考案5 第6章 立体几何初步-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

▲ ４５１ ▲ ▲ ４５２ ▲ 所以ｚ ＝ ５２ － ｉ ＋ ｜ ｉ ｜ ＝ ５（２ ＋ ｉ） （２ － ｉ）（２ ＋ ｉ）＋ １ ＝ ３ ＋ ｉ． （２）因为ｚ ＝ ３ ＋ ｉ是关于ｘ的方程ｘ２ － ｐｘ ＋ ｑ ＝ ０的一个根，所以 （３ ＋ ｉ）２ － ｐ（３ ＋ ｉ）＋ ｑ ＝ ０， （８ － ３ｐ ＋ ｑ）＋（６ － ｐ）ｉ ＝ ０， 因为ｐ，ｑ为实数，所以 ８ － ３ｐ ＋ ｑ ＝ ０， ６ － ｐ ＝ ０{ ， 解得ｐ ＝ ６，ｑ ＝ １０． 解方程ｘ２ － ６ｘ ＋ １０ ＝ ０，得ｘ ＝ ３ ± ｉ． 所以实数ｐ ＝ ６，ｑ ＝ １０，方程的另一个根为ｘ ＝ ３ － ｉ． １９．（１）因为ｚ１ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － ｔｉ，ｚ２ ＝ ａ ＋（ａ 槡－ ３ｃｏｓ ２ｘ）ｉ且ｚ１ ＝ ｚ２，所以 ｓｉｎ ２ｘ ＝ ａ， － ｔ ＝ ａ 槡－ ３ｃｏｓ ２ｘ{ ，所以ｔ 槡＝ ３ｃｏｓ ２ｘ － ｓｉｎ ２ｘ，又ｔ ＝ ０， 所以ｓｉｎ ２ｘ 槡－ ３ｃｏｓ ２ｘ ＝ ０，得到ｔａｎ ２ｘ 槡＝ ３．因为０ ＜ ｘ ＜ ５６ π，所 以０ ＜ ２ｘ ＜ ５３ π，所以２ｘ ＝ π ３或 ４π ３ ， 所以ｘ ＝ π６或 ２π ３ ． （２）由（１）知，ｔ ＝ ｆ（ｘ） 槡＝ ３ ｃｏｓ ２ｘ － ｓｉｎ ２ｘ ＝ ２ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ ，由 ｆ（α） ＝ １２ 得ｃｏｓ ２α ＋ π( )６ ＝ １４ ，而ｓｉｎ ４α ＋ ５π( )６ ＝ ｓｉｎ ２ ２α ＋ π( )６ ＋ π[ ]２ [ (＝ ｃｏｓ ２ ２α ＋ π ) ]６ ＝ ２ｃｏｓ２ ２α ＋ π( )６ － １ ＝ － ７８ ． 考案（五） １． Ｃ　 分别以长为８ ｃｍ，宽为６ ｃｍ的边所在的直线为旋转轴，即可 得到两种不同大小的圆柱，显然Ｃ选项正确． ２． Ｂ　 由直线与平面平行的判定定理，可知ＣＤ∥α，所以ＣＤ与平面 α内的直线没有公共点． ３． Ｄ　 连接ＤＣ１，可知ＭＮ是△Ｃ１ＤＢ的中位线，所以ＭＮ∥ＢＤ，ＢＤ 与Ａ１Ｂ１不平行，所以ＭＮ不可能与Ａ１Ｂ１平行． ４． Ｃ　 过点Ｆ作ＦＨ∥ＤＣ，交ＢＣ于Ｈ，过点Ａ作ＡＧ⊥ＥＦ，交ＥＦ于 Ｇ，连接ＧＨ，ＡＨ，则∠ＡＦＨ（或其补角）为异面直线ＡＦ与ＢＥ所成 的角．设正方形ＡＢＣＤ的边长为２，在△ＡＧＨ中，ＡＨ ＝ ５２ ＋槡２４ ＝ 槡３，在△ＡＦＨ中，ＡＦ ＝ １，ＦＨ ＝ ２，ＡＨ 槡＝ ３，∴ ｃｏｓ ∠ＡＦＨ ＝ １２ ． ５． Ａ　 对①，当ｎα，因为ｍ∥ｎ，ｍβ，则ｎ∥β，当ｎβ，因为ｍ∥ｎ， ｍα，则ｎ∥α，当ｎ既不在α也不在β内，因为ｍ∥ｎ，ｍα，ｍ β，则ｎ∥α且ｎ∥β，故①正确；对②，若ｍ⊥ｎ，则ｎ与α，β不一定 垂直，故②错误；对③，过直线ｎ分别作两平面与α，β分别相交于 直线ｓ和直线ｔ，因为ｎ∥α，过直线ｎ的平面与平面α的交线为直 线ｓ，则根据线面平行的性质定理知ｎ∥ｓ，同理可得ｎ∥ｔ，则ｓ∥ｔ， 因为ｓ平面β，ｔ平面β，则ｓ∥平面β，因为ｓ平面α，α∩β ＝ｍ， 则ｓ∥ｍ，又因为ｎ∥ｓ，则ｍ∥ｎ，故③正确； 对④，若α∩β ＝ ｍ，ｎ与α和β所成的角相等，如果ｎ∥α，ｎ∥β，则 ｍ∥ｎ，故④错误；综上只有①③正确．故选Ａ． ６． Ａ　 因为Ｖ台＝ １３ （Ｓ上＋ Ｓ下＋ Ｓ上·Ｓ槡 下）ｈ ＝ １３ （１６２ ＋ １３１． ２５ ＋ １６２ × １３１．槡 ２５）× １６ ＝ ２ ３４２． ９ ｃｍ ３， Ｖ锥＝ １ ３ Ｓｈ ＝ １ ３ × １６２ × ８ ＝ ４３２ ｃｍ ３，所以Ｖ ＝ Ｖ台＋ Ｖ锥＝ ２ ７７４． ９ ｃｍ３ ．故选Ａ． ７． Ａ　 如图所示，设球的半径为Ｒ，球心为Ｏ，正四棱锥的底面中心 为Ｏ′． ∵正四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中ＡＢ ＝ ２，∴ ＡＯ′ 槡＝ ２． ∵ ＰＯ′ ＝ ４，∴在 Ｒｔ△ＡＯＯ′中，ＡＯ２ ＝ ＡＯ′２ ＋ ＯＯ′２，∴ Ｒ２ ＝（槡２）２ ＋（４ － Ｒ）２，解得Ｒ ＝ ９４ ，∴该球的表面积为４πＲ ２ ＝ ４π × ( )９４ ２ ＝ ８１π４ ，故选Ａ． ８． Ｃ　 如图，取Ｂ１Ｃ１ 的中点Ｅ，连接ＢＥ，ＤＥ， 则ＡＣ∥Ａ１Ｃ１∥ＤＥ，则∠ＢＤＥ即为异面直 线ＢＤ与ＡＣ所成的角．由条件可知ＢＤ ＝ ＤＥ ＝ ＥＢ 槡＝ ５，所以∠ＢＤＥ ＝ ６０°，故选Ｃ． ９． ＢＤ　 Ａ错，两个平面相交时，也有无数个公共点；Ｃ错，比如ａ⊥α， ｂα，ｃα，显然有ａ⊥ｂ，ａ⊥ｃ，但ｂ与ｃ也可能相交．故选ＢＤ． １０． ＡＢＣ　 由切线长定理易得ｌ ＝ ｒ１ ＋ ｒ２，Ａ正确；由勾股定理知 （２Ｒ）２ ＝（ｒ１ ＋ ｒ２）２ － （ｒ１ － ｒ２）２ ＝ ４ ｒ１ ｒ２，解得Ｒ ＝ ｒ１ ｒ槡２，Ｂ正 确；因为Ｓ１Ｓ２ ＝ ４π Ｒ２ π［ｒ２１ ＋ ｒ２２ ＋（ｒ１ ＋ ｒ２）ｌ］ ＝ ４π Ｒ２ ２π（ｒ２１ ＋ ｒ２２ ＋ ｒ１ ｒ２） ＝ ２ Ｒ２ ｒ２１ ＋ ｒ ２ ２ ＋ ｒ１ ｒ２ ，Ｖ１Ｖ２ ＝ ４ ３ π Ｒ ３ １ ３ π（ｒ ２ １ ＋ ｒ ２ ２ ＋ ｒ１ ｒ２）ｈ ＝ ４ ３ π Ｒ ３ ２Ｒπ ３ （ｒ ２ １ ＋ ｒ ２ ２ ＋ ｒ１ ｒ２） ＝ ２ Ｒ２ ｒ２１ ＋ ｒ ２ ２ ＋ ｒ１ ｒ２ ，所以Ｓ１Ｓ２ ＝ Ｖ１ Ｖ２ ，Ｃ正确；因为Ｓ１Ｓ２ ＝ ２ ｒ１ ｒ２ ｒ２１ ＋ ｒ ２ ２ ＋ ｒ１ ｒ２ ＝ ２ ｒ１ ｒ２ ＋ ｒ２ ｒ１ ＋ １ ≤ ２３ ，当且仅当ｒ１ ＝ ｒ２时，等号成立，这与圆台的定义 矛盾，故Ｄ错误．故选ＡＢＣ． １１． ＢＣ　 取ＤＤ１中点Ｍ，则ＡＭ为ＡＦ在平面ＡＡ１Ｄ１Ｄ上的射影，∵ ＡＭ与ＤＤ１不垂直，∴ ＡＦ与ＤＤ１ 不垂直，故Ａ选项错误；∵ Ａ１Ｇ ∥Ｄ１Ｆ，Ａ１Ｇ平面ＡＥＦＤ１，∴ Ａ１Ｇ∥平面ＡＥＦＤ１，故Ｂ选项正确； 平面ＡＥＦ截正方体所得截面为等腰梯形ＡＥＦＤ１，易知梯形面积 为９８ ，故Ｃ选项正确；假设Ｃ与Ｇ到平面ＡＥＦ的距离相等，即平 面ＡＥＦ将ＣＧ平分，则平面ＡＥＦ必过ＣＧ中点，连接ＣＧ交ＥＦ于 Ｈ，而Ｈ不是ＣＧ中点，则假设不成立．故Ｄ选项错误．故选ＢＣ． １２． １２　 Ｖ ＝ Ｓｈ ＝ πｒ２ｈ ＝ ４３ πＲ ３，Ｒ ＝ ３槡６４ × ２７ ＝ １２（厘米）． １３．②④　 对①可举反例，如图，需ｂ⊥β才能推 出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β 的交线垂直时，即可知ａ，ｂ不垂直；根据面 面、线面垂直的定义与判定知②④正确． １４． 槡２ ２　 槡６４ 　 如图所示，连接ＡＣ，过Ａ作ＡＨ⊥ ＢＣ于Ｈ，连接ＰＨ， ∵ ＰＣ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＨ平面ＡＢＣＤ，ＡＣ平 面ＡＢＣＤ， ∴ ＰＣ⊥ＡＨ，ＰＣ⊥ＡＣ， 又ＰＣ∩ＢＣ ＝ Ｃ， ∴ ＡＨ⊥平面ＰＢＣ， ∴ ∠ＡＰＨ为ＰＡ与平面ＰＢＣ所成的角，在边长为２的菱形ＡＢＣＤ 中，∠ＡＢＣ ＝ ６０°， ∴ △ＡＢＣ为正三角形， 又ＡＨ⊥ＢＣ，∴ Ｈ为ＢＣ中点，ＡＨ 槡＝ ３， ∵ ＰＣ ＝ ＡＣ ＝ ２，∴ ＰＡ 槡＝ ２ ２， ∴ ｓｉｎ∠ＡＰＨ ＝ ＡＨＰＡ ＝ 槡６ ４ ． 故ＰＡ与平面ＰＢＣ所成角的正弦值为槡６４ ． １５．不会溢出杯子．理由如下：由题图可知半球的半径为４ ｃｍ，所以 Ｖ半球＝ １ ２ × ４ ３ πＲ ３ ＝ １２ × ４ ３ π × ４ ３ ＝ １２８３ π（ｃｍ ３），Ｖ圆锥＝ １３ πｒ ２ｈ ＝ １３ π × ４ ２ × １２ ＝ ６４π（ｃｍ３）．因为Ｖ半球＜ Ｖ圆锥，所以如果冰淇淋 融化了，不会溢出杯子． １６．【证明】　 （１）因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，Ｂ１Ｃ的中点， 所以ＥＦ∥ＡＢ１ ． 又ＥＦ平面ＡＢ１Ｃ１，ＡＢ１平面ＡＢ１Ｃ１， 所以ＥＦ∥平面ＡＢ１Ｃ１ ． （２）因为Ｂ１Ｃ⊥平面ＡＢＣ，ＡＢ平面ＡＢＣ， 所以Ｂ１Ｃ⊥ＡＢ． 又ＡＢ⊥ＡＣ，Ｂ１Ｃ平面ＡＢ１Ｃ，ＡＣ平面ＡＢ１Ｃ，Ｂ１Ｃ∩ＡＣ ＝ Ｃ， 所以ＡＢ⊥平面ＡＢ１Ｃ． 又因为ＡＢ平面ＡＢＢ１，所以平面ＡＢ１Ｃ⊥平面ＡＢＢ１                                                                                                                                                                                                                ． ▲ ４５３ ▲ ▲ ４５４ ▲ １７．（１）证明：设ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｆ，连接ＥＦ． ∵ ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， ∴ ＰＤ⊥ＣＤ． ∵ ＣＤ⊥ＰＡ，ＰＡ∩ＰＤ ＝ Ｐ， ∴ ＣＤ⊥平面ＰＡＤ． ∵ ＡＤ平面ＰＡＤ， ∴ ＣＤ⊥ＡＤ． ∵ ∠ＤＡＣ ＝ ４５°，∴ ＤＡ ＝ ＤＣ． ∵ ＤＢ平分∠ＡＤＣ，∴ Ｆ为ＡＣ的中点． ∵ Ｅ为ＰＣ的中点， ∴ ＥＦ为△ＣＰＡ的中位线，∴ ＥＦ∥ＰＡ． 又ＥＦ平面ＢＤＥ，ＰＡ平面ＢＤＥ， ∴ ＰＡ∥平面ＢＤＥ． （２）由（１）知ＤＢ⊥ＡＣ，将底面四边形ＡＢＣＤ的面积记为Ｓ，则Ｓ ＝ Ｓ△ＡＤＣ ＋ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ 槡× ２ ×槡 ２ ２ ＋ １ ２ 槡× ２ × 槡 ３ ２ ２ ＝ ２． ∵点Ｅ为线段ＰＣ的中点， ∴ Ｖ四棱锥Ｅ － ＡＢＣＤ ＝ １ ３ Ｓ × １ ２ ＰＤ ＝ １ ３ × ２ × １ ２ × ２ ＝ ２ ３ ． １８．（１）证明：如图， ∵ ＤＥ⊥ ＳＣ，且Ｅ为ＳＣ的中点，又ＳＢ ＝ ＢＣ， ∴ ＢＥ⊥ＳＣ．又ＤＥ∩ＢＥ ＝ Ｅ， 根据直线与平面垂直的判定定理知ＳＣ⊥平面ＢＤＥ， ∵ ＢＤ平面ＢＤＥ，∴ ＳＣ⊥ＢＤ． 又ＳＡ⊥平面ＡＢＣ，ＢＤ平面ＡＢＣ，∴ ＳＡ⊥ＢＤ． 又ＳＡ∩ＳＣ ＝ Ｓ，∴ ＢＤ⊥平面ＳＡＣ． （２）由（１）知∠ＥＤＣ为二面角Ｅ － ＢＤ － Ｃ的平面角，又△ＳＡＣ∽ △ＤＥＣ，∴ ∠ＥＤＣ ＝∠ＡＳＣ． 在Ｒｔ△ＳＡＢ中，∠ＳＡＢ ＝ ９０°， 设ＳＡ ＝ ＡＢ ＝ １，则ＳＢ 槡＝ ２． 由ＳＡ⊥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ∩ＳＡ ＝ Ａ， ∴ ＢＣ⊥平面ＳＡＢ，ＳＢ平面ＳＡＢ，∴ ＢＣ⊥ＳＢ． 在Ｒｔ△ＳＢＣ中，ＳＢ ＝ＢＣ 槡＝ ２，∠ＳＢＣ ＝９０°，则ＳＣ ＝２． 在Ｒｔ△ＳＡＣ中，∠ＳＡＣ ＝ ９０°，ＳＡ ＝ １，ＳＣ ＝ ２． ∴ ｃｏｓ ∠ＡＳＣ ＝ ＳＡＳＣ ＝ １ ２ ， ∴ ∠ＡＳＣ ＝６０°，即二面角Ｅ －ＢＤ －Ｃ的大小为６０°． １９．（１）证明：∵平面ＥＤＡＦ⊥平面ＡＢＣＤ，ＤＥ平面ＥＤＡＦ． 平面ＥＤＡＦ∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ，ＤＥ⊥ＡＤ，∴ ＤＥ⊥平面ＡＢＣＤ， ∵ ＡＣ平面ＡＢＣＤ，∴ ＤＥ⊥ＡＣ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ ＡＣ⊥ＢＤ ∵ ＤＥ、ＢＤ平面ＢＤＥ，ＤＥ∩ＢＤ ＝ Ｄ，∴ ＡＣ⊥平面ＢＤＥ， ∵ ＡＣ平面ＡＣＥ，∴平面ＡＥＣ⊥平面ＢＤＥ． （２）过点Ｆ作ＦＧ⊥ＡＥ于点Ｇ， 因为平面ＡＤＥＦ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＡＤＥＦ∩ 平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ， ＡＢ平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＡＤＥＦ，又ＦＧ平面ＡＤＥＦ， 所以ＡＢ⊥ＦＧ， 又ＡＢ∩ＡＥ ＝ Ａ，ＡＢ，ＡＥ平面ＡＢＥ，所以ＦＧ⊥平面ＡＢＥ， 所以线段ＦＧ的长即为点Ｆ到平面ＡＢＥ的距离， ＡＦ ＝ １，ＡＥ 槡＝ ５， Ｓ△ＡＥＦ ＝ １ ２ × １ × １ ＝ １ ２ ，Ｓ△ＡＢＥ ＝ １ ２ 槡× １ × ５ ＝槡 ５ ２ ， 由ＶＢ － ＡＥＦ ＝ ＶＦ － ＡＢＥ，得１３ Ｓ△ＡＢＥ·ＦＧ ＝ １ ３ Ｓ△ＡＥＦ·ＡＢ，即槡 ５ ２ ＦＧ ＝ １ ２ ， 所以ＦＧ ＝槡５５ ， 即点Ｆ到平面ＡＢＥ的距离为槡５５ ． 考案（六） １． Ｃ　 若ｚ ＝ － １ － ｉ，则｜ ｚ ｜ ＝ （－ １）２ ＋（－ １）槡 ２ 槡＝ ２．故选Ｃ． ２． Ｂ　 如图，将向量ａ，ｂ的起点都移到原 点，即ａ ＝→ＯＡ，ｂ ＝→ＯＢ，则｜ ａ － ｂ ｜ ＝ ｜→ＢＡ ｜ 且∠ｘＯＡ ＝ ７５°，∠ｘＯＢ ＝ １５°，于是 ∠ＡＯＢ ＝ ６０°，又因为｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ １，则 △ＡＯＢ为正三角形，从而｜→ＢＡ ｜ ＝ ｜ ａ － ｂ ｜ ＝ １． ３． Ｂ　 因为 ｃｏｓ αｃｏｓ α － ｓｉｎ α 槡＝ ３，所以 １ １ － ｔａｎ α 槡＝ ３，ｔａｎ α ＝ １ － 槡３ ３所 以ｔａｎ α ＋ π( )４ ＝ ｔａｎ α ＋ １１ － ｔａｎ α 槡＝ ２ ３ － １，故选Ｂ． ４． Ｂ　 由ｓｉｎ２Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ及正弦定理，得ｂ２ ＝ ２ａｃ，① 又Ｂ ＝ π２ ，所以ａ ２ ＋ ｃ２ ＝ ｂ２ ．② 联立①②解得ａ ＝ ｃ 槡＝ ６，所以Ｓ ＝ １２ 槡槡× ６ × ６ ＝ ３． ５． Ｂ　 当异面直线互相垂直时满足条件的平面有１个，当异面直线 互相不垂直时满足条件的平面有０个．故选Ｂ． ６． Ａ　 ∵ →ＡＤ ＝ １２ （ →ＡＣ ＋→ＡＢ）＝ １２ （６ｐ － ｑ）， ∴ ｜→ＡＤ ｜ ＝ 　｜→ＡＤ ｜槡２ ＝ １２ （６ｐ － ｑ）槡 ２ ＝ １２ ３６ｐ ２ － １２ｐ·ｑ ＋ ｑ槡 ２ ＝ １２ ３６ ×（槡２ ２） ２ 槡－ １２ × ２ ２ × ３ × ｃｏｓ π４ ＋ ３槡 ２ ＝ １５２ ． ７． Ａ　 如图，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连接ＯＣ１ ． 因为ＡＢ ＝ ＡＤ 槡＝ ２ ３，所以ＡＣ⊥ＢＤ，又易知ＢＤ⊥平面ＡＣＣ１Ａ１，所 以ＢＤ⊥ＯＣ１，所以∠ＣＯＣ１为二面角Ｃ１ － ＢＤ － Ｃ的一个平面角．因 为在△ＣＯＣ１中，ＯＣ 槡＝ ６，ＣＣ１ 槡＝ ２，所以ｔａｎ∠ＣＯＣ１ ＝槡３３ ，所以二 面角Ｃ１ － ＢＤ － Ｃ的大小为３０°． ８． Ｂ 　 ｙ [＝ 槡２２ ｃｏｓ ｘ － 槡２２ ｓｉｎ ｘ ＋ 槡２２ ｓｉｎ ｘ ＋ 槡２２ ｃｏｓ ]ｘ · 槡２ ２ ｃｏｓ ｘ － 槡２ ２ ｓｉｎ ｘ － 槡２ ２ ｓｉｎ ｘ － 槡２ ２ ｃｏｓ[ ]ｘ 槡＝ ２ ｃｏｓ ｘ·（ 槡－ ２ｓｉｎ ｘ） ＝ － ２ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ ＝ － ｓｉｎ ２ｘ，故选Ｂ． ９． ＡＢＤ　 设ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则ｚ ＝ ａ － ｂｉ，ａ ＋ ｂｉ ＝ ａ － ｂｉｂ ＝ ０ｚ ∈Ｒ，故Ａ正确；ａ ＋ ｂｉ ＋ ａ － ｂｉ ＞ ０ａ ＞ ０ ｜ ｚ ｜ ＞ ０，故Ｂ正确；ｚ ＋ １ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＋ １ ａ ＋ ｂｉ ＝ ａ ＋ ａ ａ２ ＋ ｂ( )２ ＋ ｂ － ｂａ２ ＋ ｂ( )２ ｉ∈Ｒｂ － ｂａ２ ＋ ｂ２ ＝ ０ｂ ＝ ０或ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １，故Ｃ不正确；ｚ·ｚ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｜ ｚ ｜ ２ ＝ ４，故 Ｄ正确．故选ＡＢＤ． １０． ＢＣ　 令ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＝ ０，解得ｘ ＝ ｋπ２ ，ｋ∈Ｚ，即为ｆ（ｘ）零点，令 ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ ＝ ０，解得ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π８ ，ｋ∈Ｚ，即为ｇ（ｘ）零 点，显然ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）零点不同，Ａ选项错误；显然ｆ （ｘ）ｍａｘ ＝ ｇ（ｘ）ｍａｘ ＝ １，Ｂ选项正确；根据周期公式，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的周期均为 ２π ２ ＝ π，Ｃ选项正确；根据正弦函数的性质ｆ（ｘ）的对称轴满足２ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ π ４ ，ｋ∈Ｚ，ｇ（ｘ）的对称轴满足２ｘ － π ４ ＝ ｋπ ＋ π ２ ｘ ＝ ｋπ ２ ＋ ３π ８ ，ｋ∈Ｚ，显然ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）图象的对称轴不同，Ｄ选 项错误．故选ＢＣ． １１． ＡＢＣ　 △ＡＤＥ是等腰直角三角形，Ａ到ＤＥ的距离是槡２２ ，当平面 Ａ１ ＤＥ⊥平面ＢＣＤＥ时，Ａ１到平面ＢＣＤＥ的距离最大为槡２２ ，又 Ｓ四边形ＢＣＤＥ ＝ ２ × １ － １ ２ × １ × １ ＝ ３ ２ ， ∴ Ｖ最大值＝ １ ３ × ３ ２ × 槡２ ２ ＝ 槡２ ４ ． Ａ正确； 取ＣＤ中点Ｎ，连接ＭＮ，ＢＮ，∵ Ｍ是Ａ１Ｃ的中点， ∴ ＭＮ∥Ａ１Ｄ，而ＭＮ平面Ａ１ＤＥ，Ａ１Ｄ平面Ａ１ＤＥ， ∴ ＭＮ∥平面Ａ１ＤＥ， 由ＤＮ与ＥＢ平行且相等得四边形ＤＮＢＥ是平行四边形，ＢＮ                                                                                                                                                                                                                ∥ ▲ ４３３ ▲ ▲ ４３４ ▲ 考 案 （五） 第六章　 立体几何初步 考试时间１２０分钟，满分１５０分． 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） １．以长为８ ｃｍ，宽为６ ｃｍ的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为 （　 　 ） Ａ． ６４π ｃｍ２ Ｂ． ３６π ｃｍ２ Ｃ． ６４π ｃｍ２或３６π ｃｍ２ Ｄ． ４８π ｃｍ２ ２．梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ平面α，ＣＤ平面α，则直线ＣＤ与平面α内的直线的位置关系只能是 （　 　 ） Ａ．平行 Ｂ．平行或异面 Ｃ．平行或相交 Ｄ．异面或相交 ３．如图，在正方体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ，Ｎ分别是ＢＣ１，ＣＤ１的中点，则下列说法错误的是 （　 　 ） Ａ． ＭＮ与ＣＣ１垂直 Ｂ． ＭＮ与ＡＣ垂直 Ｃ． ＭＮ与ＢＤ平行 Ｄ． ＭＮ与Ａ１Ｂ１平行 ４．如图所示，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，将此正方形沿ＥＦ折成直二面角后，异面 直线ＡＦ与ＢＥ所成角的余弦值为 （　 　 ） Ａ．槡２２ 槡Ｂ． ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． 槡３ ２ ５．（２０２４·全国高考甲卷文）设α、β为两个平面，ｍ、ｎ为两条直线，且α∩β ＝ｍ．下述四个命题： ①若ｍ∥ｎ，则ｎ∥α或ｎ∥β ②若ｍ⊥ｎ，则ｎ⊥α或ｎ⊥β ③若ｎ∥α且ｎ∥β，则ｍ∥ｎ ④若ｎ与α，β所成的角相等，则ｍ⊥ｎ 其中所有真命题的编号是 （　 　 ） Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．①③④ ６．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母 口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一 “爰”字．通高２４ ｃｍ，口长１３． ５ ｃｍ，口宽１２ ｃｍ，底长１２． ５ ｃｍ，底宽１０． ５ ｃｍ．现估算其体积，上 部分可以看作四棱锥，高约８ ｃｍ，下部分看作台体，则该文物的体积约为（参考数据： １３１．槡 ２５ ≈１１． ５，槡１６２≈１２． ７） （　 　 ） Ａ． ２ ７７４． ９ ｃｍ３ Ｂ． ８７１． ３ ｃｍ３ Ｃ． １ ７３５． ３ ｃｍ３ Ｄ． ７ ４６０． ８ ｃｍ３ ７．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为 （　 　 ） Ａ． ８１π４ Ｂ． １６π Ｃ． ９π Ｄ． ２７π ４ ８．如图，在直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｄ为Ａ１Ｂ１的中点，ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ＢＢ１ ＝ ２，ＡＣ 槡＝ ２ ５，则异面直线 ＢＤ与ＡＣ所成的角为 （　 　 ） Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． ９０° 二、多项选择题（本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部 选对的得６分，有选错的得０分，部分选对的得部分分） ９．下列命题为真命题的是 （　 　 ） Ａ．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合 Ｂ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 Ｃ．垂直于同一条直线的两条直线相互平行 Ｄ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直 １０．已知半径为Ｒ的球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为ｒ１和ｒ２，母线长为ｌ，球的表面积 与体积分别为Ｓ１和Ｖ１，圆台的表面积与体积分别为Ｓ２和Ｖ２ ．则下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ． ｌ ＝ ｒ１ ＋ ｒ２ Ｂ． Ｒ ＝ ｒ１ ｒ槡２ Ｃ． Ｓ１ Ｓ２ ＝ Ｖ１ Ｖ２ Ｄ． Ｓ１ Ｓ２ 的最大值为２３ １１．正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别为ＢＣ，ＣＣ１，ＢＢ１的中点．则 （　 　 ） Ａ．直线Ｄ１Ｄ与直线ＡＦ垂直 Ｂ．直线Ａ１Ｇ与平面ＡＥＦ平行 Ｃ．平面ＡＥＦ截正方体所得的截面面积为９８ Ｄ．点Ｃ与点Ｇ到平面ＡＥＦ的距离相等 三、填空题（本大题共３小题，每小题５分，共１５分） １２．一个直径为３２厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高９厘米，则此球的半径为　 　 　 　 厘米． １３．已知ａ，ｂ表示直线，α，β，γ表示平面． ①若α∩β ＝ ａ，ｂα，ａ⊥ｂ，则α⊥β；②若ａα，ａ垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β， α∩β ＝ ａ，α∩γ ＝ ｂ，则ａ⊥ｂ；④若ａ⊥α，ｂ⊥β，ａ∥ｂ，则α∥β． 上述命题中，正确命题的序号是　 　 　 　 ． １４．如图，在边长为２的菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ ＝ ６０°，ＰＣ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰＣ ＝ ２，则ＰＡ ＝ 　 　 　 　 ，ＰＡ与 平面ＰＢＣ所成角的正弦值为　 　 　 　 ． 四、解答题（本大题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（本小题满分１３分）如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯 子吗？请用你的计算数据说明理由．                                                                     ▲ ４３５ ▲ ▲ ４３６ ▲ １６．（本小题满分１５分）在三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＢ⊥ＡＣ，Ｂ１Ｃ⊥平面ＡＢＣ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，Ｂ１Ｃ的中点． （１）求证：ＥＦ∥平面ＡＢ１Ｃ１； （２）求证：平面ＡＢ１Ｃ⊥平面ＡＢＢ１ ． １７．（本小题满分１５分）如图所示，在四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，ＣＤ⊥ＰＡ，ＤＢ平分∠ＡＤＣ，Ｅ为ＰＣ的中点， ∠ＤＡＣ ＝ ４５°，ＡＣ 槡＝ ２． （１）求证：ＰＡ∥平面ＢＤＥ； （２）若ＰＤ ＝ ２，ＢＤ 槡＝ ２ ２，求四棱锥Ｅ － ＡＢＣＤ的体积． １８．（本小题满分１７分）在三棱锥Ｓ － ＡＢＣ中，ＳＡ⊥底面ＡＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＥ垂直平分ＳＣ且分别交ＡＣ，ＳＣ于Ｄ，Ｅ，又ＳＡ ＝ ＡＢ，ＳＢ ＝ ＢＣ． （１）求证：ＢＤ⊥平面ＳＡＣ； （２）求二面角Ｅ － ＢＤ － Ｃ的大小． １９．（本小题满分１７分）已知梯形ＢＦＥＣ如图１所示，其中ＢＦ∥ＥＣ，ＥＣ ＝ ３，ＢＦ ＝ ２，四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方 形，沿ＡＤ将四边形ＥＤＡＦ折起，使得平面ＥＤＡＦ⊥平面ＡＢＣＤ，得到如图２所示的几何体． （１）求证：平面ＡＥＣ⊥平面ＢＤＥ； （２）求点Ｆ到平面ＡＢＥ的距离．                                                                    