第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

KLMN%OPQ １． － １０π３ 转化为角度是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － ３００° Ｂ． － ６００° Ｃ． － ９００° Ｄ． － １ ２００° ２．与１°角终边相同的角的集合是 （　 　 ） Ａ {． α α ＝ ｋ·３６０° ＋ π１８０，ｋ∈ }Ｚ Ｂ {． α α ＝ ｋ·３６０° ＋ π１８０°，ｋ∈ }Ｚ Ｃ {． α α ＝ ２ｋπ ＋ π１８０，ｋ∈ }Ｚ Ｄ {． α α ＝ ２ｋπ ＋ π１８０°，ｋ∈ }Ｚ ３．已知扇形面积为３８ π，半径是１，则扇形的圆心角是 （　 　 ） Ａ． ３１６π Ｂ． ３ ８ π Ｃ． ３ ４ π Ｄ． ３ ２ π ４．已知相互啮合的两个齿轮，大轮５０齿，小轮２０齿，当 大轮转动一周时小轮转动角度是 （　 　 ） Ａ． ４π５ Ｂ． ５π ４ Ｃ． π ５ Ｄ． ５π ５．把下列各角化为２ｋπ ＋ α，ｋ∈Ｚ，０≤α ＜ ２π的形式，并 判断该角是第几象限角． （１）２７４ π； （２）－ １ １０４°． 请同学们认真完成练案［３                                 ］ § % 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 ４． １　 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系． ２．掌握任意角的正弦、余弦的定义． 通过对正弦函数、余弦函数定义的理解，重点提 升学生的数学抽象和直观想象素养． )*+,%-.+ 知识点１　 锐角的正弦函数和余弦函数 　 　 如图，任意角α的终边与单位圆交于点Ｐ（ｕ，ｖ），仿照锐角三角函数的定义，把点Ｐ的纵 坐标ｖ定义为角α的正弦函数值，记作ｖ ＝ ｓｉｎ α　 ；把点Ｐ的横坐标ｕ定义为角α的余弦函 数值，记作ｕ ＝ ｃｏｓ α　 ． 知识点２　 任意角的正和余弦函数 　 　 设角α的终边上除原点外的一点Ｑ（ｘ，ｙ），则ｒ ＝ ｜ＯＱ ｜ ＝ 　 　 　 　 ，则ｓｉｎ α ＝ ＭＱ｜ＯＱ ｜ ＝ 　 　 　 ，ｃｏｓ α ＝ ＯＭ｜ＯＱ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． "!! /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%pqrstuFGvkwuFGv １．已知角α的终边交单位圆于点Ｐ ｍ，－ １( )３ ，则ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 在平面直角坐标系中，以ｘ轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单 位圆交于点１２１３， ５( )１３ 和－ ３５ ，４( )５ ，那么ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ （　 　 ） Ａ． － ３６６５ Ｂ． － ３ １３ Ｃ． ４ １３ Ｄ． ４８ ６５ ●67E%xJHTFG&ystuFGvkwuFGv ２．（１）已知Ｐ（－ ２，ｙ）是角α终边上一点，且ｓｉｎ α ＝ －槡５５ ，则ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 　 ． （２）已知角α的终边落在射线ｙ ＝ ２ｘ（ｘ≥０）上，求ｓｉｎ α，ｃｏｓ α的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 （１）已知角α的终边经过点－槡３２ ，－ １( )２ ，则ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ，ｃｏｓ α ＝ 　 　 　 　 ． （２）已知角α的终边经过点Ｐ（－ ｘ，－ ６），且ｃｏｓ α ＝ － ５１３，则 １ ＋ ｃｏｓ α ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： １． 9È:I‘§j9 :-¥?œ¶Fu¯ r9È:š;?‘+ ;ν¾?<=¡¶ F§j9:-GH‘ + š  - § j 9 :¥ ． ２． ˜™j α -|{r 9È:š;MÎ Ｐ ｘ̈， ｙ ©?ô ｓｉｎ α ＝ ｙ， ｃｏｓ α ＝ ｘ． 归纳提升： ‘NOj-§j9: ¥-³•I I%á´µGH? >‘j-|{r9È :-;Î Ｐ -½¾? <=¶FGHÑ+? j-[@tA@¥ ． Ièáà%Þ?B Îápj α -|{° NB%Î Ｐ（ｘ ? ｙ）（Ｐ róÎ Ｏ Œ)“ ）   àèÞ?Cü ｒ：ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２（ｒ ＞ ０）   à§Þ?‘¥ ： é ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ? ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ‘ ¥ ． "!# ●67H%xJtuz wuFG<&ys{G<v ３．已知点Ｐ（ｍ，１）是角α终边上的一点，且ｓｉｎ α ＝ １３ ，则ｍ的值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２ Ｂ． － ２槡２ Ｃ． － ２槡２或２ Ｄ． － ２槡２或２槡２ 【分析】　 根据三角函数的定义列方程求得ｍ的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （１）已知角α的终边经过点Ｐ（１，ｍ），且ｓｉｎ α ＝ － ３ 槡１０１０ ，则ｃｏｓ α ＝ （　 　 ） Ａ． ±槡１０１０ Ｂ． －槡 １０ １０ Ｃ． 槡１０ １０ Ｄ． １ ３ （２）已知角α的终边经过点Ｐ（５ｍ，１２），且ｃｏｓ α ＝ － ５１３，则ｍ ＝ 　 　 　 　 ． 归纳提升： ˜™§j9:¥‘D :-I １． ¢µ˜™–—}§ j9:¥Ñ+@MD :-2 ． ２． h26]Ñ+D :¥?R'…(OL D:ùúE‰ ． ３． F‘+GHRIe B¥'?…´µ˜™ -§j9:¥JJB ¥BCK“ ． KLMN%OPQ １．角α的终边上有一点Ｐ（１，－ １），则ｓｉｎ α的值是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡２２ Ｂ． －槡 ２ ２ Ｃ． ± 槡２ ２ Ｄ． １ ２．若α ＝ ２π３ ，则α的终边与单位圆的交点Ｐ的坐标是 （　 　 ） Ａ． １ ２ ，槡 ３( )２ Ｂ． － １２ ，槡３( )２ Ｃ． －槡３２ ， １( )２ Ｄ． １２ ，－槡３( )２ ３．已知角α的终边与单位圆的交点为－ １２，( )ｙ （ｙ ＜ ０）， 则ｙ ＝ 　 　 　 　 ． ４．已知角α的终边上一点坐标为（－ ３，ａ），且α为第二 象限角，ｃｏｓ α ＝ － ３５ ，则ｓｉｎ α ＝ 　 　 　 　 ． ５．利用定义求ｓｉｎ ５π４ ，ｃｏｓ ５π ４ ，ｔａｎ ５π ４的值． 请同学们认真完成练案［４                         ］ ４． ２　 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质． 通过探究正弦函数，余弦函数的基本性质．重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养． "!$ ｎπ ＋ π６ ，ｎ∈ }Ｚ ． 例３：（１）因为扇形ＯＡＢ的圆心角α的弧度数为２π３ ，半径为 ６，所以)ＡＢ的长为６ × ２π３ ＝ ４π． （２）设扇形的圆心角为θ，半径为ｒ，弧长为ｌ，面积为Ｓ，则 ｌ ＋ ２ｒ ＝ ４０，所以ｌ ＝ ４０ － ２ｒ．所以Ｓ ＝ １２ ｌｒ ＝ １ ２ ×（４０ － ２ｒ）ｒ ＝ ２０ｒ － ｒ２ ＝ －（ｒ － １０）２ ＋ １００． 所以当半径ｒ ＝１０ ｃｍ时扇形的面积最大，最大值为１００ ｃｍ２，此 时θ ＝ ｌｒ ＝ ４０ － ２ × １０ １０ ｒａｄ ＝ ２ ｒａｄ． 所以当扇形的圆心角为２ ｒａｄ，半径为１０ ｃｍ时，扇形的面积 最大为１００ ｃｍ２ ． 对点训练３：Ｂ　 设扇形的半径为ｒ，因为扇形的圆心角α ＝ ２ ｒａｄ，扇形的周长为８ ｃｍ，则２ｒ ＋ ２ｒ ＝ ８，解得ｒ ＝ ２，所以此扇形 的面积Ｓ ＝ １２ αｒ ２ ＝ １２ × ２ × ２ ２ ＝ ４（ｃｍ２）．故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 ∵ １ ｒａｄ ＝ １８０( )π °，∴ －１０π３ ＝ － １８０π ×１０π( )３ ° ＝ － ６００°． ２． Ｃ　 ∵ １０ ＝ π１８０ ｒａｄ，∴ α ＝ ２ｋπ ＋ π １８０，ｋ∈Ｚ． ３． Ｃ　 设扇形圆心角为α，则Ｓ ＝ １２ αＲ ２ ＝ ３８ π，∴ α ＝ ３ ４ π． ４． Ｄ　 因为相互啮合的两个齿轮，大轮５０齿，小轮２０齿，所以当 大轮转动一周时，大轮转动了５０个齿，所以小轮此时转动５０２０ ＝ ５２周，即小轮转动的角度为 ５ ２ × ２π ＝ ５π．故选Ｄ． ５．（１）２７４ π ＝ ６π ＋ ３π ４ ． 因为３π４是第二象限角，所以 ２７ ４ π是第二象限角． （２）－ １ １０４° ＝ － １ １０４ × π１８０ ＝ － ９２ １５π ＝ － ８π ＋ ２８ １５π． 因为２８１５π是第四象限角，所以－ １ １０４°是第四象限角． § ４　 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 ４． １　 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 必备知识　 探新知 知识点１　 ｓｉｎ α　 ｃｏｓ α 知识点２　 ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ 　 ｙｒ 　 ｘ ｒ 关键能力　 攻重难 例１：槡２ ２ － １３ 或 槡 － ２ ２ － １ ３ 　 如图所 示，在△ＯＡＰ中，由勾股定理可得ｍ２ ＋ －( )１３ ２ ＝ １，解得ｍ ＝ ± 槡２ ２３ ． 当ｍ ＝ 槡２ ２３ 时，ｓｉｎ α ＝ － １ ３ ，ｃｏｓ α ＝ 槡２ ２３ ， 此时，ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ 槡２ ２ － １３ ； 当ｍ ＝ － 槡２ ２３ 时，ｓｉｎ α ＝ － １ ３ ，ｃｏｓ α ＝ － 槡 ２ ２ ３ ， 此时ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ 槡－ ２ ２ － １３ ． 对点训练１：Ｂ　 由正、余弦函数的定义知，ｓｉｎ α ＝ ５１３，ｃｏｓ β ＝ － ３５ ，∴ ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ － ３ １３ ． 例２：（１）－ 槡２ ５５ 　 （２）见解析 【解析】　 （１）因为ｒ ＝ ４ ＋ ｙ槡 ２，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ｙ ｙ２槡＋ ４ ＝ －槡５５ ． 所以ｙ ＜ ０，所以ｙ ＝ － １，ｒ 槡＝ ５， 所以ｃｏｓ α ＝ ｘｒ ＝ － ２ 槡５ ＝ － 槡２ ５５ ． （２）方法一：设射线ｙ ＝ ２ｘ（ｘ≥０）与单位圆的交点为Ｐ（ｘ０， ｙ０），则 ｙ０ ＝ ２ｘ０， ｘ２０ ＋ ｙ ２ ０ ＝ １， ｘ０≥０ { ， 解得 ｘ０ ＝槡５５ ， ｙ０ ＝ 槡２ ５５{ ，即Ｐ 槡５５ ，槡２ ５( )５ ，所以ｓｉｎ α ＝ ｙ０ ＝ 槡２ ５５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ０ ＝槡５５ ． 方法二：设点Ｐ（ａ，２ａ）是角α终边上任意一点，其中ａ ＞ ０． 因为ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ａ２ ＋ ４ａ槡 ２ 槡＝ ５ａ（Ｏ为坐标原点），所以ｓｉｎ α ＝ ｙ ｒ ＝ ２ａ 槡５ａ ＝ 槡２ ５５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ ａ 槡５ａ ＝槡５５ ． 对点训练２：（１）－ １２ 　 －槡 ３ ２ 　 （２）－ ２ ３ 　 （１）因为 －槡３( )２ ２ ＋ －( )１２ ２ ＝ １， 所以点－槡３２ ，－( )１２ 在单位圆上，由三角函数的定义知 ｓｉｎ α ＝ － １２ ，ｃｏｓ α ＝ －槡 ３ ２ ． （２）∵角α的终边经过点Ｐ（－ ｘ，－ ６），且ｃｏｓ α ＝ － ５１３， ∴ ｃｏｓ α ＝ － ｘ ｘ２槡＋ ３６ ＝ － ５１３，解得ｘ ＝ ５ ２ ，∴ Ｐ － ５ ２ ，( )－ ６ ， ∴ ｓｉｎ α ＝ － １２１３，则 １ ＋ ｃｏｓ α ｓｉｎ α ＝ １ － ５１３ － １２１３ ＝ － ２３ ． 例３：Ｄ　 依题意，ｓｉｎ α ＝ １ ｍ２槡＋ １ ＝ １３ ，解得ｍ 槡＝ ± ２ ２．故 选Ｄ． 对点训练３：（１）Ｃ　 （２）－ １ 　 （１）由正弦函数的定义得 ｓｉｎ α ＝ ｍ １ ＋ ｍ槡 ２ ＝ － 槡３ １０１０ ，解得ｍ ＝ － ３，所以ｃｏｓ α ＝ １ 槡１０ ＝ 槡１０ １０ ．故选Ｃ                                                                      ． —５９２— （２）因为ｃｏｓ α ＝ － ５１３，所以 ５ｍ （５ｍ）２ ＋ １２槡 ２ ＝ － ５１３ ＜ ０，解得 ｍ ＝ － １． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 利用三角函数定义知：ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ －１ １２ ＋（－１）槡 ２ ＝ －槡２２ ． ２． Ｂ　 Ｐ ｃｏｓ２ π３ ，ｓｉｎ ２π( )３ ，即Ｐ － １２ ，槡３( )２ ． ３． －槡３２ 　 因为－( )１２ ２ ＋ｙ２ ＝１，且ｙ ＜０，解得ｙ ＝ －槡３２ ． ４． ４５ 　 由ｃｏｓ α ＝ － ３ ９ ＋ ａ槡 ２ ＝ － ３５ ，得９ ＋ ａ槡 ２ ＝ ５，∴ ａ２ ＝ １６，∵ α 为第二象限角，∴ ａ ＞ ０，∴ ａ ＝ ４，∴ ｓｉｎ α ＝ ４５ ． ５．如图所示，在坐标系中画出角５４ π的终边． 设角５π４的终边与单位圆的交点为Ｐ， 则有Ｐ －槡２２ ，－槡 ２( )２ ． ∴ ｔａｎ ５π４ ＝ －槡２２ －槡２２ ＝ １，ｓｉｎ ５π４ ＝ －槡 ２ ２ ，ｃｏｓ ５π ４ ＝ － 槡２ ２ ． ４． ２　 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 关键能力　 攻重难 例１：（１）由ｙ ＝ ４ － ｃｏｓ ｘ知定义域为Ｒ． （２）由题意知２ｓｉｎ ｘ ＋ １≥０，即ｓｉｎ ｘ≥ － １２ 在一周期 － π２ ， ３π[ ]２ 内满足上述条件的角为ｘ∈ － π６ ，７π[ ]６ ，由此可以 得到函数的定义域为２ｋπ － π６ ，２ｋπ ＋ ７π[ ]６ （ｋ∈Ｚ）． 对点训练１：（１）Ｒ　 （２）（２ｋπ，２ｋπ ＋ π）（ｋ∈Ｚ）　 （１）由２ ＋ ｃｏｓ ｘ≠０知ｃｏｓ ｘ≠ － ２， 又由ｃｏｓ ｘ∈［－ １，１］，故定义域为Ｒ． （２）由题意知ｓｉｎ ｘ ＞ ０．又ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在［０，２π］内ｓｉｎ ｘ ＞ ０满 足０ ＜ ｘ ＜π，所以定义域为（２ｋπ，２ｋπ ＋π）（ｋ∈Ｚ）． 例２：（１）∵ π ＜ ４ ＜ ３π２ ，∴ ｓｉｎ ４ ＜ ０，ｃｏｓ ４ ＜ ０， ∴ ｓｉｎ ４·ｃｏｓ ４ ＞ ０； （２）∵ ５２ π ＜ ８ ＜ ３π，即８ｒａｄ的角是第二象限角， ∴ ｓｉｎ ８ ＞ ０，ｃｏｓ ８ ＜ ０，∴ ｓｉｎ ８·ｃｏｓ ８ ＜ ０． 对点训练２：（１）Ｃ　 （２）见解析 【解析】　 （１）由ｃｏｓ θ ＜ ０且ｓｉｎ θ ＞ ０，知θ是第二象限角， 所以θ２是第一或三象限角． （２）① π２ ＜ ３ ＜ π，π ＜ ４ ＜ ３π ２ ， ３π ２ ＜ ５ ＜ ２π， ∴ ｓｉｎ ３ ＞ ０，ｃｏｓ ４ ＜ ０，ｔａｎ ５ ＜ ０，∴ ｓｉｎ ３·ｃｏｓ ４·ｔａｎ ５ ＞ ０． ②∵ α是第二象限角，∴ ｓｉｎ α ＞ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，∴ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＜ ０． 例３：（１）∵ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在区间－ π３ ，[ ]０ 上是递增的， 在区间０，５π[ ]６ 上是递减的， ∴当ｘ ＝ ０时，ｙｍａｘ ＝ １， 当ｘ ＝ ５π６时，ｙｍｉｎ ＝ ｃｏｓ ５π ６ ＝ － 槡３ ２ ， ∴ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ － π３ ≤ｘ≤ ５π( )６ 的值域为－槡３２ ，[ ]１ ． （２）当ａ ＞ ０时，ｙｍａｘ ＝ ａ × １ ＋ １ ＝ ３， 得ａ ＝ ２， ∴当ｓｉｎ ｘ ＝ － １时，ｙｍｉｎ ＝ ２ ×（－ １）＋ １ ＝ － １； 当ａ ＜ ０时，ｙｍａｘ ＝ ａ ×（－ １）＋ １ ＝ ３， 得ａ ＝ － ２， ∴当ｓｉｎ ｘ ＝ １时，ｙｍｉｎ ＝ － ２ × １ ＋ １ ＝ － １． ∴它的最小值为－ １． 对点训练３： ３２ ，[ ]３ 　 当ｘ ∈ － π３ ，２π( ]３ 时，ｃｏｓ ｘ ∈ － １２ ，[ ]１ ， 所以２ ＋ ｃｏｓ ｘ∈ ３２ ，[ ]３ ． 即函数ｙ ＝ ２ ＋ ｃｏｓ ｘ，ｘ∈ － π３ ， ２π( ]３ 的值域为３２ ，[ ]３ ． 例４：（１）Ｄ　 （２）Ｂ　 （１）ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的单调增区间为［２ｋπ － π，２ｋπ］（ｋ∈Ｚ）令ｋ ＝ １，得［π，２π］，即为ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的一个单调 递增区间，而（π，２π）［π，２π］，故选Ｄ． （２）欲求函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的单调递减区间． 根据正弦函数的性质，有２ｋπ ＋ π２ ≤２ｘ≤２ｋπ ＋ ３π ２ ， ｋπ ＋ π４ ≤ｘ≤ｋπ ＋ ３π ４ （ｋ∈Ｚ）． 所以函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的单调减区间为ｋπ ＋ π４[ ，ｋπ ＋ ３π]４ （ｋ∈Ｚ）．故选Ｂ． 对点训练４：（１）ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在ｘ∈［－ π，π］上的递增区间为 － π２ ， π[ ]２ ，递减区间为－ π，－ π[ ]２ ， π２ ，[ ]π ． （２）ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在ｘ∈［－ π，π］上的递增区间为［－ π，０］，递 减区间为［０，π］． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 令ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ，∵ ０≤ｘ≤ π６ ，∴ ０≤ｔ≤ １ ２ ，∴ ｙ ＝ ２ｔ∈［０，１］，故 选Ｃ． ２． Ｂ ３． － π２ ， π[ ]３ 　 － π，－ π[ )２ 　 借助单位圆可知，ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ －π，π[ ]３ ，在区间－ π，－ π[ )２ 上是减少的，在－ π２ ，π[ ]３ 上 是增加的． ４． ２π　 因为２ － ｓｉｎ（２π ＋ ｘ）＝ ２ － ｓｉｎ ｘ，所以ｙ ＝ ２ － ｓｉｎ ｘ的最小 正周期为２π． ５．当ｘ ＝ － π６时，ｙｍａｘ ＝ １， 当ｘ ＝ π２时，ｙｍｉｎ ＝ － ２                                                                       ． —６９２—