第2章 4.1 平面向量基本定理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

KLMN%OPQ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２ａ － ｂ）－（２ａ ＋ ｂ）等于 （　 　 ） Ａ． ａ － ２ｂ Ｂ． － ２ｂ Ｃ． ０ Ｄ． ｂ － ａ ２．已知λ、μ∈Ｒ，下面式子正确的是 （　 　 ） Ａ． λａ与ａ同向 Ｂ． ０·ａ ＝ ０ Ｃ．（λ ＋ μ）ａ ＝ λａ ＋ μａ Ｄ．若ｂ ＝ λａ，则｜ ｂ ｜ ＝ λ ｜ ａ ｜ ３．已知ａ，ｂ是两个不共线的向量，且→ＡＢ ＝ ａ ＋ ２ｂ，→ＢＣ ＝ － ２ａ ＋ λｂ，若Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则实数λ ＝ （　 　 ） Ａ． － ４ Ｂ． － １ Ｃ． １ Ｄ． ４ ４．如图，已知ＡＭ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上 的中线，若→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＣ ＝ ｂ，则→ＡＭ等于 （　 　 ） Ａ． １２ （ａ － ｂ） Ｂ． － １２ （ａ － ｂ） Ｃ． １２ （ａ ＋ ｂ） Ｄ． － １２ （ａ ＋ ｂ） ５．如图所示，已知→ＡＰ ＝ ４３ →ＡＢ，用 →ＯＡ，→ＯＢ表示→ＯＰ． 请同学们认真完成练案［１８                             ］ § % 平面向量基本定理及坐标表示 ４． １　 平面向量基本定理 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．通过实例理解平面向量基本定理的内容，了解基的含义． ２．会用一组基来表示其他向量．（数学运算、直观想象） ３．能应用平面向量基本定理解决一些平面几何有关的问题． 通过学习平面向量的基本定理有关内 容，重点培养学生的数学抽象，逻辑推 理，数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点　 平面向量基本定理 　 　 １．定理：如果ｅ１，ｅ２是同一平面内两个不共线的向量，那么该平面内任意一个向量ａ，存在唯一的一对实数 λ１，λ２，使ａ ＝ λ１ｅ１ ＋ λ２ｅ２　 ． ２．基：把不共线的向量ｅ１，ｅ２叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为｛ｅ１，ｅ２｝　 ． ３．正交基：若基中的两个向量互相垂直　 ，则称这组基为正交基． ４．正交分解：在正交基　 下面向量的线性表示称为正交分解． ５．标准正交基：若基中的两个向量是互相垂直的单位　 向量，则称这组基为标准正交基． "'" /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%Ên(¹QË&ª<UV １．（多选）若ｅ１，ｅ２是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（　 　 ） Ａ． λｅ１ ＋ μｅ２（λ，μ∈Ｒ）可以表示平面α内的所有向量 Ｂ．对于平面α中的任一向量ａ，使ａ ＝ λｅ１ ＋ μｅ２的实数λ，μ有无数多对 Ｃ． λ１，μ１，λ２，μ２均为实数，且向量λ１ｅ１ ＋ μ１ｅ２与λ２ｅ１ ＋ μ２ｅ２共线，则有且只有一 个实数λ，使λ１ｅ１ ＋ μ１ｅ２ ＝ λ（λ２ｅ１ ＋ μ２ｅ２） Ｄ．若存在实数λ，μ，使λｅ１ ＋ μｅ２ ＝ ０，则λ ＝ μ ＝ ０ 【分析】　 根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向 量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． 其中，说法正确的为 （　 　 ） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．①②③ ●67E%JQÌ`a(¹ ２．（１）Ｄ，Ｅ，Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上的中点，且→ＢＣ ＝ ａ，→ＣＡ ＝ ｂ，给出下列 结论： ①→ＡＤ ＝ － １２ ａ － ｂ；② →ＢＥ ＝ ａ ＋ １２ ｂ；③ →ＣＦ ＝ － １２ ａ ＋ １ ２ ｂ；④ →ＥＦ ＝ １２ ａ． 其中正确的结论的序号为　 　 　 　 ． （２）如图，已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ ＝ ２ＣＤ，Ｅ，Ｆ分别是 ＤＣ，ＡＢ的中点，设→ＡＤ ＝ ａ，→ＡＢ ＝ ｂ，试用ａ，ｂ表示→ＤＣ，→ＥＦ，→ＦＣ． 　 　 【分析】　 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三 角形法则或平行四边形法则． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD ２ 　 　 如图，在△ＯＡＢ中，Ｐ为线段ＡＢ上的一点，→ＯＰ ＝ ｘ →ＯＡ ＋ ｙ →ＯＢ，且→ＢＰ ＝２ →ＰＡ，则 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ ２３ ，ｙ ＝ １ ３ Ｂ． ｘ ＝ １３ ，ｙ ＝ ２ ３ Ｃ． ｘ ＝ １４ ，ｙ ＝ ３ ４ Ｄ． ｘ ＝ ３４ ，ｙ ＝ １ ４ 归纳提升： １̈ ©LMwÆfN% €"Q]^F³eŒ (¯-€"gÔÕ  ª?wÆf-N% €"']^êhX³ eŒ(¯-€"-å -žŸ ． ２̈ ©€"-¤#B“ wÆfŒ(¯-³e €"?D·°F ｅ１，ｅ２ B¤#?ôŒR ｅ１０， ｅ２０ S ｅ１ r ｅ２ Œ( ¯?Ï ０ r ｅ１，ｅ１ r ２ｅ１，ｅ１ ＋ ｅ２ r ２（ｅ１ ＋ ｅ２）x?EŒ#£X ¤# ． 归纳提升： F¤#ÔՀ"-§ e¢ µ å ³ e !á â3 １̈ ©¢µáj€"ï I-§jžIôåw úÀ{žIô  k€":I-^+ OH  ±:F€"-^+ OH ． ２̈ ©áâá "'! 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%Ên(¹QË&ª<IJ ３．如图，在△ＡＢＣ中，点Ｍ是ＢＣ的中点，点Ｎ在ＡＣ上，且ＡＮ ＝ ２ＮＣ，ＡＭ与ＢＮ相交于点Ｐ，求ＡＰＰＭ与ＢＰＰＮ的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ和Ｆ分别是边ＣＤ和ＢＣ的中点，若→ＡＣ ＝ λ →ＡＥ ＋ μ →ＡＦ，其中λ，μ∈Ｒ，则λ ＋ μ ＝ 　 　 　 　 ． （１）题图 　 　 　 （２）题图 　 　 （２）如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ是圆Ｏ上三点，线段ＯＣ与线段ＡＢ交于圆内一点Ｐ．若→ＯＣ ＝ ｍ →ＯＡ ＋ ２ｍ →ＯＢ，→ＡＰ ＝ λ →ＡＢ，则λ ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： １̈ ©wƀ"¤ŽG n$%>-ÂF ý ａ，ｂ B›%wÆf -³eŒ(¯€"? F ｘ１ａ ＋ ｙ１ｂ ＝ ｘ２ａ ＋ ｙ２ｂ，ô ｘ１ ＝ ｘ２， ｙ１ ＝ ｙ２{ ． ¨ ２ ©)…ˆ‰áý ｅ１，ｅ２ BwÆf%3 ¤#? KLMN%OPQ １．在△ＡＢＣ中，→ＡＢ ＝ ｃ，→ＡＣ ＝ ｂ，若点Ｄ满足２ →ＢＤ ＝ →ＤＣ， 以ｂ与ｃ作为基底，则→ＡＤ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２３ ｂ ＋ １ ３ ｃ Ｂ． ５ ３ ｃ － ２ ３ ｂ Ｃ． ２３ ｂ － １ ３ ｃ Ｄ． １ ３ ｂ ＋ ２ ３ ｃ ２．已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，且对任一点Ｃ，有→ＣＤ ＝ ４３ →ＣＡ ＋ λ →ＣＢ，则λ等于 （　 　 ） Ａ． ２３ Ｂ． １ ３ Ｃ． － １ ３ Ｄ． － ２ ３ ３．已知ｅ１，ｅ２不共线，且ａ ＝ ｋｅ１ － ｅ２，ｂ ＝ ｅ２ － ｅ１，若ａ，ｂ 不能作为基底，则ｋ等于　 　 　 　 ． ４．已知向量｛ａ，ｂ｝是一个基底，实数ｘ，ｙ满足（３ｘ －４ｙ）ａ ＋ （２ｘ － ３ｙ）ｂ ＝ ６ａ ＋ ３ｂ，则ｘ － ｙ ＝ 　 　 　 　 ． ５．如图，平面内有三个向量→ＯＡ， →ＯＢ，→ＯＣ．其中→ＯＡ与→ＯＢ的夹角为 １２０°，→ＯＡ与→ＯＣ的夹角为３０°，且｜→ＯＡ ｜ ＝ ｜ →ＯＢ ｜ ＝ １，｜ →ＯＣ ｜ ＝ ２槡３，若→ＯＣ ＝ λ →ＯＡ ＋ μ →ＯＢ（λ， μ∈Ｒ），求λ ＋ μ的值． 请同学们认真完成练案［１９                          ］ "'# 3.A因为A,B,C三点共线，所以A=mB元，又因为A店=a+ A,P,M和B,P,N分别共线. 2b,BC=-2a+Ab,则a+2b=m(-2a+Ab),即a+2b= ·存在实数Aμ使得亚=AA -2ma+Amb,闲此-2m=1, =-Ae -3Ae:,BP=u BN =2ue +ue: 2解得之，故选4 故B函=B+P=B-A=(A+2μ)e1+(3A+u)C2, 【A=-4 而=B配+Ci=2e1+3e2,由平面向量基本定理， 4C=+网=丽+成=裙+（花-丽）=成+ 得+2u=2. 号d-a+b. 3A+4=3, 4 λ=5 50亦=0+=0+4=+手(0成-0)=-+ 解得 3 u=5 子诚 ∴市=，成=子或 §4平面向量基本定理及坐标表示 P:PW=4,BD:Pm=是 4.1平面向量基本定理 对点训练3：(1)号(2)子(1)设店=a,布=b,则证= 必备知识探新知 1 a+b,亦=a+2b,又：花=a+b, 知识点1.A1e,+,e22.e,e2}3.互相垂直4.正交 基5.单位 配=子（证+的. 关键能力攻重难 例1：由题意可知：e,心可以看成一组基底向量，根据 即A号A-李 平面向量基本定理可知：A,D正确，B不正确：当入=A,=4= (2)0币与0元共线， 山=0时，则Ae,+4C=Ae,+山e=0,此时任意实数A均有 存在实数以，使0=uO记=muOi+2u0尼 Ae,+4C=A(e:+42e),故C不正确：故选BC. 乎=0-O 对点训练1：B平面内只要不共线的向量均可作为表示该 ∴A=40+2mu0成-0-(mu-1)0+2mu0亦= 平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确：由平面向量 AA店=A(Oi-O)=-AO+A0成. 基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基 与0成不共线. 底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确.故选B 「mw-1=-A, l24=A, 例2：(1)①D23(2)见解析 【解析】(1)如图，A⑦=A花+Ci=-b+ 解得A=子 }-b-a,①正确：成=成+正= 课堂检测固双基 1.D2-D元，2(4而-A)=A元-. a+b,②正确：证=记+C店=-b-a,C亦 2(而-c)=b-=子c+b d+号=b+宁-b-a)=- 2,③ 2.C因为A,B,D三点共线，所以存在实数1，使4市=tA店，则C -C=(C-Ci). 正确：④时：成：-之0，④不正晚 所以Ci=+r(C市-Cd)=(1-)Cd+tC应 (2)因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点， 1-t= 所以 所以F元=动=a,D元===2b 解得A=-宁 t=入， 3.1向量a,b不能作为基底，则向量a,b共线，可设a=Ab,则 成=成++亦=-成-而+秘 k=一入…则k=1 -1=A, -×b-a+=动-a :4.3因a,b是一个基底，故a与b不共线，由平面向量基本定 对点训练2：A0币=耐+币=0+}店=0+子(0成- 得2 理得3r-=6 a=a+} 5.如图，以OA,0B所在射线为邻边，0C为对角线作平行四边形 0DCE,则OC=Oi+O 4tg2 例3：设Bmi=e.C=e2,则Ai=A元+C=-30-c B=Bd+C尿=2C,+e -310 在△0CD中，10C1=25,∠C0D=30°，∠0CD=90°， 2:e∥e2D中e=4ee∥e2,故选B 10=4,C⑦=2. 故0i=40.0成=20成，即A=4,4=2, (2)Aa-b=A(2,1)-(3,-4) =(2A,A)-(3,-4)=(2A-3,A+4), A+以=6 a+2b=(2,1)+2(3,-4)=(2,1)+(6,-8)=(8,-7) 4.2平面向量及运算的坐标表示 '(Aa-b)∥(a+2b). 必备知识探新知 六8(A+4)+7(2A-3)=0=2A+11=0=A=-2 知识点1(x,y) 知识点2(+高，为+方)（年-西2，为-2） (Ax,Ay) -b=(-分×2-3，-+4=(-4,2)月 (5-为-1） 即Aa-b=-(a+2b), 知识点3(1)x-=0(2)点=点 关键能力攻重难 故当A=-之时，a-b与a+2h平行：平行时它们反向 例1：(1)作A1⊥x轴于点M,则0M=0A·cos45=4× 对点训练3：A已知a=（-3,2),b=(4,A),则a+3b= 21 (9,2+3),2a-b=(-10,4-A),(a+3b)∥(2a-b), =22 94-)■-102+3).解得A=-号，放选 AW=0m·im45°=4×2-22. 2 课堂检测固双基 1.BNmi=(2,1)-(3,5)=(-1,-4) 所以4(22,22)，故a=(22,22) 2.B因为向量a=(2,8).b=(-4,2),所以c=2a-b=2(2, 因为∠A0C=180°-105°=75°，∠A0y=45° 8)-(-4,2)=(8,14).故选B. 所以∠C0y=30°.又0C=AB=3, 3.A由图可知a=c=(1,2),b=(1,-2),所以a+b-c=(1, 所以-2 -2) 4.A由a∥b得：-(4m+5)-m=0,-5m-5=0,解得m= 所=-(9 105 -1. 即6(-多39 A2=0成-0=(1-k,2k-2),A元=0元-0=(1- 45 2k,-3) 2)威-应=（停. 由题意可知AB∥A元，所以(-3)×(1-k)-(2k-2)(1-2k) (3)0i=0+AB =0, 2a.2+(-23 解得：一子1不合画意合去) =n-2+3 §5从力的做功到向量的数量积 5.1向量的数量积 2-22,9 必备知识探新知 对点训练1：A由题意得，a=(2ms45°)i+(2sin45)j 知识点11.1al1b1cos62.0°≤8<90° 90°<8≤1809 =i+j=(1,1).故选A 0 lallbl -lallbl 例2：A(4,6)、B(7,5)、C(1,8) 知识点21.投影向量 投影数量2.1al乘积1b1 A店=(7,5)-(4,6)=(3，-1)：4元=(1,8)-(4,6)=1acos0 (-3,2)； 知识点3b·aa·(ab)a·b+a·cIal·cos0 A6+A元=(3，-1)+(-3,2)=(0,1)： A-A元=(3，-1)-(-3,2)=(6，-3). 8流a1b1≠0)a1ib1。/A 对点训练2：(1)(5,4)(2)(-3，-3)(1)设0为坐标 关键能力攻重难 原点，因为0=(-1，-5)，AB=3a=(6,9),放0=0i+AB= 例1：()-(2)见解析 (5,4),故点B的坐标为(5,4) (2)因为点A,B,C的坐标分别是(2，-4)，(0,6)，(-8， 【解桥】（1)由已知得而=（宿+心，正=子花，应 10) 所以武=(-8,4)，记=(-10,4)，放武-之d=(-8, =武+正=子花-应，所以而.配=之(+)·（号记 4)-(-57)=(-3,-3). - ）=立×（号-御-.闷=之× 例3：(1)B(2)见解析 【解折】()A中向量6为零向量6/%，：C中6=（子-1-了m60）=- 311-