重难点专题03 立体几何中的动态、轨迹问题(6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

重难点专题02 立体几何中的动态、轨迹问题 【题型归纳目录】 题型一：由动点保持平行求轨迹 题型二：由动点保持垂直求轨迹 题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹 题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹 题型五：投影求轨迹 题型六：翻折与动点求轨迹 【方法技巧与总结】 “动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、面等元素，为传统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，立体几何题变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化。 立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法 2、交轨法 3、几何法 4、坐标法 5、向量法 【典型例题】 题型一：由动点保持平行求轨迹 【例1】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式1-1】在棱长为4的正方体中，棱上的点满足，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．4 【变式1-2】如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 题型二：由动点保持垂直求轨迹 【例2】如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（    ）. A． B． C． D． 题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹 【例3】已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且，，，，五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（   ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）    A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B．保持与垂直时，点的轨迹长度为 C．若保持，则的轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为直角梯形 题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹 【例4】在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ．    【变式4-2】（多选题）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 题型五：投影求轨迹 【例5】在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是 A．线段为定长 B． C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧 【变式5-1】如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率． 【变式5-2】如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为 . 题型六：翻折与动点求轨迹 【例6】如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【变式6-1】如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（    ） A．椭圆的一段 B．抛物线的一段 C．双曲线的一段 D．一段圆弧 【变式6-2】在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是　　 A．线段为定长 B． C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧 【变式6-3】如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .    【过关测试】 1．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（    ） A．在正方形内一定存在一点，使得 B．在正方形内一定存在一点，使得 C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面 D．在正方形内一定存在一点，使得平面 2．在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 3．如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（    ） A．4 B． C． D． 6．若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   7．已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（   ） A．π B． C． D．2 9．，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .    10．如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    11．如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是 . 12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝ 时，D1E⊥平面AB1F． 13．如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 14．正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ． 15．如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ． 16．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 ，三棱锥体积最大值为 . 17．在三棱锥中，已知与均是边长为4的正三角形，，为侧棱的中点，为三棱锥的外接球表面上一动点，若异面直线，始终保持垂直，则动点的轨迹围成图形的周长为 ． 18．关于正方体有如下四个说法，则下列说法正确的有 ． （1）若点P在直线上运动，则三棱锥的体积不变 （2）若点P是平面上到点D和距离相等的点，则P点的轨迹是直线． （3）若点P在线段（含端点）上运动，则直线与所成角的范围为． （4）若点P在线段（含端点）上运动，则直线与可以垂直 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题03 立体几何中的动态、轨迹问题 【题型归纳目录】 题型一：由动点保持平行求轨迹 题型二：由动点保持垂直求轨迹 题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹 题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹 题型五：投影求轨迹 题型六：翻折与动点求轨迹 【方法技巧与总结】 “动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、面等元素，为传统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，立体几何题变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化。 立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法 2、交轨法 3、几何法 4、坐标法 5、向量法 【典型例题】 题型一：由动点保持平行求轨迹 【例1】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 【变式1-1】在棱长为4的正方体中，棱上的点满足，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】取的中点，的中点，连接， 在正方体中，明显有， 又面，面，面，面， 所以面，面， 又面，， 所以面面， 当在线段上运动时，有平面， 即点在侧面上的轨迹为线段， 又， 故点在侧面上的轨迹长度为. 故选：A. 【变式1-2】如图，在四面体中，是中点，是中点.在线段上存在一点，使得平面，则的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【解析】如图所示，   取MD中点O，连接OP，OQ，∵为MD中点，为中点，∴. 又∵平面，平面，∴平面. 又平面，，平面，平面，∴平面平面. 又平面，平面，平面平面，平面平面， ∴，∴在中，. 故选：C. 题型二：由动点保持垂直求轨迹 【例2】如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故， 现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 【变式2-1】如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，作，交于点， 是的中点，， 平面，平面，， ，平面， 平面，又平面， ，又，，平面， 平面， 设平面与上底面交于，，点的轨迹为； ，，是母线中点， ， ， . 故选：C. 【变式2-2】如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为． 故选：A． 【变式2-3】在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结， 则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹 【例3】已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且，，，，五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，， 依题意，可知，， 则，，， 解得，，由于，即异面直线和的距离为， 由于长方体的左右侧面为正方形， ∴，取中点，连接，则左侧面，在左侧面， ∴，又，，平面， 故平面，四面体的外接球半径为，球心为， 由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为，过，，作球的一个轴截面， ∴，且，，且， 解得，， ∴的轨迹长度为. 故选：C. 【变式3-1】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面， 在中，， 过做垂足为，则， 即，所以， 因为， ， 在中，， 所以，则， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以中，， 过作，， 即，可得， 则过作，因为是中点，所以， 所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆， 则点的轨迹长度为. 故选：A. 【变式3-2】已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示， 由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长. 因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且， ，即，解得. ∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为. 故选：C. 【变式3-3】如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（   ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）    A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B．保持与垂直时，点的轨迹长度为 C．若保持，则的轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为直角梯形 【答案】B 【解析】对于A，将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形， 连接，则，故A错误； 对于B，如图：   平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，，平面，所以平面． 所以过点作交于，过作交于， 由，可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面，则平面平面． 设平面交平面于，则的运动轨迹为线段， 由点在棱上，且，可得， 连接，则，所以，又，所以， 所以，故B正确； 对于C，如图： 若，则在以为球心，为半径的球面上， 过点作平面，则， 此时． 所以点在以为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为． 点的运动轨迹长度，故C错误； 对于D，如图： 延长交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为． ，所以， ，所以， 所以，所以且， 所以截面为梯形，， 所以截面为等腰梯形，故D不正确． 故选：B． 题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹 【例4】在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 故选：A 【变式4-1】如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ．    【答案】/ 【解析】如图，连接，因为M，N分别为的中点， 所以，（三角形中位线定理的应用） 因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角， 在正方体中，可得， 因为平面，平面，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，且平面，所以平面，故． 设与平面的交点为G，连接PG， 所以，因此在中，， 因为，所以， 又三棱锥 ， 所以，则， 所以点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，其面积． 故答案为：. 【变式4-2】（多选题）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对A：当P在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故A正确； 对B：如图： 取中点，连接，则. 当P在线段AC上运动时，因为，且， 所以为异面直线与所成角. 当与重合时，异面直线与所成角为. 当与不重合时，因为,，所以，所以，所以异面直线与所成角的范围为，故B正确； 对C：如图： 根据正方体的结构特点，平面，为中点， 因为，所以点轨迹是过点且平行于平面的平面，即为平面，其中分别为所在棱上的中点. 故当P在底面ABCD上运动，且满足时，P点的运动轨迹为线段. 其中分别为，中点.易知六边形为正六边形， 所以当与重合时，， 此时为点到直线的垂线段，取得最小值，为，故C错误； 对D：如图： 当直线与平面ABCD所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）. 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确. 故选：ABD 题型五：投影求轨迹 【例5】在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是 A．线段为定长 B． C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧 【答案】B 【解析】如图所示， 对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确； 对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确； 对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确； 故选B． 【变式5-1】如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率． 【答案】/ 【解析】连接, 因为， 所以, 所以, 在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即， 如图，椭圆的长轴长是，过点向作垂线，垂足为， 由题意得， 因为，所以， 所以，得， 所以椭圆的离心率为， 故答案为： 【变式5-2】如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为 . 【答案】 【解析】 因为翻折前后长度不变，所以点可以在空间中看做以为球心，AC为直径的球面上，又因为的投影始终在上，所以点所在的面垂直于底面， 故点轨迹为垂直于底面ABC的竖直面去截球所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为时，的长度（由余弦定理可得，所以此时）， 如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系， 得点，点， 设点，翻折后点的投影在轴上， 所以点纵坐标为0，即由，， 根据空间两点之间距离公式可得轨迹：， 又因为动点要符合空间面翻折结论：， 即，其中， 又动点N在线段AB上动，设， 故， 且，由，可计算得横坐标范围为， 且点在上方，由，计算可得圆弧所在扇形圆心角为， 所以弧长为. 故答案为：. 题型六：翻折与动点求轨迹 【例6】如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解析】对于①：由，，为边的中点知且， 易知，，而，平面， 故平面，又平面，所以平面平面，故①正确； 对于②：若是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且，即为平行四边形， 故，所以与的夹角为或其补角， 若为中点，即，由①分析易知， 故与的夹角为，故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当平面时，最大， 此时，故③错误； 对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同， 由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点， 故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的轨迹长度为，故④正确. 故选：C. 【变式6-1】如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（    ） A．椭圆的一段 B．抛物线的一段 C．双曲线的一段 D．一段圆弧 【答案】D 【解析】在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1， 所以当四边形确定时， 和三边长度均为定值， 当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接， 由于在翻折过程中，， 所以由中位线定理可得为定值， 所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分. 故选：D 【变式6-2】在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是　　 A．线段为定长 B． C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧 【答案】B 【解析】如图所示， 对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确； 对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确； 对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确； 故选B． 【变式6-3】如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为 ，的中点的轨迹长度为 .    【答案】 【解析】第一空：过作交于， 易知当平面时，点到平面距离取得最大值， 因为在中，，，， 所以，； 第二空，取的中点，连接， 则，又， 则平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点F的轨迹与点的轨迹形状完全相同. 过作的垂线，垂足为， 则的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧， 从而PD的中点F的轨迹长度为. 故答案为：；. 【过关测试】 1．在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（    ） A．在正方形内一定存在一点，使得 B．在正方形内一定存在一点，使得 C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面 D．在正方形内一定存在一点，使得平面 【答案】A 【解析】对于选项A，连接、交于点P，连接、交于点Q，连接、， 因为是的中位线，所以，故A项正确； 对于选项B，在正方形内如果存在一点Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的两侧，与平面相交，故B项错误； 对于选项C，在正方形内如果存在一点Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面与平面相交于点，故C项错误； 对于选项D，在正方形内如果存在一点Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的两侧，所以平面与平面相交，故D项错误． 故选：A 2．在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】取的中点，连接,连接相交于点，连接     由为的中点，是的中点，所以 平面,平面,所以平面 当也为的中点时，即,也即时， 由为中点，则 由平面,平面,所以平面 又，所以平面平面 又平面，所以平面. 即在棱上存在一点，当时，平面. 故选：B 3．如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图设立空间坐标系，由题意可知： ， ，设， 则 ， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，得， 又，PE平面， 所以，解得，所以， 故 ， 所以. 故选：C. 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面CC1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在线段BB1上取一点H，使B1H=，则有DH⊥AB1，又平面,故，故AB1⊥平面C1DF，则F点轨迹为C1H，则的最大值为. 故选：A. 5．已知正四面体的棱长为2，点是的中点，点在正四面体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹周长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，所以，平面，所以平面， 由于点 P 始终保持 PE 垂直于 BC ，且 P 在正四面体表面运动，因此 P 的轨迹为平面 与正四面体表面的交线，即的边界. 为等腰三角形，其中 AD 为底边，长为2，AE 和 DE 为腰，长均为. 因此，三角形 的周长为. 故答案为 ：D . 6．若正四面体的侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成图形可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】设正四面体的棱长为，设等边的中心为点，取的中点， 连接、，则平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，则，， 则点到平面的距离为， 而点到直线的距离为， 根据题意可得， 在平面内，如下图所示： 在平面直角坐标系中，易知点、， 则，所以，直线的方程为， 即，即， 显然，区域（包括边界）的点的坐标均满足，且， 所以，由可得， 即，即点在区域内的轨迹是一条线段， 直线的斜率为， 则动点的轨迹与线段的交点靠近点，D选项合乎题意， 故选：D. 7．已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，正三棱锥，设正的中心为，得 ，又， 点在内部（含边界）运动，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内部（含边界）的弧， 作于，则点的轨迹长度为. 故选：A. 8．正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（   ） A．π B． C． D．2 【答案】D 【解析】取是的中点，是的中点，如下图， 连接，由正方体的性质知，因为平面， 平面，所以， 又因为，所以， 因为P是平面内的一个动点，且P到和的距离相等， 所以点P在线段上， 又因为点M是的中点，满足， 所以在线段上取点，连接，使得， 取的中点，连接，， 此时， ， 所以点P的轨迹为线段，所以. 故选：D. 9．，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .    【答案】 【解析】取中点，连接，设， 则，，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为正方体中面，面， 所以， 因为面，， 所以面， 因为正方体中面，面， 所以， 所以点的轨迹为矩形， 在直角中， 所以矩形面积为. 即点的轨迹所围成图形的面积为. 故答案为： 10．如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为，，，点D是的中点，F是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为 .    【答案】 【解析】取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为正方形，所以，所以， 又因为，且为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以点在线段上运动， 在等腰直角中，由，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，可得线段的长的最大值为. 故答案为：. 11．如图，矩形中，，平面，若在线段上至少存在一个点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】平面，平面， ， 又，， 平面，又平面， ， 所以点是以中点为圆心，以为直径的圆与的交点， ，，在线段上至少存在一个点满足， ． 故答案为：． 12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝ 时，D1E⊥平面AB1F． 【答案】1 【解析】连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影， ∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 于是D1E⊥平面AB1F，又平面AB1F，所以D1E⊥AF． 连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影． ∴D1E⊥AF，，因为，所以平面， 又平面，所以DE⊥AF． ∵ABCD是正方形，E是BC的中点． ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF， 即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F． ∴＝1时，D1E⊥平面AB1F． 故答案为：1. 13．如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 / 【解析】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为. 建系如图，设，则. . 令， . 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. （法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大， 由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大， 则P在点M处时，取得最小值，此时， 则P在点N处时，取得最大值，此时， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 14．正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系， 由题意可知，，，，， 因点是正方形内的动点，可设，， 因 设平面的法向量， 则，令，则， 因平面，则，即， 整理得：. 是正方形内的动点，取，得；取，得， 故点的轨迹长度为． 故答案为：. 15．如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，则动点 的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】如图，连接，由正方体的性质可得，平面， 则平面，又平面，则， 又平面， 则平面，又平面，则， 因为平面，则平面，不妨设垂足为， 则， 又因为，解得，所以动点的轨迹是在平面中， 以正的中心为圆心，为半径的圆弧，如图4，即动点的轨迹为劣弧； 如图5，过作的垂线，垂足为，连接，在中，，， 所以，又因为，所以，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为． 故答案为：. 16．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 ，三棱锥体积最大值为 . 【答案】 / 【解析】取的中点为，连接，如下图所示： 由为的中点，可得，且； 又为边的中点，所以，且， 则，故点的轨迹与点轨迹相同， 因为菱形中，，，为边的中点， 所以，则， 又平面，所以平面， 在翻折过程中，点由的中点翻折到的中点过程中， 的轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 则点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆， 所以点的轨迹是半径为的半圆， 则在平面的射影为的轨迹应为圆的直径， 所以点的轨迹的长度为1； 当时，由于平面， 所以平面，即又因为是定值， 故此时三棱锥体积最大， 在中，易得，， 所以， 故三棱锥体积最大值为. 故答案为：1；. 17．在三棱锥中，已知与均是边长为4的正三角形，，为侧棱的中点，为三棱锥的外接球表面上一动点，若异面直线，始终保持垂直，则动点的轨迹围成图形的周长为 ． 【答案】/ 【解析】如图，取的中点，连接，，， 则，，平面， 所以平面，则， 又，所以，所以． 过作于，设动点的轨迹所在平面为，则平面经过点且， 所以点的轨迹为平面截三棱锥的外接球所得的截面圆． 设，的中心分别为，，连接，，，易知平面，平面， 且，，，四点共面， 由题可得，，所以． 又，则三棱锥的外接球半径． 易知平面平面，点到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径， 所以截面圆的周长，即所求周长为． 故答案为： 18．关于正方体有如下四个说法，则下列说法正确的有 ． （1）若点P在直线上运动，则三棱锥的体积不变 （2）若点P是平面上到点D和距离相等的点，则P点的轨迹是直线． （3）若点P在线段（含端点）上运动，则直线与所成角的范围为． （4）若点P在线段（含端点）上运动，则直线与可以垂直 【答案】（1）（2）（3） 【解析】对于（1），，平面，则到平面的距离相等， 由的面积为定值，点在直线上运动时，三棱锥的体积不变，故（1）正确； 对于（2），若点是平面上到点和距离相等的点， 则点的轨迹是平面与平面的交线，故（2）正确； 对于（3），直线与所成角即为，, 当与重合时，最大，最大值为，故，故（3）错误； 对于（4）， ,故， 故当与重合时，与所成的角为，故（4）正确． 故答案为：（1）（2）（3） 38 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$