第2章 5.2-5.3 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

５． ２　 向量数量积的坐标表示 ５． ３　 利用数量积计算长度与角度 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．能够推导出两个向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向 量数量积的运算． ２．掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用． ３．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决有关长度、角度、垂直等问题． 通过学习数量积的坐标表示， 重点培养学生的数学运算、逻 辑推理素养． )*+,%-.+ 知识点　 平面向量数量积的坐标表示 设向量ａ ＝（ｘ１，ｙ１），ｂ ＝（ｘ２，ｙ２）． 数量积 ａ·ｂ ＝ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ 模 ａ２ ＝ ｘ２１ ＋ ｙ２１，即｜ ａ ｜ ＝ 　 　 　 　 夹角 设向量ａ与ｂ的夹角为θ，则ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （｜ ａ ｜≠０，｜ ｂ ｜≠０） 垂直 ａ⊥ｂ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ ＝ ０　 /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%Ên(¹G¹o<Í$’Á １．（１）设ａ ＝（１，－ ２），ｂ ＝（－ ３，４），ｃ ＝（３，２），则（ａ ＋ ２ｂ）·ｃ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １２ Ｂ． ０ Ｃ． － ３ Ｄ． － １１ （２）已知ａ ＝（１，１），ｂ ＝（２，５），ｃ ＝（３，ｘ），若（８ａ － ｂ）·ｃ ＝ ３０，则ｘ ＝ （　 　 ） Ａ． ６ Ｂ． ５ Ｃ． ４ Ｄ． ３ （３）已知ａ ＝（２，－ １），ａ ＋ ２ｂ ＝（６，３），若ｂ·ｃ ＝ １４，｜ ｃ ｜ ＝ ５，则向量ｃ的坐标为 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 （１）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，正方形ＯＡＢＣ的对角线ＯＢ的两端点坐标分别为 Ｏ（０，０），Ｂ（１，１），则→ＡＢ·→ＡＣ ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知向量ａ ＝（１，ｋ），ｂ ＝（２，２），且ａ ＋ ｂ与ａ共线，那么ａ·ｂ ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： wƀ":"0½¾ ,ü-³–R8 ùú€"-:"0, ü?‹äBõöR@ -,üIôå,ü> Í ． ha'P¦R³ –R8á %BœÃ_€"F½ ¾ÔÕ?uðùú: "0,ü  èBœ¶F:"0- ,ü¯ÃóŸS{? ¡¢µ˜™Cü ． "'* 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%dÊn(¹§º/<‡6 ２．（１）设平面向量ａ ＝（１，２），ｂ ＝（－ ２，ｙ），若ａ∥ｂ，则｜３ａ ＋ ｂ ｜等于 （　 　 ） Ａ．槡５ Ｂ．槡６ Ｃ．槡１７ Ｄ．槡２６ （２）已知向量ａ ＝ （ｃｏｓ θ，ｓｉｎ θ），向量ｂ ＝ （槡３，０），则｜２ａ － ｂ ｜的最大值为 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 （１）已知向量ａ ＝（ｍ，１），ｂ ＝（３，ｍ），若ａ与ｂ方向相反，则｜ ａ －槡３ｂ ｜ ＝ （　 　 ） Ａ． ５４ Ｂ． ８ Ｃ． ３槡３ Ｄ． ４槡３ （２）已知｜ ａ ｜ ＝ １０，ｂ ＝（１，２），且ａ∥ｂ，求ａ的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%(¹¿TkÑ҇6 ３．设平面上向量ａ ＝（ｃｏｓ α，ｓｉｎ α）（０°≤α≤９０°），ｂ ＝ － １２ ，槡 ３( )２ ． （１）求ａ与ｂ的夹角θ． （２）求证：ａ ＋ ｂ与ａ － ｂ垂直． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）设向量ａ ＝（２，２），ｂ ＝（２，－ １）．若２ａ⊥（ａ － ｔｂ），则实数ｔ ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知向量ａ与ｂ的夹角为６０°，且ａ ＝（－２，－６），｜ｂ ｜ ＝槡１０，则ａ·ｂ ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： ‘€"-á-³•¤ Žop ¨ １ ©GHÔÕ¼- ,üá ¶F ｜ ａ ｜ ２ ＝ ａ２， À" á-,übc0€" r€"-:"0- `a ． ¨ ２ ©½¾ÔÕ¼- ,üá F ａ ＝（ｘ，ｙ）， ô ａ þ ａ ＝ ａ２ ＝ ｜ａ ｜ ２ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２， MB R ｜ａ ｜ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ． 归纳提升： ¶F:"0-½¾, ü‘³€"3j- Þß １̈ ©¶Fwƀ": "0-½¾ÔÕ/Ÿ ‘+4³e€"-: "0 ． ¨ ２ © ¶ F ｜ ａ ｜ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ Cü+4³ e€"-á ． ３̈ ©é/Ÿ ｃｏｓ θ ＝ ｘ１ｘ２ ＋ ｙ１ｙ２ ｘ２１ ＋ ｙ ２槡 １þ ｘ２２ ＋ ｙ２槡 ２ u ð‘+ ｃｏｓ θ-¥． ４̈ ©p¡ ０， ÷¢f? é ｃｏｓ θ-¥‘j θ． "(" KLMN%OPQ １．若向量ａ ＝（ｘ，２），ｂ ＝（－ １，３），ａ·ｂ ＝ ３，则ｘ等于 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３ Ｂ． － ３ Ｃ． ５３ Ｄ． － ５ ３ ２．设向量ａ ＝（２，０），ｂ ＝（１，１），则下列结论中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ Ｂ． ａ·ｂ ＝ ０ Ｃ． ａ∥ｂ Ｄ．（ａ － ｂ）⊥ｂ ３．已知ａ ＝（３，－ １），ｂ ＝（１，－ ２），则ａ与ｂ的夹角为 （　 　 ） Ａ． π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π ３ Ｄ． π ２ ４．已知向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ １，｜ ｂ ｜ ＝槡２，ａ － ｂ ＝ （槡３， 槡２），则｜２ａ － ｂ ｜等于 （　 　 ） Ａ． ２槡２ Ｂ．槡１０ Ｃ．槡１５ Ｄ． ２槡５ ５．已知正方形ＡＢＣＤ的边长为２，点Ｐ满足→ＡＰ ＝ １２ （ →ＡＢ ＋ →ＡＣ），则｜ →ＰＤ ｜ ＝ 　 　 　 　 ；→ＰＢ·→ＰＤ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２２                   ］ § ' 平面向量的应用 ６． １　 余弦定理与正弦定理 一、余弦定理 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助向量的运算，探索三角形边长与角的关系． ２．会运用余弦定理及其推论解决两类基本的解三角形问题． ３．理解推广的三角形面积公式．（数学运算） 通过推导归纳余弦定理，提升逻辑推 理，数学运算，数学抽象素养． )*+,%-.+ 知识点１　 余弦定理 文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去　 这两边与它们的夹角的余弦的积的　两　 倍 符号语言在△ＡＢＣ中，ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ　 ，ｂ２ ＝ ｃ２ ＋ ａ２ － ２ｃａｃｏｓ Ｂ　 ，ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ２ａｂｃｏｓ Ｃ　 推论 在△ＡＢＣ中，ｃｏｓ Ａ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，ｃｏｓ Ｂ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，ｃｏｓ Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 说明：余弦定理的理解： （１）适用范围：任意三角形． （２）结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． （３）主要作用：余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化． 知识点２　 三角形面积公式 　 　 △ＡＢＣ的面积公式为Ｓ ＝ １２ ａｈ ＝ 　 　 　 　 （其中ａ，ｂ，ｃ分别为Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，ｈ为边ＢＣ上的高）． "(! (2)①a·b=lallbleos 20"-2x3x(-)--3. .cosθ= lallb1x2 a.b ②(+b).(-b)=^-a:b+a:b-b^=a^-b=la$}- $b-4-9--5. ③($a-b)·(a+3b)-2a^ }+6a·b-a·b-3b$}=2lal$}+$ $$) -2b) ·(2a+b) =2q +·b-4a:b-2b =2 $ $$ ·b-31b=24-5$3-39=-34$ 9-3lal1blcos 8-2x16=-14-3x3x4eos =4 对点词练1:(1)B (2)0 -16 -16 (1)a·(2a-b) #.oo -.e2- -2a-a·b=2lal*-a·b. 'lal-1.a·b=-1.原式=2x1+1-3. 课堂检测 固双基 故选B. i1. C m·n=Iml1nlcos 8=4x6xcos 135=-12/2 (2)由题意,得A1=4.1BCI-4.1C1-42.所以A·2. B BA·B=1B11BC1cos ABC=2x×cos 45*=2. C.A-4/2x4xc0s 135*=-16. 3 4.A 设向量a.b的夹角为6. 例2:(1)A (2)B (1)la-2bl=4-(a-2b)=16 .(a-b)1b:.(a-b)·b=0.即a·b=(b)},所以lal·1b 即C-4:b+4*=16① .cosθ=lb1①. la+2b1=2(a+2b)*=4 即a}+4a·b+4b-4② .a.b为非零向量,且满足la1=21b1②.:联立①②可得 cosθ=9e[0,n].所以两向量的夹角为号.故选A. 由①②可得!1= 3.-3 i5.p·q=(a+b)·(a-b) =-b=lal-1b1-3-1=2 3} 又因为lpl=la+bl=va+2a·b+b (2)因为(2a-b)·a=2a*-ab=2lal-lal·Ib1·cos 60 =V3+23cos 30+1=7 =3. l$l=la-b1=a-2a·b+b=3-23cos 30}+1= 所以2a-b在a方向上的投影的数量为(2a-b)·a.3 所以cosR-227 ll pllq7x1 对点训练2:(1)-2或3(2)} (1)b·c=ta·b+ 5.2 向量数量积的坐标表示 (3-)6=-△cs 0 3-4 2--*A6-0.所以A--2{ 5.3 利用数量积计算长度与角度 或A=3. 必备知识 探新知 (2)向量a+b在b方向上的投影数量为(a+b)·b 1b! 知识点+ xx:+yy.=0 +·V+ b+a.b 关键能力 攻重难 1b1 例3:(1)由题意得:a·b=1al1bleos =3x22x-2).b-(-3,4).c=(3.2)i.a+2b-(-5.6).(a+2b)· 例1:(1)C (2)C (3)(3.4)或(4.3)(1)a=(1. (-)-6.(+b)·(c-26)1al-.b- 1b1=9c=(5)6-3. (2)由题意可得,8a-b=(6.3),又(8a-b)·c=30,c= +6-16=-1. (3.x).18+3x=30.解得x=4 ($2)la+b-lal+2a·b+lb-9-12+8=5 (3)因为2b=(a+2b)-a=(6.3)-(2.-1)=(4.4).所 .. la+b1:/5. r2x+2y=14. 以b=(2.2).设c=(x.y).则由题可知 解得 ($)a·(a+b) =lal*+a·b=9-6=3.la+bl=5. 1+y=5. .cos<a.a+b>-.(atb)3 对点训练3:(1)3(2)v13(3)3(4)[2"可] 对点训练1:(1)1(2)4(1)如图 #1.1) :所示,在正方形0ABC中,A(0.1).C(1. (0.1) (1)因为a-(3e.-2e)=9-2x3x2xc0sa+4=9,所 0)(当然两者位置可互换,不影响最终结 以lal-3. 果),则A-(1.0).A-(1.-1),从而 $) la-3b1=(a-3b)=-6a·b+9b^ ·AC=(1.0)·(1.-1)=1x1+0x =4-6x4x3xcos 120+9x9=133 1(-1)=1. (3).(a+b)·a=a”+a·b=0. ($)因为向量a=(1.k).b=(2.2).所以a+b=(3.k+2). :a·b=-a=-1. 又a+b与a共线,所以3-(k+2)=0.解得k=1.所以a·b= 1x2+1x2-4. -312- 例2:(1)A(2)2+3 (1):a/b1xy-2x(-2)=0. 4.B(a-b)=a-2a·b+b(-b)=(3) +(2) = 解得y=-4.从而3a+b=(1.2).13a+b1=5 5. lal=1.1bl=2. (2)2a-b=(2cos θ-3,2sin). .5 =1-2 a·b+2.·b=-1.12a-b1= $a-b1=(2cosθ-3)+(2sin )} $4a-4a·b+b= 4+4+2= 10.故选B$ 5.5 -1 以点A为坐标原点,AB. =4cos θ-43cos θ+3+4sinθ=7-43cos 8 7 当且仅当cos8=-1时,12a-bi取最大值2+3 AD所在直线分别为x.y轴建立如 图所示的平面直角坐标系, 对点训练2:(1)B(2)见解析 【解析】(1)向量a=(m.1),b=(3.m),a与b方向相反, 则点A(0.0)、B(2.0)、C(2.2) D(0.2). ##(A+A)--(2.0)+ -3b=(-3.1)-3(3.-3)=(-43.4).所以la-3bl= J(2.2)=(2.1). V(-4③)+4-8.故选B 则点P(2.1):P=(-2.1)P-(0.-1). [2x-y=0. (2)设a的坐标为(x,y),由题意得 1×+=10. 因此 Pl=(-2) +1=5.P.P=(-2)+1 (-1)=-1. 86 平面向量的应用 所以a=(25.45)或a=(-25.-45) 6.1 余弦定理与正弦定理 例3:(1)由题意知,lal=1,1b|=1. a.b lallb 一、余弦定理 必备知识 探新知 知识点1 减去 两 b+c-2bceosA c+a-2cacos B 1x1 a}+b?-2abcos C 6&+e-+-+h--} 0a$9030<120-aS120. 2b 2ac 2ab 又0<8<180”,..8=120*-a. 知识点2 #odin 即两向量的夹角为120*-a. (2)证明:.:(a+b)·(a-b) 关键能力 攻重难 #cos -sina+3) cos a+sin-3 例1:(1)60(2)4或5(1)由余弦定理得 #(2osa-)(cos+)+(sin). =4$60-360=60(cm). (sin-号)-cox-sin-3 (2)由余弦定理得(/5)-5^+BC^{-2x5xBCx0 0 -1---0. 所以BC*$-9BC+20=0.解得BC=4或$$=$ $$$$$$ 对点训练1:(1)D(2)见解析 :(a+b)1(a-b). 对点调练3:(1)4 (2)10(1)2a1(a-tb)→2a·(a-36-2x4x6xcos 120"=76.c=2/19. 【解析】(1)根据余弦定理,=a}+b-2abcosC=16+ tb)=(4,4)·(2-2t.2+t)=16-4=0-t=4. (2)由余弦定理得b-a}+e-2aceos B ($)因为a=(-2.-6),所以lal=(-2)+(-6) =(23)+(6+②)-2×23x(6+2)xcos45*= 2 /10.又lb=10.向量a与的夹角为60*。 8...b=2/2. 所以a.b=1allbes 0o-210xv10=10. b-8+(6.2)-(2③)}1 又cosA= 2hc 课堂检测 固双基 2x22x(6+/2) $.A a·b=-x+6=3,故x=3. $A=60*$C-180*-(A+B)=75。 2. D a-b=(1.-1).所以(a-b)·b=1-1=0,所以(a-b) 例2:由于a:b:c-3:5:7. & 不妨设a=3,b=5k.c=7k(k>0). 3.B lal=10.1bl=5.a·b=5. 因此c是最大边,其所对角C为最大内角 2 由余弦定理推论得: .c(a.b)- cos Cc- 9k+25-49 lall“ 10x5 2a 2·3·5k 又:a.b的夹角范围为[0.n]..a与b的夹角为吾 -·0<C<180. .C=120{*,即最大内角为120。 -313-