6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

>?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !! ( $"%的内角$"""%的对边分别是9":";"若9 %槡, ":%&"%%) 3 "则 ( $"%的面积为 '!!( -!$槡, .!槡, /!槡", 0!槡,B "!在 ( $"%中"?89$$%?89 "?89 %"若$%) , "则"% '!!( -! ) 3 .! ) & /! ) , 0! $ ) , #!如图"在 ( $"%中"点&在"%边上" ' $&%%3'2"%&%$&%$""&%&"则?89 " % '!!( -! " $ .! 槡C 3 /! 槡C "& 0! 槡$" "& $!$$'$&'全国高考真题%在 ( $"%中"内角$"""%所对边分别为9":";"若"%) , ": $ % B & 9;"求& ?89 $6?89 %%!!!!! 请同学们认真完成练案!"#" 第四课时!余弦定理(正弦定理应用举例 新课程标准解读 学科核心素养 理解测量中的基线等有关名词!术语的确切含义! 数学抽象 能将实际问题转化为解三角形问题! 直观想象 能够用正!余弦定理求解与距离有关的实际应用问题! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!在测量工作中"经常会遇到不方便直接 测量的情形!例如"如图所示故宫角楼的高 度"因为顶端和底部都不便到达"所以不能直 接测量! 问题 假设给你米尺和测量角度的工具"你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼 的高度吗$ 如果能"写出你的方案"并给出有关的计算方法)如果不能"说 明理由! ! !提示" !提示" 67Ôêë#$ðñ s;Ï#$4 ¡BÏ ¢lô`a[y89! $'+ % -./0 知识点!实际应用问题中的有关名词(术语 "!基线的概念与选取原则 '"(基线&根据测量的需要而!!!!!!!!叫做基线) '$(选取原则&为使测量具有较高的精确度"应根据实际需要选取合适的基线长度!一般来说"基 线越长"测量的精确度越高! $!方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于B'2的水平角!如图"北偏东,'2" 南偏东&#2! ,!仰角和俯角 '"(前提&在视线所在的垂直平面内) '$(仰角&视线在水平线!!!!!!时"视线与水平线所成的角) ',(俯角&视线在水平线!!!!!!时"视线与水平线所成的角! 想一想 !李尧从学校向南前进了$''米"再向东走了$''米"回到自己家中"你认为李尧的家在学校的哪 个方向$ + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !判断 '"(仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角! '!!( '$(方位角的范围是'2H";'2! '!!( ',(,视角-就是,仰角-! '!!( '&(测量的精确度与基线的选择及长度有关! '!!( "!若*在+的北偏东&&2#'=方向上"则+在*的 '!!( -!东偏北&#2"'=方向上 .!东偏北&&2#'=方向上 /!南偏西&&2#'=方向上 0!西偏南&&2#'=I方向上 #!如图"为测塔$"的高度"某人在与塔底$同一水平线上的%点测得 ' $%"%&#2"再 沿$%方向前行$''槡, 7"(米到达&点"测得'$&"%,'2"则塔高为!!!!米! $($ 5607%89: 56;% 测量距离问题 !!'"(如图"为了测量河的宽度"在一岸边选定两 点$"""望对岸的标记物%"测得 ' %$"% ,'2" ' %"$%C#2"$"%"$' )"则河的宽度是 !!!!)! '$(如图"为测量河对岸$""两点间的距离"沿河岸 选取相距&' )的%"&两点"测得 ' $%"%3'2" ' "%&%&#2" ' $&"%3'2" ' $&%%,'2"则$"" 两点的距离是!!!!)! ! !方法总结"" !一个骑行爱好者从$地出发向西骑行了$ ()到达"地"然后再由"地向 北偏西3'2骑行$槡, ()到达%地"再从%地向南偏西,'2骑行了# ()到达 &地"则$地到&地的直线距离是 '!!( -!; ()!!!!!!!!!!!!!!!!.!,槡C () /!,槡, () 0!# () 56<% 测量高度问题 "!彬塔"又称开元寺塔!彬县塔"民间称,雷峰塔-"位于陕 西省彬县城内西南紫薇山下!某同学为测量彬塔的高度 $""选取了与塔底"在同一水平面内的两个测量基点% 与&"现测得 ' "%&%"#2" ' "&%%",#2"%&%$' )"在 点%测得塔顶$的仰角为3'2"则塔高$"% '!!( -!,' ) .!$'槡$ ) /!$'槡, ) 0!$'槡3 ) ! !方法总结$" !珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成 的!这种挤压一直在进行"珠穆朗玛峰的高度也一直在 变化!由于地势险峻"气候恶劣"通常采用人工攀登的 方式为珠峰,量身高-!攀登者们肩负高精度测量仪 器"采用了分段测量的方法"从山脚开始"直到到达山 顶"再把所有的高度差累加"就会得到珠峰的高度! $'$'年#月"中国珠峰高程测量登山队;名队员开始新一轮的珠峰测量工 作!在测量过程中"已知竖立在"点处的测量觇标高"'米"攀登者们在$ 处测得到觇标底点"和顶点%的仰角分别为C'2";'2"则$""的高度差约 为'?89 C'2 / '!B&( '!!( -!"'米!!!!.!B!C$米!!!!/!B!&'米!!!!0!;!3$米 !方法总结"" !方法总结$" $(# 56=% 测量角度问题 #!某海上养殖基地$"接到气象部门预报"位于基地南偏东3'2相距 $''槡, 6"(海里的海面上有一台风中心"影响半径为$'海里"正以每 小时"'槡$海里的速度沿某一方向匀速直线前进"预计台风中心将从 基地东北方向刮过且槡, 6"小时后开始持续影响基地$小时!求台风 移动的方向! ! !方法总结," !如图"在海岸$处发现北偏东&#2方向距$点'槡, 7"( 9 )8JK的"处有一艘走私船"在$处北偏西C#2方向"与 $距离$ 9 )8JK的我方缉私船奉命以"'槡, 9 )8JK*+的 速度追截走私船"此时走私船正以"' 9 )8JK*+的速度" 从"处向北偏东,'2方向逃窜"问&缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走 私船$ !方法总结," í<¤e#$ŽR{ ¨3ì½íî $(% >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !如图所示"两座灯塔$和"与海岸观察站%的距离相等"灯塔$在观察站 南偏西&'2方向上"灯塔"在观察站南偏东3'2方向上"则灯塔$在灯塔" 的 '!!( -!北偏东"'2方向上 .!北偏西"'2方向上 /!南偏东;'2方向上 0!南偏西;'2方向上 "!如图所示"设$""两点在河的两岸"一测量者与$在河的同侧"在所在的河岸边 先确定一点%"测出$"%的距离为#' )" ' $%"%&#2" ' %$"%"'#2后"可以计算 出$""两点间的距离为 '!!( -!#'槡$ ) .!#'槡, ) /!$#槡$ ) 0!$#槡$ $ ) #!滕王阁"江南三大名楼之一"因初唐诗人王勃所作.滕王阁序/中的,落霞与孤 鹜齐飞"秋水共长天一色-而流芳后世!如图"若某人在点$测得滕王阁顶端 仰角为,'2"此人往滕王阁方向走了&$米到达点""测得滕王阁顶端的仰角为 &#2"则滕王阁的高度最接近于'忽略人的身高('参考数据&槡,/"!C,$( '!!( -!&B米 .!#"米 /!#&米 0!#C米 $!如图"两座相距3' )的建筑物$""%&的高度分别为$' )"#' )""&为水平面"则 从建筑物$"的顶端$看建筑物%&的张角为!!!!'填度数(! 请同学们认真完成练案!"3" 专项提升!解三角形中的综合问题 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 56;% 解三角形与三角恒等变换的综合 !!已知 ( $"%中"角$"""%的对边分别为9":";"且9 6;%$:! '"(求证&" & ) , ) '$(若%%$$"试求9 - : - ;! ! !方法总结"" !方法总结"" V´Úž#$4 @Z &³¤çñ”ì´£ ¤¥Ñ¤_[yE' ( / ( 0 , hF°± 34 =P&DJlô `a[y³ñ¤4 ¶ "}W3¤‰ŠVƒ }W3¤123t3 EÚ©îîQª¢Ö £¤¥Ñ¤_[yï à¤4 ðÖøÕ3Œ 3F4 ¡B1¢£¤ Ù~Àà0ñòG' ðñs="¤3£¤ »;#$4×B¶8! $(& 随堂检测重反馈 题型探究提技能 1B由题意可知，a=5,6=4,C=名，所以5m=之mC例1：160（2)20,6（①am30=品m75°=品又A0+ 1 =7×5x4×分=5 DB=120.,AD·tan30=(120-AD)·n75°，÷AD= 605,故CD=60.故河的宽度为60m 2.C因为sinA=sin Bsin C,所以a=be,由余弦定理可知a= (2)在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45 公+2-2beos号=+2-bc=bc,即(b-c)产=0，得b=e .∠CBD=90°-45°=∠BCD,BD=CD=40.BC= √BD+CD=402.在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=60 所以△ABC是等边三角形，B=号故选C +45°=105°，∴.∠C4D=180°-(30°+105°)=45，由正弦定 3.D由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB=120°，AC=2. 理，得AC=CDim0=2D2.在△ABC中，由余弦定理，得 sin45° 由余弦定理，得AB=BD+AD-2BD·ADcos∠ADB,即AB AB=AC2+BC2-2AC×BC×s∠BCA=(20E)2+(40.万)2 2斤由正弦定理，科品。“份期血B AB -2×202×402c0s60°=2400.4B=206,故A,B两点 之间的距离为206m AD·sinLADB=2I 跟踪训练1：B如图，在△ABC中， AB 14 2 因为B=号，=c,则由正弦定理得mnC。 ∠ABC=150°，AB=2,BC=23,依 30 题意，∠BCD=90°，在△ABC中，由 60 B 余弦定理得，AC AB+BC-2AB·BCCs∠ABC= D 9 由余弦定理可得2=a2+c2-ac= 4+12+85× 2 =2万，由正弦 即d+e2=早c,根据正弦定理得mA+mC-3 4sin Asin C 定理得，sin∠ACB=ABsin∠ABC AC 2万在A4CD中. cos∠ACD=cos(90°+∠ACB)=-sin∠ACB= 2万由余弦 1 所以(sinA+mC2=n2A+C+2 n Asin C=子， 定理得，AD=/AC+CD-2AC·CDcs∠ACD 因为A.C为三角形内角，则sinA+nC>0.则sinA+sinC= /28+25+2x2万x5x 27 =3万，所以A地到D地的直线 2 距离是3万km故选B. 例2：D由题设知，AB⊥BC,又∠DBC=180° 第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例 -∠BDC-∠BD=30°，在△BCD中 DC 教材梳理 BC 明要点 s血Z BDC=sin∠DBC,可得BC=20,2m, 新知初探 知识点 在R△ABC中，n LACB=49 =5,则AB 1,(1)确定的线段 =206m.故选D. 3.(2)以上以下 跟踪调练2：C根据题意画出如图的模型，则 想一想 CB=10.∠OAB=70°，∠0AC=80°，所以∠C4B=10.∠ACB= 东南方向。 10°，所以AB=10,所以在R△A0B中，B0=10sim70Y9.4(米). 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(1)仰角与俯角都是目标 视线与水平视线所成的角. (2)方位角的范围是0°-360° (3)视角是指观察物体的两端视线张开的角度，与仰角不同 2.C如图所示 北 例3：如图所示，设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中 心为C,基地刚好不受影向时台风中心为D,则B,C,D在同 直线上，且AD=20.AC=20. 4450 西 东 北D 南 60 3.20在R1△ABC中，设AB=x,则由∠ACB=45°可知AC=x, 在Rt△ABD中，AD=x+20(,5-1),∠ADB=30°，所以 由题意AB=20(5+1),DC=202,BC=(5+1)×102.在 =m30,+20(,5-1=万，解得x=20.则 △ADC中. x+20(3-1) 因为DC=AD厅+AC 塔高为20米. 所以∠DAC=90°，∠ADC=45°. -330 在△ABC中，由余弦定理的推论得co∠BAC= AC+AB-BG5 子.代人0+e=26,得26+22-22h-e)2=3k,整理得6 2AC·AB a=子，放a6:c=子：名c=4:5:6 5 2 所以∠B4C=30°，又因为B位于A南偏东60°， 60°+30°+90°=180，所以D位于A的正北方向. 跟踪训练1：(1)由余弦定理的推论知，osA=公+二-d 2he 又因为∠ADC=45. 所以台风移动的方向为北偏西45° 跟踪训练3：设组私船应沿CD方向行驶1h,才能最快截获（在D 22+6:-子解得e=l 2·2c·c 点)走私船，则CD=105 n mile,BD=10 n mile. (2)由(1)知，b=2c=2,由c0s4=- BC2=AB+AC2-2AB·AC·c05∠CAB=(,5-1)2+22- 子知血4=乐因为 mAnB所以nB=@ b 2(5-1)×2cos120°=6..bC=6. 4 BC AC sm∠CAB sin∠ABC (3)因为A=一子<0，所以A为钝角，B为锐角，从而 inLABC=4C·sim∠CB_2sin120巨 BC 6 21 mB=要因为m21=2nAm4=-后c=24=2m ∠ABC=45°，.B点在C点的正东方向上， -1=-,所以sim(2A-B)=im2AcsB-c24sinB 7 ,六∠CBD=90°+30°=120 BD CD sim∠BCD sin L CBD 0 8 ∴n∠BCD=BD:m∠CBD_10sim120°-⊥ CD 10/31 =21 3:(1))=5-mar+子=号n2ar .∠BCD=30°. 故组私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船， 1-cos2a+1-5 2 7-号in2r+2ms2ar=m(2we+若）， 随堂检测重反馈 显然x)的最大值为1，最小值为-1，则f八x)-f(x3)1=2 L.D由条件及题图可知，∠BAC=∠ABC=40.又∠BCD= 60°，所以∠CBD=30°，所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔 时，国的最小值等于子则子=受则亮=，0=1：令 20 B的南偏西80°方向上，故选D. 2A∠ABC=180°-45°-105°=30°，在△ABC中，由4B 2x+后=m,eZ,解得=一是+受keZ,则)的对称 6 sin 45 0得4B=100×号=0，E(m. 50 中心为（晋+受0）kez 2 3.D设膝王阁的高度为h,由题设知，∠CBD=45,∠CAD= (2n4)=血(24+看）=-1,24+6=-是+2hm,keZ. 6 30°，所以BD=CD=h,则AD=AB+BD=h+42,又an∠CAD 又Ae(0),则4：手，由正弦定理得品 sin A=sin B=sin C= -CDh D42=兮·可得h=4之=57米.故选D 5-1 5 =2,则b=2sinB,c=2sinC,则周长为a+b+e=3+ 4.45°依题意可得AD=20/10,AC=305,又CD=50,所以 在△ACD中，由余弦定理得ms∠CD=AC+AD-CD。 2AC·AD 2imB+2smC=万+2sinB+2im（号-B）=5+simB+ (30.5)2+(20⑥)2-502-6000 2 2×305×20/10 60002=7,又0°<∠C4D< 万mB=5+2m(B+号）人又0<B<号，则号<B+号< I80°，所以∠C4AD=45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角 为45°， 孚则5<2m(B+号）≤2，故周长的取值范阁为(25,2 专项提升解三角形中的综合问题 +5]. 跟踪训练2：(1)f(x)=mx+B)cosC+os红+B)sinC。 a2+c2- cos C 2 例1：(1)证明：由余弦定理的推论得cosB= sin(x+B+C)sin(+xA)=sin(x-A) 2ac eos C cos C cos C -30+8-2ac≥6a2匹=之B是△4BC的内角0 Sae Sac 血（悟-4 <B≤号 cos C (2)在△ABC中，由a+e=2b,结合正弦定理可得sinA+inC -A=1. =2sin B,.'C=2A,.'.B=-A -C=T-3A..'.sin A +sin 2A =2sin 3A.sin A 2sin Acos A =2(sin Acos 2A cos A. 66 sin 2A)=2[sin A(2cos'A -1)+2sin Acos'A ].'.sin A >0. 1 .1+2cosA=2(2cosA+2cos2A-1),整理得8cos2A-2c0sA (2)△MBC的面积S=2cinA=2c·号=5bc=4, -3=0,解得mA=子或emA=-子C=2M0<4< 设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理知b。 Usin B=sin C= 哥mA:子由余弦定理的推论得cmA:公+立。 2be sin =2R, -331