第1章 1 周期变化(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

书 第一章 　 三角函数 § ! 周期变化 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期． ２．了解周期函数的概念与最小正周期的意义． 通过具体实例，让学生感知周期变化，得 到周期函数的定义从而培养学生的直观 想象素养，提升学生的逻辑推理素养． )*+,%-.+ 知识点１　 周期变化 　 　 （１）定义：自然界许多运动都是周而复始，这些运动称为周期变化　 ． （２）判断方法：看每隔相同间隔是不是重复出现． 知识点２　 周期函数 　 　 （１）一般地，对于函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ｄ，如果存在一个非零常数Ｔ，使得对于任意的ｘ∈Ｄ，都有ｘ ＋ Ｔ∈Ｄ　 且满 足ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ）　 ，那么函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ｄ称作周期函数，非零常数Ｔ称作这个函数的周期． （２）如果在周期函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ｄ的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ｄ的最小正周期　 ．如果不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． /012%345 ●678%9:;<=>?@ １．下列现象是周期现象的是　 　 　 　 　 　 　 　 （填序号）． （１）地球上一年四季的变化； （２）钟表的秒针的运动； （３）某十字路口红绿灯的变换； （４）月亮的圆缺变化； （５）地球的自转． 【分析】　 要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否 会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象． ［归纳提升］ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD １ 　 　 下列现象不是周期现象的是 （　 　 ） Ａ．“春去春又回” Ｂ．钟表的分针每小时转一圈 Ｃ．“哈雷彗星”的运行时间 Ｄ．某同学每天上数学课的时间 归纳提升： !"#$%&'#( )*+,-,./0 12,. ． 345- !%&'#3601 2,.-12 ． ""! 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%=>FG ２．（１）下列是定义在Ｒ上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 （　 　 ） （２）在如图所示的ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象中，若ｆ（０． ００５）＝ ３，则ｆ（０． ０２５）＝ 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 （１）如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图，经过３４ 周期后，甲点和乙点的位置将分别移到　 　 　 　 点和　 　 　 　 点． （２）如图是一个单摆振动的函数图象，根据图象，回答下面问题： ①单摆的振动函数图象是周期变化吗？ ②若是周期变化，其振动的周期是多少？ ③单摆离开平衡位置的最大距离是多少？ 归纳提升： １． 789:;.<= 12>?@AB78 ;.BCB1D*E )*+, ． ２． FGHI<=12 >?@ABJKLM NO- ｘ P Ｄ， QR ｘ ＋ Ｔ P Ｄ STU ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ）． ""# ●67H%=>FG<IJ ３．已知ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的周期为２的函数，当ｘ∈［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ ４ｘ － １，则 ｆ（４． ５）的值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２ Ｂ． － １ Ｃ． － １２ Ｄ． １ ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 （多选）已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足ｆ（－ ｘ）＝ ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ ＋ ２），且当ｘ∈［０，１］ 时，ｆ（ｘ）＝ ｘ，则下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）是偶函数 Ｂ． ｆ（ｘ）是周期函数 Ｃ． ｆ ９９( )２ ＝ － １ Ｄ． ｘ∈［－ １，０］时，ｆ（ｘ）＝ ｘ 归纳提升： VGW129:X) *+,-!YZ[1 23?\]^_`a bcd%e12fg hi ． KLMN%OPQ １．下列现象是周期现象的有 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　①太阳的东升西落 ②潮汐现象 ③太阳表面的太阳黑子活动 ④心脏的收缩与舒张 Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 ２．把１７化成小数，小数点后第２０位是 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ４ Ｄ． ８ ３．把一批小球按２个红色，５个白色的顺序排列，第３０ 个小球是　 　 　 　 　 色． ４．设函数ｆ（ｘ）是以２为最小正周期的周期函数，且ｘ∈ ［０，２］时，ｆ（ｘ）＝（ｘ － １）２，则ｆ（２ ０２４）＝ 　 　 　 　 ． ５．已知周期函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图所示， （１）求函数的周期； （２）画出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ ＋ １）的图象． 请同学们认真完成练案［１                       ］ § # 任意角 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解任意角的概念，理解象限角的概念． ２．掌握终边相同角的含义及其表示． ３．会用集合表示象限角，会判断一个角是第几象限角． 在角的概念推广过程中，经历由具体到 抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想 象素养． ""$ 书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第一章　 三角函数 § １　 周期变化 必备知识　 探新知 知识点１　 周期变化　 知识点２　 （１）ｘ ＋ Ｔ∈Ｄ　 ｆ（ｘ）　 （２）最小正周期 关键能力　 攻重难 例１：（１）（２）（３）（４）（５）　 （１）地球上一年分为春、夏、秋、 冬四季，每一年都是如此，具有重复性，因而是周期现象． （２）钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前 一分钟的动作，因而是周期现象． （３）十字路口的红绿灯都是按规定的时间交替亮起，具有 重复性，因而是周期现象． （４）月亮的圆缺按“朔—上弦—望—下弦—朔”不断重复， 因而是周期现象． （５）地球的自转每２４小时转一圈，并且每一个２４小时总是 重复前一个２４小时的动作，因而是周期现象． 对点训练１：Ｄ　 对于Ａ：每隔一年，春天就重复一次，因此 “春去春又回”是周期现象；对于Ｂ：分针每隔一小时转一圈，是 周期现象；对于Ｃ：天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的 运行时间是周期现象；对于Ｄ：某同学每天上数学课的时间不固 定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象．故 选Ｄ． 例２：（１）Ｄ　 （２）３　 （１）对于Ｄ，函数图象不是经过相同单 位长度后，图象重复出现；而Ａ、Ｃ中经过一个单位长度，图象重 复出现；Ｂ中图象每经过２个单位长度，图象重复出现．所以Ａ、 Ｂ、Ｃ中的函数是周期函数，Ｄ中函数不是周期函数． （２）由图象知周期为０． ０２， 所以ｆ（０． ０２５）＝ ｆ（０． ００５ ＋ ０． ０２）＝ ｆ（０． ００５）＝ ３． 对点训练２：（１）丁　 戊　 （２）见解析 【解析】　 （２）①观察图象可知，图象从ｔ ＝ ０． ８ ｓ开始重复， 所以单摆的振动是周期变化； ②振动的周期为０． ８ ｓ； ③由图象知最高点和最低点偏离ｔ轴的距离相等且等于 ０． ５ ｃｍ，所以单摆离开平衡位置的最大距离是０． ５ ｃｍ． 例３：Ｄ　 已知ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的周期为２的函数，当 ｘ∈［０，１］时，ｆ（ｘ）＝ ４ｘ － １，则ｆ（４． ５）＝ ｆ（０． ５）＝ ２ － １ ＝ １． 对点训练３：ＡＢ　 因为定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足ｆ（－ ｘ） ＝ ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是偶函数，故Ａ正确；又ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ ＋ ２），所以 ｆ（ｘ）是以２为周期的周期函数，故Ｂ正确；设ｘ∈［－ １，０），则－ ｘ ∈（０，１］，所以ｆ（－ ｘ）＝ － ｘ，又ｆ（ｘ）是偶函数，则ｆ（ｘ）＝ － ｘ，即 当ｘ∈［－ １，０）时ｆ（ｘ）＝ － ｘ，故Ｄ错误；ｆ ９９( )２ ＝ ｆ ５０ －( )１２ ＝ ｆ －( )１２ ＝ － －( )１２ ＝ １２ ，故Ｃ错误．故选ＡＢ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 上面这４种现象都成周期性的变化，因此都是周期现象． ２． Ｃ　 １７ ＝ ０． １ · ４２ ８５ ７ ·，即１７是可以化为一个无限循环小数，因 为２０ ÷ ６ ＝ ３……２，３表示１４２ ８５７重复３次，２表示１４２ ８５７这 组数的第２个数，所以第２０位是４． ３．红　 周期为７，３０ ＝ ４ × ７ ＋ ２，所以第３０个小球与第２个小球 颜色相同，为红色． ４． １　 因为ｆ（ｘ）是以２为最小正周期的周期函数，所以ｆ（２ ０２４） ＝ ｆ（１０１２ × ２）＝ ｆ（０），又因为ｘ∈［０，２］时，ｆ（ｘ）＝（ｘ － １）２，所 以ｆ（２ ０２４）＝ ｆ（０）＝（０ － １）２ ＝ １． ５．（１）Ｔ ＝ ２． （２）把ｙ ＝ ｆ（ｘ）向左平移一个单位长度得ｙ ＝ ｆ（ｘ ＋ １）的图象， 即如图所示． § ２　 任意角 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）一条射线ＯＡ　 旋转　 （２）逆时针方向　 顺 时针方向　 零角 知识点２　 （１）非负半轴 知识点３　 ｛β ｜ β ＝ α ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝ 关键能力　 攻重难 例１：Ｃ　 终边与始边重合的角还可能是３６０°，７２０°，…，故 Ａ错误；终边和始边都相同的两个角可能相差３６０°的整数倍，如 ３０°与－ ３３０°，故Ｂ错误；由于在９０°≤β ＜ １８０°范围内的角β包 含９０°角，所以不一定是钝角，Ｃ正确；小于９０°的角可以是０°， 也可以是负角，故Ｄ错误． 对点训练１：（１）Ｂ　 （２）Ｂ　 （１）对Ａ，９０°的角既不是第一 象限角，也不是第二象限角；Ｂ正确；对Ｃ中钝角大于－ １２０°，但 －１２０°的角是第三象限角，故Ｃ错误；对Ｄ，０°角小于１８０°，但它 既不是钝角，也不是直角或锐角，故Ｄ错误． （２）顺时针旋转为负角，２１２ × ３６０° ＝ ６０°，２ × ３６０° ＝ ７２０°，故 钟表的时针、分针转过的角度分别为－ ６０°，－ ７２０°． 例２：（１）－ １９０°　 （２）见解析 【解析】　 （２）令θ ＝ － １ １９０° ＋ ｋ·３６０°（ｋ∈Ｚ）， 因为－ ７２０°≤θ ＜ ０°， 所以－ ７２０°≤ － １ １９０° ＋ ｋ·３６０° ＜ ０°， 解得４７３６≤ｋ ＜ １１９ ３６ ， 取ｋ ＝ ２，３就得到满足－ ７２０°≤θ ＜ ０°的角， 即－ １ １９０° ＋ ２ × ３６０° ＝ － ４７０°，－ １ １９０° ＋ ３ × ３６０° ＝ － １１０°． 所以θ为－ ４７０°，－ １１０°． 对点训练２：如图，因为１２０°角与－ １２０° 角的终边关于ｘ轴对称，所以角α的终边与 １２０°角的终边相同， 所以α ＝ ｋ·３６０° ＋ １２０°（ｋ∈Ｚ）． 因为－ ３６０° ＜ α ＜ ３６０°， 所以－ ４３ ＜ ｋ ＜ ２ ３ ，所以ｋ ＝ － １或ｋ ＝ ０， 所以α ＝ － ２４０°或α ＝ １２０°                                                               ． —３９２—