考案6 模块综合测评-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

▲ ４５３ ▲ ▲ ４５４ ▲ １７．（１）证明：设ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｆ，连接ＥＦ． ∵ ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， ∴ ＰＤ⊥ＣＤ． ∵ ＣＤ⊥ＰＡ，ＰＡ∩ＰＤ ＝ Ｐ， ∴ ＣＤ⊥平面ＰＡＤ． ∵ ＡＤ平面ＰＡＤ， ∴ ＣＤ⊥ＡＤ． ∵ ∠ＤＡＣ ＝ ４５°，∴ ＤＡ ＝ ＤＣ． ∵ ＤＢ平分∠ＡＤＣ，∴ Ｆ为ＡＣ的中点． ∵ Ｅ为ＰＣ的中点， ∴ ＥＦ为△ＣＰＡ的中位线，∴ ＥＦ∥ＰＡ． 又ＥＦ平面ＢＤＥ，ＰＡ平面ＢＤＥ， ∴ ＰＡ∥平面ＢＤＥ． （２）由（１）知ＤＢ⊥ＡＣ，将底面四边形ＡＢＣＤ的面积记为Ｓ，则Ｓ ＝ Ｓ△ＡＤＣ ＋ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ 槡× ２ ×槡 ２ ２ ＋ １ ２ 槡× ２ × 槡 ３ ２ ２ ＝ ２． ∵点Ｅ为线段ＰＣ的中点， ∴ Ｖ四棱锥Ｅ － ＡＢＣＤ ＝ １ ３ Ｓ × １ ２ ＰＤ ＝ １ ３ × ２ × １ ２ × ２ ＝ ２ ３ ． １８．（１）证明：如图， ∵ ＤＥ⊥ ＳＣ，且Ｅ为ＳＣ的中点，又ＳＢ ＝ ＢＣ， ∴ ＢＥ⊥ＳＣ．又ＤＥ∩ＢＥ ＝ Ｅ， 根据直线与平面垂直的判定定理知ＳＣ⊥平面ＢＤＥ， ∵ ＢＤ平面ＢＤＥ，∴ ＳＣ⊥ＢＤ． 又ＳＡ⊥平面ＡＢＣ，ＢＤ平面ＡＢＣ，∴ ＳＡ⊥ＢＤ． 又ＳＡ∩ＳＣ ＝ Ｓ，∴ ＢＤ⊥平面ＳＡＣ． （２）由（１）知∠ＥＤＣ为二面角Ｅ － ＢＤ － Ｃ的平面角，又△ＳＡＣ∽ △ＤＥＣ，∴ ∠ＥＤＣ ＝∠ＡＳＣ． 在Ｒｔ△ＳＡＢ中，∠ＳＡＢ ＝ ９０°， 设ＳＡ ＝ ＡＢ ＝ １，则ＳＢ 槡＝ ２． 由ＳＡ⊥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ∩ＳＡ ＝ Ａ， ∴ ＢＣ⊥平面ＳＡＢ，ＳＢ平面ＳＡＢ，∴ ＢＣ⊥ＳＢ． 在Ｒｔ△ＳＢＣ中，ＳＢ ＝ＢＣ 槡＝ ２，∠ＳＢＣ ＝９０°，则ＳＣ ＝２． 在Ｒｔ△ＳＡＣ中，∠ＳＡＣ ＝ ９０°，ＳＡ ＝ １，ＳＣ ＝ ２． ∴ ｃｏｓ ∠ＡＳＣ ＝ ＳＡＳＣ ＝ １ ２ ， ∴ ∠ＡＳＣ ＝６０°，即二面角Ｅ －ＢＤ －Ｃ的大小为６０°． １９．（１）证明：∵平面ＥＤＡＦ⊥平面ＡＢＣＤ，ＤＥ平面ＥＤＡＦ． 平面ＥＤＡＦ∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ，ＤＥ⊥ＡＤ，∴ ＤＥ⊥平面ＡＢＣＤ， ∵ ＡＣ平面ＡＢＣＤ，∴ ＤＥ⊥ＡＣ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ ＡＣ⊥ＢＤ ∵ ＤＥ、ＢＤ平面ＢＤＥ，ＤＥ∩ＢＤ ＝ Ｄ，∴ ＡＣ⊥平面ＢＤＥ， ∵ ＡＣ平面ＡＣＥ，∴平面ＡＥＣ⊥平面ＢＤＥ． （２）过点Ｆ作ＦＧ⊥ＡＥ于点Ｇ， 因为平面ＡＤＥＦ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＡＤＥＦ∩ 平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ， ＡＢ平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＡＤＥＦ，又ＦＧ平面ＡＤＥＦ， 所以ＡＢ⊥ＦＧ， 又ＡＢ∩ＡＥ ＝ Ａ，ＡＢ，ＡＥ平面ＡＢＥ，所以ＦＧ⊥平面ＡＢＥ， 所以线段ＦＧ的长即为点Ｆ到平面ＡＢＥ的距离， ＡＦ ＝ １，ＡＥ 槡＝ ５， Ｓ△ＡＥＦ ＝ １ ２ × １ × １ ＝ １ ２ ，Ｓ△ＡＢＥ ＝ １ ２ 槡× １ × ５ ＝槡 ５ ２ ， 由ＶＢ － ＡＥＦ ＝ ＶＦ － ＡＢＥ，得１３ Ｓ△ＡＢＥ·ＦＧ ＝ １ ３ Ｓ△ＡＥＦ·ＡＢ，即槡 ５ ２ ＦＧ ＝ １ ２ ， 所以ＦＧ ＝槡５５ ， 即点Ｆ到平面ＡＢＥ的距离为槡５５ ． 考案（六） １． Ｃ　 若ｚ ＝ － １ － ｉ，则｜ ｚ ｜ ＝ （－ １）２ ＋（－ １）槡 ２ 槡＝ ２．故选Ｃ． ２． Ｂ　 如图，将向量ａ，ｂ的起点都移到原 点，即ａ ＝→ＯＡ，ｂ ＝→ＯＢ，则｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ｜→ＢＡ ｜ 且∠ｘＯＡ ＝ ７５°，∠ｘＯＢ ＝ １５°，于是 ∠ＡＯＢ ＝ ６０°，又因为｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ １，则 △ＡＯＢ为正三角形，从而｜→ＢＡ ｜ ＝ ｜ ａ － ｂ ｜ ＝ １． ３． Ｂ　 因为 ｃｏｓ αｃｏｓ α － ｓｉｎ α 槡＝ ３，所以 １ １ － ｔａｎ α 槡＝ ３，ｔａｎ α ＝ １ － 槡３ ３所 以ｔａｎ α ＋ π( )４ ＝ ｔａｎ α ＋ １１ － ｔａｎ α 槡＝ ２ ３ － １，故选Ｂ． ４． Ｂ　 由ｓｉｎ２Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ及正弦定理，得ｂ２ ＝ ２ａｃ，① 又Ｂ ＝ π２ ，所以ａ ２ ＋ ｃ２ ＝ ｂ２ ．② 联立①②解得ａ ＝ ｃ 槡＝ ６，所以Ｓ ＝ １２ 槡槡× ６ × ６ ＝ ３． ５． Ｂ　 当异面直线互相垂直时满足条件的平面有１个，当异面直线 互相不垂直时满足条件的平面有０个．故选Ｂ． ６． Ａ　 ∵ →ＡＤ ＝ １２ （ →ＡＣ ＋→ＡＢ）＝ １２ （６ｐ － ｑ）， ∴ ｜→ＡＤ ｜ ＝ 　｜→ＡＤ ｜槡２ ＝ １２ （６ｐ － ｑ）槡 ２ ＝ １２ ３６ｐ ２ － １２ｐ·ｑ ＋ ｑ槡 ２ ＝ １２ ３６ ×（槡２ ２） ２ 槡－ １２ × ２ ２ × ３ × ｃｏｓ π４ ＋ ３槡 ２ ＝ １５２ ． ７． Ａ　 如图，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连接ＯＣ１ ． 因为ＡＢ ＝ ＡＤ 槡＝ ２ ３，所以ＡＣ⊥ＢＤ，又易知ＢＤ⊥平面ＡＣＣ１Ａ１，所 以ＢＤ⊥ＯＣ１，所以∠ＣＯＣ１为二面角Ｃ１ － ＢＤ － Ｃ的一个平面角．因 为在△ＣＯＣ１中，ＯＣ 槡＝ ６，ＣＣ１ 槡＝ ２，所以ｔａｎ∠ＣＯＣ１ ＝槡３３ ，所以二 面角Ｃ１ － ＢＤ － Ｃ的大小为３０°． ８． Ｂ 　 ｙ [＝ 槡２２ ｃｏｓ ｘ － 槡２２ ｓｉｎ ｘ ＋ 槡２２ ｓｉｎ ｘ ＋ 槡２２ ｃｏｓ ]ｘ · 槡２ ２ ｃｏｓ ｘ － 槡２ ２ ｓｉｎ ｘ － 槡２ ２ ｓｉｎ ｘ － 槡２ ２ ｃｏｓ[ ]ｘ 槡＝ ２ ｃｏｓ ｘ·（ 槡－ ２ｓｉｎ ｘ） ＝ － ２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＝ － ｓｉｎ ２ｘ，故选Ｂ． ９． ＡＢＤ　 设ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则ｚ ＝ ａ － ｂｉ，ａ ＋ ｂｉ ＝ ａ － ｂｉｂ ＝ ０ｚ ∈Ｒ，故Ａ正确；ａ ＋ ｂｉ ＋ ａ － ｂｉ ＞ ０ａ ＞ ０ ｜ ｚ ｜ ＞ ０，故Ｂ正确；ｚ ＋ １ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＋ １ ａ ＋ ｂｉ ＝ ａ ＋ ａ ａ２ ＋ ｂ( )２ ＋ ｂ － ｂａ２ ＋ ｂ( )２ ｉ∈Ｒｂ － ｂａ２ ＋ ｂ２ ＝ ０ｂ ＝ ０或ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １，故Ｃ不正确；ｚ·ｚ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｜ ｚ ｜ ２ ＝ ４，故 Ｄ正确．故选ＡＢＤ． １０． ＢＣ　 令ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＝ ０，解得ｘ ＝ ｋπ２ ，ｋ∈Ｚ，即为ｆ（ｘ）零点，令 ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ ＝ ０，解得ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π８ ，ｋ∈Ｚ，即为ｇ（ｘ）零 点，显然ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）零点不同，Ａ选项错误；显然ｆ （ｘ）ｍａｘ ＝ ｇ（ｘ）ｍａｘ ＝ １，Ｂ选项正确；根据周期公式，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的周期均为 ２π ２ ＝ π，Ｃ选项正确；根据正弦函数的性质ｆ（ｘ）的对称轴满足２ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ π ４ ，ｋ∈Ｚ，ｇ（ｘ）的对称轴满足２ｘ － π ４ ＝ ｋπ ＋ π ２ ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ ３π ８ ，ｋ∈Ｚ，显然ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）图象的对称轴不同，Ｄ选 项错误．故选ＢＣ． １１． ＡＢＣ　 △ＡＤＥ是等腰直角三角形，Ａ到ＤＥ的距离是槡２２ ，当平面 Ａ１ ＤＥ⊥平面ＢＣＤＥ时，Ａ１到平面ＢＣＤＥ的距离最大为槡２２ ，又 Ｓ四边形ＢＣＤＥ ＝ ２ × １ － １ ２ × １ × １ ＝ ３ ２ ， ∴ Ｖ最大值＝ １ ３ × ３ ２ × 槡２ ２ ＝ 槡２ ４ ． Ａ正确； 取ＣＤ中点Ｎ，连接ＭＮ，ＢＮ，∵ Ｍ是Ａ１Ｃ的中点， ∴ ＭＮ∥Ａ１Ｄ，而ＭＮ平面Ａ１ＤＥ，Ａ１Ｄ平面Ａ１ＤＥ， ∴ ＭＮ∥平面Ａ１ＤＥ， 由ＤＮ与ＥＢ平行且相等得四边形ＤＮＢＥ是平行四边形，ＢＮ                                                                                                                                                                                                                ∥ ▲ ４５５ ▲ ▲ ４５６ ▲ ＤＥ，同理得ＢＮ∥平面Ａ１ＤＥ， 而ＢＮ∩ＭＮ ＝ Ｎ，∴平面ＢＭＮ∥平面Ａ１ＤＥ，ＢＭ平面ＢＭＮ， ∴ ＭＢ∥平面Ａ１ＤＥ，Ｃ正确； 在上述过程中得∠ＭＮＢ ＝∠Ａ１ＤＥ ＝ ４５°，又ＢＮ ＝ ＤＥ 槡＝ ２，ＭＮ ＝ １ ２ Ａ１Ｄ ＝ １ ２ ， ∴ ＢＭ ＝ （槡２）２ ＋ ( )１２ ２ 槡－ ２ × ２ × １２槡 ｃｏｓ ４５° ＝槡５２ 为定值，Ｂ 正确； 　 　 假设存在某个位置，使ＤＥ⊥Ａ１Ｃ，取ＤＥ中点Ｏ，连接Ａ１Ｏ，ＣＯ，显 然Ａ１Ｏ⊥ＤＥ，而Ａ１Ｏ∩Ａ１Ｃ ＝Ａ１，∴ ＤＥ⊥平面Ａ１ＯＣ，ＯＣ平面Ａ１ＯＣ， ∴ ＤＥ⊥ＯＣ，则ＣＥ ＝ ＣＤ，但ＣＥ 槡＝ ２，ＣＤ ＝ ２，不可能相等，所以不 可能有ＤＥ⊥Ａ１Ｃ． Ｄ错．故选ＡＢＣ． １２． ± ３　 因为ａ ＋ λｂ ＝（３ ＋ λ，３ － λ），ａ － λｂ ＝（３ － λ，３ ＋ λ），又（ａ ＋ λｂ）⊥（ａ － λｂ），所以（ａ ＋ λｂ）·（ａ － λｂ）＝（３ ＋ λ）（３ － λ）＋ （３ － λ）（３ ＋ λ）＝ ０，解得λ ＝ ± ３． １３． ７　 取ＡＢ的中点Ｅ，连接ＰＥ，ＥＣ． ∵ ＰＡ ＝ ＰＢ，∴ ＰＥ⊥ＡＢ． 又平面ＰＡＢ⊥平面ＡＢＣ， ∴ ＰＥ⊥平面ＡＢＣ．连接ＣＥ， ∴ ＰＥ⊥ＣＥ． 又∠ＡＢＣ ＝ ９０°，ＡＣ ＝ ８，ＢＣ ＝ ６， ∴ ＡＢ 槡＝ ２ ７，ＰＥ ＝ ＰＡ２ － ＡＥ槡 ２ 槡＝ ６， ＣＥ ＝ ＢＥ２ ＋ ＢＣ槡 ２ 槡＝ ４３，ＰＣ ＝ ＰＥ２ ＋ ＣＥ槡 ２ ＝ ７． １４．①②③　 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ ＋ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ ＋ ｃｏｓ π２ ＋ ２ｘ － π( )３ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ － ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 槡＝ ２ｃｏｓ ２ｘ － π３ ＋ π( )４ 槡＝ ２ｃｏｓ ２ｘ － π( )１２ ， 所以①②③正确，④错误． １５．（１）证明：因为→ＡＢ ＝ ｅ１ ＋ ｅ２，→ＢＤ ＝→ＢＣ ＋→ＣＤ ＝ ５ｅ１ ＋ ５ｅ２， 所以→ＢＤ ＝ ５→ＡＢ，即→ＡＢ，→ＢＤ共线， 又→ＡＢ，→ＢＤ有公共点Ｂ， 所以Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线． （２）因为（２ｅ１ ＋ ｅ２）⊥（ｅ１ ＋ ｋｅ２）， 所以（２ｅ１ ＋ ｅ２）·（ｅ１ ＋ ｋｅ２）＝ ０， ２ｅ２１ ＋ ２ｋｅ１·ｅ２ ＋ ｅ１·ｅ２ ＋ ｋｅ２２ ＝ ０，即２ ＋ ｋ ＋ １２ ＋ ｋ ＝ ０， 解得ｋ ＝ － ５４ ． １６．（１）因为ｘ ＝ π８是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象的对称轴， 所以ｓｉｎ ２ × π８ ＋( )φ ＝ ± １， 即π４ ＋ φ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ． 因－ π ＜ φ ＜ ０，所以ｋ ＝ － １时得φ ＝ － ３π４ ． （２）由（１）知φ ＝ － ３π４ ，因此ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － ３π( )４ ．由题意得２ｋπ － π ２ ≤２ｘ － ３π ４ ≤２ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得ｋπ ＋ π ８ ≤ ｘ≤ ｋπ ＋ ５π ８ ， （ｋ∈Ｚ） 所以函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － ３π( )４ 的单调增区间为ｋπ ＋ π８ ，ｋπ ＋ ５π[ ]８ ， ｋ∈Ｚ． （３）由ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － ３π( )４ 知：令ｚ ＝ ２ｘ － ３π４ ，ｘ∈［０，π］． ①列表如下： ｘ ０ π８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ π ｚ － ３π４ － π ２ ０ π ２ π ５π ４ ｙ －槡２２ － １ ０ １ ０ －槡 ２ ２ ②描点连线得函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［０，π］上的图象． １７．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，所以ＡＣ⊥ＢＤ． 因为ＥＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＣ平面ＡＢＣＤ，所以ＥＤ⊥ＡＣ． 又ＥＤ∩ＢＤ ＝ Ｄ，ＥＤ，ＢＤ平面ＢＤＥＦ， 所以ＡＣ⊥平面ＢＤＥＦ． 又ＡＣ平面ＡＦＣ，所以平面ＢＤＥＦ⊥平面ＡＦＣ． （２）如图，设ＢＤ交ＡＣ于点Ｏ，连接 ＯＥ，ＯＦ． 由（１）可知，ＡＣ⊥平面ＢＤＥＦ，ＯＦ平 面ＢＤＥＦ，所以ＡＣ⊥ＯＦ． 设ＢＦ ＝ １，则ＯＢ ＝ ＯＤ ＝ １，ＤＥ ＝ ２，所以 Ｓ△ＥＯＦ ＝ Ｓ四边形ＢＤＥＦ － Ｓ△ＢＯＦ － Ｓ△ＤＯＥ ＝ （１ ＋ ２）× ２ ２ － １ ２ × １ × １ － １ ２ × ２ × １ ＝ ３２ ，所以Ｖ１ ＝ ２ ＶＡ － ＥＯＦ ＝ １ ３ Ｓ△ＥＯＦ·ＡＣ ＝ １ ３ × ３ ２ ＡＣ ＝ １ ２ ＡＣ． 由（１）可知，ＢＦ⊥平面ＡＢＣＤ， 所以Ｖ２ ＝ ＶＡ － ＢＦＣ ＝ ＶＦ － ＡＢＣ ＝ １３ Ｓ△ＡＢＣ·ＢＦ ＝ １ ３ × １ ２ ＡＣ·ＯＢ·ＢＦ ＝ １６ ＡＣ，所以 Ｖ１ Ｖ２ ＝ ３． １８．（１）在△ＡＢＤ中，由正弦定理得ＢＤｓｉｎ Ａ ＝ ＡＢ ｓｉｎ∠ＡＤＢ ， 由题设知， ５ｓｉｎ４５° ＝ ２ ｓｉｎ∠ＡＤＢ ，所以ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝槡２５ ． 由题设知，∠ＡＤＢ ＜ ９０°，所以ｃｏｓ∠ＡＤＢ ＝ １ － ２槡２５ ＝槡２３５ ． （２）由题设及（１）知，ｃｏｓ∠ＢＤＣ ＝ ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝槡２５ ． 在△ＢＣＤ中，由余弦定理得 ＢＣ２ ＝ ＢＤ２ ＋ ＤＣ２ － ２ＢＤ·ＤＣ·ｃｏｓ∠ＢＤＣ 槡＝ ２５ ＋ ８ － ２ × ５ × ２ ２ × 槡２ ５ ＝ ２５，所以ＢＣ ＝ ５． １９．（１）证明：连接ＡＢ１，∵ ＡＤ∥ＢＣ∥Ｂ１Ｃ１且ＡＤ ＝ ＢＣ ＝ Ｂ１Ｃ１， ∴四边形ＡＤＣ１Ｂ１为平行四边形，∴ ＡＢ１∥ＤＣ１， 又∵ ＡＢ１平面Ａ１ＡＢＢ１，ＤＣ１平面Ａ１ＡＢＢ１， ∴ ＤＣ１∥平面Ａ１ＡＢＢ１ ． （２）①证明：取ＤＣ的中点Ｍ，连接Ａ１Ｍ，ＡＭ． 易知Ｒｔ△Ａ１ ＡＤ≌Ｒｔ△Ａ１ ＡＣ，∴ Ａ１ Ｄ ＝ Ａ１Ｃ，∴ Ａ１Ｍ⊥ＤＣ， 又ＡＭ⊥ＤＣ，∴ ∠Ａ１ ＭＡ为二面角 Ａ１ － ＤＣ － Ａ的平面角，∴ ∠Ａ１ＭＡ ＝ ４５°． ∴在Ｒｔ△Ａ１ＡＭ中，ＡＡ１ ＝ ＡＭ ＝ ２，∴ ＡＤ ＝ ＡＣ 槡＝ ２ ２， ∴ ＡＣ２ ＋ ＡＤ２ ＝ ＤＣ２，∴ ＡＣ⊥ＡＤ，又∵ ＡＣ⊥ＡＡ１，ＡＤ∩ＡＡ１ ＝ Ａ， ∴ ＡＣ⊥平面Ａ１ＡＤ，又∵ ＡＣ∥Ａ１Ｃ１，∴ Ａ１Ｃ１⊥平面Ａ１ＡＤ． ∵ Ａ１Ｃ１平面Ａ１Ｃ１Ｄ，∴平面Ａ１Ｃ１Ｄ⊥平面Ａ１ＡＤ． ②∵ ＡＢ１∥Ｃ１Ｄ， ∴ Ｃ１Ｄ与平面Ａ１ＡＤ所成角与ＡＢ１与平面Ａ１ＡＤ所成角相等． 由①知Ｃ１Ａ１⊥平面Ａ１ＡＤ， ∴ Ａ１Ｄ为Ｃ１Ｄ在平面Ａ１ＡＤ内的射影， 故∠Ａ１ＤＣ１为直线ＤＣ１与平面Ａ１ＡＤ所成角， 在Ｒｔ△Ａ１ＤＣ１中，ｔａｎ∠Ａ１ＤＣ１ ＝ Ａ１Ｃ１Ａ１Ｄ ＝ 槡６ ３ ， ∴直线ＡＢ１与平面Ａ１ＡＤ所成角的正切值为槡６３                                                                                                                                                                                                                ． ▲ ４３７ ▲ ▲ ４３８ ▲ 考 案 （六） 模块综合测评 考试时间１２０分钟，满分１５０分． 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） １．（２０２４·新高考Ⅱ卷，１）已知ｚ ＝ － １ － ｉ，则｜ ｚ ｜ ＝ （　 　 ） 槡Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ２ ２．已知向量ａ ＝（ｃｏｓ ７５°，ｓｉｎ ７５°），ｂ ＝（ｃｏｓ １５°，ｓｉｎ １５°），则｜ ａ － ｂ ｜的值为 （　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ３．（２０２４·全国高考甲卷）已知 ｃｏｓ αｃｏｓ α － ｓｉｎ α 槡＝ ３，则ｔａｎ α ＋ π( )４ ＝ （　 　 ） 槡 槡Ａ． ２ ３ ＋ １ Ｂ． ２ ３ － １ Ｃ．槡３２ 槡Ｄ． １ － ３ ４．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ．若Ｂ ＝ π２ ，ａ 槡＝ ６，ｓｉｎ ２Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ，则△ＡＢＣ的面积Ｓ ＝ （　 　 ） Ａ． ３２ 槡Ｂ． ３ Ｃ． ６ Ｄ． ６ ５．已知直线ｍ，ｎ是异面直线，则过直线ｎ且与直线ｍ垂直的平面 （　 　 ） Ａ．有且只有一个 Ｂ．至多有一个 Ｃ．有一个或无数多个 Ｄ．不存在 ６．已知｜ ｐ 槡｜ ＝ ２ ２，｜ ｑ ｜ ＝ ３，ｐ，ｑ的夹角为π４ ，如图，若 →ＡＢ ＝ ５ｐ ＋ ２ｑ，→ＡＣ ＝ ｐ － ３ｑ，Ｄ为ＢＣ的中点， 则｜ →ＡＤ ｜为 （　 　 ） Ａ． １５２ Ｂ． 槡１５ ２ Ｃ． ７ Ｄ． １８ ７．在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，若ＡＢ ＝ ＡＤ 槡＝ ２ ３，ＣＣ１ 槡＝ ２，则二面角Ｃ１ － ＢＤ － Ｃ的大小为 （　 　 ） Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． ９０° ８．函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )４ ＋ ｓｉｎ ｘ ＋ π( )[ ]４ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )[ ４ － ｓｉｎ ｘ ＋ π( ) ]４ 在一个周期内的图象是 （　 　 ） 　 　 二、多项选择题（本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部 选对的得６分，有选错的得０分，部分选对的得部分分） ９．设ｚ是复数，ｚ是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （　 　 ） Ａ．若ｚ ＝ ｚ，则ｚ∈Ｒ Ｂ．若ｚ ＋ ｚ ＞ ０，则｜ ｚ ｜ ＞ ０ Ｃ．若ｚ ＋ １ｚ ∈Ｒ，则｜ ｚ ｜ ＝ １ Ｄ．若｜ ｚ ｜ ＝ ２，则ｚ·ｚ ＝ ４ １０．（２０２４·全国高考Ⅱ卷）对于函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ和ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ ，下列说法中正确的有 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的零点 Ｂ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的最大值 Ｃ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的最小正周期 Ｄ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象有相同的对称轴 １１．如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ２ＡＤ ＝ ２，Ｅ为边ＡＢ的中点．将△ＡＤＥ沿直线ＤＥ翻折成△Ａ１ＤＥ（点Ａ１不落在底面ＢＣＤＥ 内）．若Ｍ为线段Ａ１Ｃ的中点，则在△ＡＤＥ翻转过程中，以下命题正确的是 （　 　 ） Ａ．四棱锥Ａ１ － ＢＣＤＥ体积最大值为槡２４ Ｂ．线段ＢＭ长度是定值 Ｃ． ＭＢ∥平面Ａ１ＤＥ一定成立 Ｄ．存在某个位置，使ＤＥ⊥Ａ１Ｃ 三、填空题（本大题共３小题，每小题５分，共１５分） １２．设向量ａ ＝（３，３），ｂ ＝（１，－ １）．若（ａ ＋ λｂ）⊥（ａ － λｂ），则实数λ ＝ 　 　 　 　 ． １３．如图，四面体Ｐ － ＡＢＣ中，ＰＡ ＝ ＰＢ ＝槡１３，平面ＰＡＢ⊥平面ＡＢＣ，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，ＡＣ ＝ ８，ＢＣ ＝ ６，则ＰＣ ＝ 　 　 　 　 ． １４．关于函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )３ ＋ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ ，有下列说法： ①ｙ ＝ ｆ（ｘ）的最大值为槡２； ②ｙ ＝ ｆ（ｘ）是以π为最小正周期的周期函数； ③ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间π２４， １３π( )２４ 上单调递减； ④将函数ｙ ＝槡２ｃｏｓ ２ｘ的图象向左平移π２４个单位长度后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是　 　 　 　 ． 四、解答题（本大题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（本小题满分１３分）设向量ｅ１，ｅ２的夹角为６０°且｜ ｅ１ ｜ ＝ ｜ ｅ２ ｜ ＝ １，如果→ＡＢ ＝ ｅ１ ＋ ｅ２，→ＢＣ ＝ ２ｅ１ ＋ ８ｅ２，→ＣＤ ＝ ３（ｅ１ － ｅ２）． （１）证明：Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线； （２）试确定实数ｋ的值，使ｋ的取值满足向量２ｅ１ ＋ ｅ２与向量ｅ１ ＋ ｋｅ２垂直                                                                      ． ▲ ４３９ ▲ ▲ ４４０ ▲ １６．（本小题满分１５分）已知函数ｙ ＝ ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ）（－ π ＜ φ ＜ ０）的图象的一条对称轴是直线ｘ ＝ π８ ． （１）求φ； （２）求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的单调增区间； （３）画出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［０，π］上的图象． １７．（本小题满分１５分）如图，四边形ＡＢＣＤ为菱形，ＥＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＦＢ∥ＥＤ，ＢＤ ＝ ＥＤ ＝ ２ＦＢ． （１）求证：平面ＢＤＥＦ⊥平面ＡＦＣ； （２）记三棱锥Ａ － ＥＦＣ的体积为Ｖ１，三棱锥Ａ － ＢＦＣ的体积为Ｖ２，求Ｖ１Ｖ２的值． １８．（本小题满分１７分）在平面四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ ＝ ９０°，∠Ａ ＝ ４５°，ＡＢ ＝ ２，ＢＤ ＝ ５． （１）求ｃｏｓ∠ＡＤＢ； （２）若ＤＣ 槡＝ ２ ２，求ＢＣ． １９．（本小题满分１７分）如图，在三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，ＡＣ ＝ ＢＣ，ＡＢ ＝ ２Ａ１Ａ ＝ ４，以ＡＢ，ＢＣ为邻边作平行四边形ＡＢＣＤ，连接Ａ１Ｄ，ＤＣ１ ． （１）求证：ＤＣ１∥平面Ａ１ＡＢＢ１； （２）若二面角Ａ１ － ＤＣ － Ａ为４５°； ①求证：平面Ａ１Ｃ１Ｄ⊥平面Ａ１ＡＤ； ②求直线ＡＢ１与平面Ａ１ＡＤ所成角的正切值                                                                     ．