7.1.2 复数的几何意义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

C!"!$!复数的几何意义 新课程标准解读 学科核心素养 通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系! 直观想象 通过复平面"把复数与向量建立起紧密的联系! 直观想象 通过向量的模表示复数的模! 数学运算 !"#$%&'( # )*+, ! !!我们知道"实数与数轴上的点一一对应"也就是说"数轴可以看成实 数的一个几何模型! 问题 "!你能否为复数找一个几何模型$ $!怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系$ ! !提示" % -./0 知识点一!复数与复平面内点的关系 "!建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面"!!!!!!叫做实 轴"!!!!!!叫做虚轴!实轴上的点都表示实数)除了原点外"虚轴上 的点都表示纯虚数! $!复数集#中的数与复平面内的点建立了一一对应关系"即复数@%9 6:8 复平面内的点B'9":("这是复数的一种几何意义! ! !提醒"" 知识点二!复数与复平面内向量的关系 !如图所示"设复平面内的点B表示复数@%9 6:8" 连接)B"显然向量#$$$)B由点B唯一确定)反过来"点 B也可以由向量#$$$)B唯一确定!因此"复数集#中的 数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一 一对应关系'实数'与零向量对应("即复数@%9 6:8 平面向量#$$$)B! 为了方便起见"我们常把复数@%9 6:8说成点B或说成向量#$$$)B"并且规 定"!!!!!!的向量表示同一个复数! 知识点三!复数的模 "!定义#向量#$$$)B的!!!!!!叫做复数@%9 6:8的!!!!!!或绝 对值! $!记法#复数@%9 6:8的模记作!!!!!!! ,!公式#1@1%19 6:81%!!!!!!'9": * "(! !提示" ú; 9 ( : 8 -94 :û " . ê¾0&ê;3'æ ;V -94 :.4 ú;6 7_™škÐ03’ ==VW! !提醒"" ú; B , 9 ( : 8 -94 :û " FVW3’&E94 :F4BG&E94 : 8 F ! $!( 知识点四!共轭复数 "!定义#当两个复数的实部!!!!!!"虚部!!!!!!时"这两个复数 叫做互为共轭复数!虚部不等于'的两个共轭复数也叫做!!!!!!! $!表示#复数@的共轭复数用@表示"即如果@%9 6:8"那么@%!!!!!! ! !提醒$" !提醒$" "!çsg#3!"ú ;iúkÐÑVW3 ’t´ê$VEw #!DBD , DBD! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !复数7" 68在复平面内对应的点在 '!!( -!第一象限 .!第二象限 /!第三象限 0!第四象限 "!已知)为复平面中直角坐标系的坐标原点"向量#$$$)'%' 7""$("则点'对应的复数为 '!!( -!" 6$8 .!7" 6$8 /!$ 78 0!$ 68 #!设@%" 7$8"则1@1%!!!!"@%!!!!! 5607%89: 56;% 复数与复平面内点的关系 !母体探究" 变式"&$变设问%本例条件不变"若复数在第二象限"求4的取值范围! 变式$&$变设问%本例条件不变"若复数在直线3%2上"求4的值! ! !方法总结""!提醒" !方法总结"" Ï¢ú;†úkÐÑ ’3VWt38$3 íî E"FƒVWt3„ ú;3OPQRÆú ; B , 9 ( : 8 -94 :û " F67¢úkÐÑ 3’ EE94 :F Q R4 ‚&89ڞ# $3•–w E#FK+L„Ú ž#$6V¶ú;3 êü†ýüWz{3 Uv4 D J 8 + L Eç F ‰ G ~ ' EçF¶8! !提醒" ú;†úkÐÑ3’ &==VWt34 H Úú ; 6 7 ¢ ’   QR! $!! !'"(已知复数@%" 7$8"则@在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是 '!!( -!'"" 7$( .!'""$( /!' 7$""( 0!' 7"" 7$( '$(已知复数@ " %$ 798'9 * ""8为虚数单位(对应的点在直线3%" , 26 & , 上"则复数@ $ %9 6$8对应的点在 '!!( -!第一象限 .!第二象限 /!第三象限 0!第四象限 56<% 复数与复平面内向量的关系 "!在复平面内的长方形$"%&的四个顶点中"点$"""%对应的复数分 别是$ 6,8", 6$8" 7$ 7,8"求点&对应的复数! ! !方法总结$" !'"(在复平面内"复数" 68与" 6,8分别对应向量#$$$)$和#$$$)""其中)为坐标 原点"则线段$"的中点所对应的复数为!!!!! '$(把复数" 68在复平面内对应的点向右平移"个单位长度"再向下平移 "个单位长度得到点$"把向量#$$$)$绕点)按逆时针方向旋转B'2"得到 向量#$$$)""则点"对应的复数为!!!!! 56=% 复数的模与共轭复数 #!已知复数@ " %槡, 78"@$ %7" $ 6 槡, $ 8! '"(求1@ " 1"1@ $ 1的值并比较大小) '$(设@ * #"且@在复平面内对应的点为B"则满足1@ $ 1 & 1@1 & 1@ " 1的 点B组成的集合是什么图形$ 并作图表示! ! !方法总结," !'"(已知8为虚数单位"复数@%7$8$ 68"则1@1%!!!!! '$(设复数@%2638"2"3 * ""且121%131"则满足1@1%"的复数@共有 !!!!个! !方法总结$" ú;†kÐ,<3V Wt3 E"F•–ú;†k Ð,<3VWt34 6ˆ»kÐ,<3‘ ’ió’©4 ,<3 —’VW3ú;Æs ,<VW3ú;!Œ1 ú; V W 3 ’ f [ ”4 ×󒦏3Ä ,Ӓ3',MN4 Æ s ú ; V W 3 ,<w E#F89ú;†k Ð,<==VW3# $©4 =P7ú;† úkÐÑ3’==V Ws â ã4 ê x ú ;ôúkÐÑ3’ô ,<123ðñ! !方法总结," ú;3L3u E"Fuú;3L ©4 W…f[ú;3 êü_ýü4 ŠÏ¢ LdG'u!%“! "ý ; G H I J @ A4 KÍÎ3L67 IJ@Aw E#F”ú;3> ;¥'4 Ï¢L3[ \ð ñ s ê ; # $ ¶8! $!) >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !在复平面内"复数@%7, 6&8对应的点位于 '!!( -!第一象限 .!第二象限 /!第三象限 0!第四象限 "!已知@%47" 6'46$(8在复平面内对应的点在第二象限"则实数4的取值范围是 '!!( -!' 7""$( .!' 7$""( /!'"" 6 M ( 0!' 7 M " 7$( #!已知8为虚数单位"若复数@%" 7槡,8"则1@1% '!!( -!槡$ .!$ /!& 0!; $!已知复数@ " %3 7#8"@ $ %7$ 6,8"若@ " "@ $ 在复平面内对应的点分别为$"""线段$"的中点%对 应的复数为@"则@% '!!( -!$ 68 .!$ 78 /!" 68 0!" 78 %!复数@%$ 68"则@的虚部是!!!!! 请同学们认真完成练案!"B" )"% ! 67&89)* C5$5"!复数的加!减运算及其几何意义 新课程标准解读 学科核心素养 通过实例"结合实数的加!减运算法则理解复数代数形式的加!减运算法则! 数学抽象 结合向量的加!减运算明确复数代数形式的加!减运算的几何意义! 数学运算 !"#$%&'( # )*+, ! !!我们知道"任意两个实数都可以相加"而且实数中的加法运算还满足 交换律与结合律! 问题 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗$ ! !提示" % -./0 知识点一!复数的加(减法运算 "!运算法则#设@ " %9 6:8"@ $ %;6A8'9":";"A * "(是任意两个复数"则 '"(@ " 6@ $ %!!!!!!!!) '$(@ " 7@ $ %!!!!!!!!! $!加法运算律&对任意@ " "@ $ "@ , * #"有 '"(@ " 6@ $ %!!!!!!) '$('@ " 6@ $ ( 6@ , %!!!!!!! !提示" ê;]3/z{ß àá†âoá4 ú; ]3/mz{ßà á†âoá! $!* 变式%%因为@C'!所以@为实数!需满足 1 % 414" 10) C'! 1 % 4%14$2 .' { ! 解得 1.2! 跟踪训练%%#$$*!#%$)!#$$8@为纯虚数!5.% 4$'' .'同 时.4$' ) '!5..4$'!故选*! #%$因为复数@.#10%$ 0#1% 4D$<#1 - %$是正实数!由1% 4D .'!解得1.)或1.4)!当1.)时!10% .2 - % 0 !符 合题意"当1.4)时!10% .4$!不符合题意!所以实数1 的值为)! 例)%#$$由已知得1 % 0G10$' .'! 1 % 4214$/ .' { ! 解得1.4%! #%$因为.!0 - %!所以.00 - %!.0 - %! 依题意!得.00.42! 4.0.%/ { ! 解得..)! 0 { .41 或..41! 0.) { ! 跟踪训练)% #$$ ,! #%$ $! #$$由5 0$ 06<.$ 0<可得 5 0$ .$! 6.$ { ! 解得5 .'! 6.$ { ! 故选,! #%$由#.00$ 0#.40$<.% #.!0 - %$得.00.%! .40.' { ! 解得 ..$! 0.$ { ! 所以.0.$! 随堂检测!重反馈 $!*!由@.) 4/<知实部为)!虚部为4/!故实部与虚部的和为 4$!故选*! %!-!因为@.5% 0%5 05<是纯虚数!所以5 % 0%5 .'! 5 ) ' { ! 解得5 . 4%!故选-! )!*! $ 由于.!0 - )!所以.00<不一定是复数的代数形式!不 符合复数相等的充要条件!所以 $ 是假命题" % 由于两个虚数 不能比较大小!所以 % 是假命题" ! 当..$!0.<时!.% 00% . '成立!所以 ! 是假命题!故选*! /!,!因为5 - %!$ 05 % <.5 0<!所以有$ .5!5% .$!即5 .$!故 选,! 2!% 0<!由.<4<% .00%<可得$ 0.<.00%<!则..%! 0.$ { ! 所以.0 0<.% 0<! G#$#%!复数的几何意义 教材梳理!明要点 新知初探 知识点一 $!.轴!0轴 知识点二 相等 知识点三 $!模!模 %!&@&或&5 06<& )! 5 % 06槡 % 知识点四 $!相等!互为相反数!共轭虚数 %!5 46< 预习自测 $!+!复数4$ 0<在复平面内对应的点为# 4$!$$!故在第二象 限!故选+! %!+!因为$为复平面中直角坐标系的坐标原点!向量!"$). # 4$!%$!则点)对应的复数为4$ 0%<!故选+! )!槡2!$ 0%<!因为@.$ 4%<!所以&@&. $% 0# 4%$槡 % 槡. 2 !@. $ 0%<! 题型探究!提技能 例$%复数@.#1% 4%141$ 0#1% 0)14$'$<在复平面内对应 的点为#1% 4%141!1% 0)14$'$! #$$由题意得1% 4%141 .'! 解得1.4%或/! #%$由题意!#1% 4%141$#1% 0)14$'$ F'! 5% F1F/或42 F1F4%! !母体探究" 变式$%由题意! 1 % 4%141 F'! 1 % 0)14$' C' { ! 5% F1F/! 变式%%由已知得1% 4%141 .1% 0)14$'!故1.% 2 ! 跟踪训练$%#$$-!#%$+!#$$@在复平面内对应的点为#$! 4%$!关于虚轴对称的点是# 4$! 4%$!故选-! #%$复数@ $ .% 45<#5 - %$对应的点的坐标为#%! 45$!该点 在直线0.$ ) .0 / ) 上!故45 .% ) 0 / ) !解得5 .4%!所以复 数@ % .4% 0%<!它对应的点的坐标为# 4%!%$!在第二象限! 故选+! 例%%由题意得!"$".#%!)$!!"$#.#)!%$!!"$%.# 4%! 4)$! 设!"$&.#.!0$!则!""&.#.4%!04)$!!"#%.# 42! 42$! 由题意知!!""&.!"#%!所以.4% .42! 04) .42 { ! 则..4)! 0.4% { ! 故点&对 应的复数为4) 4%<! 跟踪训练%%#$$$ 0%<!#%$%<!#$$由复数的几何意义可得" #$!$$!##$!)$!所以线段"#的中点为)#$!%$!故线段"# 的中点所对应的复数为$ 0%<! #%$复数$ 0<在复平面内对应的点为#$!$$!将其向右平移$ 个单位长度!再向下平移$个单位长度得到点"#%!'$!所以 !" $".#%!'$!所以!"$#.#'!%$!即点#对应的复数为%<! 例)%#$$&@ $ 槡&.&) 0<&. #槡) $ % 0$槡 % .%! &@ % &. 4 $ % 4 槡) % < (. 4 )$ % % (0 4槡) ) %槡 % .$! 所以&@ $ &C&@ % &! #%$由&@ % & + &@& + &@ $ &!得$ + &@& + %! 不等式$ + &@& + % 等价于不等式 组&@&+%! &@& 2 $ { ! 因为满足&@& + %的点A组成的集合 是圆心在原点)半径为%的圆及其内 部#包括边界$! 而满足&@& 2 $的点A组成的集合是 圆心在原点)半径为$的圆的外部#包括边界$! 所以满足条件的点A组成的集合是一个圆环#包括边界$!如 图中阴影部分所示! 跟踪训练)%#$$槡2!#%$/!#$$8@.4%<% 0<.% 0<!5@.% 4 <!5&@&. % % 0# 4$$槡 % 槡.2! #%$解法一#代数运算$%由&@&.$!得.% 00 % .$!又&.&. &0&!联立!解 得@.E槡% % E 槡% % <! 解法二#几何意义$%由&@&.$!知复数@ 在复平面内对应的点构成一个单位圆! 又&.&.&0&!故复数@在复平面内对应的 点落在直线0.E.上!显然直线0.E. 与单位圆有/个交点! 随堂检测!重反馈 $!+!依题意!在复平面内!复数@.4) 0/<对应的点为# 4)! /$!位于第二象限! %!+!8@.14$ 0#10%$<在复平面内对应的点在第二象限! 514$ F'!10% C'!解得4% F1F$!故实数1的取值范围 是# 4%!$$ % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! ((##( )!+!&@ 槡&. $ 0) .%!故选+! /!*!由题意得"#"! 42$!## 4%!)$!则线段"#的中点%的坐 标为#%! 4$$!其对应的复数@.% 4<!则@.% 0<! 2!4$!因为@.% 0<!所以@.% 4<!所以@的虚部是4$! G#%!复数的四则运算 G#%#$!复数的加!减运算及其几何意义 教材梳理!明要点 新知初探 知识点一 $!#$$#5 09$ 0#60?$<!#%$#5 49$ 0#64?$<! %!#$$@ % 0@ $ !#%$@ $ 0#@ % 0@ ) $ 知识点二 !" $A!A % A !" $ 预习自测 $!-!8@0)<4) .) 4)<!5@.#) 4)<$ 4#)<4)$ ." 4"<! %!,!$A !" $ 0$A !" % .#2! 4/$ 0# 42!/$ .#'!'$!故$A!" $ 0$A !" % 对 应的复数为'! )!$ 0D<!#% 0<$ 4#" 4%<$ 0#2 0"<$ .#% 4" 02$ 0#$ 0% 0 "$<.$ 0D<! 题型探究!提技能 例$%#$$ #1 4%<$ 4# 4G 02<$ 0# 槡) ) 0G<$ .*1 4# 4G$ 0 槡) ) + 0# 4% 42 0G$ 槡<.$2 0) )! #%$8@ $ ..0%<!@ % .) 40<!@ $ 0@ % .2 4"<!5#) 0.$ 0#% 40$<. 24"<! 5 ) 0..2! % 40.4" { ! 5 ..%! 0.1 { ! 5@ $ 4@ % .#% 0%<$ 4#) 41<$ .#% 4)$ 0*% 4# 41$+<.4$ 0$'<! 跟踪训练$%#$$+!#%$*!#$$因为#$ 4<$ 0#% 0)<$ .5 06<! 即) 0%<.5 06<!所以5 .)!6.%!所以5 46.$!故选+! #%$因为@0@./! @4@.4%< { ! 所以两个等式相加得!%@./ 4%<!所以@ .% 4<!故选*! 例%%#$$因为!""$.4!"$"!所以!""$对应的复数为4) 4%<! #%$因为!"%".!"$"4!"$%!所以!"%"对应的复数为#) 0%<$ 4# 4% 0/<$ .2 4%<! #)$因为!"$#.!"$"0!"$%!所以!"$#对应的复数为#) 0%<$ 0# 4% 0/<$ .$ 0"<!所以&!"$#&. $% 0"槡 % 槡. )G! 跟踪训练%%#$$ 槡$' !#%$ # 4H!%$!#$$8!"$#.!"$"0!""#! 5 !" $#对应的复数为# 4% 0<$ 0#) 0%<$ .$ 0)<!5&!"$#&. $ % 0)槡 % 槡. $'! #%$@ % 4@ $ .$ 0#5 4%$<!由题意知5 4% F'!即5 F%! 例)%#$$+!#%$$ 4<!#$$设复数@在复平面内对应的点为A! 因为复数@满足&@0<&.&@4<&!所以由复数的几何意义可知! 点A到点#'! 4$$和#'!$$的距离相等!所以在复平面内点A 的轨迹为.轴!又&@0$ 0%<&表示点A到点# 4$! 4%$的距 离!所以问题转化为.轴上的动点A到定点# 4$! 4%$距离的 最小值!所以&@0$ 0%<&的最小值为%!故选+! #%$设复数@.5 06<#5!6 - %$!则@0@.5 06<05 46<.%5 . %!解得5 .$!又@0<.5 0#60$$<.$ 0#60$$<!且&@0<&. $!所以$% 0#60$$槡 % .$!解得6.4$!所以@.$ 4<! 跟踪训练)%由复数的模及复数加减运算的几何意义可知!$ + &@& + %表示如图所示的圆环!而&@0$ &表示复数@的对应点 "#5!6$与复数@ $ .4$的对应点## 4$!'$之间的距离!即圆 环内的点到点#的距离?!由图易知当"与#重合时!? 7<= . '"当点"与点%#%!'$重合时!? 7AN .)!5' + &@0$ & + )! 5&@0$&的取值范围是*'!)+! 随堂检测!重反馈 $!,!# 4) 0<$ 4#2 4<$ 0#% 02<$ .4" 0G<!复数4" 0G<的 模为# 4"$ % 0G槡 % 槡. 12 !故选,! %!*!设@.5 06<#5!6 - %$!则@.5 46<!则@4@.%6<!@0@. %5!5原式可化为16<0$% ."5 01<! 5 $% ."5! 16.1 { ! 解得 5 .%! 6.$ { ! 即@.% 0<!5@.% 4<!故选*! )!4$!8@ $ 4@ % .#5 % 45 4%$ 0#5 4/ 05 % 4%$<#5 - %$为纯 虚数!5 5 % 45 4% .'! 5 % 05 4" ) ' { ! 解得5 .4$! /!2 4%<!由题意知!!""#对应的复数为) 0%<!!""&对应的复数为% 4/<!又!""%.!""#0!""&!所以!""%对应的复数为#) 0%<$ 0#% 4 /<$ .2 4%<!所以点%对应的复数是2 4%<! 2!D ) !由条件知&@4<&.)!所以点A的轨迹是以点#'!$$为圆 心!以)为半径的圆!故其面积为; .D ) ! G#%#%!复数的乘!除运算 教材梳理!明要点 新知初探 知识点一 $!#5946?$ 0#5? 069$< %!@ % @ $ !@ $ #@ % @ ) $!@ $ @ % 0@ $ @ ) 想一想 $!复数的乘法与多项式乘法是类似的!有一点不同即必须在所 得结果中把<% 换成4$!再把实部)虚部分别合并! %!仍然成立!乘法公式也适用! 知识点二 5906? 9 % 0? % 0 6945? 9 % 0? % < 预习自测 $!+!8@.#) 4<$#% 0<$ .G 0<!5@的虚部为$!故选+! %!,!因为@. 4< % 0< 4<. 4<#% 4<$ #% 0<$#% 4<$ 4<. 4$ 4%< 2 4<.4 $ 2 4 G 2 <!所以@ (在复平面内对应的点为4$ 2 ! 4 )G 2 !位于第 三象限!故选,! )!%!由已知可得@.%#$ 4<$ $ 0< . %#$ 4<$ % #$ 0<$#$ 4<$ .4%<!因此!&@& .%! 题型探究!提技能 例$%#$$#$ 4<$#$ 0<$ 0# 4$ 0<$ .$ 4<% 4$ 0<.$ 0<! #%$#% 4<$# 4$ 02<$#) 4/<$ .# 4% 0$'<0<42< % $#) 4/<$ .#) 0$$<$#) 4/<$ .#D 4$%<0))<4//< % $ .2) 0%$<! 跟踪训练$%#$$,!#%$ 4%!#$$@.<#$ 4<$ .<4<% .$ 0<!所以 @.$ 4<!故选,! #%$由题意知!@ $ ,@ % .#$ 4%<$#) 0/<$ .$$ 4%<!所以@ $ ,@ % 的虚部为4% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! ()##(