第1章 8 三角函数的简单应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

〉 ABCD ３ 　 　 （１）函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ｘ１ ＋ ｃｏｓ ｘ （　 　 ） Ａ．是奇函数　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．是偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数 （２）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｔａｎ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜ Ｃ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｜ ｘ ｜ Ｄ． ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ２ ＋ π( )６ KLMN%OPQ １．函数ｙ ＝ ２ｔａｎ ３ｘ ＋ π( )４ 的最小正周期是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π６ Ｂ． π ３ Ｃ． π ２ Ｄ． ２π ３ ２．下列各式中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｔａｎ ７３５° ＞ ｔａｎ ８００° Ｂ． ｔａｎ １ ＞ － ｔａｎ ２ Ｃ． ｔａｎ ５π７ ＜ ｔａｎ ４π ７ Ｄ． ｔａｎ ９π ８ ＜ ｔａｎ π ７ ３．在区间［０，π］内，函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的图象交 点的个数是（　 　 ）个． （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ４．函数ｙ ＝ ｔａｎ π２ －( )ｘ ｘ∈ － π４ ，π[ ]４ ，且ｘ≠( )０ 的值域 为　 　 　 　 ． ５．（１）求ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的周期； （２）判断ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ的奇偶性． 请同学们认真完成练案［１３                    ］ § ) 三角函数的简单应用 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解三角函数是研究周期现象最重要的模型． ２．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题． 通过对“三角函数的简单应用”的学习，培养学 生的逻辑推理，数学抽象，数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 三角函数模型的作用 　 　 三角函数作为描述现实世界中周期现象　 的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、 预测未来等方面发挥着重要作用． 知识点２　 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 　 　 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么， 从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问 题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． "%" /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%HTFG§7¨©ª;<IJ １． 已知表示电流强度Ｉ与时间ｔ的函数关系式Ｉ ＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０）． （１）若电流强度Ｉ与时间ｔ的函数关系图象如图所示，试根 据图象写出Ｉ ＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ）的解析式； （２）为了使Ｉ ＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ） Ａ ＞０，ω ＞０，｜φ ｜ ＜ π( )２ 中ｔ在任 意一段１１００秒的时间内电流强度Ｉ能同时取得最大值Ａ与最小值－ Ａ，那么正整 数ω的最小值是多少？ 【分析】　 对于（１），由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数Ａ，ω，φ的 值即可．其中Ａ可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解 方程求得．对于（２），可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个 最小值点来解． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 本例（１）中，在其他条件不变的情况下，当ｔ ＝ １０秒时的电流强度Ｉ应为多少？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%«¬HTFG§7„…­®‡6 ２．如图，一个大风车的半径为８米，风车按逆时针方向匀速旋转， 并且１２分钟旋转一周，它的最低点离地面２米，设风车开始旋 转时其翼片的一个端点Ｐ在风车的最低点，求： （１）点Ｐ离地面距离ｈ（米）与时间ｔ（分钟）之间的函数关 系式； （２）在第一圈的什么时间段点Ｐ离地面的高度超过１４米？ ［归纳提升］ 归纳提升： hi9:;.rhM ŸLÂ`a-op ¶F;.VG9: ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）-h MŸ?·Í\BVG îX-D: Ａ，ω，φ． îX Ａ éY¥VG  ω é12VG?D1 2éTWΑѠφ éÎp;.°‘Ñ? VG φ '?(O%- Œ$%>?%B‘ ｜φ ｜XYZ- φ． 归纳提升： ÆL·¸`a'?# ÝÞ߀¤Á:àá âB%£)…-¤Ž Š#?pãa'_` aäå-!–—3æ –€!©ç3X!: àèé3?4e&2 \ B : à ¤ á - &2 ． "%! 〉 ABCD ２ 　 　 如图为一半径为３ ｍ的水轮，水轮圆心Ｏ距离水面２ ｍ，已知水轮自点Ｂ开始１ ｍｉｎ旋转４圈，水轮上的点Ｐ 到水面距离ｙ（ｍ）与时间ｘ（ｓ）满足函数关系式ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＋ ２，则有 （　 　 ） Ａ． ω ＝ ２π１５，Ａ ＝ ３　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ω ＝ １５ ２π ，Ａ ＝ ３ Ｃ． ω ＝ ２π１５，Ａ ＝ ５ Ｄ． ω ＝ １５ ２π ，Ａ ＝ ５ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%G¯°‘HTFG‡6 ３．平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处 水深ｙ（米）是随着一天的时间ｔ（０≤ｔ≤２４，单位：小时）呈周期性变化，某天各时刻ｔ的水深数据的近似值 如表： ｔ（时） ０ ３ ６ ９ １２ １５ １８ ２１ ２４ ｙ（米） １． ５ ２． ４ １． ５ ０． ６ １． ４ ２． ４ １． ６ ０． ６ １． ５ （１）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ），②ｙ ＝ Ａｃｏｓ （ωｔ ＋ φ）＋ ｂ，③ｙ ＝ － Ａｓｉｎ ωｔ ＋ ｂ（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，－ π ＜ φ ＜ ０）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模 型的函数解析式； （２）为保证队员安全，规定在一天中的５ ～ １８时且水深不低于１． ０５米的时候进行训练，根据（１）中的选 择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． 【分析】　 （１）根据表中近似数据画出散点图，选②ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｔ ＋ φ）＋ ｂ作为函数模型，由此利用三角函数的 图象和性质，求出该拟合模型的函数解析式即可． （２）由ｙ ＝ ０． ９ｓｉｎ π６( )ｔ ＋ １． ５，令ｙ≥１． ０５，得ｓｉｎ π６( )ｔ ≥ － １２ ，从而解出１２ｋ － １≤ｔ≤１２ｋ ＋ ７，即可求出结果． 〉 ABCD ３ 　 　 某港口的水深ｙ（米）是时间ｔ（０≤ｔ≤２４，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表： ｔ ０ ３ ６ ９ １２ １５ １８ ２１ ２４ ｙ １０ １３ ９． ９ ７ １０ １３ １０． １ ７ １０ 　 　 经过长期观测，ｙ ＝ ｆ（ｔ）可近似的看成是函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ ωｔ ＋ ｂ （１）根据以上数据，求出ｙ ＝ ｆ（ｔ）的解析式； （２）若船舶航行时，水深至少要１１． ５米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？ KLMN%OPQ １．已知简谐运动ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ π３ ｘ ＋( )φ ｜φ ｜ ＜ π( )２ 的图 象经过点（０，１），则该简谐运动的最小正周期Ｔ和初 相φ分别为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． Ｔ ＝ ６，φ ＝ π６ Ｂ． Ｔ ＝ ６，φ ＝ π ３ Ｃ． Ｔ ＝ ６π，φ ＝ π６ Ｄ． Ｔ ＝ ６π，φ ＝ π        ３ "%# ２．某星星的亮度变化周期为１０天，此星星的平均亮度 为３． ８星等，最高亮度距离平均亮度０． ２星等，则可 近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角 函数可以是下列中的 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ０． ２ｓｉｎ １０ｔ ＋ ３． ８ Ｂ． ｙ ＝ ３． ８ｓｉｎ π５ ｔ ＋ ０． ２ Ｃ． ｙ ＝ ０． ２ｓｉｎ π５ ｔ ＋( )φ ＋ ３． ８ Ｄ． ｙ ＝ ３． ８ｓｉｎ １０ｔ ＋ ０． ２ ３．某人的血压满足函数式ｆ（ｔ）＝ ２４ｓｉｎ（１６０πｔ）＋ １１０， 其中ｆ（ｔ）为血压，ｔ为时间，则此人每分钟心跳的次数 为 （　 　 ） Ａ． ６０ Ｂ． ７０ Ｃ． ８０ Ｄ． ９０ ４．如图某地夏天从８ ～ １４时用电量变 化曲线近似满足函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＋ ｂ． （１）这一天的最大用电量为　 　 　 　 万度，最小用电量为　 　 　 　 万度； （２）这段曲线的函数解析式为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                   ］ 章末梳理 +,±²%ª³´ 三角函数 周期变化 任意角正角、负角、零角终边相同的角、象限角、区间角、{ 轴线角的概念及表示方法 弧度制：弧度数、弧长与扇形面积公式 正、余弦函数 正、余弦函数的定义 正、余弦函数的基本性质 定义域 值域 周期性 单调性               函数值的符号 诱导公式 函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象 φ对ｙ ＝ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ）的图象的影响 ω对ｙ ＝ ｓｉｎ ωｘ的图象的影响 Ａ对ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象的影响 振幅、周期、频率、相位、{ 初相 三角函数的图象和性质 正、余弦函数的图象 五点法 正弦曲线{余弦曲线 正、余弦函数的性质 周期性 奇偶性 单调性 定义域、{ 值域 正切函数的性质和图象 周期性 奇偶性 单调性 定义域、值域                         正切曲线                                         三角函数模型的简单应用 "%$ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ无交点，当ｘ∈ π２ ，( )π 时，ｔａｎ ｘ ＜ ０，ｓｉｎ ｘ ＞ ０， 所以ｔａｎ ｘ ＜ ｓｉｎ ｘ，此时函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ无交点，当ｘ ＝ π时ｓｉｎ ｘ ＝ ｔａｎ ｘ ＝ ０，故ｘ ＝ π是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的 一个交点，综上可得函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的图象在［０，π］ 内有且仅有２个交点．故选Ｃ． ４．（－ ∞，－ １］∪［１，＋ ∞） ５．（１）方法一：因为ｔａｎ ２ｘ ＋ π３ ＋( )π ＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 即ｔａｎ ２ ｘ ＋ π( )２ ＋ π[ ]３ ＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 所以ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的周期是π２ ． 方法二：由Ｔ ＝ π２得，周期为 π ２ ． （２）定义域为｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ｝，关于原点对称， 因为ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＋ ｔａｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ － ｔａｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ）， 所以它是奇函数． § ８　 三角函数的简单应用 必备知识　 探新知 知识点　 １．周期现象 关键能力　 攻重难 例１：（１）由题图知，Ａ ＝ ３００． Ｔ ＝ １６０ － － １( )３００ ＝ １５０，∴ ω ＝ ２π Ｔ ＝ １００π． ∵ － １３００，( )０ 是该函数图象的第一个零点，∴ － φω ＝ － １３００． ∴ φ ＝ ω ３００ ＝ π ３ ．符合｜ φ ｜ ＜ π ２ ，∴ Ｉ ＝ ３００ｓｉｎ １００πｔ ＋ π( )３ （ｔ≥０）． （２）问题等价于Ｔ≤ １１００，即 ２π ω ≤ １ １００，∴ ω≥２００π． ∴正整数 ω的最小值为６２９． 对点训练１：由例１（１）可得Ｉ ＝ ３００ｓｉｎ １００πｔ ＋ π( )３ （ｔ≥０）， 将ｔ ＝ １０秒代入可得，Ｉ 槡＝ １５０ ３安培． 例２：（１）设ｈ（ｔ）＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ）＋ ｂ， 由题意得Ａ ＝ ８，Ｔ ＝ １２，ｂ ＝ １０； 则ω ＝ ２πＴ ＝ π ６ ，当ｔ ＝ ０时，ｈ ＝ ２，即ｓｉｎ φ ＝ － １，因此，φ ＝ － π２ ．故ｈ（ｔ）＝ ８ｓｉｎ π ６ ｔ － π( )２ ＋ １０，ｔ≥０． （２）由题意ｈ（ｔ）＞ １４，即８ｓｉｎ π６ ｔ － π( )２ ＋ １０ ＞ １４，则 ｃｏｓ π６ ｔ ＜ － １ ２ ． 又因为０≤ｔ≤１２，２π３ ＜ πｔ ６ ＜ ４π ３ ，所以４ ＜ ｔ ＜ ８． 故在第一圈４ ＜ ｔ ＜ ８时点Ｐ离地面的高度超过１４米． 对点训练２：Ａ　 由１ ｍｉｎ旋转４圈，则转１圈的时间为Ｔ ＝ １ ４ ｍｉｎ ＝ １ ４ × ６０ ＝ １５（ｓ），则ω ＝ ２π Ｔ ＝ ２π １５ ．又由图可知，Ａ ＝ ３． 例３：（１）根据表中近似数据画出散点图，如图所示： 结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选 ②ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｔ ＋ φ）＋ ｂ作为函数模型， ∴ Ａ ＝ ２． ４ － ０． ６２ ＝ ０． ９，ｂ ＝ ２． ４ ＋ ０． ６ ２ ＝ １． ５， ∵ Ｔ ＝ ２π ω ＝ １２，∴ ω ＝ π６ ，∴ ｙ ＝ ０． ９ｃｏｓ π ６ ｔ ＋( )φ ＋ １． ５， 又∵函数ｙ ＝ ０． ９ｃｏｓ π６ ｔ ＋( )φ ＋ １． ５的图象过点（３，２． ４）， ∴ ２． ４ ＝ ０． ９ｃｏｓ π６ × ３ ＋( )φ ＋ １． ５，∴ ｃｏｓ π２ ＋( )φ ＝ １， ∴ ｓｉｎ φ ＝ － １， 又∵ － π ＜ φ ＜ ０，∴ φ ＝ － π２ ，∴ ｙ ＝ ０． ９ｃｏｓ π ６ ｔ － π( )２ ＋ １． ５ ＝ ０． ９ｓｉｎ π６( )ｔ ＋ １． ５． （２）由（１）知ｙ ＝ ０． ９ｓｉｎ π６( )ｔ ＋ １． ５． 令ｙ≥１． ０５，即０． ９ｓｉｎ π６( )ｔ ＋ １． ５≥１． ０５， ∴ ｓｉｎ π６( )ｔ ≥ － １２ ， ∴ ２ｋπ － π６ ≤ π ６ ｔ≤２ｋπ ＋ ７π ６ （ｋ∈Ｚ）， ∴ １２ｋ － １≤ｔ≤１２ｋ ＋ ７， 又∵ ５≤ｔ≤１８，∵ ５≤ｔ≤７或１１≤ｔ≤１８，∴这一天可以安排 早上５点至７点以及１１点至１８点的时间段组织训练，才能确 保集训队员的安全． 对点训练３：（１）由表中数据可以看到：水深最大值为１３，最 小值为７，∴ ｂ ＝ １３ ＋ ７２ ＝ １０，Ａ ＝ １３ － ７ ２ ＝ ３ 且相隔１２小时达到一次最大值说明周期为１２，因此Ｔ ＝ ２π ω ＝ １２，ω ＝ π６ ，故ｆ（ｔ）＝ ３ｓｉｎ π ６ ｔ ＋ １０（０≤ｔ≤２４）． （２）要想船舶安全，必须有深度ｆ（ｔ）≥１１． ５，即３ｓｉｎ π６ ｔ ＋ １０ ≥１１． ５， ∴ ｓｉｎ π６ ｔ≥ １ ２ ，２ｋπ ＋ π ６ ≤ π ６ ｔ≤ ５π ６ ＋ ２ｋπ，解得１２ｋ ＋ １≤ｔ ≤５ ＋ １２ｋ，ｋ∈Ｚ，又０≤ｔ≤２４， 当ｋ ＝ ０时，１≤ｔ≤５；当ｋ ＝ １时，１３≤ｔ≤１７； 故船舶安全进出港的时间段为（１：００ －５：００），（１３：００ －１７：００）． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 Ｔ ＝ ２π π ３ ＝６．由图象过（０，１）点得ｓｉｎ φ ＝ １２ ． ∵ － π ２ ＜ φ ＜ π ２ ， ∴ φ ＝ π６ ． ２． Ｃ　 设所求函数为ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ）＋ ｂ，依题意得Ｔ ＝ １０， ω ＝ π５ ，Ａ ＝ ０． ２，ｂ ＝ ３． ８，所以解析式可以为ｙ ＝ ０． ２ｓｉｎ π５ ｔ ＋( )φ ＋ ３． ８，故选Ｃ                                                                       ． —５０３— ３． Ｃ　 由于ω ＝ １６０π，故函数的周期Ｔ ＝ ２π１６０π ＝ １ ８０，所以ｆ ＝ １ Ｔ ＝ ８０，即每分钟心跳的次数为８０．故选Ｃ． ４．（１）５０　 ３０　 （２）ｙ ＝ １０ｓｉｎ π６ ｘ ＋ π( )６ ＋ ４０，ｘ∈［８，１４］ 【解析】　 （２）由图知，ｂ ＝ ４０，Ａ ＝ １０，ω ＝ ２πＴ ＝ ２π ２·（１４ － ８）＝ π ６ ，∴ ｙ ＝ １０ｓｉｎ π ６ ｘ ＋( )φ ＋ ４０，又ｘ ＝ ８ 时，ｙ ＝ ３０， ∴ ｓｉｎ ４π３ ＋( )φ ＝ － １，∴ φ ＝ π６ ． 章末梳理 考点整合　 提技能 例１：（１）Ｃ　 （２）见解析 【解析】　 （１）选项Ａ，Ｂ中角度与弧度混用，不正确； ９ ４ π ＝ ２π ＋ π ４ ，所以 ９π ４与 π ４的终边相同， － ３１５° ＝ － ３６０° ＋ ４５°， 所以－ ３１５°也与４５°终边相同，故选Ｃ． （２）设扇形的半径为Ｒ，则扇形的弧长为Ｃ － ２Ｒ，因为Ｓ ＝ １ ２ （Ｃ － ２Ｒ）× Ｒ ＝ － Ｒ ２ ＋ Ｃ２ Ｒ ＝ － Ｒ － Ｃ( )４ ２ ＋ Ｃ( )４ ２ ，所以当 Ｒ ＝ Ｃ４即θ ＝ Ｃ － ２Ｒ Ｒ ＝ ２时扇形有最大面积 Ｃ２ １６ ． 例２：（１）１５ 　 （２）见解析 【解析】　 （１）由点Ｐ的坐标知，点Ｐ在第二或第四象限；由 ｃｏｓ α ｔａｎ α ＜ ０知α是第三或第四象限角．故角α是第四象限角，所以 ｍ ＜ ０． Ｐ到原点的距离ｒ ＝ １６ ２５ｍ２ ＋ ９ ２５ｍ槡 ２ ＝ １ｍ槡２ ＝ － １ｍ，所以 ｓｉｎ α ＝ ３ ５ｍ － １ｍ ＝ － ３５ ，ｃｏｓ α ＝ － ４５ｍ － １ｍ ＝ ４５ ，所以ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ － ３５ ＋ ４ ５ ＝ １ ５ ． （２）１ ＋ ｔａｎ（θ ＋ ７２０°）１ － ｔａｎ（θ － ３６０°）＝ １ ＋ ｔａｎ θ １ － ｔａｎ θ 槡＝ ３ ＋ ２ ２，所以ｔａｎ θ ＝ 槡２ ２ ． 故原式＝ ｃｏｓ ２θ ＋ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＋ ２ｓｉｎ２θ ｃｏｓ２θ ＝ １ ＋ ｔａｎ θ ＋ ２ｔａｎ２θ ＝ １ ＋ 槡２ ２ ＋ １ ＝ 槡４ ＋ ２ ２ ． 例３：（１）Ｃ　 （２）Ｃ　 （１）由正弦函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ的图象与 性质可得． ①函数ｆ（ｘ）的值域为［－ １，１］，正确； ②当ｘ ＝ π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ时，ｆ（ｘ）的最大值为１，正确； ③当２ｋπ ＋ π ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ ２π，ｋ∈Ｚ时，ｆ（ｘ）＜ ０，故不正确． （２）①ｆ（－ ｘ）＝ ｘ２ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对 称，为奇函数，所以正确； ②ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），但定义域不关于原点对称， 不是奇函数，所以不正确； ③ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对称，为 奇函数，正确； ④ｆ（－ ｘ）＝ － ｘ·ｃｏｓ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ），且定义域关于原点对 称，为奇函数，所以正确． 例４：（１）由题图可知Ａ ＝ ３，Ｔ４ ＝ ７π １２ － π ３ ，所以Ｔ ＝ πω ＝ ２，ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ），所以２π３ ＋ φ ＝ π ２ ，φ ＝ － π ６ ，所以ｆ（ｘ）＝ ３ｓｉｎ ２ｘ － π( )６ ． （２）由（１）知ｇ（ｘ）＝ ｆ ｘ ＋ π( )３ ＝ ３ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π( )３ － π[ ]６ ＝ ３ｓｉｎ ２ｘ ＋ π( )２ ＝ ３ｃｏｓ ２ｘ， 令２ｘ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），所以所求的对称轴为直线ｘ ＝ ｋπ２ （ｋ∈Ｚ）， 令２ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）， ｘ ＝ ｋπ２ ＋ π ４ （ｋ ∈ Ｚ），所以所求的对称中心为 ｋπ ２ ＋ π ４ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）． 例５：令ｕ（ｘ） 槡＝ ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ ， ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ 槡２ｓｉｎ ｘ － π( )[ ]４ ＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １２ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ． （１）要使ｆ（ｘ）有意义，则ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＞０， 所以２ｋπ ＜ ｘ － π４ ＜（２ｋ ＋１）π，（ｋ∈Ｚ）． 即ｆ（ｘ）的定义域为２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ５ ４( )π （ｋ∈Ｚ）． 因为０ ＜ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ≤１， 所以 槡０ ＜ ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ ≤槡２， 所以ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ ｕ（ｘ）≥ － １２ ． 所以ｆ（ｘ）的值域为－ １２ ，＋[ )∞ ． ｘ － π４ ∈ ２ｋπ，２ｋπ ＋ π( )２ 时，ｕ（ｘ）是增函数， 所以ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ １ ２ ｕ（ｘ）是减函数． 所以ｘ∈ ２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ３ ４( )π 时，函数是减函数． 同理可求得ｘ∈ ２ｋπ ＋ ３４ π，２ｋπ ＋ ５ ４[ )π （ｋ∈Ｚ）时，函数是 增函数； （２）因为ｆ（ｘ）的定义域不关于原点对称，所以ｆ（ｘ）是非奇 非偶函数． 又ｆ（ｘ ＋ ２π）＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １２ ｓｉｎ ｘ ＋ ２π － π( )４ ＝ － １２ ＋ ｌｏｇ １ ２ ｓｉｎ ｘ － π( )４ ＝ ｆ（ｘ），其中ｘ∈ ２ｋπ ＋ π４ ，２ｋπ ＋ ５４( )π （ｋ∈ Ｚ），所以ｆ（ｘ）是周期函数，且最小正周期是２π． 第二章　 平面向量及其应用 § １　 从位移、速度、力到向量 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）大小　 方向　 （２）→ＡＢ　 （３）｜→ＡＢ ｜（或｜ ａ ｜） 关键能力　 攻重难 例１：③④　 时间不是向量，故①不正确                                                                       ． —６０３—