考案1 第1章 三角函数-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

书 ▲ ４４１ ▲ ▲ ４４２ ▲ 　 　 　 　 　 考案部分 　 　 　 　 　 　 参考答案 考案（一） １． Ｂ　 由Ｓ ＝ １２ αＲ ２，得１６ ＝ １２ × ２Ｒ ２，Ｒ ＝ ４，所以ｌ ＝ α·Ｒ ＝ ８． ２． Ｃ　 由已知，ｔａｎ θ ＝ － ４３ ，所求原式可化为 － ｃｏｓ θ·（－ ｃｏｓ θ） ｃｏｓ θ·（－ ｓｉｎ θ） ＝ － １ｔａｎ θ ＝ ３４ ． ３． Ａ　 由最小正周期为π，可排除Ｂ，再将ｘ ＝ π６代入函数，可知Ａ 正确． ４． Ｄ　 本题用排除法，对于Ｄ选项，由振幅｜ ａ ｜ ＞ １，而周期Ｔ ＝ ２π｜ ａ ｜应 小于２π，与图中Ｔ ＞ ２π矛盾． ５． Ｃ　 分别作出函数ｙ ＝ ( )１３ ｘ 和ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ２ｘ ｜的图象，如图所示． 由图可知，这两个函数图象在０，５４[ ]π 上共有５个不同的交点， 所以函数ｆ（ｘ）＝ ( )１３ ｘ － ｜ ｓｉｎ ２ｘ ｜在０，５４[ ]π 上的零点个数为５． ６． Ｄ　 由题意，为了得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ [ (＝ ｓｉｎ ２ ｘ － π ) ]６ 的图象，只需把函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图象上所有点向右平移π６ 个 单位． ７． Ｃ 　 当ｔ∈［６，１４］时，π８ ｔ ＋ ３π ４ ∈ ３π ２ ， ５π[ ]２ ，则Ｔ ＝ ２５ ＋ １０ｓｉｎ π８ ｔ ＋ ３π( )４ 在［６，１４］上单调递增．设花开、花谢的时间分别 为ｔ１，ｔ２ ．由Ｔ１ ＝ ２０，得ｓｉｎ π８ ｔ１ ＋ ３π( )４ ＝ － １２ ，π８ ｔ１ ＋ ３π４ ＝ １１π６ ，解 得ｔ１ ＝ ２６３ ≈８． ７时；由Ｔ２ ＝ ３１，得ｓｉｎ π ８ ｔ２ ＋ ３π( )４ ＝ ０． ６≈ｓｉｎ π５ ， π ８ ｔ２ ＋ ３π ４ ≈ １１π ５ ，解得ｔ≈１１． ６时．故在６时～ １４时中，观花的最 佳时段约为８． ７时～ １１． ６时．故选Ｃ． ８． Ｃ　 由题意可得Ｑ（４，０），Ｒ（０，－ ４），｜ＰＱ ｜ ＝ ３，函数ｆ（ｘ）的最小正 周期Ｔ ＝ ６ ＝ ２π ω ，解得ω ＝ π３ ． ∵函数ｆ（ｘ）的图象经过点Ｑ，Ｒ， ∴ Ａｓｉｎ π３ × ４ ＋( )φ ＝ ０， － ４ ＝ Ａｓｉｎ π３ × ０ ＋( )φ{ ．又｜φ ｜≤ π２ ， ∴ φ ＝ － π３ ，∴ Ａ ＝ 槡 ８ ３ ３ ． ９． ＢＤ　 对于Ａ，ｃｏｓ（－ ２ ２００°）＝ ｃｏｓ ２ ２００° ＝ ｃｏｓ（３６０° × ６ ＋ ４０°）＝ ｃｏｓ ４０° ＞ ０，符号为正； 对于Ｂ，ｔａｎ（－ １０）＝ － ｔａｎ １０ ＝ － ｔａｎ（１０ － ３π），且０ ＜ １０ － ３ π ＜ π ２ ，所以ｔａｎ（１０ － ３π）＞ ０，ｔａｎ（－ １０）符号为负； 对于Ｃ， ｓｉｎ ７π１０ ｃｏｓ π ｔａｎ １９π７ ＝ － ｓｉｎ ３π１０ ｔａｎ ５π７ ＝ ｓｉｎ ３π１０ ｔａｎ ２π７ ＞ ０，符号为正； 对于Ｄ，π２ ＜ ２ ＜ ３ ＜ π ＜ ４ ＜ ３π ２ ，所以ｓｉｎ ２ ＞ ０，ｃｏｓ ３ ＜ ０，ｔａｎ ４ ＞ ０， 所以ｓｉｎ ２ｃｏｓ ３ｔａｎ ４ ＜ ０，符号为负． 故选ＢＤ． １０． ＡＢＤ　 ｆ（ｘ）＝ ２ｃｏｓ ｘ，２ｋπ － π２ ≤ｘ≤２ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）， ０，２ｋπ ＋ π２ ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ ３π ２ （ｋ∈Ｚ { ）， 画出ｆ（ｘ）的图象如图所示． 由图象知，函数的最小正周期为２π，故Ａ正确； 函数在０，π[ ]２ 上为减函数，故Ｂ正确； 函数图象关于直线ｘ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ）对称，故Ｃ错误； 函数图象有无数条对称轴，且最小正周期是２π，故Ｄ正确． １１． ＡＤ　 ∵ ｆ（０）＝ ４ｓｉｎ φ 槡＝ ２ ３，π２ ＜ φ ＜ π，∴ φ ＝ ２π ３ ．由ｆ π( )６ ＝ ４ｓｉｎ π６ ω ＋ ２π( )３ ＝ ０，得π６ ω ＋ ２π３ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，∴ ω ＝ ６ｋ － ４（ｋ∈ Ｚ），又０ ＜ ω ＜ ６，∴ ω ＝ ２，故ｆ（ｘ）＝ ４ｓｉｎ ２ｘ ＋ ２π( )３ ，将函数ｆ（ｘ）的 图象向右平移π６个单位长度，得到ｇ（ｘ） [＝ ４ｓｉｎ ２ ｘ － π( )６ ＋ ２π ]３ ＝ ４ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的图象．令２ｘ ＋ π３ ＝ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ，得ｘ ＝ π １２ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，当ｋ ＝ ０时，ｘ ＝ π １２，当ｋ ＝ １时，ｘ ＝ ７π １２ ． １２． － １　 原式＝ － ｓｉｎ ３０° － ｃｏｓ ６０° ＋ ０ ＝ － １２ － １ ２ ＝ － １． １３．槡２２ 　 由题图可知， Ｔ ４ ＝２，所以Ｔ ＝８，所以ω ＝ π ４ ． 由点（１，１）在函数图象上， 可得ｆ（１）＝ ｓｉｎ π４ ＋( )φ ＝１， 故π４ ＋ φ ＝２ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ）， 所以φ ＝２ｋπ ＋ π４ （ｋ∈Ｚ）， 又φ∈［０，２π），所以φ ＝ π４ ，故ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ π ４ ｘ ＋ π( )４ ． 所以ｆ（２ ０２４）＝ ｓｉｎ ２ ０２４π４ ＋ π( )４ ＝ ｓｉｎ ５０６π ＋ π( )４ ＝ ｓｉｎ π４ ＝槡２２ ． １４． π８ 　 ｆ（ｘ）的最小正周期为π，∴ ω ＝ ２，∴ ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )４ ，将 ｆ（ｘ）左移φ个单位０ ＜ φ ＜ π( )２ ，得到ｇ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋２φ ＋ π( )４ 的图象，由于图象关于原点对称，∴ ２φ ＋ π４ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，（ｋ∈Ｚ）解得 φ ＝ ｋπ２ ＋ π ８ （ｋ∈Ｚ）．当ｋ ＝０时，φ ＝ π ８ ． １５．（１）∵ ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ ５ ｜ ａ ｜， ∴当ａ ＞ ０时，ｒ ＝ ５ａ， ∴ ｓｉｎ α ＝ － ３ａ５ａ ＝ － ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ４ ５ ， ∴ ２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ － ２５ ； 当ａ ＜ ０时，ｒ ＝ － ５ａ， ∴ ｓｉｎ α ＝ － ３ａ－ ５ａ ＝ ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ － ４ ５ ， ∴ ２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ２５ ． （２）当点Ｐ在第一象限时，ｓｉｎ α ＝ ３５ ，ｃｏｓ α ＝ ４ ５ ， ２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ２； 当点Ｐ在第二象限时，ｓｉｎ α ＝ ３５ ，ｃｏｓ α ＝ － ４ ５ ，２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ ２ ５ ； 当点Ｐ在第三象限时，ｓｉｎ α ＝ － ３５ ，ｃｏｓ α ＝ － ４ ５ ，２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ － ２； 当点Ｐ在第四象限时，ｓｉｎ α ＝ － ３５ ，ｃｏｓ α ＝ ４ ５ ，２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ － ２５ ． １６．（１）函数ｙ ＝ ３ｔａｎ ２ｘ － π( )４ 的最小正周期Ｔ ＝ π２ ． （２）由２ｘ － π４ ≠ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ，得ｘ≠ ｋπ ２ ＋ ３π ８ ，ｋ∈Ｚ，所以函数 的定义域为ｘ ｘ≠ｋπ２ ＋ ３π ８ ，ｋ∈{ }Ｚ ． （３）把函数ｙ ＝ ｔａｎ ｘ图象上所有的点向右平移π４个单位长度，得 函数ｙ ＝ ｔａｎ ｘ － π( )４ 的图象，然后将图象上各点的横坐标缩短为 原来的１２倍（纵坐标不变），最后将图象上各点的纵坐标伸长到 原来的３倍（横坐标不变），得函数ｙ ＝ ３ｔａｎ ２ｘ － π( )４ 的图象． １７．（１）由题图可得ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ ＋ ３４( )π                                                                                                                                                                                                                ， ▲ ４４３ ▲ ▲ ４４４ ▲ 由－ π２ ＋ ２ｋπ≤２ｘ ＋ ３ ４ π≤ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 得－ ５π８ ＋ ｋπ≤ｘ≤ － π ８ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ， 所以函数ｆ（ｘ）的单调增区间为 － ５π８ ＋ ｋπ，－ π ８ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ． （２）因为ｘ∈ － ３π８ ， π[ ]４ ，所以２ｘ ＋ ３４ π∈ ０，５π[ ]４ ， 所以当ｘ ＝ π４时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ 槡＝ － ２， 当ｘ ＝ － π８时，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ２， 所以函数ｆ（ｘ）的值域为［ 槡－ ２，２］． １８．（１）当ａ ＝ １时，ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ２ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ ＋ １， 令ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ，－ １≤ｔ≤１； 则ｙ ＝ － ｔ２ ＋ ｔ ＋ １ ＝ － ｔ －( )１２ ２ ＋ ５４ ， 当ｔ ＝ １２时，函数ｆ（ｘ）的最大值是 ５ ４ ， 当ｔ ＝ － １时，函数ｆ（ｘ）的最小值是－ １， 所以函数ｆ（ｘ）的值域为－ １，[ ]５４ ． （２）当ａ ＞ ０时，ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ２ｘ ＋ ａｓｉｎ ｘ ＋ １ ＝ － ｓｉｎ ｘ － ａ( )２ ２ ＋ １ ＋ ａ ２ ４ ， 当ａ２ ≥１，即ａ≥２时，当且仅当ｓｉｎ ｘ ＝ １时，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ａ，又函数 ｆ（ｘ）的最大值是３，所以ａ ＝ ３； 当０ ＜ ａ２ ＜ １，０ ＜ ａ ＜ ２时， 当且仅当ｓｉｎ ｘ ＝ ａ２时，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ １ ＋ ａ２ ４ ， 又函数ｆ（ｘ）的最大值是３，所以１ ＋ ａ ２ ４ ＝ ３， 所以ａ 槡＝ ２ ２，又０ ＜ ａ ＜ ２，不符合题意； 综上，实数ａ的值为３． １９．（１）如图，过Ｏ作ＯＣ⊥ＰＢ交ＰＢ于点Ｃ，设筒车与水面的交点为 Ｍ，Ｎ，连接ＯＭ． 因为筒车转一周需要１分钟，所以筒车每秒钟转２π６０ ＝ π ３０ ｒａｄ，则 ∠ＭＯＰ ＝ π３０ ｔ． 又因为∠ＣＯＭ ＝∠ＯＭＡ，ｓｉｎ∠ＯＭＡ ＝ ＯＡＯＭ ＝ ５ ２ ５ ＝ １ ２ ，所以∠ＣＯＭ ＝ π６ ， 则∠ＣＯＰ ＝ π３０ ｔ － π ６ ． ＰＢ ＝ ＯＰ·ｓｉｎ∠ＣＯＰ ＋ ＣＢ ＝ ５ｓｉｎ π ３０ ｔ － π( )６ ＋ ５２ ，ｔ∈［０，＋ !）， 即ｈ（ｔ）＝ ５ｓｉｎ π３０ ｔ － π( )６ ＋ ５２ ，ｔ∈［０，＋ !）． （２）不妨设ｔ１ ＞ ｔ２ ≥ ０，由题意得５ｓｉｎ π３０ ｔ１ － π( )６ ＋ ５２ ＝ ５ｓｉｎ π３０ ｔ２ － π( )６ ＋ ５２ ， 故ｓｉｎ π３０ ｔ１ － π( )６ ＝ ｓｉｎ π３０ ｔ２ － π( )６ ， ① π３０ ｔ１ － π ６ ＝ π ３０ ｔ２ － π ６ ＋ ２ ｋ１π，ｋ１∈Ｎ ，解得ｔ１ ＝ ｔ２ ＋ ６０ ｋ１，ｋ１ ∈Ｎ，故ｔ１ ＋ ｔ２ ＝ ２ｔ２ ＋ ６０ ｋ１≥６０，当且仅当ｔ２ ＝ ０，ｋ１ ＝ １时，等号 成立． ② π３０ ｔ１ － π ６ ＋ π ３０ ｔ２ － π ６ ＝ π ＋ ２ ｋ２π，ｋ２∈Ｎ，解得ｔ１ ＋ ｔ２ ＝ ４０ ＋ ６０ ｋ２，显然当ｋ２ ＝ ０时，ｔ１ ＋ ｔ２取得最小值，最小值为ｔ１ ＋ ｔ２ ＝ ４０． 综上，ｔ１ ＋ ｔ２的最小值为４０． 考案（二） １． Ｄ　 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，→ＯＡ － →ＯＢ ＝ →ＢＡ；→ＡＢ，→ＢＡ是一对相反向量，它们的和应该为零向量，→ＡＢ ＋→ＢＡ ＝ ０； ０·→ＡＢ ＝ ０． ２． Ｃ　 ａ － ｂ ＝ ｅ１ － ３ｅ２ ． ３． Ｂ　 →ＯＭ ＝ λ →ＯＢ ＋→ＯＡ － λ →ＯＡ，所以→ＯＭ －→ＯＡ ＝ λ（→ＯＢ －→ＯＡ），→ＡＭ ＝ λ→ＡＢ，由λ∈（１，２）可知，Ａ，Ｂ，Ｍ三点共线，且Ｂ在线段ＡＭ上． ４． Ｃ　 在△ＡＢＣ中，ｂ 槡＝ ７，ｃ 槡＝ ３，ｃｏｓ Ｂ ＝槡３２ ，由余弦定理有ｂ ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ，即７ ＝ ａ２ ＋ ３ － ３ａ， 解得ａ ＝ ４或ａ ＝ － １（舍去）．故ａ的值为４． ５． Ｃ　 ａ ＋ λｂ ＝（１，２）＋（－ ２λ，３λ） ＝（１ － ２λ，２ ＋ ３λ）， 由（ａ ＋ λｂ）⊥ｃ， 可得（１ － ２λ）× ４ ＋（２ ＋ ３λ）× ５ ＝ ０， 解得λ ＝ － ２． ６． Ｄ　 由ｓｉｎ２Ａ ＋ ｓｉｎ２Ｂ － ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ２Ｃ，得ａ２ ＋ ｂ２ － ａｂ ＝ ｃ２，ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ＝ １ ２ ． ∵ Ｃ∈（０°，１８０°），∴ Ｃ ＝ ６０°． ∴ ｓｉｎ Ｃ ＝槡 ３ ２ ，∴ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ａｂｓｉｎ Ｃ 槡＝ ３． ７． Ｃ　 由题意知∠ＢＡＣ ＝ ７５°，根据正弦定理，得ＡＢ ＝ ＢＣｓｉｎ ４５°ｓｉｎ ７５° ＝ ８（槡３ － １），因为→ＢＤ ＝槡３ － １２ →ＢＣ，所以ＢＤ ＝槡３ － １２ ＢＣ．又ＢＣ ＝ ８，所 以ＢＤ ＝ ４（槡３ － １）． 在△ＡＢＤ中， ＡＤ ＝ ＡＢ２ ＋ ＢＤ２ － ２ＡＢ·ＢＤ·槡 ｃｏｓ ６０° ＝ ４（ 槡３ － ３）．故选Ｃ． ８． Ｃ　 连接ＯＢ，ＯＣ，ＯＡ，因ＯＢ ＝ ＢＡ ＝ ＡＣ ＝ ＣＯ ＝ ＯＡ ＝ ２，则四边形ＡＢＯＣ为菱形，△ＡＢＯ， △ＡＣＯ为等边三角形．设ＯＡ与ＢＣ交于点 Ｄ，则ＯＤ ＝ ＤＡ，→ＯＢ ＋→ＯＣ ＝→ＯＡ，∠ＢＯＣ ＝ ２π３ ． 则→ＭＯ·→ＭＡ ＋ →ＭＢ·→ＭＣ ＝ →ＭＯ·（→ＭＯ ＋→ＯＡ）＋（→ＭＯ ＋→ＯＢ）·（→ＭＯ ＋ →ＯＣ） ＝ ２ →ＭＯ２ ＋ →ＭＯ·→ＯＡ ＋ →ＭＯ·（→ＯＢ ＋→ＯＣ）＋→ＯＢ·→ＯＣ ＝ ２ →ＭＯ２ ＋ ２ →ＭＯ·→ＯＡ ＋ →ＯＢ·→ＯＣ ＝ ２ →ＭＯ·→ＯＡ ＋ ８ ＋ ２ × ２ × －( )１２ ＝ ２ →ＭＯ·→ＯＡ ＋ ６． 则当Ｍ，Ｏ，Ａ三点共线时，→ＭＯ·→ＯＡ最大，为｜ →ＭＯ ｜·｜→ＯＡ ｜ ＝ ４，则 →ＭＯ·→ＭＡ ＋ →ＭＢ·→ＭＣ的最大值为１４．故选Ｃ． ９． ＡＢＣ　 由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为 １，它与半径为１的圆的公共点个数可能为０个，１个，２个，３个，４ 个，故选ＡＢＣ． １０． ＡＢ　 ｜ ｂ ｜ ＝ （－ ３）２ ＋ １槡 ２ 槡＝ １０，Ａ错误；根据题意ｅ ＝ ｂ｜ ｂ ｜ ＝ － 槡３ １０１０ ，槡 １０( )１０ ，Ｂ错误；∵ ２ × １≠１ ×（－ ３），即ａ与ｂ不共线， 则ａ与ｂ可以作为一组基底，Ｃ正确；ａ在ｂ方向上的投影向量 为（｜ ａ ｜ ｃｏｓ 〈ａ，ｂ〉）ｅ ＝ ｜ ａ ｜ × ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ( )｜ ｅ ＝ ａ·ｂ｜ ｂ( )｜ ｅ ＝ －槡１０２ ｅ，Ｄ 正确．故选ＡＢ． １１． ＢＣＤ　 由题意可知：Ｅ为ＡＢ中点，则ＣＥ⊥ＡＢ，以Ｅ为原点，→ＥＡ， →ＥＣ分别为ｘ轴，ｙ轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以Ｅ（０，０），Ａ（１，０），Ｂ（－ １，０），Ｃ（０，槡３），Ｄ １３ ，槡 ２ ３( )３ ．设 Ｏ（０，ｙ）（ｙ∈（０，槡３）），→ＢＯ ＝（１，ｙ），→ＤＯ ＝ － １３ ，ｙ － 槡 ２ ３( )３ ，→ＢＯ∥ →ＤＯ，所以ｙ － 槡２ ３３ ＝ － １ ３ ｙ，解得ｙ ＝槡 ３ ２ ，即Ｏ是ＣＥ中点， →ＯＥ ＋ →ＯＣ ＝ ０，所以Ｂ正确；｜→ＯＡ ＋ →ＯＢ ＋ →ＯＣ ｜ ＝ ｜ ２ →ＯＥ ＋ →ＯＣ ｜ ＝ ｜→ＯＥ ｜ ＝ 槡３ ２ ，所以Ｃ正确；因为ＣＥ⊥ＡＢ，所以 →ＣＥ·→ＡＢ ＝ ０，所以Ａ错误；易 知→ＥＤ ＝ １ ３ ，槡 ２ ３( )３ ，→ＢＣ ＝（１，槡３），则→ＥＤ在→ＢＣ                                                                                                                                                                                                                方向上的投影向量 书 ▲ ４１７ ▲ ▲ ４１８ ▲ 考 案 （一） 第一章　 三角函数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考试时间１２０分钟，满分１５０分． 一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） １．若扇形的面积为１６ ｃｍ２，圆心角为２ ｒａｄ，则该扇形的弧长为 （　 　 ） Ａ． ４ ｃｍ Ｂ． ８ ｃｍ Ｃ． １２ ｃｍ Ｄ． １６ ｃｍ ２．已知角θ终边经过点（３，－ ４），则 ｓｉｎ ３π２ －( )θ ·ｃｏｓ（π ＋ θ） ｓｉｎ π２ ＋( )θ ·ｃｏｓ ５π２ ＋( )θ 等于 （　 　 ） Ａ． ４３ Ｂ． － ４ ３ Ｃ． ３ ４ Ｄ． － ３ ４ ３．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线ｘ ＝ π６对称的是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )６ Ｂ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ ＋ π( )６ Ｃ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ Ｄ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ ４．已知ａ是实数，则函数ｆ（ｘ）＝ １ ＋ ａｓｉｎ ａｘ的图象不可能是 （　 　 ） ５．函数ｆ（ｘ）＝ ( )１３ ｘ － ｜ ｓｉｎ ２ｘ ｜在０，５π[ ]４ 上零点的个数为 （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ６．为了得到函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )３ 的图象，只需把函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的图象上所有的点 （　 　 ） Ａ．向左平移π３个单位长度 Ｂ．向右平移 π ３个单位长度 Ｃ．向左平移π６个单位长度 Ｄ．向右平移 π ６个单位长度 ７．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开、花谢非常有规 律．有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为２０ ℃， 但当气温上升到３１ ℃时，时钟花基本都会凋谢．在花期内，时钟花每天开闭一次．已知某 景区有时钟花观花区，且该景区６时～ １４时的气温Ｔ（单位：℃）与时间ｔ（单位：小时）近 似满足函数关系式Ｔ ＝ ２５ ＋ １０ｓｉｎ π８ ｔ ＋ ３π( )４ ，则在６时～ １４时中， ( 观花的最佳时段约为 参考数据：ｓｉｎ π５ ≈０． )６ （　 　 ） Ａ． ６． ７时～ １１． ６时 Ｂ． ６． ７时～ １２． ２时 Ｃ． ８． ７时～ １１． ６时 Ｄ． ８． ７时～ １２． ２时 ８．如图所示，Ｐ，Ｑ，Ｒ为函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）Ａ ＞０，ω ＞０，｜φ ｜≤π( )２ 的图象与坐标轴的三个交点，且Ｐ（１， ０），Ｍ（２，－２）为线段ＱＲ的中点，则Ａ的值为 （　 　 ） 槡Ａ． ２ ３ Ｂ． 槡７ ３３ Ｃ． 槡 ８ ３ ３ 槡Ｄ． ４ ３ 二、多项选择题（本大题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部 选对的得６分，有选错的得０分，部分选对的得部分分） ９．给出下列各函数值，其中符号为负的是 （　 　 ） Ａ． ｃｏｓ（－ ２ ２００°） Ｂ． ｔａｎ（－ １０） Ｃ． ｓｉｎ ７π１０ ｃｏｓ π ｔａｎ １９π７ Ｄ． ｓｉｎ ２ｃｏｓ ３ｔａｎ ４ １０．关于函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜的说法正确的是 （　 　 ） Ａ．最小正周期是２π Ｂ．在区间［０，１］上是减函数 Ｃ．图象关于点（ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ）对称 Ｄ．是周期函数且图象有无数条对称轴 １１．已知点Ａ（０，槡２ ３），Ｂ π６ ，( )０ 是函数ｆ（ｘ）＝ ４ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）０ ＜ ω ＜ ６，π２ ＜ φ ＜( )π 的图象上的两个点，若将函数ｆ（ｘ）的 图象向右平移π６个单位长度，得到函数ｇ（ｘ）的图象，则函数ｇ（ｘ）的图象的一条对称轴的方程为 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ π１２ Ｂ． ｘ ＝ π ６ Ｃ． ｘ ＝ ２π ３ Ｄ． ｘ ＝ ７π １２ 三、填空题（本大题共３小题，每小题５分，共１５分） １２．计算ｓｉｎ ３３０° ＋ ｃｏｓ ２４０° ＋ ｔａｎ １８０° ＝ 　 　 　 　 ． １３．函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０，φ∈［０，２π））的部分图象如图所示，则ｆ（２ ０２４）＝ 　 　 　 　 ． １４．函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ωｘ ＋ π( )４ （ｘ∈Ｒ，ω ＞ ０）的最小正周期为π，将ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象向左平移φ ０ ＜ φ ＜ π( )２ 个单位长度， 所得图象关于原点对称，则φ的值为　 　 　 　 ． 四、解答题（本大题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（本小题满分１３分）（１）已知角α的终边经过点Ｐ（４ａ，－ ３ａ）（ａ≠０），求２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α的值； （２）已知角α终边上一点Ｐ到ｘ轴的距离与到ｙ轴的距离之比为３４，求２ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α的值                                                                      ． ▲ ４１９ ▲ ▲ ４２０ ▲ １６．（本小题满分１５分）已知函数ｙ ＝ ３ｔａｎ ２ｘ － π( )４ ． （１）求函数的最小正周期； （２）求函数的定义域； （３）说明此函数的图象是由ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的图象经过怎样的变换得到的？ １７．（本小题满分１５分）已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，｜ φ ｜ ＜ π）的一段图象如图 所示． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调增区间； （２）若ｘ∈ － ３π８ ， π[ ]４ ，求函数ｆ（ｘ）的值域． １８．（本小题满分１７分）已知函数ｆ（ｘ）＝ － ｓｉｎ２ｘ ＋ ａｓｉｎ ｘ ＋ １． （１）当ａ ＝ １时，求函数ｆ（ｘ）的值域； （２）若当ａ ＞ ０时，函数ｆ（ｘ）的最大值是３，求实数ａ的值． １９．（本小题满分１７分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使 用．如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为１０米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要１分钟， 筒车的轴心Ｏ距离水面的高度为５２米．以盛水筒Ｐ刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转ｔ秒后盛水筒Ｐ 到水面的距离为ｈ米（规定：若盛水筒Ｐ在水面下，则ｈ为负数）． （１）写出ｈ（单位：米）关于ｔ（单位：秒）的函数解析式ｈ（ｔ）＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ）＋ (Ｂ 其中Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π )２ ； （２）若盛水筒Ｐ在ｔ１，ｔ２时刻距离水面的高度相等，求ｔ１ ＋ ｔ２的最小值．                                                                   