第1章 3 弧度制(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

例３：（１）因为α是第二象限角， 所以９０° ＋ ｋ × ３６０° ＜ α ＜ １８０° ＋ ｋ × ３６０°，１８０° ＋ ２ｋ × ３６０° ＜ ２α ＜ ３６０° ＋ ２ｋ × ３６０°，ｋ∈Ｚ． 所以２α是第三或第四象限角，或是终边落在ｙ轴的非正半 轴上的角．同理４５° ＋ ｋ２ × ３６０° ＜ α ２ ＜ ９０° ＋ ｋ ２ × ３６０°，ｋ∈Ｚ．当 ｋ为偶数时，不妨令ｋ ＝ ２ｎ，ｎ∈Ｚ，则４５° ＋ ｎ × ３６０° ＜ α２ ＜ ９０° ＋ ｎ × ３６０°，此时，α２为第一象限角； 当ｋ为奇数时，令ｋ ＝ ２ｎ ＋ １，ｎ∈Ｚ，则２２５° ＋ ｎ × ３６０° ＜ α２ ＜ ２７０° ＋ ｎ × ３６０°，此时，α２为第三象限角． 所以α２为第一或第三象限角． （２）因为α为第一象限角，所以ｋ·３６０° ＜ α ＜ ｋ·３６０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ，所以ｋ·１８０° ＜ α２ ＜ ｋ·１８０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ，所以－ ４５° － ｋ·１８０° ＜ － α２ ＜ － ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ，所以１３５° － ｋ·１８０° ＜ １８０° － α２ ＜ １８０° － ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ．当ｋ ＝ ２ｎ（ｎ∈Ｚ）时，１３５° － ｎ·３６０° ＜ １８０° － α２ ＜ １８０° － ｎ·３６０°，为第二象限角； 当ｋ ＝ ２ｎ ＋ １（ｎ∈Ｚ）时，－ ４５° － ｎ·３６０° ＜ １８０° － α２ ＜ － ｎ·３６０°，为第四象限角．所以１８０° － α２ 是第二或第四象 限角． 对点训练３：Ｂ　 ∵ φ是第二象限角，∴ ｋ·３６０° ＋ ９０° ＜ φ ＜ ｋ·３６０° ＋ １８０°，ｋ∈Ｚ，∴ ｋ·１８０° ＋ ４５° ＜ φ２ ＜ ｋ·１８０° ＋ ９０°，ｋ∈ Ｚ，即φ２终边是第一或第三象限角，而－ φ显然是第三象限角， ∴ ９０° － φ是第四象限角，故选Ｂ． 例４：（１）终边落在ＯＡ位置上的角的集合为｛α ｜ α ＝ ９０° ＋ ４５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝＝｛α ｜ α ＝ １３５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝，终边落 在ＯＢ位置上的角的集合为｛β ｜ β ＝ － ３０° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝． （２）由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由 所有介于－ ３０°到１３５°之间的与之终边相同的角组成的集合，故 可表示为｛α ｜ － ３０° ＋ ｋ·３６０°≤α≤１３５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝． 对点训练４：在０° ～ ３６０°范围内、阴影部分（包括边界）表示 的角范围是：１５０°≤α≤２２５°，则满足条件的角α为｛α ｜ ｋ·３６０° ＋ １５０°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ２２５°，ｋ∈Ｚ｝． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 Ｍ ＝｛θ ｜ ｋ·３６０° ＜ θ ＜ ９０° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝，Ｎ ＝｛θ ｜ ０° ＜ θ ＜ ９０°｝，Ｐ ＝｛θ ｜ θ ＜ ９０°｝，故选Ｄ． ２． Ｃ　 由于２ ０２４° ＝ ３６０° × ５ ＋ ２２４°，而２２４°是第三象限角，则 ２ ０２４°也是第三象限角． ３． Ｃ　 － ４５７°与－ ９７°角终边相同，又－ ９７°角与２６３°角终边相 同，又２６３°角与ｋ·３６０° ＋ ２６３°角终边相同，∴应选Ｃ． ４． Ｄ　 角α与β的终边互为反向延长线，则α ＝ β ＋ １８０° ＋ ｋ· ３６０° ＝ β ＋（２ｋ ＋ １）１８０°，故选Ｄ． ５．（１）｛α ｜ ｋ·３６０° ＋ ３０°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ｝∪｛α ｜ ｋ· ３６０° ＋ ２１０°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ２７０°，ｋ∈Ｚ｝或写成｛α ｜ ｋ·１８０° ＋ ３０°≤α≤ｋ·１８０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ｝． （２）｛α ｜ ｋ·３６０° － ４５°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ｝． § ３　 弧度制 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）度　 １　 圆心角　 ｒａｄ　 弧度　 弧度 知识点３　 ｜α ｜·Ｒ 关键能力　 攻重难 例１：（１）２０° ＝ ２０ × π１８０ ｒａｄ ＝ π ９ ｒａｄ． （２）－ １５° ＝ － １５ × π１８０ ｒａｄ ＝ － π １２ ｒａｄ． （３）７１２π ｒａｄ ＝ ７ １２ × １８０° ＝ １０５°． （４）－ １１５ π ｒａｄ ＝ － １１ ５ × １８０° ＝ － ３９６°． 对点训练１：（１）∵ １８０° ＝ π ｒａｄ， ∴ －５７０° ＝ － ５７０π１８０ ＝ － １９π ６ ，∴ α１ ＝ － １９π ６ ＝ － ２ × ２π ＋ ５π ６ ， α２ ＝ ７５０° ＝ ７５０π １８０ ＝ ２５π ６ ＝ ２ × ２π ＋ π ６ ． ∴ α１在第二象限，α２在第一象限． （２）β１ ＝ ３π５ ＝ ３ ５ × １８０° ＝ １０８°， β２ ＝ － π ３ ＝ － ６０°，∴ β１在第二象限，β２在第四象限． 例２：（１）２２５°角的终边可以看作是－ １３５°角的终边，化为 弧度，即－ ３π４ ，６０°角的终边即 π ３的终边，所以终边落在阴影部分 内（不包括边界） {的角的集合为α ２ｋπ － ３π４ ＜ α ＜ ２ｋπ ＋ π３ ， ｋ∈ }Ｚ ． （２）与（１）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界） {的角的集合为α ２ｋπ ＋ π６ ＜ α ＜ ２ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈ }Ｚ {∪ α ２ｋπ ＋ π ＋ π６ ＜ α ＜ ２ｋπ ＋ π ＋ π ２ ，ｋ∈ }Ｚ {＝ α ｎπ ＋ π６ ＜ α ＜ ｎπ ＋ π ２ ，ｎ∈ }Ｚ ． 对点训练２：（１）３３０°和６０°的终边分别对应－ π６和 π ３ ，所 表示的区域位于－ π６与 π ３之间且跨越ｘ轴的正半轴，所以终边 {落在阴影部分的角的集合为θ ２ｋπ － π６ ＜ θ ＜ ２ｋπ ＋ π３ ，ｋ∈ }Ｚ ． （２）２１０°和１３５°的终边分别对应－ ５π６和 ３π ４ ，所表示的区域 位于－ ５π６与 ３π ４之间且跨越ｘ轴的正半轴，所以终边落在阴影部 {分的角的集合为θ ２ｋπ － ５π６ ＜ θ ＜ ２ｋπ ＋ ３π４ ，ｋ∈ }Ｚ ． （３）３０° ＝ π６ ，２１０° ＝ ７π ６ ，所表示的区域由两部分组成，即终边 {落在阴影部分的角的集合为θ ２ｋπ ＜ θ ＜ ２ｋπ ＋ π６ ，ｋ∈ }Ｚ { ∪ θ ２ｋπ ＋π ＜θ ＜２ｋπ ＋７π６ ，ｋ∈ }Ｚ {＝ θ ２ｋπ ＜θ ＜２ｋπ ＋ π６ ，ｋ∈ }Ｚ {∪ θ （２ｋ ＋ １）π ＜ θ ＜（２ｋ ＋ １）π ＋ π６ ，ｋ∈ }Ｚ {＝ θ ｎπ ＜ θ                                                                      ＜ —４９２— ｎπ ＋ π６ ，ｎ∈ }Ｚ ． 例３：（１）因为扇形ＯＡＢ的圆心角α的弧度数为２π３ ，半径为 ６，所以)ＡＢ的长为６ × ２π３ ＝ ４π． （２）设扇形的圆心角为θ，半径为ｒ，弧长为ｌ，面积为Ｓ，则 ｌ ＋ ２ｒ ＝ ４０，所以ｌ ＝ ４０ － ２ｒ．所以Ｓ ＝ １２ ｌｒ ＝ １ ２ ×（４０ － ２ｒ）ｒ ＝ ２０ｒ － ｒ２ ＝ －（ｒ － １０）２ ＋ １００． 所以当半径ｒ ＝１０ ｃｍ时扇形的面积最大，最大值为１００ ｃｍ２，此 时θ ＝ ｌｒ ＝ ４０ － ２ × １０ １０ ｒａｄ ＝ ２ ｒａｄ． 所以当扇形的圆心角为２ ｒａｄ，半径为１０ ｃｍ时，扇形的面积 最大为１００ ｃｍ２ ． 对点训练３：Ｂ　 设扇形的半径为ｒ，因为扇形的圆心角α ＝ ２ ｒａｄ，扇形的周长为８ ｃｍ，则２ｒ ＋ ２ｒ ＝ ８，解得ｒ ＝ ２，所以此扇形 的面积Ｓ ＝ １２ αｒ ２ ＝ １２ × ２ × ２ ２ ＝ ４（ｃｍ２）．故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 ∵ １ ｒａｄ ＝ １８０( )π °，∴ －１０π３ ＝ － １８０π ×１０π( )３ ° ＝ － ６００°． ２． Ｃ　 ∵ １０ ＝ π１８０ ｒａｄ，∴ α ＝ ２ｋπ ＋ π １８０，ｋ∈Ｚ． ３． Ｃ　 设扇形圆心角为α，则Ｓ ＝ １２ αＲ ２ ＝ ３８ π，∴ α ＝ ３ ４ π． ４． Ｄ　 因为相互啮合的两个齿轮，大轮５０齿，小轮２０齿，所以当 大轮转动一周时，大轮转动了５０个齿，所以小轮此时转动５０２０ ＝ ５２周，即小轮转动的角度为 ５ ２ × ２π ＝ ５π．故选Ｄ． ５．（１）２７４ π ＝ ６π ＋ ３π ４ ． 因为３π４是第二象限角，所以 ２７ ４ π是第二象限角． （２）－ １ １０４° ＝ － １ １０４ × π１８０ ＝ － ９２ １５π ＝ － ８π ＋ ２８ １５π． 因为２８１５π是第四象限角，所以－ １ １０４°是第四象限角． § ４　 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 ４． １　 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 必备知识　 探新知 知识点１　 ｓｉｎ α　 ｃｏｓ α 知识点２　 ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ 　 ｙｒ 　 ｘ ｒ 关键能力　 攻重难 例１：槡２ ２ － １３ 或 槡 － ２ ２ － １ ３ 　 如图所 示，在△ＯＡＰ中，由勾股定理可得ｍ２ ＋ －( )１３ ２ ＝ １，解得ｍ ＝ ± 槡２ ２３ ． 当ｍ ＝ 槡２ ２３ 时，ｓｉｎ α ＝ － １ ３ ，ｃｏｓ α ＝ 槡２ ２３ ， 此时，ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ 槡２ ２ － １３ ； 当ｍ ＝ － 槡２ ２３ 时，ｓｉｎ α ＝ － １ ３ ，ｃｏｓ α ＝ － 槡 ２ ２ ３ ， 此时ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ 槡－ ２ ２ － １３ ． 对点训练１：Ｂ　 由正、余弦函数的定义知，ｓｉｎ α ＝ ５１３，ｃｏｓ β ＝ － ３５ ，∴ ｓｉｎ αｃｏｓ β ＝ － ３ １３ ． 例２：（１）－ 槡２ ５５ 　 （２）见解析 【解析】　 （１）因为ｒ ＝ ４ ＋ ｙ槡 ２，所以ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ＝ ｙ ｙ２槡＋ ４ ＝ －槡５５ ． 所以ｙ ＜ ０，所以ｙ ＝ － １，ｒ 槡＝ ５， 所以ｃｏｓ α ＝ ｘｒ ＝ － ２ 槡５ ＝ － 槡２ ５５ ． （２）方法一：设射线ｙ ＝ ２ｘ（ｘ≥０）与单位圆的交点为Ｐ（ｘ０， ｙ０），则 ｙ０ ＝ ２ｘ０， ｘ２０ ＋ ｙ ２ ０ ＝ １， ｘ０≥０ { ， 解得 ｘ０ ＝槡５５ ， ｙ０ ＝ 槡２ ５５{ ，即Ｐ 槡５５ ，槡２ ５( )５ ，所以ｓｉｎ α ＝ ｙ０ ＝ 槡２ ５５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ０ ＝槡５５ ． 方法二：设点Ｐ（ａ，２ａ）是角α终边上任意一点，其中ａ ＞ ０． 因为ｒ ＝ ｜ＯＰ ｜ ＝ ａ２ ＋ ４ａ槡 ２ 槡＝ ５ａ（Ｏ为坐标原点），所以ｓｉｎ α ＝ ｙ ｒ ＝ ２ａ 槡５ａ ＝ 槡２ ５５ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ＝ ａ 槡５ａ ＝槡５５ ． 对点训练２：（１）－ １２ 　 －槡 ３ ２ 　 （２）－ ２ ３ 　 （１）因为 －槡３( )２ ２ ＋ －( )１２ ２ ＝ １， 所以点－槡３２ ，－( )１２ 在单位圆上，由三角函数的定义知 ｓｉｎ α ＝ － １２ ，ｃｏｓ α ＝ －槡 ３ ２ ． （２）∵角α的终边经过点Ｐ（－ ｘ，－ ６），且ｃｏｓ α ＝ － ５１３， ∴ ｃｏｓ α ＝ － ｘ ｘ２槡＋ ３６ ＝ － ５１３，解得ｘ ＝ ５ ２ ，∴ Ｐ － ５ ２ ，( )－ ６ ， ∴ ｓｉｎ α ＝ － １２１３，则 １ ＋ ｃｏｓ α ｓｉｎ α ＝ １ － ５１３ － １２１３ ＝ － ２３ ． 例３：Ｄ　 依题意，ｓｉｎ α ＝ １ ｍ２槡＋ １ ＝ １３ ，解得ｍ 槡＝ ± ２ ２．故 选Ｄ． 对点训练３：（１）Ｃ　 （２）－ １ 　 （１）由正弦函数的定义得 ｓｉｎ α ＝ ｍ １ ＋ ｍ槡 ２ ＝ － 槡３ １０１０ ，解得ｍ ＝ － ３，所以ｃｏｓ α ＝ １ 槡１０ ＝ 槡１０ １０ ．故选Ｃ                                                                      ． —５９２— § $ 弧度制 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的 转换． ２．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一 对应关系． ３．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． １．借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧 度制的必要性，重点提升学生的数学抽象 素养． ２．应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解 决相关问题，重点提升数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 弧度制 　 　 （１）角度制与弧度制的定义 角度制 用度　 作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定１度的角等于周角的１３６０ 弧度制 在单位圆中，把长度等于１　 的弧所对的圆心角　 叫作１弧度的角，用符号ｒａｄ　 表示，读作弧度　 ，以弧度　 作为单位来度量角的方法，叫作弧度制 　 　 （２）角的弧度数的计算 如果半径为ｒ的圆的圆心角α所对弧的长为ｌ，那么｜α ｜ ＝ ｌｒ ． 知识点２　 角度制与弧度制的换算 　 　 （１）常见角度与弧度互化公式如下 角度化弧度 弧度化角度 ３６０° ＝ ２π ｒａｄ ２π ｒａｄ ＝ ３６０° １８０° ＝ π ｒａｄ π ｒａｄ ＝ １８０° １° ＝ π１８０ ｒａｄ≈０． ０１７ ４５ ｒａｄ １ ｒａｄ ＝ １８０( )π °≈５７． ３０° 　 　 （２）一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有 角度 ０° １° ３０° ４５° ６０° ９０° １２０° １３５° １５０° １８０° ２７０° ３６０° 弧度 ０ π１８０ π ６ π ４ π ３ π ２ ２π ３ ３π ４ ５π ６ π ３π ２ ２π 知识点３　 扇形的弧长及面积公式 　 　 设扇形的半径为Ｒ，弧长为ｌ，α（０ ＜ α ＜ ２π）为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 ｌ ＝ ｜α ｜πＲ１８０ ｌ ＝ ｜α ｜·Ｒ　 扇形的面积 Ｓ ＝ ｜α ｜πＲ ２ ３６０ Ｓ ＝ １２ ｌ·Ｒ ＝ １ ２ ｜α ｜·Ｒ ２ "") /012%345 ●678%Tbcdebcfg 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．将下列角度与弧度进行互化： （１）２０°；（２）－ １５°；（３）７π１２；（４）－ １１ ５ π． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 设α１ ＝ － ５７０°，α２ ＝ ７５０°，β１ ＝ ３π５ ，β２ ＝ － π ３ ． （１）将α１、α２用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； （２）将β１、β２用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限． ●67E%Jebc`aWXYZ<T ２．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合． 【分析】　 本题考查区域角的表示，关 键是要确定好区域的起止边界． ［归纳提升］ 归纳提升： jðñròðñ±c-óô åI ¨ １ ©óôáõö １８０ ¬ ＝ ÷ ｒａｄ， øê¶F １ ¬ ＝ ÷１８０ ｒａｄ å １ ｒａｄ ＝ １８０( ) ÷ ¬ùúûü ． ２̈ ©Iáý%ej-ò ð:0 α，jð: ｎ?ô α ｒａｄ ＝ α þ １８０( ) ÷ ¬ ；ｎ ¬ ＝ ｎ þ ÷ １８０． 归纳提升： １． ÿ‰Fjðñ!BFòð ñgð"j?Q#pj-í “r·:í Ｒ ª#¤Á% •%%LÂ-@¿á"%e jQR$%-%e·:r% L &g?"%e·: 'QR$%-%ejr% L ． ２． FòðñÔÕ|{š›- j Ì ＋ ２ｋ ÷ （ｋ P Ｚ） '?( O ２ｋ ÷B ÷-):® ． ""* 〉 ABCD ２ 　 　 用弧度制表示顶点在原点，始边与ｘ轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的 集合（不包括边界），如图所示． ●67H%ehijklmnoij<IJ ３．（１）已知扇形ＯＡＢ的圆心角α为１２０°，半径长为６．求)ＡＢ的长． （２）已知一扇形的周长为４０ ｃｍ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形 的面积最大？最大面积是多少？ ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 已知扇形的周长为８ ｃｍ，圆心角为２ ｒａｄ，则此扇形的面积是 （　 　 ） Ａ． ２ ｃｍ２ Ｂ． ４ ｃｍ２ Ｃ． ６ ｃｍ２ Ｄ． ８ ｃｍ２ 归纳提升： *+,F-žò./ ŸtÆ0/Ÿ12 3‘hBhiØ4` a-@A?R',F 9:56tbc56 hi-žX-R@Y ¥`a?Ã-žÆ0 ÔÕ078-9:? bc0 ｒ -èÙ9: -Y¥`a ． "!" KLMN%OPQ １． － １０π３ 转化为角度是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － ３００° Ｂ． － ６００° Ｃ． － ９００° Ｄ． － １ ２００° ２．与１°角终边相同的角的集合是 （　 　 ） Ａ {． α α ＝ ｋ·３６０° ＋ π１８０，ｋ∈ }Ｚ Ｂ {． α α ＝ ｋ·３６０° ＋ π１８０°，ｋ∈ }Ｚ Ｃ {． α α ＝ ２ｋπ ＋ π１８０，ｋ∈ }Ｚ Ｄ {． α α ＝ ２ｋπ ＋ π１８０°，ｋ∈ }Ｚ ３．已知扇形面积为３８ π，半径是１，则扇形的圆心角是 （　 　 ） Ａ． ３１６π Ｂ． ３ ８ π Ｃ． ３ ４ π Ｄ． ３ ２ π ４．已知相互啮合的两个齿轮，大轮５０齿，小轮２０齿，当 大轮转动一周时小轮转动角度是 （　 　 ） Ａ． ４π５ Ｂ． ５π ４ Ｃ． π ５ Ｄ． ５π ５．把下列各角化为２ｋπ ＋ α，ｋ∈Ｚ，０≤α ＜ ２π的形式，并 判断该角是第几象限角． （１）２７４ π； （２）－ １ １０４°． 请同学们认真完成练案［３                                 ］ § % 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 ４． １　 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系． ２．掌握任意角的正弦、余弦的定义． 通过对正弦函数、余弦函数定义的理解，重点提 升学生的数学抽象和直观想象素养． )*+,%-.+ 知识点１　 锐角的正弦函数和余弦函数 　 　 如图，任意角α的终边与单位圆交于点Ｐ（ｕ，ｖ），仿照锐角三角函数的定义，把点Ｐ的纵 坐标ｖ定义为角α的正弦函数值，记作ｖ ＝ ｓｉｎ α　 ；把点Ｐ的横坐标ｕ定义为角α的余弦函 数值，记作ｕ ＝ ｃｏｓ α　 ． 知识点２　 任意角的正和余弦函数 　 　 设角α的终边上除原点外的一点Ｑ（ｘ，ｙ），则ｒ ＝ ｜ＯＱ ｜ ＝ 　 　 　 　 ，则ｓｉｎ α ＝ ＭＱ｜ＯＱ ｜ ＝ 　 　 　 ，ｃｏｓ α ＝ ＯＭ｜ＯＱ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． "!!