第2章 6.1 余弦定理与正弦定理 三、第1课时 三角形中的几何计算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

〉 ABCD ４ 　 　 △ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，ａｓｉｎ Ａ ＋ ｃｓｉｎ Ｃ 槡－ ２ａｓｉｎ Ｃ ＝ ｂｓｉｎ Ｂ． （１）求角Ｂ的大小； （２）若Ａ ＝ ７５°，ｂ ＝ ２，求ａ，ｃ． ｓｉｎ ７５° ＝槡槡２ ＋ ６( )４ KLMN%OPQ １．在△ＡＢＣ中，ａ ＝槡３，ｂ ＝ １，Ｂ ＝ π６ ，则角Ａ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π３ Ｂ． π ６或 ５π ６ Ｃ． π６ Ｄ． π ３或 ２π ３ ２．已知在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ所对的边分别是ａ和ｂ，若 ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｂｃｏｓ Ａ，则△ＡＢＣ一定是 （　 　 ） Ａ．等腰三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等腰直角三角形 ３．在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝槡６，∠Ａ ＝ ７５°，∠Ｂ ＝ ４５°，则ＡＣ ＝ 　 　 　 　 ． ４．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ａ ＝ １， ｂ ＝槡３，Ａ ＋ Ｃ ＝ ２Ｂ，则ｓｉｎ Ａ ＝ 　 　 　 　 ． ５．在△ＡＢＣ中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｓｉｎ Ａａ ＝槡３ｃｏｓ Ｃｃ ． （１）求Ｃ的大小； （２）如果ａ ＋ ｂ ＝ ６，→ＣＡ·→ＣＢ ＝ ４，求ｃ的值． 请同学们认真完成练案［２４                          ］ 三、用余弦定理、正弦定理解三角形 第１课时　 三角形中的几何计算 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．能灵活选择恰当的三角形的面积公式解决有关面积的问题． ２．能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题． 通过余弦定理、正弦定理的应用，提 升逻辑推理，数学运算素养． "(( )*+,%-.+ 知识点１　 三角形的面积公式 　 　 （１）Ｓ ＝ １２ ａ·ｈａ（ｈａ为ａ边上的高）； （２）Ｓ ＝ １２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ ｂｃｓｉｎ Ａ　 ＝ １ ２ ａｃｓｉｎ Ｂ； （３）Ｓ ＝ １２·ｒ·（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）　 （ｒ为内切圆半径）． 知识点２　 余弦定理的形式 　 　 形式一：ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ，ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ，ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ２ａｂｃｏｓ Ｃ． 形式二：ｃｏｓ Ａ ＝ 　 　 　 　 　 　 ． ｃｏｓ Ｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ． 知识点３　 正弦定理的形式 　 　 形式一： ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２Ｒ　 （Ｒ为外接圆半径）． 形式二：ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ　 ，ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ，ｃ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｃ． 形式三：ａｂｃ ＝ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ． 形式四：ｓｉｎ Ａ ＝ ａ２Ｒ，ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ ２Ｒ，ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃ ２Ｒ． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%º/¾Öhb‰¿T×Á １．如图所示，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ ＝ ５，ＡＣ ＝ ９，∠ＢＣＡ ＝ ３０°，∠ＡＤＢ ＝ ４５°． 求ＢＤ的长． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 如图，已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ ２，ＡＣ ＝槡１９，∠ＢＡＤ ＝ ６０°，ＤＥ⊥ＡＢ，求梯形的高． 归纳提升： hir§jž.ðR @-`a-op １̈ ©F˜™–—p› %e§jžX?ôu ð¶ F [t @ G n ‘h ． ２̈ ©F˜™–—}Ó ‘¯&pIe§jž X?…´µ–—nY ’[-§jž?¡¶ F[tA@Gn‘h ． "() ●67E%dnoº/<‡6 ２．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ ＝ＣＤ ＝ １２ ＡＢ ＝１， →ＡＢ·→ＡＣ ＝１， ｓｉｎ∠ＡＣＤ ＝ ４５ ． （１）求ＢＣ边的长； （２）求四边形ＡＢＣＤ的面积． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 已知△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，ｓｉｎ Ａ ＋槡３ｃｏｓ Ａ ＝ ０，ａ ＝ ２槡７，ｂ ＝ ２． （１）求ｃ； （２）设Ｄ为ＢＣ边上一点，且ＡＤ⊥ＡＣ，求△ＡＢＤ的面积． ●67H%HTm;<‘‡6 ３．在①ａｃ ＝槡３，②ｃｓｉｎ Ａ ＝ ３，③ｃ ＝槡３ｂ这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，若问题中的三角形存在，求ｃ的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ＡＢＣ，它的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，且ｓｉｎ Ａ ＝槡３ｓｉｎ Ｂ， Ｃ ＝ π６ ，　 　 　 　 ？ ［归纳提升］ 归纳提升： ‘§jž-Æ0?… øê\]aÂX-– —?bc0‘³{Ê ³{ª0}î3j[ @-`a?…(O 256phaX- F?‚ƒ'…(O§ efj-B¥ÄÅ? ÷^é§j9:¥‘ j'+,Û´_Q ． 归纳提升： h§jž`“`a- I １̈ ©§jžX-`“ ÂF`a¦¦_[@ GntA@Gnt§ jžÆ0/Ÿx™´ v¿p%ä?…(O nY“’-It™ ´ùú‘h ． ２̈ ©h§jž¦r€ "t§j9:™´` “Qy?hoØ4a Â?qœ…[VÂF Óà™´!©ç3a –—?<=…´µ a–—å…‘nY[ @ÊA@Gn‘h ． "(* 〉 ABCD ３ 　 　 在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知槡３ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａ． （１）求角Ｂ的大小；（２）若ｂ ＝ １，△ＡＢＣ的面积为槡３４ ，求△ＡＢＣ的周长． KLMN%OPQ １．钝角△ＡＢＣ的面积是１２ ，ＡＢ ＝ １，ＢＣ ＝槡２，则ＡＣ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ５ Ｂ．槡５ Ｃ． ２ Ｄ． １ ２．在△ＡＢＣ中，已知 ａ ＋ ｃｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２，则其外接圆的直 径为 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ３．在△ＡＢＣ中，Ａ ＝ １２０°，ｂ ＝ ５，且△ＡＢＣ的面积为１５４槡３， 则△ＡＢＣ的周长为 （　 　 ） Ａ． １５ Ｂ． １２ Ｃ． １６ Ｄ． ２０ ４．在△ＡＢＣ中，三边长分别为ａ － ２，ａ，ａ ＋ ２，最大角的 正弦值为槡３２ ，则这个三角形的面积为 （　 　 ） Ａ． １５４ Ｂ． １５槡３ ４ Ｃ． ２１槡３ ４ Ｄ． ３５槡３ ４ ５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，Ｂ ＝ Ｃ ＝ １２０°，ＡＢ ＝ ４，ＢＣ ＝ ＣＤ ＝ ２，求该四边形的面积． 请同学们认真完成练案［２５                           ］ 第２课时　 解三角形的实际应用举例 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．通过教材实例掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的 应用． ２．能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升数 学抽象，数学建模，数学运算素养． ")" 对点训练２：（１）π６ 　 （２） π ３或 ２π ３ 　 （１）由ｓｉｎ Ｂ ＋ ｃｏｓ Ｂ ＝ 槡２，得ｓｉｎ Ｂ ＋ π( )４ ＝ １，由Ｂ∈（０，π），得Ｂ ＝ π４ ， 由正弦定理， ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，得ｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｂ ｂ ＝ １ ２ ，又ａ ＜ ｂ，所 以Ａ ＝ π６ ． （２）由正弦定理，ｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｂｂ ＝ 槡３ ×槡２２ 槡２ ＝槡３２ ， 又Ａ∈（０，π），ａ ＞ ｂ，∴ Ａ ＞ Ｂ，∴ Ａ ＝ π３或 ２π ３ ． 例３：方法一：（角化边）因为（ａ － ｃ·ｃｏｓ Ｂ）·ｓｉｎ Ｂ ＝（ｂ － ｃ·ｃｏｓ Ａ）·ｓｉｎ Ａ， 所以ａ － ｃ·ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２( )ａｃ ·ｂ ＝ ｂ － ｃ·ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２( )ｂｃ ·ａ， 整理得：ｂ２（ａ２ － ｃ２ ＋ ｂ２）＝ ａ２（ｂ２ － ｃ２ ＋ ａ２）， 即（ａ２ － ｂ２）（ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２）＝ ０， 所以ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ＝ ０或ａ２ ＝ ｂ２ ． 所以ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２或ａ ＝ ｂ． 故△ＡＢＣ为直角三角形或等腰三角形． 方法二：（边化角）根据正弦定理，原等式可化为： （ｓｉｎ Ａ － ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ｂ）ｓｉｎ Ｂ ＝（ｓｉｎ Ｂ － ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ）ｓｉｎ Ａ， 即ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａｓｉｎ Ａ． 因为ｓｉｎ Ｃ≠０，所以ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ａ． 所以ｓｉｎ ２Ｂ ＝ ｓｉｎ ２Ａ．所以２Ｂ ＝ ２Ａ或２Ｂ ＋ ２Ａ ＝ π， 即Ａ ＝ Ｂ或Ａ ＋ Ｂ ＝ π２ ． 所以△ＡＢＣ是等腰三角形或直角三角形． 对点训练３：方法一：根据正弦定理，得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ， ∵ ｓｉｎ２Ａ ＝ ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｓｉｎ２Ｃ，∴ ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２， ∴ Ａ是直角，Ｂ ＋ Ｃ ＝ ９０°， ∴ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ（９０° － Ｂ） ＝ ２ｓｉｎ２Ｂ ＝ ｓｉｎ Ａ ＝ １， ∴ ｓｉｎ Ｂ ＝槡２２ ． ∵ ０° ＜ Ｂ ＜ ９０°，∴ Ｂ ＝ ４５°，Ｃ ＝ ４５°， ∴ △ＡＢＣ是等腰直角三角形． 方法二：根据正弦定理，得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ， ∵ ｓｉｎ２Ａ ＝ ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｓｉｎ２Ｃ， ∴ ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２，∴ Ａ是直角， ∵ Ａ ＝ １８０° －（Ｂ ＋ Ｃ），ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ， ∴ ｓｉｎ（Ｂ ＋ Ｃ）＝ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ， ∴ ｓｉｎ（Ｂ － Ｃ）＝ ０． 又－ ９０° ＜ Ｂ － Ｃ ＜ ９０°，∴ Ｂ － Ｃ ＝ ０，∴ Ｂ ＝ Ｃ， ∴ △ＡＢＣ是等腰直角三角形． 例４：（１）∵ ｂｓｉｎ Ａ 槡＝ ３ａｃｏｓ Ｂ， 由正弦定理得ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ａ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ． 在△ＡＢＣ中，ｓｉｎ Ａ≠０， 即得ｔａｎ Ｂ 槡＝ ３，∴ Ｂ ＝ π３ ． （２）∵ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ａ，由正弦定理得ｃ ＝ ２ａ， 由余弦定理ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ， 即９ ＝ ａ２ ＋ ４ａ２ － ２ａ·２ａｃｏｓ π３ ， 解得ａ 槡＝ ３，∴ ｃ ＝ ２ａ 槡＝ ２ ３． 对点训练４：（１）由正弦定理得ａ２ ＋ ｃ２ 槡－ ２ａｃ ＝ ｂ２ ． 由余弦定理得ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ． 故ｃｏｓ Ｂ ＝槡２２ ，因此Ｂ ＝ ４５°． （２）因为ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ ７５° ＝槡槡２ ＋ ６４ ， 故由正弦定理得ａ ＝ ｂ·ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ 槡＝ １ ＋ ３． 由已知得，Ｃ ＝ １８０° － ４５° － ７５° ＝ ６０°， ｃ ＝ ｂ·ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ｂ ＝ ２ × ｓｉｎ ６０° ｓｉｎ ４５° 槡＝ ６． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 由正弦定理， ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，则ｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｂ ｂ 槡＝ ３ｓｉｎ π ６ ＝ 槡３ ２ ，因０ ＜ Ａ ＜ π，则Ａ ＝ π ３或 ２π ３ ，因ａ ＞ ｂ，故Ａ ＞ Ｂ，即两解均符 合题意．故选Ｄ． ２． Ａ　 ∵ ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｂｃｏｓ Ａ，∴由正弦定理，得ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ， ∴ ｓｉｎ（Ａ － Ｂ）＝ ０，由于－ π ＜ Ａ － Ｂ ＜ π，故必有Ａ － Ｂ ＝ ０，∴ Ａ ＝ Ｂ．即△ＡＢＣ为等腰三角形． ３． ２　 在△ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ７５°，∠Ｂ ＝ ４５°， 所以∠Ｃ ＝ ６０°， 由正弦定理知ＡＣｓｉｎ Ｂ ＝ ＡＢ ｓｉｎ Ｃ， 所以ＡＣ ＝ ＡＢｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝槡 ６ × ｓｉｎ ４５° ｓｉｎ ６０° ＝ ２． ４． １２ 　 因为Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ １８０°，且Ａ ＋ Ｃ ＝ ２Ｂ，所以Ｂ ＝ ６０°，由正 弦定理得ｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｂｂ ＝ １ × ｓｉｎ ６０° 槡３ ＝ １２ ． ５．（１）∵ ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ， ｓｉｎ Ａ ａ ＝ 槡３ｃｏｓ Ｃ ｃ ， ∴ ｓｉｎ Ｃ 槡＝ ３ｃｏｓ Ｃ． ∴ ｔａｎ Ｃ 槡＝ ３． 又∵ Ｃ∈（０，π），∴ Ｃ ＝ π３ ． （２）∵ →ＣＡ·→ＣＢ ＝ ｜→ＣＡ ｜·｜→ＣＢ ｜ ｃｏｓ Ｃ ＝ １２ ａｂ ＝ ４，∴ ａｂ ＝ ８． 又∵ ａ ＋ ｂ ＝ ６，由余弦定理知ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ２ａｂｃｏｓ Ｃ ＝（ａ ＋ ｂ）２ － ３ａｂ ＝ １２，∴ ｃ 槡＝ ２ ３． 三、用余弦定理、正弦定理解三角形 第１课时　 三角形中的几何计算 必备知识　 探新知 知识点１　 （２）ｂｃｓｉｎ Ａ　 （３）（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ） 知识点２　 ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ 　 ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ａｃ 知识点３　 ２Ｒ　 ２Ｒｓｉｎ Ａ 关键能力　 攻重难 例１：在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ５，ＡＣ ＝ ９，∠ＢＣＡ ＝ ３０°． 由正弦定理得 ＡＢｓｉｎ∠ＢＣＡ ＝ ＡＣ ｓｉｎ∠ＡＢＣ                                                                       ， —５１３— ∴ ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝ ＡＣｓｉｎ∠ＢＣＡＡＢ ＝ ９ｓｉｎ ３０° ５ ＝ ９ １０ ． ∵ ＡＤ∥ＢＣ，∴ ∠ＢＡＤ ＝ １８０° － ∠ＡＢＣ，于是ｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ ｓｉｎ（１８０° －∠ＡＢＣ）＝ ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝ ９１０ ． 同理，在△ＡＢＤ中，ＡＢ ＝ ５，ｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ ９１０，∠ＡＤＢ ＝ ４５°， ＡＢ ｓｉｎ ４５° ＝ ＢＤ ｓｉｎ∠ＢＡＤ ， 即５ 槡２ ２ ＝ ＢＤ９ １０ ，解得ＢＤ ＝ 槡９ ２２ ． 对点训练１：∵ ∠ＢＡＤ ＝ ６０°，∴ ∠ＡＤＣ ＝ １２０°， 在△ＡＣＤ中，ＡＣ 槡＝ １９，ＣＤ ＝ ２，∠ＡＤＣ ＝ １２０°， 由余弦定理，得 ＡＣ２ ＝ ＡＤ２ ＋ ＤＣ２ － ２ＡＤ·ＤＣｃｏｓ ∠ＡＤＣ， 即（槡１９）２ ＝ ＡＤ２ ＋ ２２ － ４ＡＤｃｏｓ １２０°， 整理得ＡＤ２ ＋ ２ＡＤ － １５ ＝ ０， ∴ ＡＤ ＝ ３或ＡＤ ＝ － ５（舍去）． ∴ ＤＥ ＝ ＡＤｓｉｎ ６０° ＝ 槡３ ３２ ，所以梯形的高为槡 ３ ３ ２ ． 例２：（１）由→ＡＢ·→ＡＣ ＝ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＣ ｜·ｃｏｓ ∠ＢＡＣ，得 ｃｏｓ ∠ＢＡＣ ＝ →ＡＢ·→ＡＣ ｜→ＡＢ ｜ ｜→ＡＣ ｜ ＝ １ ２ × １ ＝ １ ２ ． 由于０° ＜∠ＢＡＣ ＜ １８０°， 所以∠ＢＡＣ ＝ ６０°． 在△ＡＢＣ中，由余弦定理得 ＢＣ２ ＝ ＡＢ２ ＋ ＡＣ２ － ２ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ ∠ＢＡＣ ＝ ２２ ＋ １２ － ２ × ２ × １ × １２ ＝ ３． 所以ＢＣ 槡＝ ３． （２）四边形ＡＢＣＤ的面积 Ｓ ＝ Ｓ△ＡＢＣ ＋ Ｓ△ＡＣＤ ＝ １２ ＡＣ·ＢＣ ＋ １ ２ ＡＣ·ＣＤｓｉｎ∠ＡＣＤ ＝ １２ 槡× １ × ３ ＋ １ ２ × １ × １ × ４ ５ ＝ 槡３ ２ ＋ ２ ５ ． 对点训练２：（１）由ｓｉｎ Ａ 槡＋ ３ｃｏｓ Ａ ＝ ０及ｃｏｓ Ａ≠０， 得ｔａｎ Ａ 槡＝ － ３，又０ ＜ Ａ ＜ π，所以Ａ ＝ ２π３ ． 由余弦定理得２８ ＝ ４ ＋ ｃ２ － ４ｃ·ｃｏｓ ２π３ ． 即ｃ２ ＋ ２ｃ － ２４ ＝ ０， 解得ｃ ＝ － ６（舍去），ｃ ＝ ４． （２）由题设可得∠ＣＡＤ ＝ π２ ， 所以∠ＢＡＤ ＝∠ＢＡＣ －∠ＣＡＤ ＝ π６ ． 故△ＡＢＤ面积与△ＡＣＤ面积的比值为 １ ２ ＡＢ·ＡＤｓｉｎ π ６ １ ２ ＡＣ·ＡＤ ＝ １． 又△ＡＢＣ的面积为１２ × ４ × ２ｓｉｎ∠ＢＡＣ 槡＝ ２ ３， 所以△ＡＢＤ的面积为槡３． 例３：方案一：选条件①． 由Ｃ ＝ π６和余弦定理得 ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ＝ 槡３ ２ ． 由ｓｉｎ Ａ 槡＝ ３ｓｉｎ Ｂ及正弦定理得ａ 槡＝ ３ｂ． 于是３ｂ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ 槡２ ３ｂ２ ＝槡３２ ，由此可得ｂ ＝ ｃ． 由①ａｃ 槡＝ ３，解得ａ 槡＝ ３，ｂ ＝ ｃ ＝ １． 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时ｃ ＝ １． 方案二：选条件②． 由Ｃ ＝ π６和余弦定理得 ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ＝ 槡３ ２ ． 由ｓｉｎ Ａ 槡＝ ３ｓｉｎ Ｂ及正弦定理得ａ 槡＝ ３ｂ． 于是３ｂ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ 槡２ ３ｂ２ ＝槡３２ ， 由此可得ｂ ＝ ｃ，Ｂ ＝ Ｃ ＝ π６ ，Ａ ＝ ２π ３ ． 由②ｃｓｉｎ Ａ ＝ ３，解得ｃ ＝ ｂ 槡＝ ２ ３，ａ ＝ ６． 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时ｃ 槡＝ ２ ３． 方案三：选条件③． 由Ｃ ＝ π６和余弦定理得 ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ＝ 槡３ ２ ． 由ｓｉｎ Ａ 槡＝ ３ｓｉｎ Ｂ及正弦定理得ａ 槡＝ ３ｂ． 于是３ｂ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ 槡２ ３ｂ２ ＝槡３２ ，由此可得ｂ ＝ ｃ． 由③ｃ 槡＝ ３ｂ，与ｂ ＝ ｃ矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 对点训练３：（１）在△ＡＢＣ中，由正弦定理得ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ， 槡∵ ３ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａ，代入化简得槡３ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ａ， ∵ Ａ∈（０，π），∴ ｓｉｎ Ａ≠０，槡∴ ３ｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｂ，又显然Ｂ≠ π２ ， 即ｃｏｓ Ｂ≠０， ∴ ｔａｎ Ｂ 槡＝ ３，又∵ Ｂ∈（０，π），∴ Ｂ ＝ π３ ． （２）∵ Ｂ ＝ π３ ，由Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ ａｃｓｉｎ Ｂ ＝ 槡３ ４ ，得ａｃ ＝ １． 在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ ＝ （ａ ＋ ｃ）２ － ３ａｃ ∴ １ ＝（ａ ＋ ｃ）２ － ３ × １，∴ ａ ＋ ｃ ＝ ２，∴ △ＡＢＣ的周长为３． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 ∵ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ ａｃｓｉｎ Ｂ ＝ １ ２·槡２·１·ｓｉｎ Ｂ ＝ １ ２ ，∴ ｓｉｎ Ｂ ＝ 槡２ ２ ，∴ Ｂ ＝ π ４或 ３π ４ ．当Ｂ ＝ π ４时，经计算△ＡＢＣ为等腰直角三 角形，不符合题意，舍去． ∴ Ｂ ＝ ３π４ ，根据余弦定理，得ｂ ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ ＝ ５，∴ ｂ 槡＝ ５，故选Ｂ． ２． Ｂ　 由正弦定理，得ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，ｃ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｃ，∴ ａ ＋ ｃｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２Ｒ（ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ） ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２Ｒ ＝ ２，故选Ｂ． ３． Ａ　 因为Ａ ＝ １２０°，ｂ ＝ ５，且△ＡＢＣ的面积为１５４槡３，所以Ｓ△                                                                       ＡＢＣ —６１３—