练案17 第2章 2.2 向量的减法-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１７］ 第二章　 平面向量及其应用 § ２　 ［２． ２　 向量的减法］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，下列结论错误的是（　 　 ） Ａ →． ＡＢ ＝ →ＤＣ Ｂ →． ＡＤ ＋ →ＡＢ ＝ →ＡＣ Ｃ →． ＡＢ － →ＡＤ ＝ →ＢＤ Ｄ →． ＡＤ ＋ →ＣＢ ＝ ０ ２．如图，Ｄ，Ｅ，Ｆ是△ＡＢＣ的边ＡＢ， ＢＣ，ＣＡ的中点，则→ＡＦ － →ＤＢ ＝ （　 　 ） Ａ →． ＦＤ Ｂ →． ＦＣ Ｃ →． ＦＥ Ｄ →． ＢＥ ３．已知Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ的中点， 则 （　 　 ） Ａ． →ＡＤ ＋ →ＢＥ ＋ →ＣＦ ＝ ０ Ｂ． →ＢＤ － →ＣＦ ＋ →ＤＦ ＝ ０ Ｃ． →ＡＤ ＋ →ＣＥ － →ＣＦ ＝ ０ Ｄ． →ＢＤ － →ＢＥ － →ＦＣ ＝ ０ ４．若Ｄ为△ＡＢＣ的边ＢＣ的中点，则→ＡＣ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ →ＡＢ － →ＡＤ Ｂ． ２ →ＡＤ － →ＡＢ Ｃ． ２ →ＡＤ ＋ →ＡＢ Ｄ． ２ →ＡＢ ＋ →ＡＤ ５． Ｏ是四边形ＡＢＣＤ所在平面上任一点，→ＡＢ∥ →ＣＤ，且 ｜ →ＯＡ － →ＯＢ ｜ ＝ ｜ →ＯＣ － →ＯＤ ｜，则四边形ＡＢＣＤ一定为 （　 　 ） Ａ．菱形 Ｂ．任意四边形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四边形 ６．已知→ＯＡ ＝ ａ，→ＯＢ ＝ ｂ，→ＯＣ ＝ ｃ，→ＯＤ ＝ ｄ，且四边形ＡＢＣＤ 为平行四边形，则 （　 　 ） Ａ． ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄ ＝ ０ Ｂ． ａ － ｂ ＋ ｃ － ｄ ＝ ０ Ｃ． ａ ＋ ｂ － ｃ － ｄ ＝ ０ Ｄ． ａ － ｂ － ｃ ＋ ｄ ＝ ０ 二、填空题 ７．如图，已知Ｏ为平行四边形ＡＢＣＤ内一点，→ＯＡ ＝ ａ， →ＯＢ ＝ ｂ，→ＯＣ ＝ ｃ，则→ＯＤ ＝ 　 　 　 　 ． ８．若向量ａ、ｂ方向相反，且｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ １，则｜ ａ － ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ９．如图，在正六边形ＡＢＣＤＥＦ中，与→ＯＡ － →ＯＣ ＋ →ＣＤ相等 的向量有　 　 　 　 ． ①→ＣＦ；② →ＡＤ；③ →ＤＡ；④ →ＢＥ；⑤ →ＣＥ ＋ →ＢＣ；⑥ →ＣＡ － →ＣＤ； ⑦→ＡＢ ＋ →ＡＥ． 三、解答题 １０．如图，在五边形ＡＢＣＤＥ中，若四边形ＡＣＤＥ是平行 四边形，且→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，→ＡＥ ＝ ｃ，试用ａ，ｂ，ｃ表示向 量→ＢＤ，→ＢＣ，→ＢＥ，→ＣＤ及→ＣＥ．                                                                 —２２２— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．在平面上有Ａ、Ｂ、Ｃ三点，设ｍ ＝ →ＡＢ ＋ →ＢＣ，ｎ ＝ →ＡＢ － →ＢＣ，若ｍ与ｎ的长度恰好相等，则有 （　 　 ） Ａ． Ａ，Ｂ，Ｃ三点必在一条直线上 Ｂ．△ＡＢＣ必为等腰三角形且∠Ｂ为顶角 Ｃ．△ＡＢＣ必为直角三角形且∠Ｂ为直角 Ｄ．△ＡＢＣ必为等腰直角三角形 ２．下列各式结果是→ＡＢ的是 （　 　 ） Ａ． →ＡＭ － →ＭＮ ＋ →ＭＢ Ｂ． →ＡＣ － →ＢＦ ＋ →ＣＦ Ｃ． →ＡＢ － →ＤＣ ＋ →ＣＢ Ｄ． →ＡＢ － →ＦＣ ＋ →ＢＣ ３．已知点Ｏ是△ＡＢＣ内部一点，并且满足→ＯＡ ＋ ２ →ＯＢ ＋ →ＯＣ ＝ ０，△ＡＯＣ的面积为Ｓ１，△ＢＯＣ的面积为Ｓ２，则 Ｓ１ Ｓ２ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． １３ Ｄ． １ ２ ４．（多选）如图，向量→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，→ＣＤ ＝ ｃ， 则向量→ＢＤ用ａ、ｂ、ｃ表示时，解题思路 是 （　 　 ） Ａ →． ＢＤ ＝ →ＢＣ ＋ →ＣＤ Ｂ →． ＢＤ ＝ →ＢＡ ＋ →ＡＤ Ｃ →． ＢＤ ＝ →ＢＣ ＋ →ＣＡ ＋ →ＡＤ Ｄ →． ＢＤ ＝ →ＢＡ ＋ →ＡＣ ＋ →ＣＤ 二、填空题 ５．已知Ｏ为四边形ＡＢＣＤ所在平面外的一点，且向量 →ＯＡ，→ＯＢ，→ＯＣ，→ＯＤ满足→ＯＡ ＋ →ＯＣ ＝ →ＯＢ ＋ →ＯＤ，则四边形 ＡＢＣＤ的形状为　 　 　 　 　 ． ６．已知｜ ａ ｜ ＝ ７，｜ ｂ ｜ ＝ ２，且ａ∥ｂ，则｜ ａ － ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．已知点Ｂ是ＡＣＤＥ内一点，且→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，→ＡＥ ＝ ｃ， 试用ａ、ｂ、ｃ表示向量→ＣＤ、→ＢＣ、→ＢＥ、→ＣＥ及→ＢＤ． ８．证明：当向量ａ，ｂ不共线时， （１）｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜； （２）｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ － ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜                                                                       ． —３２２— 练案［１６］ Ａ组·素养自测 １． Ａ　 在△ＡＢＣ中，→ＡＢ ＝ ａ，→ＢＣ ＝ ｂ，则ａ ＋ ｂ ＝→ＡＣ，故选Ａ． ２． Ｂ　 →ＯＡ ＋→ＢＣ ＋→ＡＢ ＋ →ＤＯ ＝ →ＤＯ ＋→ＯＡ ＋→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＤＡ ＋→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝ →ＤＢ ＋→ＢＣ ＝→ＤＣ． ３． Ｂ　 ①错，若ａ ＋ ｂ ＝ ０，则ａ ＋ ｂ的方向是任意的；②正确；③ 错，当Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线时，也满足→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋→ＣＡ ＝ ０． ４． Ｂ　 连接ＣＦ，取ＣＦ中点Ｏ，连接ＯＥ，ＯＡ． 则→ＢＡ ＋→ＣＤ ＋→ＦＥ ＝（→ＢＡ ＋→ＡＦ）＋→ＦＥ ＝→ＢＥ． ５． Ｂ　 →ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＡＣ，则｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＢＣ ｜ ＝ ｜→ＡＣ ｜， 则△ＡＢＣ是等边三角形． ６．（１）０　 （２）→ＢＡ　 （１）→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋→ＣＡ ＝→ＡＣ ＋→ＣＡ ＝ ０． （２）→ＯＡ ＋ →ＯＣ ＋ →ＢＯ ＋ →ＣＯ ＝（→ＣＯ ＋→ＯＡ）＋（→ＢＯ ＋ →ＯＣ）＝→ＣＡ ＋→ＢＣ ＝→ＢＡ． ７． １　 在△ＡＢＤ中，ＡＤ ＝ ＡＢ ＝ １，∠ＤＡＢ ＝ ６０°，则ＢＤ ＝ １，所以 ｜→ＢＣ ＋→ＣＤ ｜ ＝ ｜→ＢＤ ｜ ＝ １． ８． １２０°　 因为Ｐ为△ＡＢＣ的外心，所以ＰＡ ＝ ＰＢ ＝ ＰＣ，因为→ＰＡ ＋ →ＰＢ ＝ →ＰＣ，由向量的线性运算可得四边形ＰＡＣＢ是菱形，且 ∠ＰＡＣ ＝ ６０°，所以∠ＡＣＢ ＝ １２０°． ９．（１）原式＝→ＧＣ ＋→ＣＢ ＋→ＢＥ ＝→ＧＥ． （２）原式＝→ＥＧ ＋→ＧＤ ＋→ＤＡ ＋→ＡＥ ＝ ０． １０．设ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ三根绳子所受的 力分别为ａ，ｂ，ｃ，则ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ０． 因为ａ，ｂ的合力为ｃ′ ＝ ａ ＋ ｂ，所 以｜ ｃ ｜ ＝ ｜ ｃ′ ｜ ． 如图在平行四边形ＯＢ′Ｃ′Ａ′中， 因为→ＯＢ′⊥ →ＯＣ′，→Ｂ′Ｃ′ ＝ →ＯＡ′， 所以｜ →ＯＡ′ ｜ ＞ ｜ →ＯＢ′ ｜，｜ →ＯＡ′ ｜ ＞ ｜ →ＯＣ′ ｜， 即｜ ａ ｜ ＞ ｜ ｂ ｜，｜ ａ ｜ ＞ ｜ ｃ ｜ ．故细绳ＯＡ受力最大． Ｂ组·素养提升 １． Ａ　 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的 性质及→ＡＢ与→ＡＣ共线时的情况求解． 即｜→ＡＢ ｜ － ｜→ＡＣ ｜≤ ｜→ＢＣ ｜≤ ｜→ＡＣ ｜ ＋ ｜→ＡＢ ｜，故３≤ ｜→ＢＣ ｜≤１７． ２． Ｃ　 →ＯＰ ＋ →ＯＱ ＝→ＦＯ． ３． Ｃ　 由三角形重心性质得→ＡＭ ＋ →ＢＭ ＋ →ＣＭ ＝ ０． ４． ＢＣＤ　 根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念，→ＡＢ ＋→ＣＤ ＋ →ＤＯ ＝→ＤＣ ＋→ＣＤ ＋ →ＤＯ ＝ →ＤＯ，故Ａ错误；→ＡＢ ＋→ＡＤ ＝→ＡＣ，故 Ｂ正确；→ＡＢ ＋→ＡＤ ＋→ＣＤ ＝→ＡＣ ＋→ＣＤ ＝→ＡＤ，故Ｃ正确；→ＡＣ ＋→ＢＡ ＋→ＤＡ ＝→ＢＣ ＋→ＤＡ ＝→ＢＣ ＋→ＣＢ ＝ ０，故Ｄ正确．故选ＢＣＤ． ５．沿与水流方向成６０°的（答案不唯一） ８ ｋｍ ／ ｈ　 ∵ ＯＢ 槡＝ ４ ３，ＯＡ ＝ ４， ∴ ＯＣ ＝ ８，∴ ∠ＣＯＡ ＝ ６０°． ６．槡３　 因为在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ ＝ １２０°，所以∠ＢＡＤ ＝ ６０°， 又ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ２，所以△ＡＢＤ为等边三角形，因此ＢＤ ＝ ２，连接 ＡＣ与ＢＤ且交于Ｏ点，则△ＡＢＯ为Ｒｔ△，且ＡＢ ＝ ２，ＢＯ ＝ １，ＡＯ ⊥ ＢＯ，所以 ＡＯ ＝ ＡＢ２ － ＢＯ槡 ２ 槡＝ ３，所以 →ＡＢ ＋ １２ （ →ＢＣ ＋→ＣＤ） ＝ →ＡＢ ＋ １２ →ＢＤ ＝ ｜→ＡＢ ＋ →ＢＯ ｜ ＝ ｜ →ＡＯ ｜ 槡＝ ３． ７． ∵ →ＡＢ ＝→ＡＰ ＋→ＰＢ，→ＡＣ ＝→ＡＱ ＋→ＱＣ， ∴ →ＡＢ ＋→ＡＣ ＝→ＡＰ ＋→ＰＢ ＋→ＡＱ ＋→ＱＣ． ∵ →ＰＢ与→ＱＣ大小相等，方向相反， ∴ →ＰＢ ＋→ＱＣ ＝ ０． 故→ＡＢ ＋→ＡＣ ＝→ＡＰ ＋→ＡＱ ＋ ０ ＝→ＡＰ ＋→ＡＱ． ８．如图所示，过Ｄ作ＡＣ的平行线，交ＢＣ的延长线于点Ｅ． ∵ ＤＥ∥ＡＣ，ＡＤ∥ＢＥ， ∴四边形ＡＤＥＣ为平行四边形， ∴ →ＤＥ ＝→ＡＣ，→ＣＥ ＝→ＡＤ， 于是ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋→ＢＤ ＝→ＡＣ ＋→ＢＤ ＝→ＤＥ ＋→ＢＤ ＝→ＢＥ ＝→ＡＤ ＋→ＡＤ， ∴ ｜ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ｜ ＝ ｜→ＡＤ ＋→ＡＤ 槡｜ ＝ ８ ３． 练案［１７］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 Ａ项显然正确，由平行四边形法则知Ｂ正确；Ｃ项中→ＡＢ － →ＡＤ ＝→ＤＢ，故Ｃ错误；Ｄ项中→ＡＤ ＋→ＣＢ ＝→ＡＤ ＋→ＤＡ ＝ ０，故选Ｃ． ２． Ｄ　 由图可知，→ＡＦ －→ＤＢ ＝→ＡＦ －→ＡＤ ＝→ＤＦ ＝→ＢＥ． ３． Ａ ４． Ｂ　 因为Ｄ为△ＡＢＣ的边ＢＣ的中点， 所以，根据向量加法法则得→ＡＣ ＋→ＡＢ ＝ ２ →ＡＤ，所以→ＡＣ ＝ ２ →ＡＤ －→ＡＢ．故选Ｂ． ５． Ｄ　 由｜→ＯＡ － →ＯＢ ｜ ＝ ｜→ＯＣ － →ＯＤ ｜知｜→ＢＡ ｜ ＝ ｜→ＤＣ ｜，且→ＡＢ∥→ＣＤ故四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６． Ｂ　 如图，ａ － ｂ ＝→ＯＡ － →ＯＢ ＝→ＢＡ，ｃ － ｄ ＝ →ＯＣ －→ＯＤ ＝→ＤＣ，又四边形ＡＢＣＤ为平行四 边形，则→ＢＡ ＝→ＣＤ，即→ＢＡ －→ＣＤ ＝ ０，所以→ＢＡ ＋→ＤＣ ＝０，即ａ － ｂ ＋ ｃ － ｄ ＝０．故选Ｂ． ７． ａ ＋ ｃ － ｂ　 由已知→ＡＤ ＝→ＢＣ，则→ＯＤ ＝→ＯＡ ＋→ＡＤ ＝→ＯＡ ＋→ＢＣ ＝→ＯＡ ＋ →ＯＣ －→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｃ － ｂ． ８． ２ ９．①　 →ＯＡ －→ＯＣ ＋→ＣＤ ＝→ＣＡ ＋→ＣＤ ＝→ＣＦ； →ＣＥ ＋→ＢＣ ＝→ＢＣ ＋→ＣＥ ＝→ＢＥ≠→ＣＦ； →ＣＡ －→ＣＤ ＝→ＤＡ≠→ＣＦ；→ＡＢ ＋→ＡＥ ＝→ＡＤ≠→ＣＦ． １０． ∵四边形ＡＣＤＥ是平行四边形， ∴ →ＣＤ ＝→ＡＥ ＝ ｃ，→ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＝ ｂ － ａ，→ＢＥ ＝→ＡＥ －→ＡＢ ＝ ｃ － ａ，→ＣＥ ＝→ＡＥ －→ＡＣ ＝ ｃ － ｂ，∴ →ＢＤ ＝→ＢＣ ＋→ＣＤ ＝ ｂ － ａ ＋ ｃ                                                                       ． —８６３— Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 以→ＢＡ，→ＢＣ为邻边作平行四边形， 则ｍ ＝→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＡＣ，ｎ ＝→ＡＢ －→ＢＣ ＝ →ＡＢ －→ＡＤ ＝ →ＤＢ，由ｍ，ｎ的长度相等 可知，两对角线相等，因此平行四边 形一定是矩形，故选Ｃ． ２． Ｂ　 →ＡＣ －→ＢＦ ＋→ＣＦ ＝→ＡＣ ＋→ＣＦ －→ＢＦ ＝→ＡＦ －→ＢＦ ＝→ＡＦ ＋→ＦＢ ＝→ＡＢ． ３． Ａ　 因为→ＯＡ ＋ ２ →ＯＢ ＋ →ＯＣ ＝ ０，所以 →ＯＡ ＋ →ＯＣ ＝ － ２ →ＯＢ ＝ ２ →ＢＯ，所以→ＢＯ ＝ １２ （ →ＯＡ ＋ →ＯＣ）．取ＡＣ的中点Ｄ， 则→ＯＤ ＝ １２ （ →ＯＡ ＋ →ＯＣ）． ∴ →ＢＯ ＝ →ＯＤ， 即Ｏ为中线ＢＤ的中点，如图所示，则△ＡＯＣ的面积为Ｓ１， △ＢＯＣ的面积为Ｓ２，Ｓ△ＡＯＣ ＝ ２Ｓ△ＣＯＤ，∵ Ｓ△ＣＯＤ ＝ Ｓ△ＢＯＣ，∴ Ｓ△ＡＯＣ ＝ ２Ｓ△ＢＯＣ ．所以Ｓ１Ｓ２ ＝ ２．故选Ａ． ４． ＡＢＣＤ　 Ａ中，在△ＡＢＣ中，先求→ＢＣ，再利用→ＢＤ ＝ →ＢＣ ＋ →ＣＤ；Ｂ 中，在△ＡＤＣ中，先求→ＡＤ，也可得到→ＢＤ ＝→ＢＡ ＋→ＡＤ；同理，Ｃ、Ｄ 也正确． ５．平行四边形　 ∵ →ＯＡ ＋→ＯＣ ＝→ＯＢ ＋ →ＯＤ， ∴ →ＯＡ － →ＯＤ ＝→ＯＢ －→ＯＣ，∴ →ＤＡ ＝→ＣＢ． ∴ ｜→ＤＡ ｜ ＝ ｜→ＣＢ ｜，且ＤＡ∥ＣＢ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６． ５或９　 当ａ与ｂ方向相同时，｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＝ ７ － ２ ＝ ５； 当ａ与ｂ方向相反时，｜ａ － ｂ ｜ ＝ ｜ａ ｜ ＋ ｜ｂ ｜ ＝７ ＋２ ＝９． ７． ∵四边形ＡＣＤＥ为平行四边形． ∴ →ＣＤ ＝→ＡＥ ＝ ｃ； →ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＝ ｂ － ａ； →ＢＥ ＝→ＡＥ －→ＡＢ ＝ ｃ － ａ； →ＣＥ ＝→ＡＥ －→ＡＣ ＝ ｃ － ｂ； →ＢＤ ＝→ＢＣ ＋→ＣＤ ＝ ｂ － ａ ＋ ｃ． ８．（１）如图所示， 设ａ ＝ →ＯＡ，ｂ ＝ →ＯＢ，且向量ａ，ｂ不 共线， 以ＯＡ、ＯＢ为邻边作一个平行四边形 ＯＡＣＢ，则→ＯＣ ＝ ａ ＋ ｂ，→ＢＡ ＝ ａ － ｂ， 在△ＡＯＣ中，因为ＡＯ － ＡＣ ＜ ＯＣ， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ＋ ｂ ｜， 因为ＯＣ ＜ ＡＯ ＋ ＡＣ，所以｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ． （２）由（１）向量ａ，ｂ不共线，在△ＡＯＢ中，因为ＡＯ － ＯＢ ＜ ＡＢ， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ － ｂ ｜， 因为ＡＢ ＜ ＡＯ ＋ ＯＢ，所以｜ ａ － ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜， 所以｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ＜ ｜ ａ － ｂ ｜ ＜ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜ ． 练案［１８］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ　 →ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＝ ３→ＡＢ －→ＡＢ ＝ ２→ＡＢ． ２． Ｄ　 对于Ａ，λ ＝ ０时，结论不成立； 对于Ｂ，ａ≠０时，结论成立； 对于Ｃ，｜ ｂ ｜ ＝ ２ ｜ ａ ｜时，ｂ与ａ不一定共线； 对于Ｄ，利用平面向量共线定理可知正确． ３． Ａ　 设Ｐ是对角线ＡＣ上的一点（不含Ａ、Ｃ），过Ｐ分别作ＢＣ、 ＡＢ的平行线，设→ＡＰ ＝ λ→ＡＣ，则λ∈（０，１），于是→ＡＰ ＝ λ（→ＡＢ ＋ →ＢＣ），λ∈（０，１）． ４． Ｃ　 由→ＯＰ ＝→ＯＡ ＋→ＡＰ，→ＡＰ ＝ ２３ →ＡＢ，→ＡＢ ＝ →ＯＢ －→ＯＡ，∴ →ＯＰ ＝→ＯＡ ＋ ２ ３ （ →ＯＢ －→ＯＡ）＝ ｅ１ ＋ ２３ （ｅ２ － ｅ１）＝ １ ３ ｅ１ ＋ ２ ３ ｅ２ ．故选Ｃ． ５． Ａ　 方法一：由→ＡＤ ＝ ２ →ＤＢ， 可得→ＣＤ －→ＣＡ ＝ ２（→ＣＢ －→ＣＤ）→ＣＤ ＝ １３ →ＣＡ ＋ ２３ →ＣＢ， 所以λ ＝ ２３ ．故选Ａ． 方法二：→ＣＤ ＝→ＣＡ ＋ →ＡＤ ＝→ＣＡ ＋ ２３ →ＡＢ ＝→ＣＡ ＋ ２３ （ →ＣＢ －→ＣＡ）＝ １ ３ →ＣＡ ＋ ２３ →ＣＢ，所以λ ＝ ２３ ，故选Ａ． ６． Ｃ　 向量ａ，ｂ不共线，则２３ ａ － １ ３ ｂ≠０，由ｂ ＋ ｔａ， ２ ３ ａ － １ ３ ｂ共 线，得ｂ ＋ ｔａ ＝ λ（２３ ａ － １ ３ ｂ），λ∈Ｒ，于是ｔ － ２ ３( )λ ａ ＋ １ ＋ １３( )λ ｂ ＝ ０，则ｔ － ２３ λ ＝ ０且１ ＋ １３ λ ＝ ０，解得λ ＝ － ３， ｔ ＝ － ２，所以实数ｔ的值为－ ２．故选Ｃ． ７． ３ 　 － ４ 　 因为ａ 与ｂ 不共线，根据向量相等得 ５ｘ ＝ ３ｙ ＋ ２７， ８ － ｙ ＝ ４ｘ{ ，解得ｘ ＝ ３，ｙ ＝ － ４{ ． ８． ５λ ＋ μ ＝ １３ 　 方法一：因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以设→ＯＡ ＝ →ｍ ＯＢ ＋（１ － ｍ）→ＯＣ， 即：λａ ＋ μｂ ＝ ｍ（３ａ － ２ｂ）＋（１ － ｍ）（２ａ ＋ ３ｂ）＝（ｍ ＋ ２）ａ ＋ （－ ５ｍ ＋ ３）ｂ， 所以ｍ ＋ ２ ＝ λ － ５ｍ ＋ ３ ＝{ μ，消去ｍ得：５λ ＋ μ ＝ １３． 方法二：→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ ＝（λａ ＋ μｂ）－（３ａ － ２ｂ）＝（λ － ３）ａ ＋ （μ ＋ ２）ｂ， →ＢＣ ＝→ＯＣ －→ＯＢ ＝ ２ａ ＋ ３ｂ －（３ａ － ２ｂ）＝ － ａ ＋ ５ｂ， 因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以→ＢＡ∥→ＢＣ， 故５（λ － ３）＝ －（μ ＋ ２），所以５λ ＋ μ ＝ １３． ９． １２ 　 由已知 →ＤＥ ＝ →ＢＥ － →ＢＤ ＝ ２３ →ＢＣ － １ ２ →ＢＡ ＝ ２３ （ →ＡＣ －→ＡＢ）＋ １２ →ＡＢ ＝ － １６ →ＡＢ ＋ ２３ →ＡＣ， ∴ λ１ ＝ － １ ６ ，λ２ ＝ ２ ３ ，从而λ１ ＋ λ２ ＝ １ ２ ． １０．（１）证明：因为→ＢＤ ＝→ＢＣ ＋ →ＣＤ ＝ ５ｅ１ ＋ ５ｅ２ ＝ ５→ＡＢ，且→ＡＢ为非零 向量，所以→ＡＢ与→ＢＤ共线，即Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线． （２）因为ｋｅ１ ＋ ｅ２ 与ｅ１ ＋ ｋｅ２ 平行，且两向量都为非零向量                                                                       ， —９６３—