6.4.3 第3课时 用余弦定理，正弦定理解三角形(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

第三课时!用余弦定理(正弦定理解三角形 5607%89: 56;% 有关三角形面积的计算 !!'"(在 ( $"%中"已知9 %#":%C""%"$'2"则 ( $"%的面积为 !!!!! '$(在 ( $"%中"内角$"""%的对边分别是9":";"若?89 "%$?89 $" 且 ( $"%的面积为9$?89 ""则=>?"%!!!!! ! !方法总结"" !'"(在 ( $"%中"已知9 %"";%$且 ( $"%的面积为槡, $ "则"% '!!( -!,'2!!!!!!!!!!!!!!.!3'2 /!,'2或"#'2 0!3'2或"$'2 '$(在 ( $"%中"9":";分别是角$"""%的对边"若9 %$":%,"?89 $% $?89 "=>?%"则 ( $"%的面积为!!!!! 56<% 求解平面几何问题 "!如图所示"在平面四边形$"%&中"$"%槡$ ""%% 槡, "$",$&"$%,%&! '"(若?89 ' "$%% " & "求?89 ' "%$) '$(若$&%,$%"求$%! ! !方法总结$" !方法总结"" ¶£¤¥Ðb38$ #$ iW¢£¤¥ÐbG ' > , " # 9:<=* 0 , " # :;<=* ' , " # 9;<=* / ¶8©4 =P&‡ˆ ß"¤5·¢ß=" G'! !方法总结$" lô`a[y½‡& àáOP¨¥u3 âã4 HÚiÐVO P¨¥©4 tu&V ƒ}W3£¤¥4 S i£¤¥]1¢lô `a[y4 ±Ý&‚ 0Gg³©4 ªÏ¢ Gg³ ¡lJä4 ÆÏ¢Gg³åæç è‰ç`t3K'4 ^½¾&ÊYt´¤ 3t33+L! $') !如图"在 ( $"%中""%) , "$"%;"点&在"%边上"且%&%$" =>? ' $&%% " C ! '"(求?89 ' "$&) '$(求"& $% 的值! 56=% 正(余弦定理的综合问题 ! !方法总结," ! ( $"%的内角$"""%的对边分别为9":";"9?89 $6;?89 %7槡$ 9?89 %% :?89 "! '"(求"的大小) '$(若$%C#2":%$"求9";的值! !方法总结," Ï¢lô`a[y8 £¤¥3z{’ lô`a[y%&¢  8£¤¥34 Ki 8$JL]ª'{Ž éØé¢ß"[yê o¹4 ‰&!"[y %ª¢4 Wëì!" [y3±’„la[ y«³V¤° 4 `a [y«³_¤° 4 l fµ¶[y&89Ú ž$Œ3tu! $'* >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !! ( $"%的内角$"""%的对边分别是9":";"若9 %槡, ":%&"%%) 3 "则 ( $"%的面积为 '!!( -!$槡, .!槡, /!槡", 0!槡,B "!在 ( $"%中"?89$$%?89 "?89 %"若$%) , "则"% '!!( -! ) 3 .! ) & /! ) , 0! $ ) , #!如图"在 ( $"%中"点&在"%边上" ' $&%%3'2"%&%$&%$""&%&"则?89 " % '!!( -! " $ .! 槡C 3 /! 槡C "& 0! 槡$" "& $!$$'$&'全国高考真题%在 ( $"%中"内角$"""%所对边分别为9":";"若"%) , ": $ % B & 9;"求& ?89 $6?89 %%!!!!! 请同学们认真完成练案!"#" 第四课时!余弦定理(正弦定理应用举例 新课程标准解读 学科核心素养 理解测量中的基线等有关名词!术语的确切含义! 数学抽象 能将实际问题转化为解三角形问题! 直观想象 能够用正!余弦定理求解与距离有关的实际应用问题! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!在测量工作中"经常会遇到不方便直接 测量的情形!例如"如图所示故宫角楼的高 度"因为顶端和底部都不便到达"所以不能直 接测量! 问题 假设给你米尺和测量角度的工具"你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼 的高度吗$ 如果能"写出你的方案"并给出有关的计算方法)如果不能"说 明理由! ! !提示" !提示" 67Ôêë#$ðñ s;Ï#$4 ¡BÏ ¢lô`a[y89! $'+ 子，又△ABC为悦角三角形，所以cB=个-面B=眼踪调练1：(1)D（22万(1)由面积公式Sac=分cmB 号，所以B=60°或 =1×1×2×mB=号，解得inB=尽 5C由充分条件和必要条件的定义，结合正弦定理进行判断 120°.故选D. △MBc中BmC+nA由正弦定理，有号-牛后 b+c (2)依题意sinA=2 sin Beos C,由正弦定理得a=2 beos C,2= 则ac+a2=2+bc,即ae-bc+a2-b=0,有(a-b)(e+a+ 2x3×emsC,mC=片>0，所以0<C<号，所以血C= b)=0. 所以a=b,得A=B,充分性成立： 个-omC:2号，所以△4Bc的面积为5bnC=方x2× 3 △ABC中，若A=B,则a=b,由正弦定理， 3×22=25 有品产品BmC+nAC+n必要性成立 c+a b+c 3 AB BC 所以在△ABC中，品BnCn是4=B"的充要 b+e 例2：(1)在△ABC中，由正弦定理得 sin L BCA°sin Z BAC·即 2 条件 sin∠BCA=1 解得血∠=合 微专题三角形解的个数问题 4 (2)设AC=x,则AD=3x,在B△ACD中，CD=/AD-AC= 例：)血=之血120=号×号<吾.所以三角形有一解 a 2Ex,m∠C40=出-22在△ABC中.由余弦定理的推论 3 、(21pbm60°=0×号=。2，而号<32<1. 9x2=9,而2<9 得cos∠BHC=g+AC-BC.-又∠BHC+∠CD= 2·AB·AC 2/2x 所以当B为锐角时，满足血B=55的角B的取值范围是 0 号.所以em∠Bc=血∠C0,即-号，整理得3 22x 60°<B<90°.满足A+B<180°： 当B为纯角时，满足血B=5)的角B的取值范用是90°< 8x-3=0,解得x=3或x=宁（舍去）.即4C=3 B<120°，也满足A+B<180°，故三角形有两解。 跟踪调练2：(1)在△ADC中，因为∠ADC=子，所以 6)血B:c-号nc>mc 2 c=9, 所以B>45°，所以B+C>180°，故三角形无解. 所以sim∠BAD=sim(∠ADC-B)=sin∠ADCcos B 跟踪训练：(1)A(2)C(3)C(1)A选项，bsin A=50sin36 <4,又a<b,所以三角形有两个解：B选项，bsin A=30sin369 7 2=14 <a,又a>b,所以三角形有一个解：C选项，bsin A=60sin30 =30=a,所以三角形有一个解：D选项，可得C=24°，所以三 (2)在△ABD中，由正弦定理得BD-4B·sin∠B4D8x子3 14 角形有一个解.故选A. sin∠ADB 43 (2)解法一：由正弦定理和已知条件，得4台0， 2 =3 .nB=5,3>1..此三角形无解 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB+BC-24B,BC· 解法二：e=2,bsin C=23.∴，c<bsin C.故此三角形无解 cmsB=8+5-2x8×5×7=49. 解法三：作∠ACD=30°，AC=b=45,以A为圆心，AB=c=2 为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解. 所议4C=1,所0号 E 例3：(1)bsin A=3 acos B,.由正弦定理，得sin Bsin A= (3)由题意知a>6,则x>2,又由mA=4snB_ b 2 <1,可 5 sin Acos B.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB=5,∴，B 得x<22,x的取值范是2<x<22.故选C 第三课时用余弦定理、正弦定理解三角形 (2)sinC=2sinA,.由正弦定理，得c=2a,由余弦定理b2 题型探究提技能 =a2+d2-2a0osB,即9=d2+4-2a·2acos号，解得a :()155(2)子(D由余弦定理，得。+ 5,e=2a=25. 4 跟踪训练3：(1)由正弦定理，得：2+c2-2ac=6.由余弦定理， 2 accos B.即c2+5c-24=0,解得c=3或c=-8(舍去)所以 saw=7oihB=分x5x3nl20-15y 1 1 得=a+d-2acmk放mB=号，又0°<<180，因此 B=45°. (2)由sinB=2sinA,得b=2a,由△ABC的面积为a'sin B,得 (2)sim4=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cas30°sin450= 2 ncsin B=a'sin B,由sinB≠0，知c=2a,所以cosB= ;,故由正孩定凳，得a=6·品合1+已知得，6 +2-.g.1 2ac4=4 =180°-45°-75°=60°，放c=6,mC=2×m60° sin B 450v6 -329— 随堂检测重反馈 题型探究提技能 1B由题意可知，a=5,6=4,C=名，所以5m=之mC例1：160（2)20,6（①am30=品m75°=品又A0+ 1 =7×5x4×分=5 DB=120.,AD·tan30=(120-AD)·n75°，÷AD= 605,故CD=60.故河的宽度为60m 2.C因为sinA=sin Bsin C,所以a=be,由余弦定理可知a= (2)在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45 公+2-2beos号=+2-bc=bc,即(b-c)产=0，得b=e .∠CBD=90°-45°=∠BCD,BD=CD=40.BC= √BD+CD=402.在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=60 所以△ABC是等边三角形，B=号故选C +45°=105°，∴.∠C4D=180°-(30°+105°)=45，由正弦定 3.D由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB=120°，AC=2. 理，得AC=CDim0=2D2.在△ABC中，由余弦定理，得 sin45° 由余弦定理，得AB=BD+AD-2BD·ADcos∠ADB,即AB AB=AC2+BC2-2AC×BC×s∠BCA=(20E)2+(40.万)2 2斤由正弦定理，科品。“份期血B AB -2×202×402c0s60°=2400.4B=206,故A,B两点 之间的距离为206m AD·sinLADB=2I 跟踪训练1：B如图，在△ABC中， AB 14 2 因为B=号，=c,则由正弦定理得mnC。 ∠ABC=150°，AB=2,BC=23,依 30 题意，∠BCD=90°，在△ABC中，由 60 B 余弦定理得，AC AB+BC-2AB·BCCs∠ABC= D 9 由余弦定理可得2=a2+c2-ac= 4+12+85× 2 =2万，由正弦 即d+e2=早c,根据正弦定理得mA+mC-3 4sin Asin C 定理得，sin∠ACB=ABsin∠ABC AC 2万在A4CD中. cos∠ACD=cos(90°+∠ACB)=-sin∠ACB= 2万由余弦 1 所以(sinA+mC2=n2A+C+2 n Asin C=子， 定理得，AD=/AC+CD-2AC·CDcs∠ACD 因为A.C为三角形内角，则sinA+nC>0.则sinA+sinC= /28+25+2x2万x5x 27 =3万，所以A地到D地的直线 2 距离是3万km故选B. 例2：D由题设知，AB⊥BC,又∠DBC=180° 第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例 -∠BDC-∠BD=30°，在△BCD中 DC 教材梳理 BC 明要点 s血Z BDC=sin∠DBC,可得BC=20,2m, 新知初探 知识点 在R△ABC中，n LACB=49 =5,则AB 1,(1)确定的线段 =206m.故选D. 3.(2)以上以下 跟踪调练2：C根据题意画出如图的模型，则 想一想 CB=10.∠OAB=70°，∠0AC=80°，所以∠C4B=10.∠ACB= 东南方向。 10°，所以AB=10,所以在R△A0B中，B0=10sim70Y9.4(米). 预习自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(1)仰角与俯角都是目标 视线与水平视线所成的角. (2)方位角的范围是0°-360° (3)视角是指观察物体的两端视线张开的角度，与仰角不同 2.C如图所示 北 例3：如图所示，设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中 心为C,基地刚好不受影向时台风中心为D,则B,C,D在同 直线上，且AD=20.AC=20. 4450 西 东 北D 南 60 3.20在R1△ABC中，设AB=x,则由∠ACB=45°可知AC=x, 在Rt△ABD中，AD=x+20(,5-1),∠ADB=30°，所以 由题意AB=20(5+1),DC=202,BC=(5+1)×102.在 =m30,+20(,5-1=万，解得x=20.则 △ADC中. x+20(3-1) 因为DC=AD厅+AC 塔高为20米. 所以∠DAC=90°，∠ADC=45°. -330