6.3.5 平面向量数量积的坐标表示&专项提升 平面向量中的最值(范围)问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

031 随堂检测重反馈 1.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=2e,-e2,则向量a的坐标为 A(4,3) B.(-4,3)】 C.(-4,-3) D.(0,5) 2已知A(1,-3),A82,C(9,A),且A,B,C三点共线，则A= A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m+1),a∥b,则2a+3b= A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 4已知A(3,-2),B(-1,4),若PB=4AB,则P点的坐标为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 新课程标准解读 学科核心素养 能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 数学运算 能用坐标表示平面向量垂直的条件， 逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 通过前面的学习，我们知道，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),我们可以 [提示] 求出a+b,a-b以及Aa(A≠0)的坐标. 记a=(x1,1),b= 问题 (2,y:) a=xi+yu,b=xi 那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？ [提示] +y. 9新知初探 “a·b=(xi+ 知识点平面向量数量积的坐标表示 y)·(xi+y)= 若a=(x,y),b=(x3),a与b的夹角为8.则 x1x2+(x12+2y1)i (1)a·b= ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ·+yy=x +yy2 (2)1a12= ,或|al= (3)a⊥b- =0(a,b是非零向量)： (4)若a,b都是非零向量，则cos6= 想一想 向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？ 032 马预习自测 1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x= A.3 B司 c号 D.-3 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为 A得 B.65 C 5 D.13 3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直，则lal= A.1 B.2 C.2 D.4 4.已知a=(-1,3),b=(2,4),则a·b的值是 5.已知点A(0,1),B(1,-2),AC=(4,-1),则AB·AC= .IBCI 题型探究提技能 题型一平面向量数量积的运算 [方法总结1] 例1(1D已知a=(2,-1)b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=() 数量积坐标运算的 方法 A.10 B.-10 C.3 D.-3 进行平面向量的数量 (2)设向量a=(1,-2),向量b=(-3,4),向量c=(3,2).则向量 积的坐标运算的前提 是牟记相关的运算法 (a+2b)·c= 则和运算性质，通常 A.(-15,12) B.0 有两钟解照方法：一 是先将各向量用坐标 C.-3 D.-11 表示，直接进行数量 ·[方法总结1][提醒] 积运算；二是先利用 数量积的运算律将原 跟踪训练1 式展开，再依据已知 进行计算 在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,点M,N分别在DC,BCD [提醒] 上，且DM=2MC,BN=2BC,则MM·AN= 如果题目中的图形是 等腰三角形、矩形、 正方形等特殊图形 题型二平面向量的模 时，一般选择坐标法 例2.（1)已知4.BC是坐标平面上的三点，其坐标分别为41,2.4,1， 求平面向量的数量积 C0,-1),则△ABC的形状为 ( [方法总结2] A.直角三角形 B.等腰三角形 →性助三角形三边的 求向量的模的两种基 D.以上均不正确美系来判雪 本策略 C.等腰直角三角形 (1)字母表示下的 (2)已知向量a=x,),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则1a-2b1= 运算：利用1a2= a,将向量模的运算 [方法总结2] 转化为向量与间量的 跟踪训练2 数量积的问题： (2)坐标表示下的 已知a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,则1b1= )运算：若a=(x, A.25 B.5 C.10 D.5 y）,则a·a=a 1a12=x2+y,于是 有1a=√R+y2. .033 题型三向量的夹角与垂直 例 已知点A(2,1),B3,2),D(-1,4). (1）求证：A西1AD:只需证明店·=0 [方法总结3] (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两解决向量夹角问慈的 对角线所夹锐角的余弦值. 方法及注意事项 (1)求解方法：由 emg=8论 xx+2三直接 √属+y+弱 求出cos日： (2）注意事项：利 用三角孟数值c0s日 求日的值时，应注意 角日的取值范围是 0"6日≤180：利用 esg=日治判斯 日的值时，要注意 ●[方法总结3] c0s日<0时，有两种 )】跟踪训练3 情况：一是日是钝 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+b,若 角，二是日为 (a,c〉=〈b,c〉，则t= ( 180；c030>0时， A.-6 B.-5 C.5 D.6 也有两种情况：一是 (2)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-Ab)⊥b,则A= 0是锐角，二是日 为0： 随堂检测重反馈 1.a=(-4,3),b=(5,6),则31a12-4a·b= A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 A.0° B.45 C.60° D.90° 3.设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则13a+b1= A.√5 B.6 C.√17 D./26 4.(2024·新高考I卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10] 034 专项提升平面向量中的最值（范围）问题 题型一向量线性运算中的最值（范围）问题 例1如图所示，A,B,C是圆0上的三点，C0的延长线 [通性通法1] 利用向量的概念及基 与BA的延长线交于圆O外一点D.若OC=mOA+ 本运算，将所求问趣 转化为相应的等式关 nOB,则m+n的取值范围是 手，然后利用函数的 ●[通性通法1] 性质或基本不等式求 最值（范国）。 跟踪训练1 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，AD=D AB=4,CD=1,动点P在边BC上，且满足AP=mAB+nAD (m,n均为正实数)，则上+上的最小值为 m 题型二向量数量积的最值（范围）问题 例2.在△MBC中，B=90,AC=2AB=2,AE=AAB,AF=(1-A)AC,AE [方法总结1] 解决此类问题时，先 R,则CE·BF的最大值为 ( 进行数量积的有关运 C.1 D.2 算，将数量积用某一 个变量或两个变量表 ●[方法总结1] 示，建立关系式，然 后利用函数、不等 跟踪训练2 式、方程等有关知识 已知AB⊥AC,1AB1=,AC=1,若P点是△ABC所在平面内一点，且AP 求解，在求最值时我们 也可以利用图形直观 求解 =AB9AC ,则PB·PC的最大值为 ( LABI IACI A.16 B.4 C.82 D.76 题型三 向量模的最值（范围）问题 [方法总结2] 例3.已知G为△AC的重心（三条中线的交点），∠B4C=,B,AC= 求向量摸的最值（范 国)一般要利用公式 -2,则IAG的最小值为 1a1=(√a)转化为 ( 函数或基本不等式求 0③ 解，或利用不等式 4 Ila1-1b1l<1a± ●[方法总结2] b1≤al+1b1求解. 跟踪训练3 已知la+b1=2,向量a,b的夹角为；，则1a+b1的最大值为 .035 题型四向量夹角的最值（范围）问题 例4.非零向量a,b满足2a·b=a,1a1+1b1=2,求a与b的夹角的最 小值 [通性通法2] 求问量夹角的最值 (范田）问题一般转 化为求向量夹角日的 余弦值c0s6= [通性通法2] 日治的表位（范 )跟踪训练4 田)问题 已知向量a,b满足a=(t,22-1),1b1=1,且(a-b)⊥b,则a,b夹角0的 最小值为 A君 B c 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 新课程标准解读 学科核心素养 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 数学建模 体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角 [提示] 越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力。 两人手臂间的夹角小 生着力，运动员两手 臂间的距离越大，夹 角越大越费力. 问题 你能从数学的角度解释上述现象吗？ P[提示]即点G的坐标为（作与兰，么+当少） 跟踪训练1：5以A为原点.AB.AD分别为x轴，y轴建立直角 3 坐标系，则A(0,0),M(1,2),N(3,1),于是A=(1,2),A= 跟踪训练4：(3,1)或(1，-1)A(2,0),B(4,2),÷A话=(2. (3,1),故A.A=5. 2).:点P在直线AB上，且A=2产，存=2A产或花例2：1)C(2)5(1)11=√4-1)P+(日-2丁=而， =-2A户，故=(1.1)或4P=(-1,-1),故点P的坐标为 4C=√(0-1)2+(-1-2)F=0.又1BC1= (3.1)或(1.-1) /(0-4)+(-1-1)=/20,1A=1A元1，且1AB2+ 随堂检测重反馈 14C2=1BC12,因此△ABC为等腰直角三角形. 1.Ba=2e1-e=(-2,4)-(2,1)=(-4,3) (2)a+b=(x-1,y+2)=(1,3),则x=2.且y=1.∴a= 2C由41，-3)，(8号），c(9A),可得访=(，子）d (2,1),则a-2b=(4,-3),故1a-2b1=4+(-3了=5. =(8,A+3),由A.B,C三点共线，得∥A元，则7(A+3)-8 跟踪训练2：B因为a=(1,-2),b-(x,2),且a∥b,所以2x+ ×子=0解得A=1,故选C 2=0,解得x=-1,所以b=(-1,2),则1b1=√/(-1)+2 =5. 3.B依题意a=(1,2),b=(-2,m+1),4∥b,所以1×(m+例3：(1)证明：因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以AB=(1, 1)=-2×2.m=-5.即b=(-2.-4),所以2a+3b=(2,4) 1),A⑦=(-3,3)，所以A店·Ai=1×(-3)+1×3=0,所以 +(-6,-12)=(-4,-8).故选B. A店上Ai 4(0,弓）设P点的坐标为(x,),则m=(-1-x,4- (2)因为A正⊥A⑦，四边形ABCD为矩形，所以A亚=DC,设点C -1-x=-1, 的坐标为(x,y), 店=(-4,6，由丽=得 4-y= 解得 期由店=(1.1)，D元=(x+1,y-4), 「w=0 41得 Ly=5, =多所以P点的坐标为(0，) 2 所以点C的坐标为(0,5)，从而AC=(-2,4),B配=(-4,2)， 设AC与BD的夹角为8， 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 则cos6= AC·BD (-2)×(-4)+4×2 教材梳理 明要点 1B/-2+4x-40+2元， 新知初探 知识点 所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为号 (1)x13+为 乘积的和(2)x+疗√金+ 跟踪训练3：(1)C(2)号 (1)由题意，得c=a+b=(3+, (3)1+y2 (4)4·b x?+y1 4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+31,b·c=1×(3+t) lallbl √+√房+月 +0×4=3+k.因为(a,c〉=〈b,c),所以cos(a,c〉=cos(b, 想一想 向量垂直与向量平行的条件容易混滑，注意以下特点： e).脚日品后即53+解得1=5放选c 5 (2)解法一：a-Ab=(1-3A,3-4A).(a-Ab)1b,.(a 坐标表示 记忆口决 Ab)·b=0,即(1-3A,3-4A)·(3.4)=0,∴.3-9A+12 垂直 a⊥b台x1为2+为2=0 对应相乘和为0 161=0,解得A=号 平行 a∥b=x为-xy=0 交叉相乘差为0 解法二：由(a-Ab)⊥b可知，(a-Ah)·b=0,即a·b-Ab 预习自测 =0,从面A=若00-若=号 1C由3a·b=4,得(6，-9)·(x,2x)=-12x=4,x= 32+42 随堂检测重反馈 3 1.D31a12-4a·b=3×[(-4)2+3]-4×(-4×5+3×6) =83.故选D. 2A1a1=尽+4=5，b1=5+1Z=13.a:b=3×5+42.Da:b=2-2=0,所以a1b,所以a与b的夹角为0°，故 ×12=6.设a与b的夹角为0，所以os0=5×365 6363 选D. 3.A,a∥b.∴.1×y-2×(-2)=0.解得y=-4,从而3a+b 3.C(2a-b)·b=2a·b-1b2=2(-1+n2)-(1+n2)= n2-3=0,.n2=3.1al=+n=2. =(1,2),13a+bl=5. 4.Db-4a=(2,x-4),b⊥(b-4a).,b·(b-4a）=0,.4+ 4.10a·b=(-1)×2+3×4=10. x(x-4)=0,∴x=2,放选D 57B=4,-3)丽.花=1×4+(-3》×》5.(-2)u(分+） 当a与b共线时，2k-1=0,= =7.BC=A记-Ai=(4,-1)-(1,-3)=(3,2)1C1= /3+2=13. 2,此时a,b方向相同，夹角为0，一要使a与b的夹角为锐 题型探究提技能 角，则有a·b>0且a,b不同向共线.由a·b=2+k>0,且 例1：(1)B(2)C(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所 以(a+2h)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. ≠分，得>-2，且长≠分，即实数4的取值范倒是(-2。 (2)依题意可知，a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),所以(a +2b)·c=(-5.6)·(3.2)=-5×3+6×2=-3. )(分+）月 -324 专项提升平面向量中的最值（范围）问题 即a1+1≤45，当且仪当a1=b1:2时，等号成立，所 例1：(-1,0)由点D是圆0外一点，可设D=AB(A>1), 则Oi=0+AB=AO+(1-A)0成.又因为C,0,D三点共 以口+1的最大值为号 线.令0而=-u0心(u>1),则ot=-人0-1-Ao(1>1. 例4：设a与b的夹角为6，由2a·b=a2b°知，21al1b1cos8= ,由基本不等式知，c0=立1aI·1b1≤ “>1),所以m=-4, 一，1=-1二4，则m+n=-A-1=A= 。1 (生)-分，当组仅当a1=1b1=1时等号度立， e(-10. 即m0≤子又0e[0,j,故0e[于小故a与b的夹角 跟踪调练1：7+45因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD, 4 的最小值是子 ∠DAB=90,AD=AB=4,CD=1.所以Ai=AC+Ci=A元- 跟踪训练4：C因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0,a·b=b, 子店，所似市=m应+布=m宿+n(花-子函） c0s8=a·b 1三，又因 a、-b==1a-2r-方。 (m一子话+n花，由P,B,G三点共线得，m-子a+n=m 为22-42t+8✉2[(t-2)2+2]≥2[(2-万)2+2]=4. +子m>0).所以+-（信+）(+子） 所以0<s≤子，所以台的最小值为号 6.4 平面向量的应用 仅当3=4时.取等号).即六+的最小值为745 6.4.1平面几何中的向量方法 4 例2：C由题可知1B1=1,1武1=5，·BC=0.则C.B所 6.4.2 向量在物理中的应用举例 =(C成+B配)·(B厨+AF)=(C丽+B+AAB)·[B+(1- 教材梳理明要点 A)AC]=[(1-A)B-BC]·[B+(1-A)BC-(1-A)B] 新知初探 =[(1-A)B-BC]·[A+(1-A)BC=-2+4A-3= 知识点 -(A-2)2+1≤1.则C序·B的最大值为1. 想一想 跟踪训练2：D设e,=6 证明或计算A店.C品=0，从而得出AB⊥CD, 6=,,由于心于是与预习自测 1.c(C+C)·(C-Ci)=c-B=0,即1Cii=1C1 e,是互相垂直的单位向量=(e+9e:)广=+18e,CA=CB,则△ABC是等腰三角形 ·e,+81=82,P成，P元=(P+应)·(+心)=亦+2.C题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度， P,Ad+Pi.A店+A店·A花=82+A元·(-e1-9e)+店· 1 速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小为 (-6-96,)=2-96-a6=82-9-=2- 1r,1-5 35 (0+）≤2-2√51·=76，当组仅当1=宁时等号成 2 c中点为D(是6)=(-子5）1= 立，.PB·P风的最大值为76 2 例3：C取BC的中点为D,连接AD,如 题型探究提技能 图所示.因为G为△ABC的重心，所 以花=子而=了(+花)，因为价 1:设=m,=,由常=之知E,F分捌是D,A极 ∠AC=号·花=-2.所以，花=d1m要 的三等分点，所以F同=成+行=号厨+之花=-号m+ -2,所以d=4,又1花1=号1店+花1= 之m+m)右m+宁，成：成，a=分记+号而 + 号前++2a店· 之m+m)-宁m=名m+号所以市：屁又0为币和 O正的公共点，故点E,O,F在同一直线上 √+C-4≥}21d1-4=子，当且仅当2：(1)因为=不-花=子话-花，所以云，店 ==2时取等号，故1的最小值为号 (2丽-)·店=破-店·花=子御-1· 跟踪训练3：号 将1a+b1=2两边平方并化简得(1a1+ s0=-11·211·=之1- Ib1P-a1b1=4,由基本不等式得1a1b1≤(a号1h) 部=01 2 :abD,故2(lal+1b2≤4，即(a+1b1户≤号 (2)解法一：设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一 点，可设D=xD派(0<A<1).则P=D-D亦=D-aD= -325