第1章 7.3 正切函数的图象与性质(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

KLMN%OPQ １． ｔａｎ ２π３等于 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． －槡３ Ｂ．槡３ Ｃ． －槡３３ Ｄ．槡 ３ ３ ２．已知Ｐ（２，－ ３）是α终边上一点，则ｔａｎ（２π ＋ α）等于 （　 　 ） Ａ． ３２ Ｂ． ２ ３ Ｃ． － ３ ２ Ｄ． － ２ ３ ３．已知ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ － １２ ，α∈（０，π），则ｔａｎ（π － α） 的值为 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ．槡２２ Ｃ． － １ Ｄ． －槡 ２ ２ ４．已知角α的顶点与坐标原点Ｏ重合，始边与ｘ轴的非 负半轴重合，它的终边经过点Ｐ（１，ａ），且ｓｉｎ α ＝ － １３ ，则ｔａｎ α ＝ （　 　 ） Ａ．槡２２ Ｂ．槡 ２ ４ Ｃ． － 槡２ ４ Ｄ． － 槡２ ２ ５．已知α为第三象限角，ｆ（α）＝ ｓｉｎ α － π( )２ ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ｔａｎ（π － α） ｔａｎ（－ α － π）ｓｉｎ（－ α － π） ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１２                     ］ ７． ３　 正切函数的图象与性质 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．能画出ｙ ＝ ｔａｎ ｘ，ｘ≠π２ ＋ ｋπ，ｋ∈Ｚ的图象． ２．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间 － π２ ， π( )２ 内的单调性． 通过学习正切函数的图象与性质，重点 培养学生的数学抽象，逻辑推理、数学运 算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 正切曲线 　 　 正切函数的图象称作正切曲线． 知识点２　 正切函数的图象与性质 解析式 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 图象 定义域 ｘ∈Ｒ ｘ≠ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ 值域 Ｒ 周期 π　 "$( 奇偶性 奇函数　 对称中心 　 　 　 　 ，ｋ∈Ｚ 单调性 在开区间－ π２ ＋ ｋπ， π ２ ＋ ｋ( )π ，ｋ∈Ｚ上单调递增 /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%t¤FG<&y_z v_‡6 １．（１）若ｙ ＝ ｔａｎ ２ｘ － π( )４ ，则该函数定义域为　 　 　 　 ； （２）函数ｙ ＝ ｔａｎ ｘ２ ＋ π( )４ ，ｘ∈ ０，π( ]６ 的值域是　 　 　 　 ． 【分析】　 （１）由２ｘ － π４ ≠ π ２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），即可求出结果． （２）根据ｘ∈ ０，π( ]６ ，求解ｘ２ ＋ π４的范围，结合正切函数的性质可得值域． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD １ 　 　 （１）函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ２ｘ在－ π６ ， π[ ]６ 上的最大值与最小值的差为 （　 　 ） Ａ． ２槡３ Ｂ． ２槡３３ Ｃ． ２ Ｄ． ２ ３ （２）函数ｙ ＝ ｔａｎ２ｘ － ２ｔａｎ ｘ ｜ ｘ ｜≤π( )３ 的值域为　 　 　 　 　 　 　 ． 归纳提升： ‘[‡9:GH×- I ‘r[‡9:R@- 9:-GH×'?‚ ّ9:GH×-% …‘ƒ?!…ˆJ [‡9: ｙ ＝ ｔａｎ ｘ R OH? 6 ｘ  ÷ ２ ＋ ｋ ÷ ，ｋ P Ｚ． "$) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%t¤FG<p€”IJ ２．（１）求函数ｙ ＝ ｔａｎ １２ ｘ － π( )４ 的单调区间． （２）比较ｔａｎ － １３π( )４ 与ｔａｎ － １２π( )５ 的大小． 【分析】　 （１）利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间．（２）利用诱导 公式化到同一单调区间内，再运用函数的单调性比较大小． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 （１）比较ｔａｎ １，ｔａｎ ２，ｔａｎ ３的大小； （２）求函数ｙ ＝ ３ｔａｎ π４ － ２( )ｘ 的单调区间． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%t¤FG<=>€d¥¦€ ３．（１）求函数ｆ（ｘ）＝ １２ ｔａｎ ３ｘ － π( )５ 的最小正周期； （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｔａｎ ｘ ＋ ２，若ｆ（３）＝ － １，求ｆ（－ ３）的值． 【分析】　 （１）根据正切函数最小正周期求解．（２）根据函数ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｔａｎ ｘ是奇 函数求解． ［归纳提升］ 归纳提升： １． ‘9: ｙ ＝ Ａｔａｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ，ω，φ QB¦ : ） - 9 c Ö # - I １̈ ©F ω ＞ ０，éM ｙ ＝ ｔａｎ ｘ p"%e9 cÖ#°QB9cÚ Û-?Ä]F!­» Zû3-56?Ÿ ｋπ － π２ ＜ ωｘ ＋ φ ＜ ｋπ ＋ π ２ ，‘ Ñ ｘ - Ä Å 6] ． ２̈ ©F ω ＜ ０，]¶F hi/Ÿœ_ ｙ ＝ Ａｔａｎ（ωｘ ＋ φ）bc0 ｙ ＝ Ａｔａｎ ［－ （－ ωｘ － φ）］＝ － Ａｔａｎ（－ ωｘ － φ），6_ ｘ -¿:c 0[¥?¡¶F!­ »Zû3-56?‘ Ñ ｘ -ÄÅ6] ． ２． ,F[‡9:9c >š›Z-I １̈ ©,F9:-12 >Êhi/ŸÃjc d›%9cÖ#f ． ２̈ ©,F9c>š› Z@¿ ． 归纳提升： r[‡9:R@-9: -12>tÜ)>á １̈ ©%€?9: ｙ ＝ Ａｔａｎ（ωｘ ＋ φ）-Y Z[120 Ｔ ＝ π｜ω ｜? ¦¦¶FØ/Ÿg‘ r[‡9:R@9: -12 ． ２̈ ©9: ｙ ＝ ｔａｎ ｘ B Ü9:?î;.@M óÎL/ ． F9: ｙ ＝ ｔａｎ（ωｘ ＋φ）BÜ9:? ô φ ＝ ｋπ２ （ｋPＺ）． "$* 〉 ABCD ３ 　 　 （１）函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ｘ１ ＋ ｃｏｓ ｘ （　 　 ） Ａ．是奇函数　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．是偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数 （２）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｔａｎ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜ Ｃ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｜ ｘ ｜ Ｄ． ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ２ ＋ π( )６ KLMN%OPQ １．函数ｙ ＝ ２ｔａｎ ３ｘ ＋ π( )４ 的最小正周期是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π６ Ｂ． π ３ Ｃ． π ２ Ｄ． ２π ３ ２．下列各式中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｔａｎ ７３５° ＞ ｔａｎ ８００° Ｂ． ｔａｎ １ ＞ － ｔａｎ ２ Ｃ． ｔａｎ ５π７ ＜ ｔａｎ ４π ７ Ｄ． ｔａｎ ９π ８ ＜ ｔａｎ π ７ ３．在区间［０，π］内，函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的图象交 点的个数是（　 　 ）个． （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ４．函数ｙ ＝ ｔａｎ π２ －( )ｘ ｘ∈ － π４ ，π[ ]４ ，且ｘ≠( )０ 的值域 为　 　 　 　 ． ５．（１）求ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的周期； （２）判断ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｔａｎ ｘ的奇偶性． 请同学们认真完成练案［１３                    ］ § ) 三角函数的简单应用 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解三角函数是研究周期现象最重要的模型． ２．初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题． 通过对“三角函数的简单应用”的学习，培养学 生的逻辑推理，数学抽象，数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 三角函数模型的作用 　 　 三角函数作为描述现实世界中周期现象　 的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、 预测未来等方面发挥着重要作用． 知识点２　 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 　 　 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么， 从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问 题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． "%" ３． Ｃ　 易知Ａ ＝ １２ ，φ ＝ π ６ ，ω ＝ ２π ２π ３ ＝ ３． ４． － １２ 　 Ｔ ＝ ２π ω ＝ π，∴ ω ＝ ２． 又ｆ（０）＝ ２ｓｉｎ φ 槡＝ ３，ｓｉｎ φ ＝槡３２ ， 又｜φ ｜ ＜ π２ ，∴ φ ＝ π ３ ． ∴ ｃｏｓ（ωφ）＝ ｃｏｓ ２π ３ ＝ － １ ２ ． ５．（１）由２ｘ － π６ ＝ ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ， 解得ｆ（ｘ）的对称轴方程是ｘ ＝ π３ ＋ ｋ ２ π，ｋ∈Ｚ；由２ｘ － π ６ ＝ ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得对称中心是π１２ ＋ ｋ ２ π，( )０ ，ｋ∈Ｚ；由２ｋπ － π２ ≤２ｘ － π６ ≤ ２ｋπ ＋ π ２ ，ｋ ∈ Ｚ，解得单调递增区间是 － π６ ＋ ｋπ， π ３ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ； 由２ｋπ ＋ π２ ≤２ｘ － π ６ ≤２ｋπ ＋ ３ ２ π，ｋ∈Ｚ，解得单调递减区间 是π３ ＋ ｋπ， ５π ６ ＋ ｋ[ ]π ，ｋ∈Ｚ． （２）因为０≤ｘ≤ π２ ，所以－ π ６ ≤２ｘ － π ６ ≤ ５ ６ π． 所以当２ｘ － π６ ＝ － π ６ ，即ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）取最小值为－ １； 当２ｘ － π６ ＝ π ２ ，即ｘ ＝ π ３时，ｆ（ｘ）取最大值为２． § ７　 正切函数 ７． １　 正切函数的定义 ７． ２　 正切函数的诱导公式 必备知识　 探新知 知识点１　 ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ　 ｘ∈Ｒ ｘ≠ π ２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ 知识点２　 ｔａｎ α　 － ｔａｎ α　 － １ｔａｎ α 关键能力　 攻重难 例１：因为ｔａｎ α ＝ ３４ ＞ ０，所以，α是第一或第三象限的角． （１）如果α是第一象限角，则由ｔａｎ α ＝ ３４知，角α终边上必 有一点Ｐ（４，３），所以ｘ ＝ ４，ｙ ＝ ３． 因为ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ４２ ＋ ３槡 ２ ＝ ５，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ ４ ５ ． （２）如果α是第三象限的角，则由ｔａｎ α ＝ ３４可知，角α终边 上必有一点Ｐ（－ ４，－ ３），所以ｘ ＝ － ４，ｙ ＝ － ３． 可知ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋（－ ３）槡 ２ ＝ ５， 所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ － ３ ５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ － ４ ５ ． 对点训练１：∵ ｘ ＝ １，ｙ ＝ － ２，∴ ｔａｎ α ＝ － ２１ ＝ － ２． ∴ ２ｔａｎ α １ － ｔａｎ２α ＝ － ４－ ３ ＝ ４ ３ ． 例２：原式＝ ｔａｎ（－ α）ｔａｎ（α ＋ ９０°）ｔａｎ α－ ｔａｎ（１８０° － α）ｔａｎ（９０° ＋ α）ｔａｎ（－ α） ＝ － ｔａｎ α·－ １ｔａｎ( )α ·ｔａｎ α ｔａｎ α·－ １ｔａｎ( )α ·（－ ｔａｎ α） ＝ １． 对点训练２：原式＝ ｔａｎ（１８０° ＋ ４５°）＋ ｔａｎ（７２０° ＋ ３０°）－ ｔａｎ ３０° ＋ ｔａｎ ４５° ＝ ｔａｎ ４５° ＋ ｔａｎ ３０° － ｔａｎ ３０° ＋ ｔａｎ ４５° ＝ １ ＋槡３３ －槡３３ ＋ １ 槡＝ ２ ＋ ３． 例３：（１）２ｓｉｎ α － ｃｏｓ αｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ ２ｔａｎ α － １ ｔａｎ α ＋ ２ ＝ ３４ ． （２）ｓｉｎ ２α ＋ ｓｉｎ αｃｏｓ α － ２ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｔａｎ ２α ＋ ｔａｎ α － ２ ｔａｎ２α ＋ １ ＝ ４５ ． 对点训练３：（１）原式＝ － ｃｏｓ θ ＋ ｓｉｎ θ－ ２ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ － １ ＋ ｔａｎ θ － ２ｔａｎ θ ＋ １ ＝ － １ － ３４ ６ ４ ＋ １ ＝ － ７１０ ． （２）原式＝ ２ ＋ ｔａｎ θ － １ ｔａｎ２θ ＋ １ ＝ ２ ＋ － ３４ － １ ９ １６ ＋ １ ＝ ２２２５ ． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 ｔａｎ ２π３ ＝ ｔａｎ π － π( )３ ＝ － ｔａｎ π３ 槡＝ － ３． ２． Ｃ　 ｔａｎ（２π ＋ α）＝ ｔａｎ α ＝ － ３２ ＝ － ３ ２ ． ３． Ａ 　 由题意可知ｃｏｓ α≠ ０，分子分母同除以ｃｏｓ２α 得 ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α ＋ １ ＝ ｔａｎ α １ ＋ ｔａｎ２α ＝ － １２ ，解得ｔａｎ α ＝ － １， 故ｔａｎ（π － α）＝ － ｔａｎ α ＝ １． ４． Ｃ　 由题意可得ｓｉｎ α ＝ － １３ ＝ ａ １ ＋ ａ槡 ２ ， 所以ａ ＝ －槡２４ ，则ｔａｎ α ＝ ａ ＝ －槡 ２ ４ ． ５． － ｃｏｓ α　 ｆ（α）＝ ｓｉｎ α － π( )２ ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ｔａｎ（π －α） ｔａｎ（－α －π）ｓｉｎ（－α －π） ＝ － ｃｏｓ α·ｓｉｎ α·（－ ｔａｎ α）－ ｔａｎ α·ｓｉｎ α ＝ － ｃｏｓ α． ７． ３　 正切函数的图象与性质 必备知识　 探新知 知识点２　 π　 奇函数　 ｋπ２ ，( )０ 关键能力　 攻重难 例１：（１） ｘ ｘ≠３π８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈{ }Ｚ 　 （２）（１，槡３］　 （１）因为ｙ ＝ ｔａｎ ２ｘ － π( )４ ，所以２ｘ － π４ ≠ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得ｘ≠３π８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈Ｚ，所以该函数定义域为ｘ ｘ≠ ３π ８ ＋ ｋπ ２ ，ｋ∈{ }Ｚ ． （２）                                                                       因 —３０３— 为ｘ∈ ０，π( ]６ ，所以ｘ２ ＋ π４ ∈ π４ ，π( ]３ ． 结合正切函数的性质可得：１ ＜ ｙ≤槡３． 对点训练１：（１）Ａ　 （２）［－ １， 槡３ ＋ ２ ３］　 （１）函数ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ２ｘ在－ π６ ， π[ ]６ 上单调递增， 可得ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｔａｎ ２ × π( )６ 槡＝ ３； 可得ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｔａｎ － ２ × π( )６ 槡＝ － ３； 所以最大值与最小值的差为槡２ ３． （２）令ｕ ＝ ｔａｎ ｘ，∵ ｜ ｘ ｜≤ π３ ， ∴由正切函数的图象知ｕ∈［ 槡－ ３，槡３］， ∴原函数可化为ｙ ＝ ｕ２ － ２ｕ，ｕ∈［ 槡－ ３，槡３］， ∵二次函数ｙ ＝ ｕ２ － ２ｕ ＝（ｕ － １）２ － １图象开口向上，对称 轴方程为ｕ ＝ １， ∴当ｕ ＝ １时，ｙｍｉｎ ＝ － １， 当ｕ 槡＝ － ３时，ｙｍａｘ 槡＝ ３ ＋ ２ ３， ∴原函数的值域为［－ １， 槡３ ＋ ２ ３］． 例２：（１）由ｋπ － π２ ＜ １ ２ ｘ － π ４ ＜ ｋπ ＋ π ２ （ｋ∈Ｚ），得２ｋπ － π ２ ＜ ｘ ＜ ２ｋπ ＋ ３π ２ ，ｋ∈Ｚ，所以函数ｙ ＝ ｔａｎ １ ２ ｘ － π( )４ 的单调递 增区间是２ｋπ － π２ ，２ｋπ ＋ ３π( )２ （ｋ∈Ｚ）． （２）由于ｔａｎ － １３π( )４ ＝ ｔａｎ － ４π ＋ ３π( )４ ＝ ｔａｎ ３π４ ＝ － ｔａｎ π４ ，ｔａｎ － １２π( )５ ＝ － ｔａｎ ２π ＋ ２π( )５ ＝ － ｔａｎ ２π５ ，又０ ＜ π４ ＜ ２π ５ ＜ π ２ ，而ｙ ＝ ｔａｎ ｘ在０， π( )２ 上单调递增，所以ｔａｎ π４ ＜ ｔａｎ ２π５ ，－ ｔａｎ π ４ ＞ － ｔａｎ ２π ５ ，即ｔａｎ － １３π( )４ ＞ ｔａｎ － １２π( )５ ． 对点训练２：（１）因为ｔａｎ ２ ＝ ｔａｎ（２ － π），ｔａｎ ３ ＝ ｔａｎ（３ － π）． 又因为π２ ＜ ２ ＜ π，所以－ π ２ ＜ ２ － π ＜ ０． 因为π２ ＜ ３ ＜ π，所以－ π ２ ＜ ３ － π ＜ ０． 显然－ π２ ＜ ２ － π ＜ ３ － π ＜ １ ＜ π ２ ， 又ｙ ＝ ｔａｎ ｘ在－ π２ ， π( )２ 内是单调递增的， 所以ｔａｎ（２ －π）＜ ｔａｎ（３ －π）＜ ｔａｎ １，即ｔａｎ ２ ＜ ｔａｎ ３ ＜ ｔａｎ １． （２）ｙ ＝ ３ｔａｎ π４ － ２( )ｘ ＝ － ３ｔａｎ ２ｘ － π( )４ ， 由－ π２ ＋ ｋπ ＜ ２ｘ － π ４ ＜ π ２ ＋ ｋπ得， － π８ ＋ ｋπ ２ ＜ ｘ ＜ ３π ８ ＋ ｋπ ２ （ｋ∈Ｚ）， 所以ｙ ＝ ３ｔａｎ π４ － ２( )ｘ (的单调递减区间为 － π８ ＋ ｋπ２ ，３π８ ＋ ｋπ )２ （ｋ∈Ｚ）． 例３：（１）因为１２ ｔａｎ ３ｘ － π( )５ ＝ １２ ｔａｎ ３ｘ － π５ ＋( )π ， 即１２ ｔａｎ ３ ｘ ＋ π( )３ － π[ ]５ ＝ １２ ｔａｎ ３ｘ － π( )５ ． 因此ｆ ｘ ＋ π( )３ ＝ ｆ（ｘ），故函数的最小正周期为Ｔ ＝ π３ ． （２）令ｇ（ｘ）＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｔａｎ ｘ，则ｆ（ｘ）＝ ｇ（ｘ）＋ ２． 因为ｇ（－ ｘ）＝ ａｓｉｎ（－ ｘ）＋ ｂｔａｎ（－ ｘ）＝ －（ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｔａｎ ｘ） ＝ － ｇ（ｘ）， 所以ｇ（ｘ）是奇函数． 因为ｆ（３）＝ ｇ（３）＋ ２ ＝ － １，所以ｇ（３）＝ － ３， 则ｇ（－ ３）＝ ３．故ｆ（－ ３）＝ ｇ（－ ３）＋ ２ ＝ ３ ＋ ２ ＝ ５． 对点训练３：（１）Ａ　 （２）Ｂ　 （１）要使ｆ（ｘ）有意义，必须满足 ｘ≠ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ） １ ＋ ｃｏｓ ｘ≠{ ０ ，即ｘ≠ｋπ ＋ π２ ，且ｘ≠（２ｋ ＋ １）π（ｋ∈Ｚ）， ∴函数ｆ（ｘ）的定义域关于原点对称．又ｆ（－ ｘ）＝ ｔａｎ（－ ｘ）１ ＋ ｃｏｓ（－ ｘ）＝ － ｔａｎ ｘ１ ＋ ｃｏｓ ｘ ＝ － ｆ（ｘ），∴ ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ｘ １ ＋ ｃｏｓ ｘ是奇函数． （２）ｙ ＝ ｔａｎ ｘ是奇函数不满足题意，故Ａ错误；若ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜，首先定义域为ｘ ｘ≠ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ 关于原点对称，且 ｆ（－ ｘ）＝ ｜ ｔａｎ（－ ｘ）｜ ＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜ ＝ ｆ（ｘ），所以ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜是 偶函数，又ｆ（ｘ ＋ π）＝ ｜ ｔａｎ（ｘ ＋ π）｜ ＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜ ＝ ｆ（ｘ），所以ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜是周期函数，故Ｂ正确；画出函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｜ ｘ ｜的图 象如图所示： 由此可知函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｜ ｘ ｜不是周期函数，故Ｃ错误；若ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ２ ＋ π( )６ ，则ｆ ２π( )３ ＝ ｃｏｓ π３ ＋ π( )６ ＝ ０≠ｆ － ２π( )３ ＝ ｃｏｓ － π３ ＋ π( )６ ＝槡３２ ，所以ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ２ ＋ π( )６ 不是偶函数， 故Ｄ错误．故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 函数ｙ ＝ ２ｔａｎ ３ｘ ＋ π( )４ 的最小正周期是π３ ． ２． Ｄ　 ｔａｎ ７３５° ＝ ｔａｎ（７２０° ＋ １５°）＝ ｔａｎ １５°，ｔａｎ ８００° ＝ ｔａｎ（７２０° ＋ ８０°）＝ ｔａｎ ８０°，ｔａｎ １５° ＜ ｔａｎ ８０°，所以ｔａｎ ７３５° ＜ ｔａｎ ８００°， 故Ａ错误；－ ｔａｎ ２ ＝ ｔａｎ（π － ２），而０ ＜ １ ＜ π － ２ ＜ π２ ，所以 ｔａｎ １ ＜ ｔａｎ（π － ２），即ｔａｎ １ ＜ － ｔａｎ ２，故Ｂ错误；π２ ＜ ４π ７ ＜ ５π ７ ＜ π，因为函数ｙ ＝ ｔａｎ ｘ在区间π２ ，( )π 内单调递增，所以 ｔａｎ ４π７ ＜ ｔａｎ ５π ７ ，故Ｃ错误；ｔａｎ ９π ８ ＝ ｔａｎ π ＋ π( )８ ＝ ｔａｎ π８ ．因 为０ ＜ π８ ＜ π ７ ＜ π ２ ，ｙ ＝ ｔａｎ ｘ在０， π( )２ 上是增函数，所以 ｔａｎ π８ ＜ ｔａｎ π ７ ，即ｔａｎ ９π ８ ＜ ｔａｎ π ７ ，故Ｄ正确． ３． Ｃ　 当ｘ ＝ ０时ｓｉｎ ｘ ＝ ｔａｎ ｘ ＝ ０，故ｘ ＝ ０是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的一个交点，当ｘ∈ ０，π( )２ 时，则ｔａｎ ｘ － ｓｉｎ ｘ ＝ ｓｉｎ ｘ １ ｃｏｓ ｘ( )－ １ ，因为ｓｉｎ ｘ ＞ ０，０ ＜ ｃｏｓ ｘ ＜ １，所以１ｃｏｓ ｘ ＞ １，则１ｃｏｓ ｘ － １ ＞ ０，即ｔａｎ ｘ － ｓｉｎ ｘ ＞ ０，所以ｔａｎ ｘ ＞ ｓｉｎ ｘ，此时函数ｙ                                                                       ＝ —４０３— ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ无交点，当ｘ∈ π２ ，( )π 时，ｔａｎ ｘ ＜ ０，ｓｉｎ ｘ ＞ ０， 所以ｔａｎ ｘ ＜ ｓｉｎ ｘ，此时函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ无交点，当ｘ ＝ π时ｓｉｎ ｘ ＝ ｔａｎ ｘ ＝ ０，故ｘ ＝ π是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的 一个交点，综上可得函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的图象在［０，π］ 内有且仅有２个交点．故选Ｃ． ４．（－ ∞，－ １］∪［１，＋ ∞） ５．（１）方法一：因为ｔａｎ ２ｘ ＋ π３ ＋( )π ＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 即ｔａｎ ２ ｘ ＋ π( )２ ＋ π[ ]３ ＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ ， 所以ｆ（ｘ）＝ ｔａｎ ２ｘ ＋ π( )３ 的周期是π２ ． 方法二：由Ｔ ＝ π２得，周期为 π ２ ． （２）定义域为｛ｘ ｜ ｘ≠ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ｝，关于原点对称， 因为ｆ（－ ｘ）＝ ｓｉｎ（－ ｘ）＋ ｔａｎ（－ ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ － ｔａｎ ｘ ＝ － ｆ（ｘ）， 所以它是奇函数． § ８　 三角函数的简单应用 必备知识　 探新知 知识点　 １．周期现象 关键能力　 攻重难 例１：（１）由题图知，Ａ ＝ ３００． Ｔ ＝ １６０ － － １( )３００ ＝ １５０，∴ ω ＝ ２π Ｔ ＝ １００π． ∵ － １３００，( )０ 是该函数图象的第一个零点，∴ － φω ＝ － １３００． ∴ φ ＝ ω ３００ ＝ π ３ ．符合｜ φ ｜ ＜ π ２ ，∴ Ｉ ＝ ３００ｓｉｎ １００πｔ ＋ π( )３ （ｔ≥０）． （２）问题等价于Ｔ≤ １１００，即 ２π ω ≤ １ １００，∴ ω≥２００π． ∴正整数 ω的最小值为６２９． 对点训练１：由例１（１）可得Ｉ ＝ ３００ｓｉｎ １００πｔ ＋ π( )３ （ｔ≥０）， 将ｔ ＝ １０秒代入可得，Ｉ 槡＝ １５０ ３安培． 例２：（１）设ｈ（ｔ）＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ）＋ ｂ， 由题意得Ａ ＝ ８，Ｔ ＝ １２，ｂ ＝ １０； 则ω ＝ ２πＴ ＝ π ６ ，当ｔ ＝ ０时，ｈ ＝ ２，即ｓｉｎ φ ＝ － １，因此，φ ＝ － π２ ．故ｈ（ｔ）＝ ８ｓｉｎ π ６ ｔ － π( )２ ＋ １０，ｔ≥０． （２）由题意ｈ（ｔ）＞ １４，即８ｓｉｎ π６ ｔ － π( )２ ＋ １０ ＞ １４，则 ｃｏｓ π６ ｔ ＜ － １ ２ ． 又因为０≤ｔ≤１２，２π３ ＜ πｔ ６ ＜ ４π ３ ，所以４ ＜ ｔ ＜ ８． 故在第一圈４ ＜ ｔ ＜ ８时点Ｐ离地面的高度超过１４米． 对点训练２：Ａ　 由１ ｍｉｎ旋转４圈，则转１圈的时间为Ｔ ＝ １ ４ ｍｉｎ ＝ １ ４ × ６０ ＝ １５（ｓ），则ω ＝ ２π Ｔ ＝ ２π １５ ．又由图可知，Ａ ＝ ３． 例３：（１）根据表中近似数据画出散点图，如图所示： 结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选 ②ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｔ ＋ φ）＋ ｂ作为函数模型， ∴ Ａ ＝ ２． ４ － ０． ６２ ＝ ０． ９，ｂ ＝ ２． ４ ＋ ０． ６ ２ ＝ １． ５， ∵ Ｔ ＝ ２π ω ＝ １２，∴ ω ＝ π６ ，∴ ｙ ＝ ０． ９ｃｏｓ π ６ ｔ ＋( )φ ＋ １． ５， 又∵函数ｙ ＝ ０． ９ｃｏｓ π６ ｔ ＋( )φ ＋ １． ５的图象过点（３，２． ４）， ∴ ２． ４ ＝ ０． ９ｃｏｓ π６ × ３ ＋( )φ ＋ １． ５，∴ ｃｏｓ π２ ＋( )φ ＝ １， ∴ ｓｉｎ φ ＝ － １， 又∵ － π ＜ φ ＜ ０，∴ φ ＝ － π２ ，∴ ｙ ＝ ０． ９ｃｏｓ π ６ ｔ － π( )２ ＋ １． ５ ＝ ０． ９ｓｉｎ π６( )ｔ ＋ １． ５． （２）由（１）知ｙ ＝ ０． ９ｓｉｎ π６( )ｔ ＋ １． ５． 令ｙ≥１． ０５，即０． ９ｓｉｎ π６( )ｔ ＋ １． ５≥１． ０５， ∴ ｓｉｎ π６( )ｔ ≥ － １２ ， ∴ ２ｋπ － π６ ≤ π ６ ｔ≤２ｋπ ＋ ７π ６ （ｋ∈Ｚ）， ∴ １２ｋ － １≤ｔ≤１２ｋ ＋ ７， 又∵ ５≤ｔ≤１８，∵ ５≤ｔ≤７或１１≤ｔ≤１８，∴这一天可以安排 早上５点至７点以及１１点至１８点的时间段组织训练，才能确 保集训队员的安全． 对点训练３：（１）由表中数据可以看到：水深最大值为１３，最 小值为７，∴ ｂ ＝ １３ ＋ ７２ ＝ １０，Ａ ＝ １３ － ７ ２ ＝ ３ 且相隔１２小时达到一次最大值说明周期为１２，因此Ｔ ＝ ２π ω ＝ １２，ω ＝ π６ ，故ｆ（ｔ）＝ ３ｓｉｎ π ６ ｔ ＋ １０（０≤ｔ≤２４）． （２）要想船舶安全，必须有深度ｆ（ｔ）≥１１． ５，即３ｓｉｎ π６ ｔ ＋ １０ ≥１１． ５， ∴ ｓｉｎ π６ ｔ≥ １ ２ ，２ｋπ ＋ π ６ ≤ π ６ ｔ≤ ５π ６ ＋ ２ｋπ，解得１２ｋ ＋ １≤ｔ ≤５ ＋ １２ｋ，ｋ∈Ｚ，又０≤ｔ≤２４， 当ｋ ＝ ０时，１≤ｔ≤５；当ｋ ＝ １时，１３≤ｔ≤１７； 故船舶安全进出港的时间段为（１：００ －５：００），（１３：００ －１７：００）． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 Ｔ ＝ ２π π ３ ＝６．由图象过（０，１）点得ｓｉｎ φ ＝ １２ ． ∵ － π ２ ＜ φ ＜ π ２ ， ∴ φ ＝ π６ ． ２． Ｃ　 设所求函数为ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｔ ＋ φ）＋ ｂ，依题意得Ｔ ＝ １０， ω ＝ π５ ，Ａ ＝ ０． ２，ｂ ＝ ３． ８，所以解析式可以为ｙ ＝ ０． ２ｓｉｎ π５ ｔ ＋( )φ ＋ ３． ８，故选Ｃ                                                                       ． —５０３—