练案16 第2章 2.1 向量的加法-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１６］ 第二章　 平面向量及其应用 § ２　 ［２． １　 向量的加法］ Ａ组·素养自测 一、选择题 １．在△ＡＢＣ中，→ＡＢ ＝ ａ，→ＢＣ ＝ ｂ，则ａ ＋ ｂ等于 （　 　 ） Ａ． →ＡＣ Ｂ． →ＢＣ Ｃ． →ＡＢ Ｄ． →ＣＡ ２．如图，四边形ＡＢＣＤ是梯形，ＡＤ ∥ＢＣ，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于 点Ｏ，则→ＯＡ ＋ →ＢＣ ＋ →ＡＢ ＋ →ＤＯ等于 （　 　 ） Ａ． →ＣＤ Ｂ． →ＤＣ Ｃ． →ＤＡ Ｄ． →ＤＯ ３．下列说法正确的个数为 （　 　 ） ①如果非零向量ａ与ｂ的方向相同或相反，那么ａ ＋ ｂ 的方向必与ａ与ｂ的方向相同； ②在△ＡＢＣ中，必有→ＡＢ ＋ →ＢＣ ＋ →ＣＡ ＝ ０； ③若→ＡＢ ＋ →ＢＣ ＋ →ＣＡ ＝ ０，则Ａ，Ｂ，Ｃ一定为一个三角形 的三个顶点． Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ４．如图，正六边ＡＢＣＤＥＦ中，→ＢＡ ＋ →ＣＤ ＋ →ＦＥ ＝ （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． →ＢＥ Ｃ． →ＡＤ Ｄ． →ＣＦ ５．在△ＡＢＣ中，｜ →ＡＢ ｜ ＝ ｜ →ＢＣ ｜ ＝ ｜ →ＡＢ ＋ →ＢＣ ｜，则△ＡＢＣ是 （　 　 ） Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形 二、填空题 ６．化简下列各式： （１）→ＡＢ ＋ →ＢＣ ＋ →ＣＡ ＝ 　 　 　 　 ； （２）→ＯＡ ＋ →ＯＣ ＋ →ＢＯ ＋ →ＣＯ ＝ 　 　 　 　 ． ７．已知在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ ＝ ６０°，｜ →ＡＢ ｜ ＝ １，则 ｜ →ＢＣ ＋ →ＣＤ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ８．如图所示，若Ｐ为△ＡＢＣ的外心，且 →ＰＡ ＋ →ＰＢ ＝ →ＰＣ，则∠ＡＣＢ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是梯形ＡＢＣＤ 的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点，化简下 列各式： （１）→ＤＧ ＋ →ＥＡ ＋ →ＣＢ； （２）→ＥＧ ＋ →ＣＧ ＋ →ＤＡ ＋ →ＥＢ． １０．如图，无弹性的细绳ＯＡ，ＯＢ的一端 分别固定在Ａ，Ｂ处，同样的细绳 ＯＣ下端系着一个称盘，且使得 ＯＢ⊥ＯＣ，试分析ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ三根 绳子受力的大小，并判断哪根绳受 力最大                                                                 ． —０２２— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．已知｜→ＡＢ ｜ ＝１０，｜→ＡＣ ｜ ＝７，则｜→ＢＣ ｜的取值范围是（　 　 ） Ａ．［３，１７］ Ｂ．（３，１７） Ｃ．（３，１０） Ｄ．［３，１０］ ２．如图所示的方格纸中有定点Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，则→ＯＰ ＋ →ＯＱ ＝ （　 　 ） Ａ． →ＯＨ Ｂ． →ＯＧ Ｃ． →ＦＯ Ｄ． →ＥＯ ３．若Ｍ为△ＡＢＣ的重心，则下列各向量中与→ＡＢ共线的 是 （　 　 ） Ａ →． ＡＢ ＋ →ＢＣ ＋ →ＡＣ Ｂ →． ＡＭ ＋ →ＭＢ ＋ →ＢＣ Ｃ →． ＡＭ ＋ →ＢＭ ＋ →ＣＭ Ｄ． ３ →ＡＭ ＋ →ＡＣ ４．（多选）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，下列计算正确 的是 （　 　 ） Ａ． →ＡＢ ＋ →ＣＤ ＋ →ＤＯ ＝ →ＯＡ Ｂ． →ＡＢ ＋ →ＡＤ ＝ →ＡＣ Ｃ． →ＡＢ ＋ →ＡＤ ＋ →ＣＤ ＝ →ＡＤ Ｄ． →ＡＣ ＋ →ＢＡ ＋ →ＤＡ ＝ ０ 二、填空题 ５．某人在静水中游泳，速度为槡４ ３ ｋｍ ／ ｈ．如果他向垂直 于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为４ ｋｍ ／ ｈ，他 实际　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 方向前进，速度 为　 　 　 　 ． ６．在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ ＝ １２０°，向量｜ →ＡＢ ｜ ＝ ２，则 →ＡＢ ＋ １２ （ →ＢＣ ＋ →ＣＤ） ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ７．如图所示，Ｐ，Ｑ是△ＡＢＣ的边 ＢＣ上两点，且ＢＰ ＝ ＱＣ．求证： →ＡＢ ＋ →ＡＣ ＝ →ＡＰ ＋ →ＡＱ． ８．如图所示，已知矩形ＡＢＣＤ中， ｜ →ＡＤ ｜ ＝ ４槡３，设→ＡＢ ＝ ａ，→ＢＣ ＝ ｂ， →ＢＤ ＝ ｃ，试求｜ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ｜的大小                                                                     ． —１２２— 练案［１６］ Ａ组·素养自测 １． Ａ　 在△ＡＢＣ中，→ＡＢ ＝ ａ，→ＢＣ ＝ ｂ，则ａ ＋ ｂ ＝→ＡＣ，故选Ａ． ２． Ｂ　 →ＯＡ ＋→ＢＣ ＋→ＡＢ ＋ →ＤＯ ＝ →ＤＯ ＋→ＯＡ ＋→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＤＡ ＋→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝ →ＤＢ ＋→ＢＣ ＝→ＤＣ． ３． Ｂ　 ①错，若ａ ＋ ｂ ＝ ０，则ａ ＋ ｂ的方向是任意的；②正确；③ 错，当Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线时，也满足→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋→ＣＡ ＝ ０． ４． Ｂ　 连接ＣＦ，取ＣＦ中点Ｏ，连接ＯＥ，ＯＡ． 则→ＢＡ ＋→ＣＤ ＋→ＦＥ ＝（→ＢＡ ＋→ＡＦ）＋→ＦＥ ＝→ＢＥ． ５． Ｂ　 →ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＡＣ，则｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＢＣ ｜ ＝ ｜→ＡＣ ｜， 则△ＡＢＣ是等边三角形． ６．（１）０　 （２）→ＢＡ　 （１）→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋→ＣＡ ＝→ＡＣ ＋→ＣＡ ＝ ０． （２）→ＯＡ ＋ →ＯＣ ＋ →ＢＯ ＋ →ＣＯ ＝（→ＣＯ ＋→ＯＡ）＋（→ＢＯ ＋ →ＯＣ）＝→ＣＡ ＋→ＢＣ ＝→ＢＡ． ７． １　 在△ＡＢＤ中，ＡＤ ＝ ＡＢ ＝ １，∠ＤＡＢ ＝ ６０°，则ＢＤ ＝ １，所以 ｜→ＢＣ ＋→ＣＤ ｜ ＝ ｜→ＢＤ ｜ ＝ １． ８． １２０°　 因为Ｐ为△ＡＢＣ的外心，所以ＰＡ ＝ ＰＢ ＝ ＰＣ，因为→ＰＡ ＋ →ＰＢ ＝ →ＰＣ，由向量的线性运算可得四边形ＰＡＣＢ是菱形，且 ∠ＰＡＣ ＝ ６０°，所以∠ＡＣＢ ＝ １２０°． ９．（１）原式＝→ＧＣ ＋→ＣＢ ＋→ＢＥ ＝→ＧＥ． （２）原式＝→ＥＧ ＋→ＧＤ ＋→ＤＡ ＋→ＡＥ ＝ ０． １０．设ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ三根绳子所受的 力分别为ａ，ｂ，ｃ，则ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ０． 因为ａ，ｂ的合力为ｃ′ ＝ ａ ＋ ｂ，所 以｜ ｃ ｜ ＝ ｜ ｃ′ ｜ ． 如图在平行四边形ＯＢ′Ｃ′Ａ′中， 因为→ＯＢ′⊥ →ＯＣ′，→Ｂ′Ｃ′ ＝ →ＯＡ′， 所以｜ →ＯＡ′ ｜ ＞ ｜ →ＯＢ′ ｜，｜ →ＯＡ′ ｜ ＞ ｜ →ＯＣ′ ｜， 即｜ ａ ｜ ＞ ｜ ｂ ｜，｜ ａ ｜ ＞ ｜ ｃ ｜ ．故细绳ＯＡ受力最大． Ｂ组·素养提升 １． Ａ　 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的 性质及→ＡＢ与→ＡＣ共线时的情况求解． 即｜→ＡＢ ｜ － ｜→ＡＣ ｜≤ ｜→ＢＣ ｜≤ ｜→ＡＣ ｜ ＋ ｜→ＡＢ ｜，故３≤ ｜→ＢＣ ｜≤１７． ２． Ｃ　 →ＯＰ ＋ →ＯＱ ＝→ＦＯ． ３． Ｃ　 由三角形重心性质得→ＡＭ ＋ →ＢＭ ＋ →ＣＭ ＝ ０． ４． ＢＣＤ　 根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念，→ＡＢ ＋→ＣＤ ＋ →ＤＯ ＝→ＤＣ ＋→ＣＤ ＋ →ＤＯ ＝ →ＤＯ，故Ａ错误；→ＡＢ ＋→ＡＤ ＝→ＡＣ，故 Ｂ正确；→ＡＢ ＋→ＡＤ ＋→ＣＤ ＝→ＡＣ ＋→ＣＤ ＝→ＡＤ，故Ｃ正确；→ＡＣ ＋→ＢＡ ＋→ＤＡ ＝→ＢＣ ＋→ＤＡ ＝→ＢＣ ＋→ＣＢ ＝ ０，故Ｄ正确．故选ＢＣＤ． ５．沿与水流方向成６０°的（答案不唯一） ８ ｋｍ ／ ｈ　 ∵ ＯＢ 槡＝ ４ ３，ＯＡ ＝ ４， ∴ ＯＣ ＝ ８，∴ ∠ＣＯＡ ＝ ６０°． ６．槡３　 因为在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ ＝ １２０°，所以∠ＢＡＤ ＝ ６０°， 又ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ２，所以△ＡＢＤ为等边三角形，因此ＢＤ ＝ ２，连接 ＡＣ与ＢＤ且交于Ｏ点，则△ＡＢＯ为Ｒｔ△，且ＡＢ ＝ ２，ＢＯ ＝ １，ＡＯ ⊥ ＢＯ，所以 ＡＯ ＝ ＡＢ２ － ＢＯ槡 ２ 槡＝ ３，所以 →ＡＢ ＋ １２ （ →ＢＣ ＋→ＣＤ） ＝ →ＡＢ ＋ １２ →ＢＤ ＝ ｜→ＡＢ ＋ →ＢＯ ｜ ＝ ｜ →ＡＯ ｜ 槡＝ ３． ７． ∵ →ＡＢ ＝→ＡＰ ＋→ＰＢ，→ＡＣ ＝→ＡＱ ＋→ＱＣ， ∴ →ＡＢ ＋→ＡＣ ＝→ＡＰ ＋→ＰＢ ＋→ＡＱ ＋→ＱＣ． ∵ →ＰＢ与→ＱＣ大小相等，方向相反， ∴ →ＰＢ ＋→ＱＣ ＝ ０． 故→ＡＢ ＋→ＡＣ ＝→ＡＰ ＋→ＡＱ ＋ ０ ＝→ＡＰ ＋→ＡＱ． ８．如图所示，过Ｄ作ＡＣ的平行线，交ＢＣ的延长线于点Ｅ． ∵ ＤＥ∥ＡＣ，ＡＤ∥ＢＥ， ∴四边形ＡＤＥＣ为平行四边形， ∴ →ＤＥ ＝→ＡＣ，→ＣＥ ＝→ＡＤ， 于是ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋→ＢＤ ＝→ＡＣ ＋→ＢＤ ＝→ＤＥ ＋→ＢＤ ＝→ＢＥ ＝→ＡＤ ＋→ＡＤ， ∴ ｜ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ｜ ＝ ｜→ＡＤ ＋→ＡＤ 槡｜ ＝ ８ ３． 练案［１７］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 Ａ项显然正确，由平行四边形法则知Ｂ正确；Ｃ项中→ＡＢ － →ＡＤ ＝→ＤＢ，故Ｃ错误；Ｄ项中→ＡＤ ＋→ＣＢ ＝→ＡＤ ＋→ＤＡ ＝ ０，故选Ｃ． ２． Ｄ　 由图可知，→ＡＦ －→ＤＢ ＝→ＡＦ －→ＡＤ ＝→ＤＦ ＝→ＢＥ． ３． Ａ ４． Ｂ　 因为Ｄ为△ＡＢＣ的边ＢＣ的中点， 所以，根据向量加法法则得→ＡＣ ＋→ＡＢ ＝ ２ →ＡＤ，所以→ＡＣ ＝ ２ →ＡＤ －→ＡＢ．故选Ｂ． ５． Ｄ　 由｜→ＯＡ － →ＯＢ ｜ ＝ ｜→ＯＣ － →ＯＤ ｜知｜→ＢＡ ｜ ＝ ｜→ＤＣ ｜，且→ＡＢ∥→ＣＤ故四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６． Ｂ　 如图，ａ － ｂ ＝→ＯＡ － →ＯＢ ＝→ＢＡ，ｃ － ｄ ＝ →ＯＣ －→ＯＤ ＝→ＤＣ，又四边形ＡＢＣＤ为平行四 边形，则→ＢＡ ＝→ＣＤ，即→ＢＡ －→ＣＤ ＝ ０，所以→ＢＡ ＋→ＤＣ ＝０，即ａ － ｂ ＋ ｃ － ｄ ＝０．故选Ｂ． ７． ａ ＋ ｃ － ｂ　 由已知→ＡＤ ＝→ＢＣ，则→ＯＤ ＝→ＯＡ ＋→ＡＤ ＝→ＯＡ ＋→ＢＣ ＝→ＯＡ ＋ →ＯＣ －→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｃ － ｂ． ８． ２ ９．①　 →ＯＡ －→ＯＣ ＋→ＣＤ ＝→ＣＡ ＋→ＣＤ ＝→ＣＦ； →ＣＥ ＋→ＢＣ ＝→ＢＣ ＋→ＣＥ ＝→ＢＥ≠→ＣＦ； →ＣＡ －→ＣＤ ＝→ＤＡ≠→ＣＦ；→ＡＢ ＋→ＡＥ ＝→ＡＤ≠→ＣＦ． １０． ∵四边形ＡＣＤＥ是平行四边形， ∴ →ＣＤ ＝→ＡＥ ＝ ｃ，→ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＝ ｂ － ａ，→ＢＥ ＝→ＡＥ －→ＡＢ ＝ ｃ － ａ，→ＣＥ ＝→ＡＥ －→ＡＣ ＝ ｃ － ｂ，∴ →ＢＤ ＝→ＢＣ ＋→ＣＤ ＝ ｂ － ａ ＋ ｃ                                                                       ． —８６３—