的个数为2 A$$=AD$+CD$-2AD·CDcosD=16+4-24$2cosD=20 2-+1=0.解得 -16cot D. .(x-2y)i=2x+1+3i. 1x-2y=3. 而Ss=-AD· CDsin D=1x4x2sin D=4sin D. [x=- Ssn AB· BCain B-4c· sin=5/3-43 os D. .四边形ABCD的面积S=S+Sr=53-4/3cos D+ 4sin D=53+8sin(D--). 题型探究 提技能 'De(o.n):-=(-2=).当-=,即D 2.0.0.0;虚部分别为.1.0.-5.1.0. (2)根据各数集的含义可知.N NZOBC 故当D-5时四边形ABCD的面积最大. {跟踪训练1:C-)的部为.故选C. 例5:(1)B(2)[o.2] (1)由(PB-P)·(0+0)-0. 即m×5且m×-3时,复数:是 知CB·2-0(其中D为CB的中点),所以0在BC的垂直 虚数。 平分线上.同理,0在AC的垂直平分线上,故0为△ABC的外 .[m--6_0. 心. (2)当m+3 即n=3或-2时,复数:是纯虚数 (2)由已知得AD=1.CD-3,所以A-2DC.因为点E在线 lm2-2m-15z0. 段CD上,所以D=ADC(0<Al).因为A=AD+D-A [母体探究] 即m=5时,复数:是实数 -333-