6.4.3 第1课时 余弦定理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

3!&!,!余弦定理!正弦定理 新课程标准解读 学科核心素养 借助向量的运算"探索三角形边长与角度的关系! 逻辑推理 掌握余弦定理!正弦定理! 数学运算 能用余弦定理!正弦定理解决简单的实际问题! 数学建模 第一课时!余弦定理 !"#$%&'( # )*+, !!!利用现代测量工具"可以方便地测出三点之间的一些距 离和角"从而可得到未知的距离与角! 问题 例如"如图所示"$""分别是两个山峰的顶点"在山脚下任意选择一点%" 然后使用测量仪得出$%""%以及 ' $%"的大小!你能根据这三个量求出 $"的距离吗$ ! !提示" % -./0 知识点一!余弦定理 文字 表述 三角形中任何一边的平方"等于其他两边!!!!!!减去这两边 与它们夹角的余弦的!!!!!! 公式 表达 9 $ %!!!!!!!!": $ %!!!!!!!!"; $ %!!!!!! !! 推论=>?$%: $ 6; $ 79 $ $:; "=>?"% ; $ 69 $ 7: $ $;9 "=>?%% 9 $ 6: $ 7; $ $9: 知识点二!解三角形 !一般地"三角形的三个角$"""%和它们的对边9":";叫做三角形的 !!!!!!!已知三角形的几个元素求!!!!!!的过程叫做解三 角形! !提示" `a[y67R§& ÒÓ[y3<Ð%ÒÓ [y67R§&`a [y3±£! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !判断 '"(余弦定理是勾股定理的推广"而勾股定理是余弦定理的特例! '!!( '$(余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况! '!!( ',(在 ( $"%中"若9$ ::$ 6;$"则 ( $"%是锐角三角形! '!!( $'$ "!在 ( $"%中"角$"""%所对的边分别为9":";"若9$ 6:$ :;$"则 ( $"%是 '!!( -!等腰三角形 .!锐角三角形 /!直角三角形 0!钝角三角形 #!在 ( $"%中"已知9 %B":%$槡, "%%"#'2"则;% '!!( -!槡,B .!;槡, /!"'槡$ 0!C槡, $!在 ( $"%中"角$"""%所对的边分别为9":";"若9 %"":%槡C ";%槡, "则"%!!!!! 5607%89: !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 56;% 已知两边及一角解三角形 ! !方法总结"" !'"(在 ( $"%中"角$"""%的对边分别为9":";"若9 %,":%$"=>?'$6"( % " , "则;% '!!( -!& .!槡"# /!, 0!槡"C '$(在 ( $"%中"角$"""%的对边分别为9":";"已知:%#'槡, ";%"#'""% ,'2"则9 %!!!!! 56<% 已知三角形的三边解三角形 ! !方法总结$" !方法总结"" ‡ˆ!³0=¤8£ ¤¥3!¼€ E"Fȇˆ¤&^ ]=³3V¤4 6¢ `a[yKt´Ô £³3=ÕqÁ+L ¶8w E#Fȇˆ¤&! ³3_¤4 ¦j®1 ¢`a[y¶ØÙ =³4 Š¢`a[y _£¤¥Ñ¤_[y ¶^•¤! !方法总结$" ‡ˆ£¤¥£³8£ ¤¥3+ …Ï¢`a[y3< T¶="¤3`a Z4 ×B¶Ô=" ¤wŠÏ¢`a[y 3< T ¶  Ô q " ¤w¿”Ï¢£¤¥ 3Ѥ_[y¶Ô £"¤! $'# !'"(在 ( $"%中"9":";分别是角$"""%的对边"若9$ 7:$ %;$ 7槡$:;"则 $% '!!( -!",#2 .!3'2或"$'2 /!&#2 0!",#2或&#2 '$(在 ( $"%中"已知9 - : - ;%$ -槡3-'槡, 6"("求各内角的度数! 56=% 判断三角形的形状 #!'"(在 ( $"%中"'9 6:6;('9 6:7;( %,9:且$=>?$?89 "%?89 %"试 判断三角形的形状) '$(在 ( $"%中"若9=>?"69=>?%%:6;"试判断该三角形的形状! ! !方法总结," !在 ( $"%中"若$9=>?"%;"则该三角形一定是 '!!( -!等腰三角形 .!直角三角形 /!等边三角形 0!不能确定 !方法总结," pq £ ¤ ¥ ¥ Ö 3 + "!Ï¢£¤¥3³¤ t3pq£¤¥3¥ Ö©4 Q ª × «× =° ‰Ã4 Æ·¢ð ñ#ˆ89#$4 = P'!U#Ø$M„ E"F…ñ³s¤4 Š¡ l £ ¤ Ù ~ À à4 ¶£¤123 ;<t3w E#F…ñ¤s³4 Š¡ l > ; Ù ~ À à4 ¶£³123 ;<t3! # !pq£¤¥3¥Ö ©4 Ú & ¢ Ö 7 y âT„ E"FÛ'/0 sj¤£ ¤¥+9 # , : # ( ; # ‰ ; # , 9 # ( : # ‰ : # , 9 # ( ; # w E#FÛ'/0 s¾¤£ ¤¥+ 9 # ( : # t; # 4 ( : # ( ; # t9 # 4 ( ; # ( 9 # t: # w E$FÛ'/0 s½¤£ ¤¥+9 # ( : # r; # ‰ : # ( ; # r9 # ‰ ; # ( 9 # r: # w E) F È <=* #' , <=* #/4 ¦ ' , / ‰ ' ( / , h # ! >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!一个三角形的两边长分别为#和,"它们夹角的余弦值是7, # "则该三角形的第三条边长为'!!( -!#$ .!$槡", /!"3 0!& "!在 ( $"%中"角$"""%对应的边分别为9":";"已知9 %,":%&";%槡,C "则($"%的最大内角为 '!!( -!"$'2 .!B'2 /!"#'2 0!3'2 #!在 ( $"%中"若9 %,";%C"%%3'2"则边长:% '!!( -!# .!; /!#或7; 0!7#或; $!已知 ( $"%中"角$"""%的对边分别为9":";"若9 %"'":%"#"%%3'2"则=>?"%!!!!! 请同学们认真完成练案!"," $'% 故合力F所做的功为24/61. 又因为cos A-2-8(V)-(2/)1 跟踪训练3:D 设OA-F.0-F.0C=-G.由向量加法法则 2b 2x2/2x(6+2) 可得OC=0A+0B,当1F 1=1F 1=1G时,△0AC 正三角 所以A=60*.C=180*-(A+B)=75。 形 : A0C=60*$从而 A0B=120*$故选D. 跟踪训练1:(1)D (2)100/3或503 (1)cosC=-cos(A+ 随堂检测 重反馈 B-.又由余弦定理得-a+6-2abeos C-9+4-2 1. B 设夹角90*时,合力为F,1F 1=1F1=1F1c0s45*= $0/2N.当e=120*时,由平行四边形法则知:1F。1=1F1= x3x2x(-)-17.所以c-V17.故选D. 1F.1=10/2N. ($2)在△ABC中.b=50/3.c=150.B=30* 由余弦定理得$$}= $.D 在△ABC中,A·B+A-A·(A+B)=A·A= &'-2aco B.(50/)-a+150}-2x150.- 0..A1AC..A-哥,则△ABC为直角三角形,故选D. $$ 50/3a+15000=0.(a-100/3)(a-50/3)=0.解得 = 3.D 两个力的合力的大小为lF +F1=F+F+2F·F 100/3或。=50/3 -5/6(N). 4.B 如图建立平面直角坐标系,则B(0. 例2:由余弦定理的推论,得cosA= 62- 2 0).A(0.8).C(6.0).D(3.4).:DB= (-3.-4).DC-(3.-4).又2BDC为 2x4/3x(6+2/3) DB.DC的夹角,cos乙BDC= :Ae(0.n) vA-吾. oos c(26)*(6+2)-(4/)2 2ab $5.1 =0+(4+):00(B)C 2x2/6x(6+2/3) :Ce(o. n).c-吾 #-(A+A)A-(A+A)v.AP为Rt△ABC斜边 BC的中线.AP|=1. ##--=c=# 6.4.3 余弦定理、正弦定理 跟踪训练2:(1)C (2)见解析 (1)a}-b=2-2bc.由余弦 第一课时 余弦定理 定理的推论得 os A-6号.故A-45”。故选C. 明要点 2bc 教材梳理 新知初探 ($2)由a:b:c=2:6:(3+1).令a=2k.b=6k、c=(3 知识点一 +1)(>0). +c}-2bccos Ac2+a?-2cacos B 平方的和 积的两倍 由余弦定理的推论,得cos A-6+2-6+(5+1)}-4 2lc a*+b-2abcos C 2x6x(3+1) 知识点二 元素 其他元素 预习自测 1.(1)V(2)x(3)x(2)已知两边及一边的对角,也可以 os B-c-44(\+1)*-61 2ac 2x×().B60. 利用余弦定理解三角形. (3)若a<6}+c^},则△ABC不一定是锐角三角形,因为a不 C=180-A-B=180*-45-6 6*=75 $$ 一定是最大边. 例3:(1)A+B+C=180*.sin C=sin(A+B) 2.D 因为+6<,由余弦定理可得cos C-co. .. 2eos Asin B=sin C. 2a . 2cos Asin B=sin Acos B+ oos Asin B. 又由Ce(0.n),所以Ce(号,“).所以△ABC是钝角三角 '. sin Acos B-cos Asin B=0... sin(A-B)=0 0<A<180.0B<180. 形.故选D. .-180*A-B<180$A-B=0$即A=B$ 3.D 由余弦定理得:c=9+(23)*-2x9x2/3xcos150 又(a+b+c)(a+b-c)=3ab. . -ab: cos c-2 -147-73.故选D 由余弦定理的推论,得cosB-&+c-61+3-7 4.150 0<C<180..C=60..△ABC为等边三角形. 2ac 2x1x/3 (2)由 acos B+acos C=b+c.结合余弦定理得a.a+-b 3.又0 B<180°..B=150°。 2ac 2ab 2c 题型探究 提技能 2 例1:(1)由余弦定理得:a-60 +(60/5)-2x60x60/5 xo吾 理,得(b+c)(a-b-c2)-0. ·b+c0a=b+c,故△ABC是直角三角形. 跟踪训练3:A 因为2acosB=c.所以由余弦定理得2a· = 4x60-360=60( cm). #_6-c,所以a-6-,所以=6,因为a>0. (2)根据余弦定理得,b=a+c-2accos B=(23)+(/6 2ac +2)-2x2/3x(6+2)cos45*=8.所以b= 2 b>0.所以a=b,所以△ABC为等腰三角形 -327一 binC n56 故当A-60°时.C=75”. 随堂检测 重反馈 .c sin B (-)= sin 45% 1.B 设第三条边长为x.则=5^}+3{-2×5$x3t #_2 2 52..x=2/3. 2 2.A c>a,c>b.角C最大.由余弦定理,得}=a^+b- 当A-120”时,C=150。6-2 [母体探究] 180*..C=120*.故选A. 3. B $由余弦定理得^}=a}+b-2abcos C.即49=9+b$-3$$ ) 所以(b-8)(b+5)=0.因为b>0,所以b=8. .b<a.B-45*..C-75o. -nxn#6 由余弦定理得.c=a^}+b^}-2ab·cosC=10+15-2x sinB sin 45* 2 10×15 × cos 600-175.. -57. cos B-+-. 一 跟踪训练2:(1)A(2)B(1)由题意可得sinB-bsinA 2c 10+175-157 3#}# 2x10×5-- 第二课时 正弦定理 -吾故选A. 教材梳理 明要点 b 新知初探 知识点 65x1 -3 正弦 3.Be(30,180°).:.B= 想一想 6 60或120”故选B 例3:(1)等腰(2)等腰或直角 __ 预习自测 得-#os - oeoA.以以A 1.(1)×(2)(3)(1)正弦定理适用于任意三角形. sin B= (2)由正弦定理变形可得. (3)三角形的边与对角的正弦值成比例 2.D由正弦定理易知,选项D正确. .c0sA=0.故sin(A-B)=0.因为A.B是三角形内角,所以A -B-0,则A=B.故△ABC是等腰三角形. _,以 以n,. ,-的 4.B 由正弦定理BCAC AC 3##2-2/. cos B,所以 2sin A·cos A=2sin B· cos B.即 sin 2A= sin 2B _ 因为A.B为三角形内角,所以2A=2B或2A+2B=n.得A=B 或A+B=-,故△ABC是等腰三角形或直角三角形. 题型探究 提技能 跟踪训练3.Cc 已知os A cosB_ sinC.由正弦定理可得cos A 例1:A=180-(B+C)=180-(60+75}=45 。rC 82+6 -sinA.cos B-sinB,故A-B-哥.C-,则△ABC是等腰 由4得,。-- 4-4(5 sin45。-- sinA= 直角三角形.故选C 随堂检测 重反馈 +1). 所以A=45*c-4(/5+1). 3B-2CcA-B那对的边^ 2.D 设△ABC外接圆半径为R,根据正弦定理可得2R-a 跟踪训练1:5/3 sinA 5 2-5/. sinA 选D. 例2:由正弦定理“-- 2, b a..A=60*或120*.当A=60*时.C=180*-A-B sinA =750. 选C .c= 32 2 由正弦定理___ -B=150. △得 nn-.n43 2. -328一