7.1.1 数系的扩充和复数的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

边形,BM-$c-cn--o-o+ =1,所以0 ----(+o)--(0--A-例6:C 由=a+be及余弦定理知A-又 sinB sinC=sinA及正弦定理得be=a^}=b^}+c2}-be,所以(b- )} =0.即b=c.所以△ABC为一个内角为-的等腰三角形,即 例3:(1)C(2)2(1)因为平面向量a,b的夹角为吾,且lal 为等边三角形. =1.b=(-1v3),所以lbl=v1+3=2.a·b=1x2eos" =$.所以la-2b|=(a-2b)=lal-4a·b+4lb1= .A MA siZAMB snMBA'. MA=15.在Rt △ACM 中,MC= 1-4x1+4x4=/13.故选C. (2)因为AB·A--1,AB=2,AD- 1.所以1A1·1A1·cos2BAD= 第七章 复数 -1.所以2co BAD=-1.cos BAD -.所以乙BAD=120°.以点A为 0(A) 7.1 复数的概念 原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系 则A(0.0).B(2.0),设(.)[-].所以 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 #-(-)(2-.),则·- 教材梳理 明要点 新知初探 (-2)+-(x-1)-令(x)=(x-1)-s^选 知识点一 1.(1)a+bi 虚数单位 -1 a b [-3].则/(x)在[-1)上单调减,在1.]上单 过2.(1)全体复数(2)C 想一想 调递增,所以(x)=/(-)-2. 1.不对. 2.6-0时,复数为实数 知识点二 1.b=0 a=0 (2a -c) cos B= beos C...(2sin A-sin C) cos B= 知识点三 sin Beos C. a=cHb-d 即2sin Aeos B= sin Bcos C +cos Bsin C= sin( B+C)= sin A. 预习自测 1.B 由题意,复数;满足:=2-1.根据复数的概念,可得复数。 的虚部为-1.故选B. (2)由(1)知,B=吾.AB=AC..△ABC为等边三角形, 2.C 2.(1-3)i是纯虚数,2+7.0.618是实数,8+5i是虚 在△ACD中,由余弦定理知 数,故纯虚数的个数为2 A$$=AD$+CD$-2AD·CDcosD=16+4-24$2cosD=20 2-+1=0.解得 -16cot D. .(x-2y)i=2x+1+3i. 1x-2y=3. 而Ss=-AD· CDsin D=1x4x2sin D=4sin D. [x=- Ssn AB· BCain B-4c· sin=5/3-43 os D. .四边形ABCD的面积S=S+Sr=53-4/3cos D+ 4sin D=53+8sin(D--). 题型探究 提技能 'De(o.n):-=(-2=).当-=,即D 2.0.0.0;虚部分别为.1.0.-5.1.0. (2)根据各数集的含义可知.N NZOBC 故当D-5时四边形ABCD的面积最大. {跟踪训练1:C-)的部为.故选C. 例5:(1)B(2)[o.2] (1)由(PB-P)·(0+0)-0. 即m×5且m×-3时,复数:是 知CB·2-0(其中D为CB的中点),所以0在BC的垂直 虚数。 平分线上.同理,0在AC的垂直平分线上,故0为△ABC的外 .[m--6_0. 心. (2)当m+3 即n=3或-2时,复数:是纯虚数 (2)由已知得AD=1.CD-3,所以A-2DC.因为点E在线 lm2-2m-15z0. 段CD上,所以D=ADC(0<Al).因为A=AD+D-A [母体探究] 即m=5时,复数:是实数 -333- -n-60. 题型探究 提技能 n+3 变式2:因为;>0.所以:为实数,需满足 解得 例1:复数2=(m-2m-8)+(m+3m-10)i在复平面内对应 m-2m-15=0. 的点为(m-2m-8,m+3m-10). n=5. (1)由题意得m-2m-8=0$ 跟踪训练2:(1)A(2)3(1)::为纯虚数.:-100=0同 解得n=-2或4. 时x-100x=-10,故选A. (2)由题意.(m}-2m-8)(m+3m-10)<0 (2)因为复数:=(m+2)+(m-9)i(m=B)是正实数,由m* .2<m<4或-5<m<-2. -9=0.解得m=3或m=-3.当m=3时,m+2=5eR,符 [母体探究]$ [m}-2m-8<0.2<m<4. 合题意;当n=-3时,m+2=-1.不符合题意,所以实数nl 变式1:由题意, 的值为3. 1m+3m-100. 例3:(1)由已知得[m+7m+10=0. m-5m-14=0. 解得m=-2. 跟踪训练1;(1)D(2)B (1):在复平面内对应的点为(1. (2)因为x.yeR,所以x+yeR,xyeR. -2),关于虚轴对称的点是(-1,-2).故选D. 农题意,行 (2)复数2.=2-ai(aeB)对应的点的坐标为(2,-a),该点 在直线y-+4上,故-a-.解得a=-2,所以复 数2=-2+2i,它对应的点的坐标为(-2.2),在第二象限. 跟踪训练3:(1)C (2)1 (1)由a+1+bi=1+i可得 故选B. 解-)故选C 例2:由题意得0A=(2.3)0-(3.2).0C=(-2.-3). 设=(x.).则A=(t-2.-3).B=(-5.-5). (2)由(x+y)+(x-y)i=2(x.y=R)得{ 以y一1 应的复数为-3-21. 跟踪训练2:(1)1+2i(2)2i(1)由复数的几何意义可得A 随堂检测 重反馈 (1.1).B(1.3).所以线段AB的中点为M(1.2).故线段AB 1.A 由:=3-4i知实部为3,虚部为-4.故实部与虚部的和为 的中点所对应的复数为1+2i. -1.故选A (2)复数1+1在复平面内对应的点为(1,1),将其向右平移1 2.D 因为:-an+2a+ai是纯数,所以[^+2a=0.解得a- 个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点4(2.0).所以 la0. 0-(2.0),所以0B=(0.2),即点B对应的复数为2i -2.故选D. 3.A ①由于x.yeC.所以x+yi不一定是复数的代数形式,不 例3:(1)11=13+i1=V3)+1=2. 符合复数相等的充要条件,所以①是假命题;②由于两个虚数 1 --(-)(-号)=1. 不能比较大小,所以②是假命题;③当x=1,y=i时,x”+= 0成立,所以③是假命题.故选A. 所以E.1>11. 4.C 因为aeR.1+ai=a+i,所以有1=a,a=1.即a=1,故 (2)由l1ll11.得1<lzl<2. 选C 不等式1<1:1<2等价于不等式 ri=2ti. 因为满足1:1<2的点Z组成的集合 是圆心在原点、半径为2的圆及其内 7.1.2 复数的几何意义 部(包括边界)。 明要点 教材梳理 而满足1:1>1的点Z组成的集合是 圆心在原点,半径为1的圆的外部(包括边界). 新知初探 所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界),如 知识点一 图中阴影部分所示. 1.x轴y轴 知识点二 跟踪训练3:(1)/5(2)4(1)&=-2i+1-2+1.:.i=2- 相等 i.:11=v2+(-1)-5. 知识点三 (2)解法一(代数运算):由1:1=1.得x 1.模 模 行 +=1.又1x1=1y1.联立,解 2. lzl或la+bil 3. 知识点四 解法二(几何意义):由1:1=1,知复数: 1.相等 互为相反数 共辄虚数 在复平面内对应的点构成一个单位圆. 2.a_bi 又1xl=1yl,故复数:在复平面内对应的 预习自测 点落在直线y=土x上,显然直线y=+x 与单位园有4个交点. 1.B 复数-1+1在复平面内对应的点为(-1.1),故在第二象 限,故选B. 随堂检测 重反馈 1.B 依题意,在复平面内,复数:=-3+4i对应的点为(-3 2.B 因为0为复平面中直角坐标系的坐标原点,向量0= 4),位于第二象限. (-1.2).则点V对应的复数为-1+2i.故选B 2.B.:=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点在第二象限 3.v5 1+2i 因为=1-2i,所以ll= 1+(-2)=5,= .m-1<0.m+2>0.解得-2<n<1.故实数m的取值范围 1+2i. 是(-2,1). -334-第七章!复数 )"# ! 67&'( C5"5"!数系的扩充和复数的概念 新课程标准解读 学科核心素养 通过方程的解"了解引进复数的必要性! 数学抽象 理解复数的基本概念及复数相等的充要条件! 逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!数的扩充过程"也可以从方程是否有解的角度来理解& 因为类似26& %,的方程在自然数范围内无解"所以人们引入了负 数并将自然数扩充成整数"使得类似26& %,的方程在整数范围内有解) 因为类似$2%#的方程在整数范围内无解"所以人们引入了分数并 将整数扩充成有理数"使得类似$2%#的方程在有理数范围内有解) 因为类似2$ %C的方程在有理数范围内无解"所以人们引入了无理数 并将有理数扩充成实数"使得类似2$ %C的方程在实数范围内有解! 问题 我们已经知道"类似2$ %7"的方程在实数范围内无解!那么"能否像前面 一样"引入一种新的数"使得这个方程有解并将实数进行扩充呢$ ! !提示" % -./0 知识点一!复数的有关概念 "!复数 '"(定义&形如!!!!!!'9": * "(的数叫做复数"其中8叫做!!!! !!"满足8$ %!!!!!!!复数9 6:8的实部是!!!!!!"虚部是 !!!!!!) '$(表示&复数通常用字母@表示"即@%9 6:8'9": * "(! $!复数集 '"(定义&!!!!!!构成的集合%%39 6:819": * "4叫做复数集) '$(表示&用符号!!!!!!表示! !提示" s:89 2 # ( " , 5 ‚ û3+Liê;3] Y83#$4 —Δ ˆ¦‰="ù; 8 4 ·" 2 , 8 &+L 2 # ( " , 5 384 Æ·" 8 # , + "! $!# 想一想 "!复数4658'4"5 * "(的实部是4"虚部是58"对吗$ $!复数@%9 6:8'9": * "(可以是实数吗$ 满足什么条件$ 知识点二!复数的分类 "!复数@%9 6:8$9&: * "%可以分类如下# 复数实数'!!!!!!("虚数': ) '('当!!!!!!时为纯虚数(      ! $!集合表示 知识点三!复数相等 !设9":";"A都是实数"那么9 6:8%;6A8 + !!!!!!! ! !提醒" !提醒" i!"ú;}~3U v]4 z{¬8Uv & 94 :4 ;4 Aû " 4 Æ» 94 :4 ;4 Aû " ©4 9 ( : 8 , ; ( A 8 + 9 , ; ( : , A!Ȁ ¬8Uv4 ¦âTG HŸã! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !已知复数@满足@%$ 78"则复数@的虚部是 '!!( -!7$ .!7" /!" 0!$ "!在$ 6槡C "$ C 8"; 6#8"'" 7槡, (8"'!3";这几个数中"纯虚数的个数为 '!!( -!' .!" /!$ 0!, #!若'27$3(8%$26" 6,8"则实数273%!!!!! 5607%89: 56;% 复数的概念 ! !方法总结"" !方法总结"" ú; õ ö 3 O " t z’ E"Fú;3>;¥ '„È B , 9 ( : 8 4 ? '» 94 :û C ©4 9 e& B 3êü4 : e & B 3ýü4 (z{ ý ü G & : 8 4 B & :w $!% !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !已知复数@%7" # 6 $ # 8'8为虚数单位("则@的虚部为 '!!( -!7 " # .! $ # 8 /! $ # 0! 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E#FGªÔú;† ý;3õöþÿ4 ê ;m&ú;4 ê;_ ý;&ú;3!@Ê ŸüÜw E$F-.!"ú; %&ê;67IJ@ A4 r¦&GHIJ @A3! !方法总结$" 89ú;ܞ#$3 +†íî E"Fñš'„8 $©=[ª…Rú; &rs 9 ( : 8 E94 :û " F3¥'4 7f[ êü_ýüw E#F[Uv„ú; 3ܞ#$67ðñ sú;3êü†ýü WÓ z { 3 U v # $4 ?Q%ú;ñs >;¥'4 Kêü _ý ü z { 3 + L EG~'FÆ6w E$FyâT„”h ú;s B , 9 ( : 8 E94 :û " F„ÈB s ê;+: , 5wÉ B s ý;+:B5wÊ B s !ý;+9 , 5 ( :B 5! $!& 56=% 两个复数相等 #!'"(已知'4$ 6C46"'( 6'4$ 7#47"&(8%'"求实数4的值) '$(已知2637238%$&87#"其中2"3 * ""求2"3的值! ! !方法总结," !'"(设9":为实数"若复数9 6" 6:8%" 68"则 '!!( -!9 %"":%" .!9 %,":%" /!9 %'":%" 0!9 %"":%, '$(若实数2"3满足'263( 6'273(8%$"则23%!!!!! !方法总结," ú;}~#$38$ œ E"Füv&ú;3 >;¥'e67•– êü†êü}~4 ý ü†ýü}~K+L ç¶8w E#F•–ú;}~ 3Uv4 Ôú;#$ ðñsê;#$4 s W¢+L#ˆ8": Uv4 ‹©‚m&ú ;#$ê;ñ#ˆ3 ¥x! >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !设复数@%, 7&8"则@的实部与虚部的和为 '!!( -!7" .!" /!# 0!C "!已知9 * ""若复数@%9$ 6$9 698是纯虚数"则9 % '!!( -!' .!$ /!7" 0!7$ #!下列命题中"真命题的个数是 '!!( ! 若2"3 * #"则2638%" 68的充要条件是2%3%") " 若9": * "且9 4:"则9 684:68) # 若2$ 63$ %'"则2%3%'! -!' .!" /!$ 0!, $!设9 * """ 69 $ 8%9 68'8为虚数单位("则9 % '!!( -!7" .!' /!" 0!"或7" %!若2878$ %36$8"2"3 * ""则复数2638%!!!!! 请同学们认真完成练案!";" $!'