6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

>?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!如图所示"向量#$$$'(的坐标是 '!!( -!'"""( .!' 7"" 7$( /!'$",( 0!' 7$" 7,( "!已知向量! %'$"&("! 6" %',"$("则" % '!!( -!'"" 7$( .!'""$( /!'#"3( 0!'$"'( #!已知#$$$$"%',""(" #$$$$%%' 7&" 7,("则#$$$"%% '!!( -!' 7C" 7&( .!'C"&( /!' 7""&( 0!'""&( $!已知点$'$""(""' 7$",(")为坐标原点"且#$$$)$% #$$$"%"则点%的坐标为!!!!! 请同学们认真完成练案!;" 3!,!&!平面向量数乘运算的坐标表示 新课程标准解读 学科核心素养 掌握数乘向量的坐标运算! 数学运算 理解用坐标表示两向量共线的条件"能根据平面向量的坐标"判断向量是否 共线! 数学抽象 逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!贝贝和晶晶同做一道数学题&,一人从$地到,地"依次经过"地!% 地!&地"且相邻两地之间的距离均为#'# ()!问从$地到,地的行程是 多少$-其解答方法是& 贝贝&#'# 6#'# 6#'# 6#'# %" '"' 6#'# 6#'# %" #"# 6#'# %$ '$''()(! 晶晶&#'# E& %$ '$''()(! 可以看出"晶晶的计算较简捷"乘法是加法的简便运算"构建了乘法运算 体系后"给这类问题的解决带来了很大的方便! 问题 "!当! " "时"!""的坐标成比例吗$ $!如果两个非零向量共线"你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗$ ! !提示" % -./0 知识点一!平面向量数乘运算的坐标表示 !已知! %'2"3("则 ! ! %!!!!!!"即实数与向量的积的坐标等于用这 个实数!!!!!!!!!!!!! !提示" "!¡¢™š~Gs ' ©ŸI£ ! $! H ! Ô " iŸA ! ¥ '4A 4' ©4 " † ! ‹,4 A :' ©4 " † ! Œ, ! $%) 知识点二!平面向量共线的坐标表示 !设! %'2 " "3 " ("" %'2 $ "3 $ ("其中" ) !!向量!""共线的充要条件是!!! !!!!!! ! !提醒" 想一想 !两向量! %'2 " "3 " ("" %'2 $ "3 $ (共线的坐标条件能表示成2" 2 $ % 3 " 3 $ 吗$ 知识点三!中点坐标公式 !若点* " "* $ 的坐标分别为'2 " "3 " ("'2 $ "3 $ ("线段* " * $ 的中点*的坐标为 '2"3("则2%!!!!!!" 3%!!!!!!      " 此公式为线段* " * $ 的中点坐标公式! !提醒" "! ! ¤ " E " B ! F+ ! % A "! ‚&OP14 ¥x:,< ! † " 3 de 0 + , 1 2 3 t3w #! ! ¤ " + 2 " 3 $ 72 $ 3 " % ' 4 ^ ] ! % E 2 " 4 3 " F4 " % E 2 $ 4 3 $ F ! ‚&>;14 ´ GQ¦¡U; A4 × Bþñ:>;1w $! ! ¤ " + 2 " 3 " % 2 $ 3 $ 4 ^ ] ! % E 2 " 4 3 " F4 " % E 2 $ 4 3 $ F( 3 " B ' 4 3 $ B ' 4 Æ!,< 3VW™šŸI£ ! DJ‚¼¥'Jÿ §,<gM3™šQ R4 B(Gx¨ ©ª« ! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!已知向量#$$$$"%'$"&(" #$$$$%%''"$("则" $ #$$$ "%% '!!( -!' 7$" 7$( .!'$"$( /!'"""( 0!' 7"" 7"( "!已知! %' 73"$("" %'4" 7,("且! " ""则4%!!!!! #!已知*'$"3("+' 7&"'("则*+的中点坐标为!!!!! 5607%89: 56;% 平面向量数乘的坐标运算 !!已知! %' 7""$("" %'$""(! 求&'"($! 6,")'$( " $ ! 7 " , "! ! !方法总结"" !方法总结"" kÐ,<™š13 œ E"F¡lkÐ,< ™š1¬4 …ªÜ .,<™š†,<‘ ’ô—’3t3w E#Fi¡lkÐ, <3™š1©4 W …ÔkÐ,<¢™š 3¥'QR 4 Š •–,<3™š1 ¦¡luw E$Fi,<31 ]ª z { X [ 3 ; ô+L#ˆ_;¥ âo#ˆ31¢! $%* !'"(已知向量! %'#"$("" %' 7&" 7,("若#满足,! 7$" 6#%!"则#% '!!( -!' 7$," 7"$( .!'$,""$( /!'C"'( 0!' 7C"'( '$(已知$' 7$"&(""'," 7"("%' 7," 7&("且#$$$%'%, #$$$%$" #$$$%(%$ #$$$%""求 '"(及#$$$'(的坐标! 56<% 向量平行$共线%的判定 ! !方法总结$" !已知#$$$)$%',"&(" #$$$)"%'C""$(" #$$$)%%'B""3("求证&$"""%三点共线! !方法总结$" ,<gM3p[+ $%+ 56=% 利用向量共线的坐标表示求参数 #!'"(已知向量! %'$",("" %' 7""$("若4! 6&"与! 7$"共线"则 4% '!!( -! " $ !!!!!.!$!!!!!/!7 " $ !!!!!0!7$ '$(若向量! %'"""("" %'2""("/%! 6$""0%$! 7"! ! 若/%,0"求2) " 若/ " 0"求2"并判断/与0是同向还是反向! ! !方法总结," !'"(已知非零向量! %'4$ 7""46"(与向量" %'"" 7$(平行"则实数4% '!!( -!7"或" $ .!"或7" $ /!7" 0! " $ '$(如果向量! %'1""("" %'&"1(共线且方向相反"则1% '!!( -!D$ .!7$ /!$ 0!' 56D% 有向线段定比分点坐标公式及应用 $!如图" ( $"%的三个顶点的坐标分别为$'2 " "3 " (""'2 $ "3 $ ("%'2 , " 3 , ("&是边$"的中点".是%&上的一点"且%. .& %$"求点.的坐标! ! !方法总结&" !设点$'$"'(""'&"$("若点*在直线$"上"且1 #$$$$"1%$1 #$$$$*1"则点*的坐 标为!!!!! !方法总结," Ï¢,<gM3™š QR¶U;3#$ E"FÏ¢gM,< [y ! % A " E " B ' F K + L E ç F ¶ U;w E#FÏ¢,<gM 3™šQRj®¶U ;!E»!,<]Si ^,<©4 YÏ¢ ™šQR¶8!F !方法总结&" Ï¢',MN3[I ܒ™šG' 2 , 2 " ( A2 # " ( A 4 3 , 3 " ( A3 # " (          A EAB + "F4 67 ¶8',MN3[I ܒ™š0[’Ü' ,MNhŸ3I! $&$ >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !已知向量% " %' 7""$("% $ %'$""("若向量! %$% " 7% $ "则向量的坐标为 '!!( -!'&",( .!' 7&",( /!' 7&" 7,( 0!''"#( "!已知$'"" 7,("   " ;" "     $ "%'B" ! ("且$"""%三点共线"则 ! % '!!( -!7" .!' /!" 0!$ #!已知平面向量! %'""$("" %' 7$"46"("! " ""则$! 6," % '!!( -!' 7#" 7"'( .!' 7&" 7;( /!' 7," 73( 0!' 7$" 7&( $!已知$'," 7$(""' 7""&("若#$$$*"%" & #$$$ $""则*点的坐标为!!!!! 请同学们认真完成练案!B" 3!,!#!平面向量数量积的坐标表示 新课程标准解读 学科核心素养 能用坐标表示平面向量的数量积"会表示两个平面向量的夹角! 数学运算 能用坐标表示平面向量垂直的条件! 逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!通过前面的学习"我们知道"已知! %'2 " "3 " ("" %'2 $ "3 $ ("我们可以 求出! 6""! 7"以及 ! !' !) '(的坐标! 问题 那么如何用!与"的坐标来表示!2"呢$ ! !提示" % -./0 知识点!平面向量数量积的坐标表示 !若! %'2 " "3 " ("" %'2 $ "3 $ ("!与"的夹角为 # !则 '"(!2" %!!!!!!"即两个向量的数量积等于它们对应坐标的!! !!!!) '$(1!1 $ %!!!!!!"或1!1%!!!!!!) ',(! , " + !!!!!! %''!""是非零向量() '&(若!""都是非零向量"则=>? # %!!!!!!! %!!!!!!!! 想一想 !向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别$ !提示" ÿ ! %'2 " 4 3 " ( 4 " % '2 $ 4 3 $ ( ­ ! %2 " -63 " . 4 " %2 $ - 63 $ . 4 ­ ! c " % ' 2 " -6 3 " .( c '2 $ -63 $ .( % 2 " 2 $ - $ 6'2 " 3 $ 62 $ 3 " (- c .63 " 3 " . $ %2 " 2 $ 63 " 3 $ ! $&# (2)设点P的坐标为(xy),因为P+P丽+P元=0又P+P 设M(1y,).N(2y2),则C7=(x1+3,y1+4)=(3,24),解 +P元=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6 得x1=0.y1=20: 36-3).所以合灯8解得化2：所以点P的坐标为 C=(x+3,为2+4)=(12,6)，解得2=9,2=2， 所以M(0,20),N(9,2),M=(9,2)-(0,20)=(9,-18) (2,2).故0=(2.2). 例2：(1)证明：设E(y）,F(2). 跟踪训练3：设点P的坐标为(x,y),则A=(x,y)-(2,3)=(x 由题意知AC=(2,2),C=(-2,3),A店=(4，-1)， -2,y-3),A+Ad=(5,4)-(2.3)+(5,71)=(3.1)+ (5λ，7λ)=(3+5A,1+7λ). 破=t(号号)成成=（子） :A户=A店+A元，且AB与A亿不共线， 店=（名）-(-10)=（导号） 则 脉=)-(6-)=（子小 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5+5=4+7A, )=(号)禹)=(30 （2若点P在第三象限内则+A0A<-山 序=()-)=（学-子）月 随堂检测重反馈 :4x(-号）-(-)x弩=0，E成/a应 1.D由题图知，M(1.1),N(-1,-2).则M=(-1-1.-2- (2)A3=(0,4)-(2,1)=(-2,3),C⑦=(5，-3)-(1.3)= 1)=(-2,-3),放选D (4,-6) 2.Ab=a+b-a=(3.2)-(2.4)=(1.-2). 解法一：(-2)×(-6)-3×4=0，A2与Ci共线，通过观 3.AB元=A元-A3=(-4,-3)-(3,1)=(-7.-4).故选A 察可知，AB和C方向相反 4.(0,4)设C(x,y),则BC=(x+2,y-3).0=(2,1).由0 解法二：C可=-2A店.与C⑦共线且方向相反。 =BC.得x=0,y=4.故点C的坐标为(0,4). 跟踪训练2：因为A=0丽-=(4,8)，A元=0记-=(6. 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 12).所以4×12-8×6=0，即AB与A元共线.又因为AB与4C有 教材梳理 明要点 公共点A.所以A,B,C三点共线 新知初探 例3：(1)D(2)见解析(1)由题意，得ma+4h=m(2,3)+ 知识点一 4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)= (入x,Ay) 乘原来向量的相应坐标 (4,-1).由于ma+4b与a-2b共线，.(2m-4)×(-1) 知识点二 4(3m+8)=0,解得m=-2. (2)a=(1.1),b=(x,1). 5-x2y=0 想一想 ∴.4=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1.3). 不能.当，为有一者为零时，比例式没有意义 ￥=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1). 知识点三 ①4=3p.∴(2x+1,3)=3(2-x,1), .(2x+1,3)=(6-3x,3),.2x+1=6-3x, ,+y+妇 解得x=1. 2 2 2,4∥v,∴.(2x+1)×1-3(2-x)=0. 预习自测 解得x=1. 1.DA=(2,4),A元=(0,2).BC=A元-A丽=(-2，-2) .u=(3,3),v=(1,1),u=3p =(-山- ∴4与v同向. 跟踪训练3：(1)D(2)B(1)非零向量a=(m2-1,m+1)与 2.9a=(-6,2),b=(m,-3),且a∥b,-6×(-3)-2m 向量b=(1,-2)平行，∴.-2(m-1)-1×(m+1)=0,且m =0.则m=9 3.(-1,3)根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(-1， -1m=号 3). (2),a与b共线且方向相反.∴，存在实数A(A<0),使得b= 题型探究提技能 例1：(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4, Aa.即4，)A-(aA解得收-二子或 7). 「k=2, 22-b=-1.2)-g2=(--(号 A2'(舍去). )=() 解：D是B的中点点D的坐标为（色产，产） 跟踪训练1：(1)A(2)见解析(1)，a=(5,2),b=(-4. 品=2d=2励 -3),且c满足3a-2b+c=0.c=2b-3a=2(-4,-3) 设G点坐标为(x,y),由定比分点坐标公式可得 3(5.2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12). (2)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得-(-2,4) +2x高+ 2 x=- -1++五 1+2 3 -(-3,-4)=(1.8).C2=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3). 所以C7=3C=3(1,8)=(3,24),C=2C=2(6,3)= 5*2x5 Y= 2+为+ (12,6). 1+2 3 323 即点G的坐标为（作5，芳》） 跟踪训练1：5以A为原点，AB,AD分别为x轴，y轴建立直角 3 坐标系.则A(0,0).M(1,2).N(3,1).于是i=(1.2),A 跟踪训练4：(3,1)或(1，-1)A(2,0),B(4,2),AB=(2, (3.1).故Ai.AV=5. 2).点P在直线AB上，且=2产，店=2A或2：(1)C(2)5(1)1A=√4-)+(1-2y=而， =-2A币，故4P=(1,1)或A户=(-1，-1)，故点P的坐标为 1AC=√(0-1)+(-1-2)F=10.又1C1= (3,1)或(1，-1). √(0-4)+(-1-1)=20,1A=1AC1,且1A店12+ 随堂检测重反馈 1.Ba=2e1-e3=(-2,4)-(2,1)=(-4,3) 1A花=B配12，因此△ABC为等腰直角三角形. (2)a+b=(x-1y+2)=(1,3).则x=2.且y=1..a= 2C由41，-3)，B(8号）.C9,A),可得=(.子）花 (2,1),则a-2b=(4,-3),故1a-2b1=4+(-3)7=5. =(8,A+3),由A,B,C三点共线，得A∥A元，则7(A+3)-8 跟踪训练2：B因为a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,所以2x+ ×子=0，解得A=1.故选C 2=0,解得x=-1,所以b=(-1,2),则1b1=√（-1+2 =5. 3.B依题意a=(1,2),b=(-2,m+1),a∥b,所以1×(m+例3：(1)证明：因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以4B=(1, 1)=-2×2.m=-5,即b=(-2,-4),所以2a+3b=(2.4) 1),Ad=(-3,3),所以A2·Ai=1×(-3)+1×3=0,所以 +(-6,-12)=(-4,-8).故选B A序⊥A立 4.(0,号）设P点的坐标为(x),则成=(-1-x,4-) (2)因为A店⊥AD,四边形ABCD为矩形，所以A正=D元设点C -1-x=-1, 的坐标为(x,y), =(-4,6),由=应.得 6 解得 14-y= 则由=(1.1).D元=(x+1y-4). x=0, 利[41得 Ly=5, =三所以P点的坐标为(0，号) 所以点C的坐标为(0,5)，从而亿=(-2,4)，Bi=(-4,2), 2 设A与B丽的夹角为0， 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 4 则c080= A元.B (-2)×(-4)+4×2 教材梳理 明要点 B励1V-2)+x-4+2 新知初探 所以矩形的两对角线所夹镜角的余弦值为子 知识点 (1)x+ 乘积的和(2)+片√+ 跟踪湖练3：(1)C(2)号(1)由题意，得c=a+h=(3+, (3)x,3+y2 (4)a·b x+yiy: 4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3,b·c=1×(3+t) lallbl √+√+写 +0×4=3+k因为(a,c〉=(b,c),所以cos(a,c)=cw(b, 想一想 向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点： e.即治治即5产=3+，部得1=5放选C 5 (2)解法一：a-Ab=(1-3A,3-4A),(a-Ab)⊥b..(a- 坐标表示 记忆口诀 Ab)·b=0.即(1-3A,3-4A)·(3.4)=0..3-9+12 垂直 a⊥b-x,2+yy2=0 对应相乘和为0 161=0,解得A=子 平行 a∥bxy2-xy=0 交叉相乘差为0 解法二：由(a-Ab)⊥b可知，(a-Ab)·b=0,即a·b-Ab2 预习自测 =0,从面a=:b=1.3》:(34-5-3 1.C由30·b=4,得(6，-9)·(x,2x)=-12x=4.x= b31 32+4 -25=5 1 随堂检测重反馈 -3 1.D31a2-4a·b=3×[(-4)2+32]-4×(-4×5+3×6) 2.A1al=√3+4=5，lb1=√5+12=13.a·b=3×5+4 =83.故选D. 2.Da·b=2-2=0.所以a⊥b.所以a与b的夹角为90°.故 ×12=63.设a与b的夹角为0，所以ms6=5X365 6363 选D. 3.C(2a-b)·b=2a·b-1b12=2(-1+n2)-(1+n2)= 3.Aa∥b,.1×y-2×(-2)=0.解得y=-4,从而3a+b =(1,2),13a+b1=5. n2-3=0,.n2=3,.1al=√个+n=2. 4.Db-4a=(2,x-4),b1(b-4a),b·(b-4a)=0,.4+ 4.10a·b=(-1)×2+3×4=10. x(x-4)=0,.x=2,故选D 7店=4-3)….花=1x4+(-)x(-2)(片+*） 当a与b共线时.2k-1=0,k= =7,B元=A元-A=(4,-1)-(1,-3)=(3,2),1BC1= /3+2=3. 2,此时a,b方向相同，夹角为0，要使a与b的夹角为锐 题型探究提技能 角，则有a·b>0且a,b不同向共线.由a·b=2+k>0,且k 例1：(1)B(2)C(1)a+2b=(4.-3),a-3b=(-1,2).所 以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. 分得k>-2,且k≠分，即实数k的取值范围是(-2， (2)依题意可知，a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),所以(a +2b)·e=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3. )(3+x） 324