第2章 2.1 向量的加法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

§ # 从位移的合成到向量的加减法 ２． １　 向量的加法 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助实例理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义． ２．能熟练地运用三角形法则和平行四边形法则作出已知向量的和向量． ３．通过实例理解向量加法的交换和结合律，并能熟练运用它们进行向量 计算． 通过学习向量的加法，重点培养学 生的数学抽象和逻辑推理、数学建 模素养． )*+,%-.+ 知识点　 向量的加法 　 　 １．向量加法的定义 求两个向量和　 的运算，称为向量的加法． ２．三角形法则和平行四边形法则 三角形 法则 已知两个不共线向量ａ，ｂ在平面上任取一点Ａ，作→ＡＢ ＝ ａ，→ＢＣ ＝ ｂ，再 作向量→ＡＣ，则向量→ＡＣ叫作ａ与ｂ的和（或和向量），记作ａ ＋ ｂ，即ａ ＋ ｂ ＝ →ＡＢ ＋ →ＢＣ ＝ →ＡＣ 平行四边 形法则 已知两个不共线向量ａ，ｂ，作→ＡＢ ＝ ａ，→ＡＤ ＝ ｂ，以ＡＢ，ＡＤ为邻边作平行 四边形ＡＢＣＤ，则有向线段→ＡＣ ＝ ａ ＋ ｂ 　 　 ３． ｜ ａ ＋ ｂ ｜与｜ ａ ｜，｜ ｂ ｜之间的关系 一般地，我们有｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜≤ ｜ ａ ＋ ｂ ｜≤ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜，当且仅当ａ，ｂ方向相同时｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ｜ ＋ ｜ ｂ ｜，当且仅当ａ， ｂ方向相反时｜ ａ ＋ ｂ ｜ ＝ ｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜ ． /012%345 ●678%(¹<Àš”»¼Sy １．（１）如图，已知ａ，ｂ，求作ａ ＋ ｂ． "&! 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　（２）如图所示，已知向量ａ，ｂ，ｃ，试作出向量ａ ＋ ｂ ＋ ｃ． 　 　 【分析】　 用三角形法则或平行四边形法则画图． 　 　 ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 根据图示填空，其中ａ ＝ →ＤＣ，ｂ ＝ →ＣＯ，ｃ ＝ →ＯＢ，ｄ ＝ →ＢＡ． （１）ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ 　 　 　 　 ；（２）ｂ ＋ ｄ ＋ ｃ ＝ 　 　 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%(¹Àš’ÁÂ<IJ ２．化简下列各式： （１）→ＡＢ ＋ →ＤＦ ＋ →ＣＤ ＋ →ＢＣ ＋ →ＦＡ；（２）（→ＡＢ ＋ →ＤＥ）＋ →ＣＤ ＋ →ＢＣ ＋ →ＥＡ． 【分析】　 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的 结合律求和． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 （１）向量（→ＡＢ ＋ →ＭＢ）＋（→ＢＯ ＋ →ＢＣ）＋ →ＯＭ ＝ （　 　 ） Ａ． →ＢＣ Ｂ． →ＡＢ Ｃ． →ＡＣ Ｄ． →ＡＭ （２）化简→ＣＤ ＋ →ＢＣ ＋ →ＡＢ． 归纳提升： §jžIôrwúÀ {žIô-Öër v¿ Öëá （１） §jžI ôX 4 c !q 5 š ð3?wúÀ{žI ôX4c-B!(ä Î3 ． （２） §jžIô’F MÓR-6”€"‘ å?DwúÀ{žI ô!’FMŒ(¯- ³e€"‘å' v¿áwúÀ{žI ôr§jžIôpŽ Í°B%°-'4³ •‘€"å-I? P&€"w¨#š± bc?hiº»`a '7ÑÒDG' 归纳提升： €",üXcì-³ •Iá １̈ ©Z:Iáab€ "ïI-;û¯åˆ “¯?À"bc0 !q5šð3?€" -å60à%e€" -äΓ€Y=%e €"|Î-€" ． R ''„Ã%e€"8 ê X ³ e Ê I e €" ． （２）̂ +IáP&º ;?´µ§jžIô ÊwúÀ{žIôc ì ． "&# 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%(¹Àš<­®IJ ３．在某地抗震救灾中，一架飞机从Ａ地按北偏东３５°的方向飞行８００ ｋｍ到达Ｂ 地接到受伤人员，然后又从Ｂ地按南偏东５５°的方向飞行８００ ｋｍ送往Ｃ地医 院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 【分析】　 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 如图，用两根绳子把重１０ Ｎ的物体Ｗ吊在水平杆子ＡＢ上， ∠ＡＣＷ ＝１５０°，∠ＢＣＷ ＝１２０°，求Ａ和Ｂ处所受力的大小（绳子的重量忽 略不计）． 归纳提升： ÂF€"hiwÆ^+ `a-¤ŽÞß KLMN%OPQ １．若Ｏ、Ｅ、Ｆ是不共线的任意三点，则以下各式成立的是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． →ＥＦ ＝ →ＯＦ ＋ →ＯＥ Ｂ． →ＥＦ ＋ →ＯＥ ＝ →ＯＦ Ｃ． →ＥＦ ＝ →ＦＯ ＋ →ＯＥ Ｄ． →ＥＦ ＝ →ＦＯ ＋ →ＥＯ ２．已知Ｐ为△ＡＢＣ所在平面内一点，当→ＰＡ ＋ →ＰＢ ＝ →ＰＣ成立 时，点Ｐ位于 （　 　 ） Ａ．△ＡＢＣ的ＡＢ边上 Ｂ．△ＡＢＣ的ＢＣ边上 Ｃ．△ＡＢＣ的内部 Ｄ．△ＡＢＣ的外部 ３．作用在同一物体上的两个力Ｆ１ ＝ ６０ Ｎ，Ｆ２ ＝ ６０ Ｎ，当它 们的夹角为１２０°时，则这两个力的合力大小为（　 　 ） Ａ． ３０ Ｎ Ｂ． ６０ Ｎ Ｃ． ９０ Ｎ Ｄ． １２０ Ｎ ４．已知点Ｇ是△ＡＢＣ的重心，则→ＧＡ ＋ →ＧＢ ＋ →ＧＣ ＝ 　 　 　 　 ． ５．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＡＣ和ＢＤ的 交点． （１）→ＡＢ ＋ →ＡＤ ＝ 　 　 　 　 ； （２）→ＡＣ ＋ →ＣＤ ＋ →ＤＯ ＝ 　 　 　 　 ； （３）→ＡＢ ＋ →ＡＤ ＋ →ＣＤ ＝ 　 　 　 　 ； （４）→ＡＣ ＋ →ＢＡ ＋ →ＤＡ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１６                        ］ "&$ 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终 点的位置无关，故②不正确． 单位向量的长度为１，当所有单位向量的起点在同一点Ｏ 时，终点都在以Ｏ为圆心，１为半径的圆上，故③正确． ④显然正确，故所有正确命题的序号为③④． 对点训练１：Ｄ　 不管向量的方向如何，它们都不能比较大 小，故Ａ、Ｂ不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段 的长度，与方向无关，故Ｃ不正确；向量的模是一个数量，可以比 较大小，故Ｄ正确． 例２：（１）作出向量→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ，如图所示： （２）由题意得，△ＢＣＤ是直角三角形，其中∠ＢＤＣ ＝ ９０°，ＢＣ 槡＝ １０ ２米，ＣＤ ＝ １０米，所以ＢＤ ＝ １０米． △ＡＢＤ是直角三角形， 其中∠ＡＢＤ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ５米，ＢＤ ＝ １０米，所以ＡＤ ＝ ５２ ＋ １０槡 ２ ＝ 槡５ ５（米），所以｜→ＡＤ 槡｜ ＝ ５ ５． 对点训练２：取每个方格的单位长 为１，依题意，结合向量的表示可知，（１） （２）的向量如图所示． （３）由图知，△ＡＯＢ是等腰直角三 角形，所以｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＯＢ ｜ ２ － ｜→ＯＡ ｜槡 ２ ＝ ３． 例３：（１）∵ Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＡＢ的 中点，∴ ＥＦ∥ＢＣ， ∴与→ＥＦ共线的向量为→ＦＥ，→ＢＤ，→ＤＢ，→ＤＣ，→ＣＤ，→ＢＣ，→ＣＢ． （２）∵ Ｅ，Ｆ，Ｄ分别是ＡＣ，ＡＢ，ＢＣ的中点， ∴ ＥＦ ＝ １２ ＢＣ，ＢＤ ＝ ＤＣ ＝ １ ２ ＢＣ，∴ ＥＦ ＝ ＢＤ ＝ ＤＣ． ∵ ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ均不相等，∴与→ＥＦ长度相等的向量为→ＦＥ，→ＢＤ， →ＤＢ，→ＤＣ，→ＣＤ． （３）与→ＥＦ相等的向量为→ＤＢ，→ＣＤ． 对点训练３：ＣＤ　 单位向量的模均相等且为１，但方向并不 一定相同，故Ａ错误； 零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等 的，故Ｂ错误； 若四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，则一组对边平行且相等，有 →ＡＢ ＝→ＤＣ， 若→ＡＢ ＝→ＤＣ，则ＡＢ ＝ ＤＣ，ＡＢ∥ＤＣ，则四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形，故Ｃ正确； 由零向量的规定，知Ｄ正确．故选ＣＤ． 例４：由题意知△ＯＡＢ，△ＯＢＣ，△ＯＣＤ，△ＯＥＤ，△ＯＥＦ， △ＯＦＡ均为等边三角形， ∴ →ＯＤ与→ＯＢ夹角∠ＤＯＢ ＝ １２０°，→ＯＤ与→ＯＥ夹角∠ＤＯＥ ＝ ６０°． →ＯＤ与→ＡＢ夹角等于→ＡＯ与→ＡＢ的夹角， ∴ →ＯＤ与→ＡＢ夹角θ ＝ ６０°． 对点训练４：９０°　 ３０°　 ＡＥ⊥ＢＣ，ＡＥ平分∠ＢＡＣ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向 量的模为０，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一 定是平行向量；④显然正确． ２． Ｂ　 由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着 向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线． ３． Ａ　 如图，连接ＡＣ，由｜→ＯＣ ｜ ＝ ｜→ＯＢ ｜，得 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＯＣＢ ＝ ３０°．因为Ｃ为半圆 上的点，所以∠ＡＣＢ ＝ ９０°，所以｜→ＡＣ ｜ ＝ １ ２ ｜ →ＡＢ ｜ ＝ １．故选Ａ． ４．（１）（４）　 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：→ＡＤ ＝ →ＢＣ，→ＯＢ≠→ＯＤ；→ＡＣ≠→ＢＤ，→ＡＯ ＝→ＯＣ． ５．（１）建立如图所示的直角坐标系，向量→ＡＢ，→ＢＣ，→ＣＤ即为所求． （２）根据题意，向量→ＡＢ与→ＣＤ方向相反，故向量→ＡＢ∥→ＣＤ．又｜→ＡＢ ｜ ＝ ｜→ＣＤ ｜，所以在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ瓛ＣＤ，四边形ＡＢＣＤ为平 行四边形，所以→ＡＤ ＝→ＢＣ，所以｜→ＡＤ ｜ ＝ ｜→ＢＣ ｜ ＝ ４００（海里）． § ２　 从位移的合成到向量的加减法 ２． １　 向量的加法 必备知识　 探新知 知识点　 １．和 关键能力　 攻重难 例１：（１） 　 　 　 　 　 　 　 甲→ＡＣ ＝ ａ ＋ ｂ　 　 　 　 乙→ＡＣ ＝ ａ ＋ ｂ （２）方法一：如图１所示，首先在平面内任取一点Ｏ，作向量 →ＯＡ ＝ ａ，接着作向量→ＡＢ ＝ ｂ，则得向量→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｂ；然后作向量 →ＢＣ ＝ ｃ，则向量→ＯＣ ＝（ａ ＋ ｂ）＋ ｃ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ即为所求． 　 方法二：如图２所示，首先在平面内任取一点Ｏ，作向量→ＯＡ ＝ ａ，→ＯＢ ＝ ｂ，→ＯＣ ＝ ｃ，以ＯＡ、ＯＢ为邻边作ＯＡＤＢ，连接ＯＤ，则→ＯＤ ＝→ＯＡ ＋→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｂ．再以ＯＤ、ＯＣ为邻边作ＯＤＥＣ，连接ＯＥ，则 →ＯＥ ＝ →ＯＤ ＋→ＯＣ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ即为所求． 对点训练１：（１）→ＤＢ　 （２）→ＣＡ　 （１）ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ →ＤＣ ＋ →ＣＯ ＋ →ＯＢ ＝→ＤＢ                                                                       ； —７０３— （２）ｂ ＋ ｄ ＋ ｃ ＝→ＣＯ ＋→ＢＡ ＋→ＯＢ ＝→ＣＡ． 例２：（１）→ＡＢ ＋→ＤＦ ＋→ＣＤ ＋→ＢＣ ＋→ＦＡ ＝→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋ →ＣＤ ＋ →ＤＦ ＋→ＦＡ ＝→ＡＣ ＋→ＣＤ ＋→ＤＦ ＋→ＦＡ ＝→ＡＤ ＋→ＤＡ ＝ ０． （２）（→ＡＢ ＋→ＤＥ）＋→ＣＤ ＋→ＢＣ ＋→ＥＡ ＝（→ＡＢ ＋→ＢＣ）＋（→ＣＤ ＋→ＤＥ）＋ →ＥＡ ＝→ＡＣ ＋→ＣＥ ＋→ＥＡ ＝→ＡＥ ＋→ＥＡ ＝ ０． 对点训练２：（１）Ｃ　 （２）０　 （１）（→ＡＢ ＋ →ＭＢ）＋（→ＢＯ ＋→ＢＣ）＋ →ＯＭ ＝→ＡＢ ＋→ＢＯ ＋ →ＯＭ ＋ →ＭＢ ＋→ＢＣ ＝→ＡＣ，故选Ｃ． （２）原式＝→ＡＢ ＋→ＢＣ ＋ →ＣＤ ＋ →ＤＦ ＋→ＦＡ ＝→ＡＣ ＋ →ＣＤ ＋→ＤＡ ＝→ＡＤ ＋ →ＤＡ ＝ ０． 例３：如图所示，设→ＡＢ，→ＢＣ分 别表示飞机从Ａ地按北偏东３５° 的方向飞行８００ ｋｍ，从Ｂ地按南 偏东５５°的方向飞行８００ ｋｍ． 则飞机飞行的路程指的是｜ →ＡＢ ｜ ＋ ｜→ＢＣ ｜；两次飞行的位移的 和指的是→ＡＢ ＋→ＢＣ ＝→ＡＣ． 依题意，有｜→ＡＢ ｜ ＋ ｜→ＢＣ ｜ ＝ ８００ ＋ ８００ ＝ １ ６００（ｋｍ）． 又α ＝ ３５°，β ＝ ５５°，∠ＡＢＣ ＝ ３５° ＋ ５５° ＝ ９０°． 所以｜→ＡＣ ｜ ＝ ｜ＡＢ→ ｜ ２ ＋ ｜→ ＢＣ ｜槡 ２ ＝ ８００２ ＋８００槡 ２ 槡＝８００ ２（ｋｍ）． 其中∠ＢＡＣ ＝ ４５°，所以方向为北偏东３５° ＋ ４５° ＝ ８０°． 从而飞机飞行的路程是１ ６００ ｋｍ，两次飞行的位移和的大 小为 槡８００ ２ ｋｍ，方向为北偏东８０°． 对点训练３：如图，设→ＣＥ、→ＣＦ分别表示Ａ，Ｂ所受的力，１０ Ｎ 的重力用→ＣＧ表示，则→ＣＥ ＋→ＣＦ ＝→ＣＧ． 易得∠ＥＣＧ ＝ １８０° － １５０° ＝ ３０°， ∠ＦＣＧ ＝ １８０° － １２０° ＝ ６０°， ∴ ｜→  ＣＥ ｜ ＝ ｜→  ＣＧ ｜ ｃｏｓ ３０° ＝１０ ×槡３２ 槡＝５ ３． ｜→ＣＦ ｜ ＝ ｜→ＣＧ ｜ ｃｏｓ ６０° ＝ １０ × １２ ＝ ５． ∴ Ａ处所受的力的大小为槡５ ３ Ｎ，Ｂ处所受的力的大小为５ Ｎ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案． ２． Ｄ　 如图，→ＰＡ ＋→ＰＢ ＝→ＰＣ，则Ｐ在△ＡＢＣ的外部． ３． Ｂ　 如图所示，由平行四边形法则作出Ｆ１ 与Ｆ２ 的合力Ｆ，由题意可知△ＯＦ１Ｆ２ 为 正三角形，∴ Ｆ大小为６０ Ｎ． ４． ０　 如图所示，连接ＡＧ并延长交ＢＣ于Ｅ 点，点Ｅ为ＢＣ的中点，延长ＡＥ到Ｄ点， 使ＧＥ ＝ ＥＤ， 则→ＧＢ ＋→ＧＣ ＝ →ＧＤ，→ＧＤ ＋→ＧＡ ＝ ０，所以→ＧＡ ＋ →ＧＢ ＋→ＧＣ ＝ ０． ５．（１）→ＡＣ　 （２）→ＡＯ　 （３）→ＡＤ　 （４）０ （１）由平行四边形法则，→ＡＢ ＋→ＡＤ ＝→ＡＣ； （２）由向量加法的三角形法则，→ＡＣ ＋ →ＣＤ ＋ →ＤＯ ＝→ＡＤ ＋ →ＤＯ ＝→ＡＯ； （３）由向量加法法则得，→ＡＢ ＋→ＡＤ ＋→ＣＤ ＝→ＡＣ ＋→ＣＤ ＝→ＡＤ； （４）由向量加法法则得，→ＡＣ ＋→ＢＡ ＋→ＤＡ ＝→ＢＡ ＋→ＡＣ ＋→ＤＡ ＝→ＢＣ ＋ →ＡＤ ＝ ０． ２． ２　 向量的减法 必备知识　 探新知 知识点１　 － ａ　 ０　 － ｂ　 － ａ 知识点２　 向量ａ加上向量ｂ的相反量　 ａ ＋（－ ｂ）　 ｂ的 终点　 ａ的终点 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ａ　 （２）见解析 【解析】　 （１）→ＤＣ ＝→ＡＣ －→ＡＤ ＝（→ＡＢ ＋→ＢＣ）－→ＡＤ ＝ ａ ＋ ｃ － ｂ． （２）方法一：如图①所示，在平面内任取一点Ｏ，作→ＯＡ ＝ ａ， →ＡＢ ＝ ｂ，则→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｂ，再作→ＯＣ ＝ ｃ，则→ＣＢ ＝ ａ ＋ ｂ － ｃ． 方法二：如图②所示，在平面内任取一点Ｏ，作→ＯＡ ＝ ａ，→ＡＢ ＝ ｂ，则→ＯＢ ＝ ａ ＋ ｂ，再作→ＣＢ ＝ ｃ，连接ＯＣ，则→ＯＣ ＝ ａ ＋ ｂ － ｃ． 对点训练１：如图所示，在平面内任取一点Ｏ，作→ＯＡ ＝ ａ，→ＯＢ ＝ ｂ，→ＯＣ ＝ ｃ，→ＯＤ ＝ ｄ， 则ａ － ｂ ＝→ＢＡ，ｃ － ｄ ＝→ＤＣ． 例２：（１）方法一（统一成加法）：（→ＡＢ － →ＣＤ）－（→ＡＣ － →ＢＤ）＝ →ＡＢ －→ＣＤ －→ＡＣ ＋→ＢＤ ＝→ＡＢ ＋ →ＤＣ ＋→ＣＡ ＋ →ＢＤ ＝→ＡＢ ＋ →ＢＤ ＋ →ＤＣ ＋→ＣＡ ＝ →ＡＤ ＋→ＤＡ ＝ ０． 方法二（利用减法）：（→ＡＢ －→ＣＤ）－（→ＡＣ －→ＢＤ）＝→ＡＢ －→ＣＤ －→ＡＣ ＋→ＢＤ ＝（→ＡＢ －→ＡＣ）－→ＣＤ ＋→ＢＤ ＝→ＣＢ －→ＣＤ ＋→ＢＤ ＝→ＤＢ ＋→ＢＤ ＝０． 方法三（利用→ＡＢ ＝→ＯＢ －→ＯＡ）设Ｏ是平面内任意一点，则（→ＡＢ －→ＣＤ）－（→ＡＣ －→ＢＤ）＝→ＡＢ －→ＣＤ －→ＡＣ ＋ →ＢＤ ＝（→ＯＢ －→ＯＡ）－（→ＯＤ － →ＯＣ）－（→ＯＣ －→ＯＡ）＋（→ＯＤ －→ＯＢ）＝ →ＯＢ －→ＯＡ － →ＯＤ ＋ →ＯＣ － →ＯＣ ＋→ＯＡ ＋ →ＯＤ －→ＯＢ ＝ ０． （２）方法一：→ＯＡ － →ＯＤ ＋→ＡＤ ＝→ＤＡ ＋→ＡＤ ＝ ０． 方法二：→ＯＡ － →ＯＤ ＋→ＡＤ ＝→ＯＡ ＋→ＡＤ － →ＯＤ ＝ →ＯＤ － →ＯＤ ＝ ０． （３）→ＡＢ ＋ →ＤＡ ＋ →ＢＤ － →ＢＣ －→ＣＡ ＝→ＡＢ ＋ →ＤＡ ＋ →ＢＤ ＋ →ＣＢ ＋→ＡＣ ＝ （→ＡＢ ＋→ＢＤ）＋（→ＡＣ ＋→ＣＢ）＋→ＤＡ ＝→ＡＤ ＋→ＡＢ ＋→ＤＡ ＝→ＡＤ ＋→ＤＡ ＋→ＡＢ ＝ ０ ＋→ＡＢ ＝→ＡＢ． 对点训练２：（１）①④　 （２）见解析 【解析】　 （１）①→ＭＯ ＋ →ＯＮ ＝ →ＭＮ；②→ＭＯ － →ＯＮ ＝ － →ＯＭ － →ＯＮ ＝ －（→ＯＭ ＋ →ＯＮ）≠ →ＭＮ；③ →ＯＭ － →ＯＮ ＝ →ＮＭ；④→ＯＮ － →ＯＭ ＝ →ＭＮ，故填 ①④． （２）①→ＢＡ ＋ →ＯＤ －→ＯＡ －→ＢＣ ＝（→ＢＡ －→ＢＣ）＋（→ＯＤ －→ＯＡ）＝→ＣＡ ＋ →ＡＤ ＝→ＣＤ． ②（→ＡＣ ＋→ＢＯ ＋→ＯＡ）－（→ＤＣ － →ＤＯ － →ＯＢ）＝→ＡＣ ＋→ＢＡ － →ＯＣ ＋ →ＯＢ ＝→ＡＣ ＋→ＣＯ ＋→ＯＢ ＋→ＢＡ ＝→ＡＢ ＋→ＢＡ ＝ ０                                                                       ． —８０３—