6.1 平面向量的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

书 学案及练案部分!参考答案 !学案部分" 第六章!平面向量及其应用 "#$!平面向量的概念 教材梳理!明要点 新知初探 知识点一 $!大小!方向 %!大小!方向 知识点二 $!起点!方向!长度!!""#!!""#!&!""#& 知识点三 $!'!! %!$个单位 知识点四 $!相等!相同 %!相同!相反!非零 预习自测 $! !"# ! $%&'( !力!速度!加速度既有方向又有大小! 所以它们是向量"而质量!年龄!角度!面积和身高只有大小! 没有方向!所以他们是数量!所以向量是 !"# ! %!#$$ (!#%$ (!#)$ (!#$$单位向量的方向不一定相同! #%$长度相等的向量方向不一定相同!所以不一定是相等 向量! #)$两个非零向量平行是指这两个向量的方向相同或相反!所 以表示这两个向量的有向线段所在的直线可以是重合的! )!#$$!和"!#和$!#%$!!%!"!#$$! # "!# # $!故!和"!#和 $是共线向量! #%$由勾股定理可知!模相等的向量有!!%!"! 题型探究!提技能 例$%*+,!单位向量的长度为$!零向量的长度为'!*正确"零 向量与任意向量平行!+正确"因为向量!""#和向量!"#"是方向 相反!模相等的两个向量!,正确"向量是用有向线段来表示 的!不能把两者等同起来!-不正确! 跟踪训练$%*-!根据单位向量的概念知!单位向量的模都相等 且为$!故*正确"根据共线向量的概念知!长度不等且方向 相反的两个向量是共线向量!故+错误"向量不能够比较大 小!故,错误"根据相等的向量的概念知!两个有共同起点而 且相等的向量!其终点必相同!故-正确!故选*-! 例%%因为$是正方形"#%&对角线的交点!四边形$"'&!$%(# 都是正方形!所以$"."'.$&.&'.$%.%(.#(.#$! "#.%&.#%."&" #$$由题中图形可得%!""$.!"#(!!"#$.!""'" #%$由图形可得!与!""$共线的向量有%!"#(!!"%$!!"&'" #)$与!""$模相等的向量有%!"%$!!"&$!!"#$!!"#(!!"%(!!""'!!"&'" #/$向量!""$与!"%$不相等!因为它们的方向不相同! 跟踪训练%%#$$在模为$的向量中! 相等的向量有% $ !" "). !" )&. !" #*. !" *%!共有"对" % !" )". !" &). !" *#. !" %*!共有"对" ! !" "#. !" )*. !" &%!共 有) 对" & !" #". !" *). !" %&!共有) 对!所以模为$的向量中!相等的向量共有" 0" 0) 0) .$1 #对$! #%$在模为!槡%的向量中!相等的向量有%!""*.!")%!!"*".!"%)! !" #). !" *&! !" )#. !" &*!共有/对! 例)%#$$因为&!"$"&.)!点"在点$的正西方向!故向量!"$"的图 如图$% #%$因为&!"$# 槡&.) % !点#在点$的北偏西/23方向!故向量 !" $#的图如图%% #)$如图)% & !" "#&. & !" $#& % 4& !" $"&槡 % .)! ! !!!!! 图$!!!!!!!!!!!图% 图) 跟踪训练)%#$$向量!""&!!"&%!!"%#!!""#! 如图所示! #%$由题意知!""&.!"#%!5"&.#%! "& # #%!则四边形"#%&为平行四边 形!5!""#.!"&%!则#地相对于"地的 位置为&北偏东"'3!距离为" 67'! 随堂检测!重反馈 $!,!温度没有方向!所以不是向量!故*错误"由共线向量的 定义可知!共线的向量!起点不同!终点可能相同!故+错误" 向量不可以比较大小!故-错误"若!!$中有一个为零向量! 则!与$必共线!故若!与$不共线!则应均为非零向量!故, 正确! %!*!向量!""#!!"%&共线 $ 直线"#!%&平行或重合"直线"# # %& $ 向量!""#!!"%&共线!因此&向量!""#!!"%&共线'是&直线"# # %&'的必要不充分条件! )!*!因为!"#".!"%&!所以#".%&且#" # %&!所以四边形"#%& 为平行四边形! /!8 !" "#. !" &%!5"#.&%且"# # &%!5四边形"#%&是平行四 边形!5!"%#.!"&"!即%#.&"!又!"%*.!")"!5%*.)"!%* # )"!5四边形%*")是平行四边形!5 !"%).!"*"!5%).*"! %) # *"!8%#.&"!5)#.&*!又&* # )#!5 !" &*与!")#的 模相等且方向相同!5!"&*.!" % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % )#! (!"#( 书 第六章!平面向量及其应用 !"# ! "#$%&'( 新课程标准解读 学科核心素养 通过对力!速度!位移等物理量的分析"了解平面向量的实际背景! 数学抽象 理解平面向量的几何表示和基本要素! 直观想象 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念! 直观想象 !"#$%&'( # )*+, ! 问题 "!茫茫大海中"一艘小船在航行"如果告诉他"再航行"#海里就可以到达 "岛"请问他可以到达"岛吗$ $!两车分别以# " %&' ()*+"# $ %#' ()*+行驶"$小时以后"你能说出两车 的距离是多少吗$ 请问以上问题可以解决吗$ 怎样解决这两个问题呢$ ! !提示" % -./0 知识点一!向量与数量 "!向量#既有!!!!!!又有!!!!!!的量! $!数量#只有!!!!!!没有!!!!!!的量! ! !提醒"" 知识点二!向量的表示 "!有向线段#具有方向的线段叫有向线段"它包含三要素&!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!以$为起点""为终点的有向线段记作 !!!!!!!"其大小称为向量!!!!!!!的长度'或称模("记作 !!!!!!) $!字母表示#向量可以用字母!"""#"**表示! ! !提醒$" 知识点三!特殊向量 "!零向量#长度为!!!!!!的向量叫做零向量"记作!!!!!!! $!单位向量#长度为!!!!!!长度的向量"叫做单位向量! ! !提醒," 知识点四!相等向量和共线向量 "!相等向量#长度!!!!!!且方向!!!!!!的向量叫做相等向量" 记作! %"! !提示" !"#$%&'() *'+,!-./01 23+,4 !"#$ 56789:! !提醒"" ;<&=">;<4 ?'@A*'+,4 B,<C'@AD' +,! !提醒$" E"F,<GHIJ @A4 K&,<3L 67IJ@A! E#F',MN&, <3OPQR4 SG &T,<&',MN! E$F=U',MN VWX=",<4 K =",<VWXY; ZU',MN! !提醒," [\]^,<_`a ,<%&bcde4 Gf[+,! $$# $!平行向量$共线向量%#方向!!!!!!或!!!!!!的!!!!!! 向量"记作! " "! 规定&零向量与任意向量平行)即对于任意向量!"都有! " !! ! !提醒&" !提醒&" gM,<hi3jM6 7kl%m67no! + 1234 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !下列物理量中"向量有!!!!!"数量有 '填序号( ! 质量! " 年龄! # 重力! $ 角度! % 加速度! & 面积! ' 速度! ( 身高 "!判断 '"(单位向量都是相等向量! '!!( '$(长度相等的向量叫做相等向量! '!!( ',(两个非零向量平行"则表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行! '!!( #!在如图所示的向量!"""#"$"%中'小正方形的边长为"("判断是否存在下列 关系的向量& '"(是共线向量的有!!!!) '$(模相等的向量有!!!!! 5607%89: 56;% 向量的基本概念 !!$多选%下列说法中正确的有 '!!( -!单位向量的长度大于零向量的长度 .!零向量与任一单位向量平行 /!向量#$$$$"和向量#$$$"$长度相等 0!向量就是有向线段 ! !方法总结"" !$多选%下列命题中正确的是 '!!( -!单位向量的模都相等 .!长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 /!方向相同的两个向量"向量的模越大"则向量越大 0!两个有共同起点而且相等的向量"其终点必相同 56<% 共线向量与相等向量 ! !方法总结$" !方法总结"" "!pq="<&rs ,<3!"tuUv E"F'@Aw E#F'+,!!"U vx=G6! # !y8^,<_`a ,<Wz{3#$ E"F^,<3+, &|{34 h'3^ ,<%}~w E#F`a,<G= [}~4 €,< 3+,w E$F!"`a,< 3L}~4 K‚!" `a,<G=[}~! !方法总结$" E"FƒgM,<„ …ƒ†QR‡ˆ,< 3',MNkl‰g M3MN4 Šf[‹ ,†Œ,3,<w E#Fƒ}~,<„ ƒ+,}‹4 de} ~3MNw E$FgM,<G= [&}~,<%B}~ ,<=[&gM,<! $$% !如图"在矩形$"%&中"$&%$$"%$"'"(分别为$& 和"%的中点"以$"""%"&"'"(为起点和终点作向 量"回答下列问题& '"(在模为"的向量中"相等的向量有多少对$ '$(在模为槡$的向量中"相等的向量有多少对$ 56=% 向量的表示及应用 #!在如图的方格纸中'小正方形的边长为"("画 出下列向量! '"(1 #$$$ )$1%,"点$在点)的正西方向) '$( 1 #$$$ )"1%,槡$ "点"在点)的北偏西&#2 方向) ',(求出1#$$$$"1的值! ! !方法总结," !一辆消防车从$地去"地执行任务"先从$地向北偏东 ,'2方向行驶$ ()到&地"然后从&地沿北偏东3'2方 向行驶3 ()到达%地"从%地又向南偏西,'2方向行驶 $ ()才到达"地! '"(在图中作出#$$$$&" #$$$&%" #$$$%"" #$$$$") '$(求"地相对于$地的位置! !方法总结," fŽ,<3+ &… f [ , < 3 ‘ ’4 Šf[,<3+ ,4 “”•–,<3 @Af[,<3—’! $$& >?@4%ABC !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !下列命题中正确的有 '!!( -!温度含零上和零下温度"所以温度是向量 .!共线的向量"若起点不同"则终点一定不同 /!向量!与"不共线"则!与"都是非零向量 0!若1!141"1"则! 4" "!,向量#$$$$"" #$$$%&共线-是,直线$" " %&-的 '!!( -!必要不充分条件 .!充分不必要条件 /!充要条件 0!既不充分也不必要条件 #!若#$$$"$% #$$$%&"则四边形$"%&的形状为 '!!( -!平行四边形 .!矩形 /!菱形 0!等腰梯形 $!如图所示"在四边形$"%&中" #$$$$"% #$$$&%"("'分别是$&""%上的点"且#$$$%(% #$$$'$" 求证& #$$$&(% #$$$'"! 请同学们认真完成练案!"" !"% ! "#$%&)* 35$5"!向量的加法运算 新课程标准解读 学科核心素养 理解并掌握向量加法的概念! 数学抽象 了解向量加法的几何意义及运算律! 直观想象 了解向量加法的交换律和结合律"并能作图解释向量加法运算律的合理性! 直观想象!逻辑推理 !"#$%&'( # )*+, ! !!俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的.克雷洛夫寓言/中有一篇.天鹅!梭子鱼和虾/ 的故事"故事的大意是这样的&有一天"天鹅!梭子鱼和虾一起拉一车货物"天鹅想"我的家在天 上应该把货物拉到我家"于是"天鹅伸长脖子拼命往天上飞!梭子鱼想"我的家在河里"应该往河 里拉"于是"梭子鱼使劲往河里拽!虾想"我的家在池塘里"应该把货送到池塘"于是"虾弓着身子 往池塘拉"他们三个累得精疲力尽"车子却纹丝不动! $$'