7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

>?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !在复平面内"复数@%7, 6&8对应的点位于 '!!( -!第一象限 .!第二象限 /!第三象限 0!第四象限 "!已知@%47" 6'46$(8在复平面内对应的点在第二象限"则实数4的取值范围是 '!!( -!' 7""$( .!' 7$""( /!'"" 6 M ( 0!' 7 M " 7$( #!已知8为虚数单位"若复数@%" 7槡,8"则1@1% '!!( -!槡$ .!$ /!& 0!; $!已知复数@ " %3 7#8"@ $ %7$ 6,8"若@ " "@ $ 在复平面内对应的点分别为$"""线段$"的中点%对 应的复数为@"则@% '!!( -!$ 68 .!$ 78 /!" 68 0!" 78 %!复数@%$ 68"则@的虚部是!!!!! 请同学们认真完成练案!"B" )"% ! 67&89)* C5$5"!复数的加!减运算及其几何意义 新课程标准解读 学科核心素养 通过实例"结合实数的加!减运算法则理解复数代数形式的加!减运算法则! 数学抽象 结合向量的加!减运算明确复数代数形式的加!减运算的几何意义! 数学运算 !"#$%&'( # )*+, ! !!我们知道"任意两个实数都可以相加"而且实数中的加法运算还满足 交换律与结合律! 问题 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗$ ! !提示" % -./0 知识点一!复数的加(减法运算 "!运算法则#设@ " %9 6:8"@ $ %;6A8'9":";"A * "(是任意两个复数"则 '"(@ " 6@ $ %!!!!!!!!) '$(@ " 7@ $ %!!!!!!!!! $!加法运算律&对任意@ " "@ $ "@ , * #"有 '"(@ " 6@ $ %!!!!!!) '$('@ " 6@ $ ( 6@ , %!!!!!!! !提示" ê;]3/z{ß àá†âoá4 ú; ]3/mz{ßà á†âoá! $!* 知识点二!复数加(减法的几何意义 !如图"设在复平面内复数@ " "@ $ 对应的向量分别为)B#$$$ " ")B #$$$ $ "以)B#$$$ " ")B #$$$ $ 为 邻边作平行四边形"则与@ " 6@ $ 对应的向量是!!!!!!"与@ " 7@ $ 对应 的向量是!!!!!!! ! !提醒" !提醒" "!%ú;3>;¥' RŸt´« 8 ° 3ZF '4 ¦ú;3/ôø ž ù ´ Z F ' 3 /ôø4 ?Q«o S‹žF° Æ6w #!ú;/3OP{ \5&,</3k l²³¥¦4 ú; ø3OP{\5& ,<ø3£¤¥ ¦! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !已知复数@6,87, %, 7,8"则@% '!!( -!' .!38 /!3 0!3 738 "!在复平面内"向量)B#$$$ " 对应的复数是# 7&8"向量)B#$$$ $ 对应的复数是7# 6&8"则)B#$$$ " 6)B #$$$ $ 对应的复 数是 '!!( -!7"' 6;8 .!"' 7;8 /!' 0!"' 6;8 #!'$ 68( 7'3 7$8( 6'# 638( %!!!!! 5607%89: !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 56;% 复数的加(减运算 !!'"(计算&'; 7$8( 7' 7C 6#8( 6',槡, 6C8() '$(设@ " %26$8"@ $ %, 738'2"3 * "("且@ " 6@ $ %# 738"求@ " 7@ $ ! ! !方法总结"" !'"(若'" 78( 6'$ 6,8( %9 6:8'9": * ""8是虚数单位("则9 7:%'!!( -!# .!" /!' 0!7, '$(已知8为虚数单位"复数@满足@6@%&" @7@%7$8      " 则@% '!!( -!$ 78 .!$ 68 /!" 7$8 0!" 6$8 !方法总结"" ú;/ôø13 ¦ E"Fú;>;¥' 3/ôø1ê¾ 5&Ôêü†êü} /ø4 ýü†ýü} /ø1”Üݧsâ .3êü†ýü4 H Úªfé8Òú; 3êü†ýüw E#Fú;316 7žIZF'31 Ež ù ´ o S ‹ ž FF„È'&'4 & '(…wÈY&'4 67×)Ö*ÀÁ¡ lu! $!+ 56<% 复数加(减法几何意义的应用 "!如图所示"平行四边形)$"%的顶点)"$"% 对应的复数分别为'", 6$8" 7$ 6&8!求& '"( #$$$ $)对应的复数) '$( #$$$ %$对应的复数) ',( #$$$ )"对应的复数及1 #$$$)"1的长度! ! !方法总结$" !'"(已知复平面内的向量#$$$)$" #$$$$"对应的复数分别是7$ 68", 6$8"则 1 #$$$ )"1%!!!!! '$(若@ " %" 6$8"@ $ %$ 698"复数@ $ 7@ " 所对应的点在第四象限内"则实数 9的取值范围是!!!!! 56=% 复数模的最值问题 ! !方法总结," !设复数@%9 6:8'9": * "("" & 1@1 & $"求1@6"1的取值范围! !方法总结$" ú;†,<3VWt 33!"tz’ E"Fú; B , 9 ( : 8 E94 :û " F†7ó ’s ‘ ’4 E E 94 :Fs—’3,<= =VWw E#F=",<67 kÕ4 ^VW3ú; GÀ4 K&^‘’† —’hVW3ú;Û +,À! !方法总结," !"ú;ý3L3O P{\ E"F DB + B 5 DQRú ; B4 B 5 3VW’1 23 ( )4 i W ¢ ©4 ª%-VZ'Ñ À s ! ú ; ý 3 ¥'w E#F DB + B 5 D , F QR 7 B 5 VW3’sÜ .4 F sÝÞ3Üw E$F‚0ú;L3 ¿Z#$70’3/ 0#$4 ~6×!’ 2()G'3ú;Q ð¥'‰Ã¡lÜ7 pq4 “”DJOP +¡l¶8! $)$ >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !复数' 7, 68( 7'# 78( 6'$ 6#8(的模为 '!!( -!73 6C8 .!3 6C8 /!槡;# 0!;# "!若&'@7@( 6"$ %,'@6@( 6;8"则@% '!!( -!$ 78 .!$ 68 /!, 68 0!, 78 #!已知复数@ " %'9 $ 7$( 6'9 7&(8"@ $ %9 7'9 $ 7$(8'9 * "("且@ " 7@ $ 为纯虚数"则9 %!!!!! $!设平行四边形$"%&在复平面内"$为原点"""&两点对应的复数分别是, 6$8和$ 7&8"则点% 对应的复数是!!!!! %!若复数@满足1@781%,"则复数@对应的点B的轨迹所围成的图形的面积为!!!!! 请同学们认真完成练案!$'" C!$!$!复数的乘!除运算 新课程标准解读 学科核心素养 掌握复数代数形式的乘法和除法运算! 数学抽象 理解复数乘法的运算律! 数学运算 !"#$%&'( # )*+, !!!我们知道"两个实数的乘法对加法来说满足分配律"即9":"; * "时" 有'9 6:(;%9;6:;"而且"实数的正整数次幂满足9495 %9465"'94( 5 % 9 45 "'9:( 5 %9 5 : 5 "其中4"5均为正整数! 问题 复数的运算满足上述的运算律吗$ ! !提示" % -./0 知识点一!复数的乘法 "!复数的乘法法则 设@ " %9 6:8"@ $ %;6A8'9":";"A * "("则@ " @ $ %'9 6:8(';6A8( %!!! !!!!!! $!复数乘法的运算律 对于任意@ " "@ $ "@ , * #"有 交换律 @ " @ $ %!!!!!! 结合律 '@ " @ $ (@ , %!!!!!! 分配律@ " '@ $ 6@ , ( %!!!!!! !提示" ú; 3 ?   ¦ - y„” B " , 9 ( : 8 4 B # , ; ( A 8 -94 :4 ;4 Aû " .&|{!"ú;4 ’“ÍÎ3b -9 ( : 8 . c-; ( A 8 . , 9; ( :; 8 ( 9A 8 ( :A 8 # , -9; + :AF ( -9A ( :;. 8 ! $)# 3. B 121=V1+3=2.故选B 0;当点A与点C(2.0)重合时,d=3.0<l:+11 3 4.A 由题意得A(6.-5).B(-2.3),则线段AB的中点C的坐 2.1:+11的取值范围是[0,3]. 标为(2.-1),其对应的复数2=2-1.则:=2+i. 5. -1 因为;=2+i.所以=2-i.所以=的虚部是-1. 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 教材梳理 明要点 随堂检测 重反馈 新知初探 1.C(-3+i)-(5-i)+(2+5i)=-6+7i.复数-6+7i的 知识点一 模为 (-6)+7- 85,故选C 1.(1)(a+c)+(b+d)i (2)(a-c)+(b-d)i 2.A 设z=a+bi(a,beR),则=a-bi,则z-i=2bi,2+= 2.(1)。+(2)+(z+2) [12=6解得 2a.原式可化为8bi+12=6a+8i.. 知识点二 186=8. 2 [a=2.即:-2+ii-2-1.故选A. 预习自测 =1. 1. D:+3i-3=3-3i=(3-3i)-(3i-3)=6-6i 3.-1 2-2=(a-a-2)(a-4+a}-2)i(aeR)为纯$ __2=0.得=-1. 2.c 0Z+0z=(5.-4)+(-5.4)-(0.0)故oz+0z对 虚数{ #-620. 应的复数为0. 3.1+9i(2+i)-(6-2i)+(5+6i)=(2-6+5)+(1+2+4.5-2i 由题意知,A对应的复数为3+2i.A对应的复数为2 6)i=1+9i. -4i.又AC-A+AD.所以AC对应的复数为(3+2i)+(2- 题型探究 提技能 4i)=5-2i.所以点C对应的复数是5-2i. 例1:(1)(8-2i)-(-7+5i)+(33+7i)=[8-(-7)+5.9 由条件知lz-il=3,所以点z的轨迹是以点(0.1)为圆 33]+(-2-5+7)i=15+3/3 心,以3为半径的圆,故其面积为S=9n. (2).=x+2i=3-i..+=5-6i..(3+x)+(2-y)i= 7.2.2 复数的乘、除运算 5-6i, ( 教材梳理 明要点 -: 新知初探 -=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1 知识点一 10i. 1.(ae-b)+(ad+bc)i 跟踪训练1:(1)B(2)A(1)因为(1-i)+(2+3i)=a+bi. 2.2(2)+2 即3+2i=a+bi,所以a=3.b=2,所以a-b=1.故选B. 想一想 (2)因为{:+:=4. 1.复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所 1:---2i. 所以两个等式相加得,2:=4-2i,所以: 得结果中把i?换成-1.再把实部、虚部分别合并 =2-i.故选A. 2.仍然成立,乘法公式也适用 例2:(1)因为A0--0A.所以A0对应的复数为-3-2i. 知识点二 (2)因为C-04-0C,所以CA对应的复数为(3+2i)-(-2 +4i)=5-2i. 预习自测 (3)因为0=0+0,所以0对应的复数为(3+2i)+(-2 1.B:=(3-i)(2+i)-7+i..:的虚部为1.故选B +4i)-1+6i.所以10-T+6-37. 过2.C因为:-二 跟踪训练2:(1)/10 (2)(-×.2)(1)0=0+ -7-1.所以:在复平面内对应的点为(-.-).位于第 .0B对应的复数为(-2+i)+(3+2i)-1+3i.:.101= 13=/10. 三象限.故选C (2)z.-z=1+(a-2)i.由题意知a-2<0.即a<2 过3.2 由已知可得:-2(1-i)-2(1-i) 1+i=(1+i)(1-i) =-2i,因此,1zl 例3:(1)B(2)1-1(1)设复数:在复平面内对应的点为乙 因为复数:满足l:+i|=:-i1,所以由复数的几何意义可知. =2. 点乙到点(0,-1)和(0.1)的距离相等,所以在复平面内点Z 题型探究 提技能 的轨迹为x轴,又1:+1+2i1表示点乙到点(-1.-2)的距 例:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i. 离,所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(-1,-2)距离的 (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i) 最小值,所以l+1+2i1的最小值为2,故选B. =(-2+10i+i-5i2)(3-4i) (2)设复数:=a+bi(a.beR),则:+=a+bi+a-bi=2a= =(3+1li)(3-4i) 2.解得a=1,又z+i=a+(b+1)i=1+(b+1)i.且lz+il= =(9-12i+33i-44i) 1.所以v1+(b+1)=1,解得b=-1.所以:=1-i. =53+2li. 跟踪训练3:由复数的模及复数加减运算的几何意义可知,1<1:1 跟踪训练1:(1)C (2)-2(1):=i(1-i)=i-2=1+i.所以 <2表示如图所示的圆环,而:+11表示复数:的对应点 :=1-i.故选C. A(a.b)与复数2。=-1的对应点B(-1.0)之间的距离,即园 (2)由题意知,z。·2=(1-2i)(3+4i)=11-2i,所以z。·2} 环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时,d..= 的虚部为-2. -335一