练案18 第2章 3 从速度的倍数到向量的数乘-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 以→ＢＡ，→ＢＣ为邻边作平行四边形， 则ｍ ＝→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＡＣ，ｎ ＝→ＡＢ －→ＢＣ ＝ →ＡＢ －→ＡＤ ＝ →ＤＢ，由ｍ，ｎ的长度相等 可知，两对角线相等，因此平行四边 形一定是矩形，故选Ｃ． ２． Ｂ　 →ＡＣ －→ＢＦ ＋→ＣＦ ＝→ＡＣ ＋→ＣＦ －→ＢＦ ＝→ＡＦ －→ＢＦ ＝→ＡＦ ＋→ＦＢ ＝→ＡＢ． ３． Ａ　 因为→ＯＡ ＋ ２ →ＯＢ ＋ →ＯＣ ＝ ０，所以 →ＯＡ ＋ →ＯＣ ＝ － ２ →ＯＢ ＝ ２ →ＢＯ，所以→ＢＯ ＝ １２ （ →ＯＡ ＋ →ＯＣ）．取ＡＣ的中点Ｄ， 则→ＯＤ ＝ １２ （ →ＯＡ ＋ →ＯＣ）． ∴ →ＢＯ ＝ →ＯＤ， 即Ｏ为中线ＢＤ的中点，如图所示，则△ＡＯＣ的面积为Ｓ１， △ＢＯＣ的面积为Ｓ２，Ｓ△ＡＯＣ ＝ ２Ｓ△ＣＯＤ，∵ Ｓ△ＣＯＤ ＝ Ｓ△ＢＯＣ，∴ Ｓ△ＡＯＣ ＝ ２Ｓ△ＢＯＣ ．所以Ｓ１Ｓ２ ＝ ２．故选Ａ． ４． ＡＢＣＤ　 Ａ中，在△ＡＢＣ中，先求→ＢＣ，再利用→ＢＤ ＝ →ＢＣ ＋ →ＣＤ；Ｂ 中，在△ＡＤＣ中，先求→ＡＤ，也可得到→ＢＤ ＝→ＢＡ ＋→ＡＤ；同理，Ｃ、Ｄ 也正确． ５．平行四边形　 ∵ →ＯＡ ＋→ＯＣ ＝→ＯＢ ＋ →ＯＤ， ∴ →ＯＡ － →ＯＤ ＝→ＯＢ －→ＯＣ，∴ →ＤＡ ＝→ＣＢ． ∴ ｜→ＤＡ ｜ ＝ ｜→ＣＢ ｜，且ＤＡ∥ＣＢ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６． ５或９　 当ａ与ｂ方向相同时，｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＝ ７ － ２ ＝ ５； 当ａ与ｂ方向相反时，｜ａ － ｂ ｜ ＝ ｜ａ ｜ ＋ ｜ｂ ｜ ＝７ ＋２ ＝９． ７． ∵四边形ＡＣＤＥ为平行四边形． ∴ →ＣＤ ＝→ＡＥ ＝ ｃ； →ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＝ ｂ － ａ； →ＢＥ ＝→ＡＥ －→ＡＢ ＝ ｃ － ａ； →ＣＥ ＝→ＡＥ －→ＡＣ ＝ ｃ － ｂ； →ＢＤ ＝→ＢＣ ＋→ＣＤ ＝ ｂ － ａ ＋ ｃ． ８．（１）如图所示， 设ａ ＝ →ＯＡ，ｂ ＝ →ＯＢ，且向量ａ，ｂ不 共线， 以ＯＡ、ＯＢ为邻边作一个平行四边形 ＯＡＣＢ，则→ＯＣ ＝ ａ ＋ ｂ，→ＢＡ ＝ ａ － ｂ， 在△ＡＯＣ中，因为ＡＯ － ＡＣ ＜ ＯＣ， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ＋ ｂ ｜， 因为ＯＣ ＜ ＡＯ ＋ ＡＣ，所以｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ． （２）由（１）向量ａ，ｂ不共线，在△ＡＯＢ中，因为ＡＯ － ＯＢ ＜ ＡＢ， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ － ｂ ｜， 因为ＡＢ ＜ ＡＯ ＋ ＯＢ，所以｜ ａ － ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ － ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ． 练案［１８］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ　 →ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＝ ３→ＡＢ －→ＡＢ ＝ ２→ＡＢ． ２． Ｄ　 对于Ａ，λ ＝ ０时，结论不成立； 对于Ｂ，ａ≠０时，结论成立； 对于Ｃ，｜ ｂ ｜ ＝ ２ ｜ ａ ｜时，ｂ与ａ不一定共线； 对于Ｄ，利用平面向量共线定理可知正确． ３． Ａ　 设Ｐ是对角线ＡＣ上的一点（不含Ａ、Ｃ），过Ｐ分别作ＢＣ、 ＡＢ的平行线，设→ＡＰ ＝ λ→ＡＣ，则λ∈（０，１），于是→ＡＰ ＝ λ（→ＡＢ ＋ →ＢＣ），λ∈（０，１）． ４． Ｃ　 由→ＯＰ ＝→ＯＡ ＋→ＡＰ，→ＡＰ ＝ ２３ →ＡＢ，→ＡＢ ＝ →ＯＢ －→ＯＡ，∴ →ＯＰ ＝→ＯＡ ＋ ２ ３ （ →ＯＢ －→ＯＡ）＝ ｅ１ ＋ ２３ （ｅ２ － ｅ１）＝ １ ３ ｅ１ ＋ ２ ３ ｅ２ ．故选Ｃ． ５． Ａ　 方法一：由→ＡＤ ＝ ２ →ＤＢ， 可得→ＣＤ －→ＣＡ ＝ ２（→ＣＢ －→ＣＤ）→ＣＤ ＝ １３ →ＣＡ ＋ ２３ →ＣＢ， 所以λ ＝ ２３ ．故选Ａ． 方法二：→ＣＤ ＝→ＣＡ ＋ →ＡＤ ＝→ＣＡ ＋ ２３ →ＡＢ ＝→ＣＡ ＋ ２３ （ →ＣＢ －→ＣＡ）＝ １ ３ →ＣＡ ＋ ２３ →ＣＢ，所以λ ＝ ２３ ，故选Ａ． ６． Ｃ　 向量ａ，ｂ不共线，则２３ ａ － １ ３ ｂ≠０，由ｂ ＋ ｔａ， ２ ３ ａ － １ ３ ｂ共 线，得ｂ ＋ ｔａ ＝ λ（２３ ａ － １ ３ ｂ），λ∈Ｒ，于是ｔ － ２ ３( )λ ａ ＋ １ ＋ １３( )λ ｂ ＝ ０，则ｔ － ２３ λ ＝ ０且１ ＋ １３ λ ＝ ０，解得λ ＝ － ３， ｔ ＝ － ２，所以实数ｔ的值为－ ２．故选Ｃ． ７． ３ 　 － ４ 　 因为ａ 与ｂ 不共线，根据向量相等得 ５ｘ ＝ ３ｙ ＋ ２７， ８ － ｙ ＝ ４ｘ{ ，解得ｘ ＝ ３，ｙ ＝ － ４{ ． ８． ５λ ＋ μ ＝ １３ 　 方法一：因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以设→ＯＡ ＝ →ｍ ＯＢ ＋（１ － ｍ）→ＯＣ， 即：λａ ＋ μｂ ＝ ｍ（３ａ － ２ｂ）＋（１ － ｍ）（２ａ ＋ ３ｂ）＝（ｍ ＋ ２）ａ ＋ （－ ５ｍ ＋ ３）ｂ， 所以ｍ ＋ ２ ＝ λ － ５ｍ ＋ ３ ＝{ μ，消去ｍ得：５λ ＋ μ ＝ １３． 方法二：→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ ＝（λａ ＋ μｂ）－（３ａ － ２ｂ）＝（λ － ３）ａ ＋ （μ ＋ ２）ｂ， →ＢＣ ＝→ＯＣ －→ＯＢ ＝ ２ａ ＋ ３ｂ －（３ａ － ２ｂ）＝ － ａ ＋ ５ｂ， 因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以→ＢＡ∥→ＢＣ， 故５（λ － ３）＝ －（μ ＋ ２），所以５λ ＋ μ ＝ １３． ９． １２ 　 由已知 →ＤＥ ＝ →ＢＥ － →ＢＤ ＝ ２３ →ＢＣ － １ ２ →ＢＡ ＝ ２３ （ →ＡＣ －→ＡＢ）＋ １２ →ＡＢ ＝ － １６ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＣ， ∴ λ１ ＝ － １ ６ ，λ２ ＝ ２ ３ ，从而λ１ ＋ λ２ ＝ １ ２ ． １０．（１）证明：因为→ＢＤ ＝→ＢＣ ＋ →ＣＤ ＝ ５ｅ１ ＋ ５ｅ２ ＝ ５→ＡＢ，且→ＡＢ为非零 向量，所以→ＡＢ与→ＢＤ共线，即Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线． （２）因为ｋｅ１ ＋ ｅ２ 与ｅ１ ＋ ｋｅ２ 平行，且两向量都为非零向量                                                                       ， —９６３— 所以存在实数λ使得ｋｅ１ ＋ ｅ２ ＝ λ（ｅ１ ＋ ｋｅ２）成立， 即（ｋ － λ）ｅ１ ＝ （ｋλ － １）ｅ２，因为ｅ１ 和ｅ２ 不共线，所以 ｋ － λ ＝ ０， λｋ － １ ＝ ０{ ，所以ｋ ＝ ± １． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 Ａ错误，因为λ取负数时，ａ与－ λａ的方向是相同的；Ｂ错 误，因为当｜λ ｜ ＜ １时，该式不成立；Ｄ错误，等号左边的结果 是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；Ｃ正确，因 为λ２（λ≠０）一定是正数，故ａ与λ２ａ的方向相同．故选Ｃ． ２． Ｄ　 方法一：→ＡＦ ＝→ＡＣ ＋→ ＣＦ ＝ ａ ＋ ２３ →ＣＤ ＝ ａ ＋ ２３ （ →ＯＤ －→ＯＣ）＝ ａ ＋ ２ ３ １ ２ →ＢＤ － １２ →( )ＡＣ ＝ ａ ＋ １３ （ｂ － ａ）＝ ２３ ａ ＋ １３ ｂ． 方法二：→ＡＥ ＝ １２ ａ ＋ １ ４ ｂ ＝ ３ ４ ２ ３ ａ ＋ １ ３( )ｂ ， 又→ＡＥ ＝ ３４ →ＡＦ，∴选Ｄ． ３． ＡＢＤ　 由→ＢＰ ＝ １３ →ＢＡ ＋ １４ →ＢＣ，两边同时乘以１２７ ，得 １２ ７ →ＢＰ ＝ ４ ７ →ＢＡ ＋ ３７ →ＢＣ，令→ＢＭ ＝ ４７ →ＢＡ ＋ ３７ →ＢＣ，则４７ →ＢＭ － ４７ →ＢＡ ＝ ３７ →ＢＣ － ３７ →ＢＭ，即有４ →ＡＭ ＝ ３ →ＭＣ，因此→ＭＣ ＝ ４７ →ＡＣ，点Ｍ在ＡＣ上， 且→ＢＰ ＝ ７１２ →ＢＭ，如图， 所以Ｓ△ＰＢＣ ＝ ７１２ Ｓ△ＭＢＣ，Ｓ△ＭＢＣ ＝ ４ ７ Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△ＰＢＣ ＝ １ ３ Ｓ△ＡＢＣ，则 Ｓ△ＰＢＣＳ△ＡＢＣ ＝ １３；同理→ＢＱ ＝ １４ →ＢＡ ＋ １３ →ＢＣ，两边同时乘以 １２ ７得： １２ ７ →ＢＱ ＝ ３７ →ＢＡ ＋ ４７ →ＢＣ，令→ＢＮ ＝ ３７ →ＢＡ ＋ ４７ →ＢＣ，点Ｎ在ＡＣ 上，→ＮＣ ＝ ３７ →ＡＣ，→ＢＱ ＝ ７１２ →ＢＮ，所以Ｓ△ＱＢＣ ＝ ７１２ Ｓ△ＮＢＣ，Ｓ△ＮＢＣ ＝ ３ ７ Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△ＱＢＣ ＝ １ ４ Ｓ△ＡＢＣ，则Ｓ△ＱＢＣ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ４； →ＢＰ ＝ ７ １２ →ＢＭ，Ｓ△ＰＡＣ ＝ ５１２ Ｓ△ＢＡＣ， →ＢＱ ＝ ７１２ →ＢＮ，Ｓ△ＱＡＣ ＝ ５１２ Ｓ△ＢＡＣ，所以 Ｓ△ＰＡＣＳ△ＱＡＣ ＝ １，Ｓ△ＱＡＣＳ△ＡＢＣ ＝ ５１２．故选ＡＢＤ． ４． ＡＢＣＤ　 在△ＡＢＣ中，Ｏ，Ｈ，Ｇ分别是外 心、垂心和重心，画出图形，如图所示． 对于Ｂ选项，根据三角形的重心性质 由重心的性质可得Ｇ为ＡＤ的三等分 点，且→ＧＡ ＝ － ２ →ＧＤ， 又Ｄ为ＢＣ的中点，所以→ＧＢ ＋ →ＧＣ ＝ ２ →ＧＤ，所以→ＧＡ ＋ →ＧＢ ＋ →ＧＣ ＝ － ２ →ＧＤ ＋ ２ →ＧＤ ＝ ０，故选项Ｂ正确； 对于Ａ与Ｃ选项，因为Ｏ为△ＡＢＣ的外心，Ｄ为ＢＣ的中点， 所以ＯＤ⊥ＢＣ，所以ＡＨ∥ＯＤ， ∴ △ＡＨＧ∽△ＤＯＧ，∴ ＧＨＯＧ ＝ ＡＨ ＯＤ ＝ ＡＧ ＤＧ ＝ ２，∴ ＧＨ ＝ ２ＯＧ，ＡＨ ＝ ２ＯＤ，故选项Ａ，Ｃ正确； 对于Ｄ，过点Ｇ作ＧＥ⊥ＢＣ，垂足为Ｅ，∴ △ＤＥＧ∽△ＤＮＡ，则 ＧＥ ＡＮ ＝ ＤＧ ＤＡ ＝ １ ３ ， ∴ △ＢＧＣ的面积为Ｓ△ＢＧＣ ＝ １２ × ＢＣ × ＧＥ ＝ １ ２ × ＢＣ × １ ３ × ＡＮ ＝ １３ Ｓ△ＡＢＣ； 同理，Ｓ△ＡＧＣ ＝ Ｓ△ＡＧＢ ＝ １３ Ｓ△ＡＢＣ，选项Ｄ正确．故选ＡＢＣＤ． ５． ２３　 因为→ＰＡ ＋→ＰＢ ＋→ＰＣ ＝→ＡＢ，所以→ＰＣ ＝→ＡＢ －→ＰＢ －→ＰＡ ＝→ＡＢ ＋ →ＢＰ ＋→ＡＰ ＝ ２→ＡＰ，所以点Ｐ在边ＣＡ上，且是靠近点Ａ一侧的三 等分点，所以△ＰＢＣ和△ＡＢＣ的面积之比为２３． ６． ２　 如题图所示，易知｜→ＯＡ ＋ ２ →ＯＢ ＋ ３ →ＯＣ ｜ ＝ ｜→ＯＡ ＋ →ＯＣ ＋ ２（→ＯＢ ＋→ＯＣ）｜ ＝ ｜２ →ＯＤ ＋ ４ →ＯＥ ｜ ＝ ２ ｜→ＯＤ ＋ ２ →ＯＥ ｜ ＝ ２． ７．【证明】　 在△ＢＣＤ中， ∵ Ｇ，Ｆ分别是ＣＤ，ＣＢ的中点， ∴ →ＣＧ ＝ １２ →ＣＤ，→ＣＦ ＝ １２ →ＣＢ． ∴ →ＧＦ ＝→ＣＦ －→ＣＧ ＝ １２ →ＣＢ － １２ →ＣＤ ＝ １２ →ＤＢ． 同理→ＨＥ ＝ １２ →ＤＢ． ∴ →ＧＦ ＝→ＨＥ，即→ＧＦ与→ＨＥ共线． 又∵ Ｇ，Ｆ，Ｈ，Ｅ四点不在同一条直线上， ∴ ＧＦ∥ＨＥ，且ＧＦ ＝ ＨＥ． ∴四边形ＥＦＧＨ是平行四边形． ８． ∵ →ＣＰ ＝ ２３ →ＣＡ ＋ １３ →ＣＢ， ∴ ３ →ＣＰ ＝ ２→ＣＡ ＋→ＣＢ， 即２ →ＣＰ － ２→ＣＡ ＝→ＣＢ －→ＣＰ． ∴ ２→ＡＰ ＝→ＰＢ， 即Ｐ为ＡＢ的一个三等分点 （靠近点Ａ），如图所示． ∵ Ａ，Ｍ，Ｑ三点共线， ∴设→ＣＭ ＝ →ｘ ＣＱ ＋（１ － ｘ）→ＣＡ ＝ ｘ ２ →ＣＢ ＋（ｘ － １）→ＡＣ， 又→ＣＢ ＝→ＡＢ －→ＡＣ， ∴ →ＣＭ ＝ ｘ２ →ＡＢ ＋ ｘ２( )－ １ →ＡＣ． 又→ＣＰ ＝→ＡＰ －→ＡＣ ＝ １３ →ＡＢ －→ＡＣ，且→ＣＭ ＝ →ｔ ＣＰ， ∴ ｘ２ →ＡＢ ＋ ｘ２( )－ １ →ＡＣ ＝ ｔ １３ →ＡＢ －→( )ＡＣ ． ∴ ｘ ２ ＝ ｔ ３ ， ｘ ２ － １ ＝ － ｔ { ，解得ｔ ＝ ３４                                                                      ． —０７３— 练案［１８］ 第二章　 平面向量及其应用 § ３　 从速度的倍数到向量的数乘 Ａ组·素养自测 一、选择题 １．点Ｃ在直线ＡＢ上，且→ＡＣ ＝ ３ →ＡＢ，则→ＢＣ等于（　 　 ） Ａ． － ２ →ＡＢ Ｂ． １３ →ＡＢ Ｃ． － １３ →ＡＢ Ｄ． ２ →ＡＢ ２．下列说法中正确的是 （　 　 ） Ａ． λａ与ａ的方向不是相同就是相反 Ｂ．若ａ，ｂ共线，则ｂ ＝ λａ Ｃ．若｜ ｂ ｜ ＝ ２ ｜ ａ ｜，则ｂ ＝ ± ２ａ Ｄ．若ｂ ＝ ± ２ａ，则｜ ｂ ｜ ＝ ２ ｜ ａ ｜ ３．已知四边形ＡＢＣＤ是菱形，点Ｐ在对角线ＡＣ上（不 包括端点Ａ、Ｃ），则→ＡＰ ＝ （　 　 ） Ａ． λ（→ＡＢ ＋ →ＢＣ）　 λ∈（０，１） Ｂ． λ（→ＡＢ ＋ →ＢＣ）　 λ∈ ０，槡２( )２ Ｃ． λ（→ＡＢ － →ＢＣ）　 λ∈（０，１） Ｄ． λ（→ＡＢ － →ＢＣ）　 λ∈ ０，槡２( )２ ４．设向量→ＯＡ ＝ ｅ１，→ＯＢ ＝ ｅ２，若ｅ１与ｅ２不共线，且点Ｐ在 线段ＡＢ上，｜ →ＡＰ ｜ ｜ →ＰＢ ｜ ＝ ２，则→ＯＰ ＝ （　 　 ） Ａ． １３ ｅ１ － ２ ３ ｅ２ Ｂ． ２ ３ ｅ１ ＋ １ ３ ｅ２ Ｃ． １３ ｅ１ ＋ ２ ３ ｅ２ Ｄ． ２ ３ ｅ１ － １ ３ ｅ２ ５．在△ＡＢＣ中，已知Ｄ是ＡＢ边上一点，若→ＡＤ ＝ ２ →ＤＢ， →ＣＤ ＝ １３ →ＣＡ ＋ λ →ＣＢ，则λ等于 （　 　 ） Ａ． ２３ Ｂ． １ ３ Ｃ． － １ ３ Ｄ． － ２ ３ ６．已知ａ，ｂ是两个不共线的向量，向量ｂ ＋ ｔａ，２３ ａ － １ ３ ｂ 共线，则实数ｔ的值为 （　 　 ） Ａ． － １２ Ｂ． １ ２ Ｃ． － ２ Ｄ． ２ 二、填空题 ７．已知向量ａ，ｂ不共线，实数ｘ，ｙ满足５ｘａ ＋（８ － ｙ）ｂ ＝ ４ｘｂ ＋ ３（ｙ ＋ ９）ａ，则ｘ ＝ 　 　 　 　 ；ｙ ＝ 　 　 　 　 ． ８．已知ａ，ｂ是不共线的向量，→ＯＡ ＝ λａ ＋ μｂ，→ＯＢ ＝ ３ａ － ２ｂ，→ＯＣ ＝ ２ａ ＋ ３ｂ，若Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则实数λ，μ满 足　 　 　 　 　 　 　 　 ． ９．设Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＢＣ上的点，ＡＤ ＝ １ ２ ＡＢ，ＢＥ ＝ ２ ３ ＢＣ．若 →ＤＥ ＝ λ１ →ＡＢ ＋ λ２ →ＡＣ（λ１，λ２ 为实 数），则λ１ ＋ λ２的值为　 　 　 　 ． 三、解答题 １０．已知非零向量ｅ１和ｅ２不共线． （１）如果→ＡＢ ＝ ｅ１ ＋ ｅ２，→ＢＣ ＝ ２ｅ１ ＋ ８ｅ２，→ＣＤ ＝ ３（ｅ１ － ｅ２），求证：Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线； （２）欲使向量ｋｅ１ ＋ ｅ２与ｅ１ ＋ ｋｅ２平行，试确定实数ｋ 的值． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．设ａ是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 （　 　 ） Ａ． ａ与－ λａ的方向相反 Ｂ． ｜ － λａ ｜≥ ｜ ａ ｜ Ｃ． ａ与λ２ａ的方向相同 Ｄ． ｜ － λａ ｜ ＝ ｜λ ｜ ａ ２．在ＡＢＣＤ中，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，Ｅ是线段ＯＤ的中 点，ＡＥ的延长线交ＣＤ于点Ｆ，若→ＡＣ ＝ ａ，→ＢＤ ＝ ｂ，则 →ＡＦ ＝ （　 　 ） Ａ． １４ ａ ＋ １ ２ ｂ Ｂ． １ ３ ａ ＋ ２ ３ ｂ Ｃ． １２ ａ ＋ １ ４ ｂ Ｄ． ２ ３ ａ ＋ １ ３                                                                  ｂ —４２２— ３．（多选）在△ＡＢＣ中，→ＢＰ ＝ １３ →ＢＡ ＋ １４ →ＢＣ，→ＢＱ ＝ １４ →ＢＡ ＋ １ ３ →ＢＣ，以下结论正确的是 （　 　 ） Ａ． Ｓ△ＰＢＣ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １３ Ｂ． Ｓ△ＱＢＣ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １４ Ｃ． Ｓ△ＰＡＣ Ｓ△ＱＡＣ ＝ ３４ Ｄ． Ｓ△ＱＡＣ Ｓ△ＡＢＣ ＝ ５１２ ４．（多选）生于瑞士的数学巨星欧拉在１７６５年发表的 《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形 的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名 的欧拉线定理．在△ＡＢＣ中，Ｏ，Ｈ，Ｇ分别是外心、垂 心和重心，Ｄ为ＢＣ边的中点，下列四个选项中正确 的是 （　 　 ） Ａ． ＧＨ ＝ ２ＯＧ Ｂ． →ＧＡ ＋ →ＧＢ ＋ →ＧＣ ＝ ０ Ｃ． ＡＨ ＝ ２ＯＤ Ｄ． Ｓ△ＡＢＧ ＝ Ｓ△ＢＣＧ ＝ Ｓ△ＡＣＧ 二、填空题 ５．已知在△ＡＢＣ所在的平面内有一点Ｐ，满足→ＰＡ ＋ →ＰＢ ＋ →ＰＣ ＝ →ＡＢ，则△ＰＢＣ 与△ＡＢＣ 的面积之比 是　 　 　 　 ． ６．设点Ｏ在△ＡＢＣ的内部，点Ｄ，Ｅ分别为边ＡＣ，ＢＣ的 中点，且｜ →ＯＤ ＋ ２ →ＯＥ ｜ ＝ １，则｜ →ＯＡ ＋ ２ →ＯＢ ＋ ３ →ＯＣ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．如图，已知Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、 ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，用向量法证明：四边形ＥＦＧＨ是 平行四边形． ８．在△ＡＢＣ中，点Ｐ是ＡＢ上一点，且→ＣＰ ＝ ２３ →ＣＡ ＋ １ ３ →ＣＢ，Ｑ是ＢＣ的中点，ＡＱ与ＣＰ的交点为Ｍ，且→ＣＭ ＝ ｔ →ＣＰ，求ｔ的值                                                                       ． —５２２—