第1章 2 任意角(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

●67H%=>FG<IJ ３．已知ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的周期为２的函数，当ｘ∈［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ ４ｘ － １，则 ｆ（４． ５）的值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２ Ｂ． － １ Ｃ． － １２ Ｄ． １ ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （多选）已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足ｆ（－ ｘ）＝ ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ ＋ ２），且当ｘ∈［０，１］ 时，ｆ（ｘ）＝ ｘ，则下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）是偶函数 Ｂ． ｆ（ｘ）是周期函数 Ｃ． ｆ ９９( )２ ＝ － １ Ｄ． ｘ∈［－ １，０］时，ｆ（ｘ）＝ ｘ 归纳提升： VGW129:X) *+,-!YZ[1 23?\]^_`a bcd%e12fg hi ． KLMN%OPQ １．下列现象是周期现象的有 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①太阳的东升西落 ②潮汐现象 ③太阳表面的太阳黑子活动 ④心脏的收缩与舒张 Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 ２．把１７化成小数，小数点后第２０位是 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ４ Ｄ． ８ ３．把一批小球按２个红色，５个白色的顺序排列，第３０ 个小球是　 　 　 　 　 色． ４．设函数ｆ（ｘ）是以２为最小正周期的周期函数，且ｘ∈ ［０，２］时，ｆ（ｘ）＝（ｘ － １）２，则ｆ（２ ０２４）＝ 　 　 　 　 ． ５．已知周期函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图所示， （１）求函数的周期； （２）画出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ ＋ １）的图象． 请同学们认真完成练案［１                       ］ § # 任意角 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解任意角的概念，理解象限角的概念． ２．掌握终边相同角的含义及其表示． ３．会用集合表示象限角，会判断一个角是第几象限角． 在角的概念推广过程中，经历由具体到 抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想 象素养． ""$ )*+,%-.+ 知识点１　 任意角 　 　 （１）角的概念 如图，平面内一条射线ＯＡ　 绕着它的端点Ｏ按箭头所示方向旋转　 到终止位置ＯＢ， 形成角α．点Ｏ是角α的顶点，射线ＯＡ，ＯＢ分别是角α的始边和终边． （２）按照角的旋转方向，分为如下三类： 类型 定义 正角 按逆时针方向　 旋转形成的角 负角 按顺时针方向　 旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，称这样的角为零角　 ．零角的始边与终边重合 知识点２　 象限角 　 　 （１）象限角的概念 在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与ｘ轴的非负半轴　 重合，那么，角的终 边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． （２）象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 ｛α ｜ ｋ·３６０° ＜ α ＜ ｋ·３６０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ｝ 第二象限角 ｛α ｜ ｋ·３６０° ＋ ９０° ＜ α ＜ ｋ·３６０° ＋ １８０°，ｋ∈Ｚ｝ 第三象限角 ｛α ｜ ｋ·３６０° ＋ １８０° ＜ α ＜ ｋ·３６０° ＋ ２７０°，ｋ∈Ｚ｝ 第四象限角 ｛α ｜ ｋ·３６０° ＋ ２７０° ＜ α ＜ ｋ·３６０° ＋ ３６０°，ｋ∈Ｚ｝ 　 　 （３）轴线角的集合表示 轴线角 角的集合表示 终边落在ｘ轴的非负半轴上的角 ｛α ｜α ＝ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝ 终边落在ｘ轴的非正半轴上的角 ｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋１８０°，ｋ∈Ｚ｝ 终边落在ｘ轴上的角 ｛α ｜α ＝ ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ｝ 终边落在ｙ轴的非负半轴上的角 ｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ｝ 终边落在ｙ轴的非正半轴上的角 ｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋２７０°，ｋ∈Ｚ｝ 终边落在ｙ轴上的角 ｛α ｜α ＝ ｋ·１８０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ｝ 终边落在坐标轴上的角 ｛α ｜α ＝ ｋ·９０°，ｋ∈Ｚ｝ 知识点３　 终边相同的角 　 　 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合Ｓ ＝ ｛β ｜ β ＝ α ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝　 ， 即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． ""% /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%RST<UV １．下列命题正确的是 （　 　 ） Ａ．终边与始边重合的角是零角 Ｂ．终边和始边都相同的两个角一定相等 Ｃ．在９０°≤β ＜ １８０°范围内的角β不一定是钝角 Ｄ．小于９０°的角是锐角 【分析】　 角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 （１）下列说法，正确的是 （　 　 ） Ａ．三角形的内角必是第一、二象限角 Ｂ．始边相同而终边不同的角一定不相等 Ｃ．钝角比第三象限角小 Ｄ．小于１８０°的角是钝角、直角或锐角 （２）经过２个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 （　 　 ） Ａ． ６０°，７２０° Ｂ． － ６０°，－ ７２０° Ｃ． － ３０°，－ ３６０° Ｄ． － ６０°，７２０° ●67E%WXYZ<T ２．（１）在－ ３６０° ～ ０°内与角１ ２５０°终边相同的角是　 　 　 　 ． （２）求θ，使θ与－ １ １９０°的终边相同，且－ ７２０°≤θ ＜ ０°． ［归纳提升］ 归纳提升： @Mj-kl`a- mn [Vhoj-kl` a?@ApM[Vn h.qjrsjtu jtvjtwjt1 jx-kl?yzj -E{r|{}~b €rZ ． ‚ƒ„ …†‡<=ˆ‰[V rC-Š‹?<=ˆ ‰[V„…JK?D <=ˆ‰Œ[V„ Ž%e6] ． 归纳提升： １． ‘’“”•–—S r˜™j|{š›j -I œ‘+r˜™j|{ š›-j-%ž Ÿ ¡¢–—£¤Œ xŸ‘+ ｋ -¥6] ． ２． |{š›j¦F- §eˆ‰ １̈ ©|{š›-jª # š « ３６０ ¬- ­ :® ． ２̈ ©|{p›%u¯ °-jª#š« １８０ ¬ -­:® ． ３̈ ©|{pš±²u -³–u¯°-jª #š« ９０ ¬-­:® ． ""& 〉 ABCD ２ 　 　 已知角α的终边与－ １２０°角的终边关于ｘ轴对称，且－ ３６０° ＜ α ＜ ３６０°，求角α． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%@[T<\& ３．（１）已知α为第二象限角，那么２α，α２分别是第几象限角？ （２）已知α为第一象限角，求１８０° － α２是第几象限角． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD ３ 　 　 若φ是第二象限角，那么φ２和９０° － φ都不是 （　 　 ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 归纳提升： １． .qj-<GI （１）́ µ;.<G ． ¶ F;.·¸¹º'? ¢µB|{š›-j -kl?»0 ０ ¬¼ ３６０ ¬ª#-jr½¾ ¿X-À¯]¤Á% %LÂ-@¿ ． （２） Ãjbcd ０ ¬¼ ３６０ ¬ÄÅf?puj ½¾ w Æ f? ０ ¬¼ ３６０ ¬ÄÅfÇR³e j|{Bš›- ． ２． α，２α，α２ xj-| {ÈÉ-VGI （１） ¶F.qj-k lʘ™–—?Ë+ j Ì-ÄÅ ． （２） ¶FŒxŸ-> Í?‘+ ２α，α２ xj -ÄÅ ． （３） ¶F!~b3- 7Î?VGj|{- ÈÉ ． Ï?ÏÐÑd ｋ × １２０ ¬ ＜ α３ ＜ ｋ × １２０ ¬ ＋ ３０ ¬? ｋ P Ｚ ?] Ò+ ０° ＜Ì３ ＜ ３０¬ÓÔ Õ-Ö×?¡ÃØÖ ×¢ÙÚ'ÛÊÜ' ÛbÝ １２０ ¬ ． ""' ●67]%^_T<`a ４．已知，如图所示． （１）分别写出终边落在ＯＡ，ＯＢ位置上的角的集合； （２）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合． ［归纳提升］ 〉 ABCD ４ 　 　 如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角 的集合如何表示？ 归纳提升： ÔÕÖ×j-§e Þß à%ÞáœâÚ'Û -€ãdÖ×-ä Eå|æ{ç ． àèÞáâéZd êë¾+äEå|æ {çLÂ- － ３６０ ¬ ～ ３６０ ¬ÄÅf-j α和 β?Ë+Yìí“｛ｘ ｜ α ＜ ｘ ＜ β｝，îX β － α ＜ ３６０ ¬ ． à§ÞáäEt|æ {çLÂj α，β ¡ï ° ３６０ ¬-­:®?6 ÑÖ×jí“ ． KLMN%OPQ １．已知集合Ｍ ＝｛第一象限角｝，Ｎ ＝｛锐角｝，Ｐ ＝｛小于 ９０°的角｝，则下面正确的是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． Ｍ ＝ Ｎ ＝ Ｐ Ｂ． ＭＰ Ｃ． Ｍ∩Ｐ ＝ Ｎ Ｄ．以上都不对 ２． ２ ０２４°是 （　 　 ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ３．与－ ４５７°角终边相同的角的集合是 （　 　 ） Ａ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋ ４５７°，ｋ∈Ｚ｝ Ｂ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋ ９７°，ｋ∈Ｚ｝ Ｃ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° ＋ ２６３°，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ．｛α ｜α ＝ ｋ·３６０° － ２６３°，ｋ∈Ｚ｝ ４．若角α与β的终边互为反向延长线，则有 （　 　 ） Ａ． α ＝ β ＋ １８０° Ｂ． α ＝ β － １８０° Ｃ． α ＝ － β Ｄ． α ＝ β ＋（２ｋ ＋ １）·１８０°，ｋ∈Ｚ ５．写出图中阴影区域所表示角α的集合（包括边界）． 请同学们认真完成练案［２                             ］ ""( 书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第一章　 三角函数 § １　 周期变化 必备知识　 探新知 知识点１　 周期变化　 知识点２　 （１）ｘ ＋ Ｔ∈Ｄ　 ｆ（ｘ）　 （２）最小正周期 关键能力　 攻重难 例１：（１）（２）（３）（４）（５）　 （１）地球上一年分为春、夏、秋、 冬四季，每一年都是如此，具有重复性，因而是周期现象． （２）钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前 一分钟的动作，因而是周期现象． （３）十字路口的红绿灯都是按规定的时间交替亮起，具有 重复性，因而是周期现象． （４）月亮的圆缺按“朔—上弦—望—下弦—朔”不断重复， 因而是周期现象． （５）地球的自转每２４小时转一圈，并且每一个２４小时总是 重复前一个２４小时的动作，因而是周期现象． 对点训练１：Ｄ　 对于Ａ：每隔一年，春天就重复一次，因此 “春去春又回”是周期现象；对于Ｂ：分针每隔一小时转一圈，是 周期现象；对于Ｃ：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的 运行时间是周期现象；对于Ｄ：某同学每天上数学课的时间不固 定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象．故 选Ｄ． 例２：（１）Ｄ　 （２）３　 （１）对于Ｄ，函数图象不是经过相同单 位长度后，图象重复出现；而Ａ、Ｃ中经过一个单位长度，图象重 复出现；Ｂ中图象每经过２个单位长度，图象重复出现．所以Ａ、 Ｂ、Ｃ中的函数是周期函数，Ｄ中函数不是周期函数． （２）由图象知周期为０． ０２， 所以ｆ（０． ０２５）＝ ｆ（０． ００５ ＋ ０． ０２）＝ ｆ（０． ００５）＝ ３． 对点训练２：（１）丁　 戊　 （２）见解析 【解析】　 （２）①观察图象可知，图象从ｔ ＝ ０． ８ ｓ开始重复， 所以单摆的振动是周期变化； ②振动的周期为０． ８ ｓ； ③由图象知最高点和最低点偏离ｔ轴的距离相等且等于 ０． ５ ｃｍ，所以单摆离开平衡位置的最大距离是０． ５ ｃｍ． 例３：Ｄ　 已知ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的周期为２的函数，当 ｘ∈［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ ４ｘ － １，则ｆ（４． ５）＝ ｆ（０． ５）＝ ２ － １ ＝ １． 对点训练３：ＡＢ　 因为定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足ｆ（－ ｘ） ＝ ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是偶函数，故Ａ正确；又ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ ＋ ２），所以 ｆ（ｘ）是以２为周期的周期函数，故Ｂ正确；设ｘ∈［－ １，０），则－ ｘ ∈（０，１］，所以ｆ（－ ｘ）＝ － ｘ，又ｆ（ｘ）是偶函数，则ｆ（ｘ）＝ － ｘ，即 当ｘ∈［－ １，０）时ｆ（ｘ）＝ － ｘ，故Ｄ错误；ｆ ９９( )２ ＝ ｆ ５０ －( )１２ ＝ ｆ －( )１２ ＝ － －( )１２ ＝ １２ ，故Ｃ错误．故选ＡＢ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 上面这４种现象都成周期性的变化，因此都是周期现象． ２． Ｃ　 １７ ＝ ０． １ · ４２ ８５ ７ ·，即１７是可以化为一个无限循环小数，因 为２０ ÷ ６ ＝ ３……２，３表示１４２ ８５７重复３次，２表示１４２ ８５７这 组数的第２个数，所以第２０位是４． ３．红　 周期为７，３０ ＝ ４ × ７ ＋ ２，所以第３０个小球与第２个小球 颜色相同，为红色． ４． １　 因为ｆ（ｘ）是以２为最小正周期的周期函数，所以ｆ（２ ０２４） ＝ ｆ（１０１２ × ２）＝ ｆ（０），又因为ｘ∈［０，２］时，ｆ（ｘ）＝（ｘ － １）２，所 以ｆ（２ ０２４）＝ ｆ（０）＝（０ － １）２ ＝ １． ５．（１）Ｔ ＝ ２． （２）把ｙ ＝ ｆ（ｘ）向左平移一个单位长度得ｙ ＝ ｆ（ｘ ＋ １）的图象， 即如图所示． § ２　 任意角 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）一条射线ＯＡ　 旋转　 （２）逆时针方向　 顺 时针方向　 零角 知识点２　 （１）非负半轴 知识点３　 ｛β ｜ β ＝ α ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝ 关键能力　 攻重难 例１：Ｃ　 终边与始边重合的角还可能是３６０°，７２０°，…，故 Ａ错误；终边和始边都相同的两个角可能相差３６０°的整数倍，如 ３０°与－ ３３０°，故Ｂ错误；由于在９０°≤β ＜ １８０°范围内的角β包 含９０°角，所以不一定是钝角，Ｃ正确；小于９０°的角可以是０°， 也可以是负角，故Ｄ错误． 对点训练１：（１）Ｂ　 （２）Ｂ　 （１）对Ａ，９０°的角既不是第一 象限角，也不是第二象限角；Ｂ正确；对Ｃ中钝角大于－ １２０°，但 －１２０°的角是第三象限角，故Ｃ错误；对Ｄ，０°角小于１８０°，但它 既不是钝角，也不是直角或锐角，故Ｄ错误． （２）顺时针旋转为负角，２１２ × ３６０° ＝ ６０°，２ × ３６０° ＝ ７２０°，故 钟表的时针、分针转过的角度分别为－ ６０°，－ ７２０°． 例２：（１）－ １９０°　 （２）见解析 【解析】　 （２）令θ ＝ － １ １９０° ＋ ｋ·３６０°（ｋ∈Ｚ）， 因为－ ７２０°≤θ ＜ ０°， 所以－ ７２０°≤ － １ １９０° ＋ ｋ·３６０° ＜ ０°， 解得４７３６≤ｋ ＜ １１９ ３６ ， 取ｋ ＝ ２，３就得到满足－ ７２０°≤θ ＜ ０°的角， 即－ １ １９０° ＋ ２ × ３６０° ＝ － ４７０°，－ １ １９０° ＋ ３ × ３６０° ＝ － １１０°． 所以θ为－ ４７０°，－ １１０°． 对点训练２：如图，因为１２０°角与－ １２０° 角的终边关于ｘ轴对称，所以角α的终边与 １２０°角的终边相同， 所以α ＝ ｋ·３６０° ＋ １２０°（ｋ∈Ｚ）． 因为－ ３６０° ＜ α ＜ ３６０°， 所以－ ４３ ＜ ｋ ＜ ２ ３ ，所以ｋ ＝ － １或ｋ ＝ ０， 所以α ＝ － ２４０°或α ＝ １２０°                                                               ． —３９２— 例３：（１）因为α是第二象限角， 所以９０° ＋ ｋ × ３６０° ＜ α ＜ １８０° ＋ ｋ × ３６０°，１８０° ＋ ２ｋ × ３６０° ＜ ２α ＜ ３６０° ＋ ２ｋ × ３６０°，ｋ∈Ｚ． 所以２α是第三或第四象限角，或是终边落在ｙ轴的非正半 轴上的角．同理４５° ＋ ｋ２ × ３６０° ＜ α ２ ＜ ９０° ＋ ｋ ２ × ３６０°，ｋ∈Ｚ．当 ｋ为偶数时，不妨令ｋ ＝ ２ｎ，ｎ∈Ｚ，则４５° ＋ ｎ × ３６０° ＜ α２ ＜ ９０° ＋ ｎ × ３６０°，此时，α２为第一象限角； 当ｋ为奇数时，令ｋ ＝ ２ｎ ＋ １，ｎ∈Ｚ，则２２５° ＋ ｎ × ３６０° ＜ α２ ＜ ２７０° ＋ ｎ × ３６０°，此时，α２为第三象限角． 所以α２为第一或第三象限角． （２）因为α为第一象限角，所以ｋ·３６０° ＜ α ＜ ｋ·３６０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ，所以ｋ·１８０° ＜ α２ ＜ ｋ·１８０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ，所以－ ４５° － ｋ·１８０° ＜ － α２ ＜ － ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ，所以１３５° － ｋ·１８０° ＜ １８０° － α２ ＜ １８０° － ｋ·１８０°，ｋ∈Ｚ．当ｋ ＝ ２ｎ（ｎ∈Ｚ）时，１３５° － ｎ·３６０° ＜ １８０° － α２ ＜ １８０° － ｎ·３６０°，为第二象限角； 当ｋ ＝ ２ｎ ＋ １（ｎ∈Ｚ）时，－ ４５° － ｎ·３６０° ＜ １８０° － α２ ＜ － ｎ·３６０°，为第四象限角．所以１８０° － α２ 是第二或第四象 限角． 对点训练３：Ｂ　 ∵ φ是第二象限角，∴ ｋ·３６０° ＋ ９０° ＜ φ ＜ ｋ·３６０° ＋ １８０°，ｋ∈Ｚ，∴ ｋ·１８０° ＋ ４５° ＜ φ２ ＜ ｋ·１８０° ＋ ９０°，ｋ∈ Ｚ，即φ２终边是第一或第三象限角，而－ φ显然是第三象限角， ∴ ９０° － φ是第四象限角，故选Ｂ． 例４：（１）终边落在ＯＡ位置上的角的集合为｛α ｜ α ＝ ９０° ＋ ４５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝＝｛α ｜ α ＝ １３５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝，终边落 在ＯＢ位置上的角的集合为｛β ｜ β ＝ － ３０° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝． （２）由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由 所有介于－ ３０°到１３５°之间的与之终边相同的角组成的集合，故 可表示为｛α ｜ － ３０° ＋ ｋ·３６０°≤α≤１３５° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝． 对点训练４：在０° ～ ３６０°范围内、阴影部分（包括边界）表示 的角范围是：１５０°≤α≤２２５°，则满足条件的角α为｛α ｜ ｋ·３６０° ＋ １５０°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ２２５°，ｋ∈Ｚ｝． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 Ｍ ＝｛θ ｜ ｋ·３６０° ＜ θ ＜ ９０° ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝，Ｎ ＝｛θ ｜ ０° ＜ θ ＜ ９０°｝，Ｐ ＝｛θ ｜ θ ＜ ９０°｝，故选Ｄ． ２． Ｃ　 由于２ ０２４° ＝ ３６０° × ５ ＋ ２２４°，而２２４°是第三象限角，则 ２ ０２４°也是第三象限角． ３． Ｃ　 － ４５７°与－ ９７°角终边相同，又－ ９７°角与２６３°角终边相 同，又２６３°角与ｋ·３６０° ＋ ２６３°角终边相同，∴应选Ｃ． ４． Ｄ　 角α与β的终边互为反向延长线，则α ＝ β ＋ １８０° ＋ ｋ· ３６０° ＝ β ＋（２ｋ ＋ １）１８０°，故选Ｄ． ５．（１）｛α ｜ ｋ·３６０° ＋ ３０°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ｝∪｛α ｜ ｋ· ３６０° ＋ ２１０°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ２７０°，ｋ∈Ｚ｝或写成｛α ｜ ｋ·１８０° ＋ ３０°≤α≤ｋ·１８０° ＋ ９０°，ｋ∈Ｚ｝． （２）｛α ｜ ｋ·３６０° － ４５°≤α≤ｋ·３６０° ＋ ４５°，ｋ∈Ｚ｝． § ３　 弧度制 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）度　 １　 圆心角　 ｒａｄ　 弧度　 弧度 知识点３　 ｜α ｜·Ｒ 关键能力　 攻重难 例１：（１）２０° ＝ ２０ × π１８０ ｒａｄ ＝ π ９ ｒａｄ． （２）－ １５° ＝ － １５ × π１８０ ｒａｄ ＝ － π １２ ｒａｄ． （３）７１２π ｒａｄ ＝ ７ １２ × １８０° ＝ １０５°． （４）－ １１５ π ｒａｄ ＝ － １１ ５ × １８０° ＝ － ３９６°． 对点训练１：（１）∵ １８０° ＝ π ｒａｄ， ∴ －５７０° ＝ － ５７０π１８０ ＝ － １９π ６ ，∴ α１ ＝ － １９π ６ ＝ － ２ × ２π ＋ ５π ６ ， α２ ＝ ７５０° ＝ ７５０π １８０ ＝ ２５π ６ ＝ ２ × ２π ＋ π ６ ． ∴ α１在第二象限，α２在第一象限． （２）β１ ＝ ３π５ ＝ ３ ５ × １８０° ＝ １０８°， β２ ＝ － π ３ ＝ － ６０°，∴ β１在第二象限，β２在第四象限． 例２：（１）２２５°角的终边可以看作是－ １３５°角的终边，化为 弧度，即－ ３π４ ，６０°角的终边即 π ３的终边，所以终边落在阴影部分 内（不包括边界） {的角的集合为α ２ｋπ － ３π４ ＜ α ＜ ２ｋπ ＋ π３ ， ｋ∈ }Ｚ ． （２）与（１）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界） {的角的集合为α ２ｋπ ＋ π６ ＜ α ＜ ２ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈ }Ｚ {∪ α ２ｋπ ＋ π ＋ π６ ＜ α ＜ ２ｋπ ＋ π ＋ π ２ ，ｋ∈ }Ｚ {＝ α ｎπ ＋ π６ ＜ α ＜ ｎπ ＋ π ２ ，ｎ∈ }Ｚ ． 对点训练２：（１）３３０°和６０°的终边分别对应－ π６和 π ３ ，所 表示的区域位于－ π６与 π ３之间且跨越ｘ轴的正半轴，所以终边 {落在阴影部分的角的集合为θ ２ｋπ － π６ ＜ θ ＜ ２ｋπ ＋ π３ ，ｋ∈ }Ｚ ． （２）２１０°和１３５°的终边分别对应－ ５π６和 ３π ４ ，所表示的区域 位于－ ５π６与 ３π ４之间且跨越ｘ轴的正半轴，所以终边落在阴影部 {分的角的集合为θ ２ｋπ － ５π６ ＜ θ ＜ ２ｋπ ＋ ３π４ ，ｋ∈ }Ｚ ． （３）３０° ＝ π６ ，２１０° ＝ ７π ６ ，所表示的区域由两部分组成，即终边 {落在阴影部分的角的集合为θ ２ｋπ ＜ θ ＜ ２ｋπ ＋ π６ ，ｋ∈ }Ｚ { ∪ θ ２ｋπ ＋π ＜θ ＜２ｋπ ＋７π６ ，ｋ∈ }Ｚ {＝ θ ２ｋπ ＜θ ＜２ｋπ ＋ π６ ，ｋ∈ }Ｚ {∪ θ （２ｋ ＋ １）π ＜ θ ＜（２ｋ ＋ １）π ＋ π６ ，ｋ∈ }Ｚ {＝ θ ｎπ ＜ θ                                                                      ＜ —４９２—