第1章 4.3 诱导公式与对称(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

４． ３　 诱导公式与对称 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． ２．了解诱导公式的推导过程． ３．能利用有关公式解决三角函数的求值，化简或证明问题． 通过本节课公式的推导和学习，重点培 养学生的逻辑推理素养，提升学生的数 学运算素养． )*+,%-.+ 知识点　 诱导公式 终边关系 图示 角－ α与角α的终边关于ｘ轴　 对称 公式 ｓｉｎ（－ α）＝ － ｓｉｎ α　 ，ｃｏｓ（－ α）＝ ｃｏｓ α　 ，ｖ ＝ ｓｉｎ α是奇函数，ｕ ＝ ｃｏｓ α是偶函数 角α － π与角α的终边关于原点　 对称 角α ＋ π与角α的终边关于原点　 对称 公式 ｓｉｎ（α ＋ π）＝ － ｓｉｎ α　 ， ｃｏｓ（α ＋ π）＝ － ｃｏｓ α　 ， ｓｉｎ（α － π）＝ － ｓｉｎ α，ｃｏｓ（α － π）＝ － ｃｏｓ α 角π － α与角α的终边关于ｙ轴　 对称 公式 ｓｉｎ（π － α）＝ ｓｉｎ α　 ，ｃｏｓ（π － α）＝ － ｃｏｓ α　 "!( /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%xJ‚ijƒTsv １．求下列各三角函数式的值： （１）ｓｉｎ １ ３２０°；（２）ｃｏｓ － ３１π( )６ ． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 （１）求下列各式的值： ｓｉｎ ７５０° ＝ 　 　 　 　 ；ｃｏｓ（－ ２ ０４０°）＝ 　 　 　 　 ； （２）计算：ｓｉｎ － ３１π( )６ － ｃｏｓ － １０π( )３ ＝ 　 　 　 　 ． ●67E%xJ‚ij„…g†z sv‡6 ２．（１）计算：ｃｏｓ π７ ＋ ｃｏｓ ２π ７ ＋ ｃｏｓ ３π ７ ＋ ｃｏｓ ４π ７ ＋ ｃｏｓ ５π ７ ＋ ｃｏｓ ６π ７ ＝ 　 　 　 　 ； （２）化简：ｃｏｓ（π ＋ α）ｃｏｓ（３π － α）ｓｉｎ（π ＋ α）ｃｏｓ（－ α － π）． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 已知ｆ（α）＝ ｓｉｎ（π ＋ α）ｃｏｓ（２π － α）ｃｏｓ（－ α）ｃｏｓ（－ π － α）ｓｉｎ（－ π － α） ． （１）化简ｆ（α）； （２）若α ＝ － ３１π３ ，求ｆ（α）的值． 归纳提升： ¶Fhi/Ÿ‘NOj§j 9:¥-Þß （１） !`c[3 ． （２） !cZ3 ： F/ŸÃj c0 ０ ¬d ３６０ ¬#-j ． （３） !Zcs3 ： F/ŸÃ M ９０ ¬-jbc0sj ． （４） !s‘¥3 ： Ñdsj- §j9:=‘¥ ． 归纳提升： §j9:Ÿcì-¦FI jÃjcX ２ｋ ÷ ± α?÷ ± α?ｋPＺ-žŸ． k¢µÓlŸm“nnFh i/ŸÃÓlj-§j9: bc0j α-§j9:． "!) ●67H%ˆJ‚ijƒv（‰j）sv‡6 ３．（１）已知ｃｏｓ（π ＋ α）＝ － １２ ，则ｃｏｓ（π － α）＝ 　 　 　 　 ． （２）已知ｓｉｎ π６ －( )α ＝ ２槡２３ ，ｃｏｓ π６ －( )α ＝ １３ ，求ｃｏｓ ５π６ ＋( )α ·ｓｉｎ １９６ π －( )α ＝ 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）已知ｃｏｓ（５３° － α）＝ １５ ，则ｃｏｓ（１２７° ＋ α）＝ （　 　 ） Ａ． ± １５ Ｂ． ２槡６ ５ Ｃ． １ ５ Ｄ． － １ ５ （２）已知ｃｏｓ π６ －( )α ＝槡３３，求ｃｏｓ ７π６ －( )α － ｓｉｎ２ α －１３π( )６ (的值注：ｓｉｎ２ π６ －( )α ＋ ｃｏｓ２ π６ －( )α ＝１，α )为任意角． 归纳提升： hi–—‘¥`a- op １̈ ©hi–—‘¥` a?qœ…rs78 –—rӑŸª#- jt9:t/}R@ ,üª#-«u} v¿ ． （２） ]^ؙŸù úOž€Ó‘Ÿb c?ÊÃӑŸùú Ož€˜™Ÿbc ． KLMN%OPQ １． ｓｉｎ １ ２１５° ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡２２ Ｂ． １ ２ Ｃ． － １２ Ｄ． － 槡２ ２ ２．若ｃｏｓ α ＝ｍ，则ｃｏｓ（－ α）＝ （　 　 ） Ａ． ｍ Ｂ． －ｍ Ｃ． ｜ｍ ｜ Ｄ． ｍ２ ３．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，角α与角β均以Ｏｘ为始 边，它们的终边关于ｙ轴对称．若ｓｉｎ α ＝ １３ ，则ｓｉｎ β ＝ 　 　 　 　 ． ４．化简： ｃｏｓ（１８０° ＋ α）ｓｉｎ（α ＋ ３６０°）ｓｉｎ（－ α － １８０°）ｃｏｓ（－ １８０° － α）． 请同学们认真完成练案［６                ］ ４． ４　 诱导公式与旋转 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．掌握诱导公式的推导，并能对诱导公式作归纳，体会公式的 共性与个性． ２．能够利用诱导公式解决简单的求值，化简与证明． 通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的 数学抽象，逻辑推理和数学运算素养． "!* 4.3诱导公式与对称 (2)a).sim(a)=co[) 必备知识探新知 x轴-sin a cos a原点原点 -sin a n(3m+君-a=-(g-a小m(m+若-a=-号 c05 a y 轴na -cos a 关键能力攻重难 29 例1：(1)方法一：in1320°=sin(3×360°+240°) 对点训练3：(1)D(2)见解析 =n240=sn(10+60r)-血60=-9 【解折】()因为o(53°-a)=行，所以os(127+a) 方法二：sin1320°=sim(4×360°-120°)=sim(-120°) =6o[180°-(53°-a)]=-cs(530-a)=-了放选D =-im(180°-60°)=-sim60°=- 2 (2)o-a)-sin(a)[a)] (2)方法一：m(-3）=m装=m4+2 sim[(a-）-2a] -m(g-a-m(g-a）-9-子= 方法二：m(-35）=(-6m+） 课堂检测固双基 1.Asin1215°=sin(3×360°+135）=sin135°=sin(180°- m(-引m芳=-号 2 45=血45-号 对点训练1：(1)宁一宁 (2)1(1)sin750°=in(2×2. c0s(-0）=c06在=m 360°+30)=m30°=2 3. 3 由题意可知a+B=m+2k行，keZ c0s(-2040)=c0s2040°=c0s(5×360°+240) 1 sin a=3 =m240°=(1800+60）=-6m60°=-7 sinB=sim(π+2kr-a）=sima=3 (2)原式=-m若-m19 (-cosa）sina =-m(4++若）(2++号） 4.原式=-in(a+180°)]os(180°+a sin acos a in(a+180°)cos(180°+ay sin acos a 例2：(1)0(2)见解析 --sima（-sa=l 【解折】(1)原式=号+m牙+m 4.4诱导公式与旋转 m(-）+m(m-9）+m(-）w号+o牙+ 必备知识探新知 知识点1(1)cosa-sina(2)=cos《sima 钙-em号-c9-m号-0 知识点2 sin a cos a-sin a cos a-sina-csc (2)原式=-em}:(-e0sa.msg sin o cos a sin o -cos a cos a sin a cos c sin a (-sina）·(-cosa）sinc 关键能力攻重难 对点训练2：(1)a）=二n arcos acos=eosc心 （-cosa)sina 例1：（0原式=m60-m0°-m30°+s血30=}-1 2--6×2m+号 3 31 1 -3号）=m(-6x2m+）=o号=m号=号 (2)原式= /1+cms(180-809)sin(90°+80°) 例3：（0-分(2)2，()方法一：因为s(年+a) cs(360°+10°)+√/1-in2(180°-10°) 1+-c0s80)cos80个-cos'809 -osa=-2,所以cma=,则cos(-a）=-coa cs10°+√1-sim10° 2cos 100 5in80 cos10°1 2 2cos10°-2cos10°=2 方法二：记行+a=x,T一a=y,问题变为已知csx求 sin(0-5m)cos(0-)co(8-0) 005. 对点训练1：sim0 显然x+y=2π（目的是消去）， m(0-}m(-0-4 所以e0sy=cos(2m-)=c0s(-)=cosr=-交 =（-sin0）sin cos=sima. cos (-sin 297