重难点专题04 立体几何解答题常考模型归纳总结（9大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

重难点专题04 立体几何解答题常考模型归纳总结 【题型归纳目录】 题型一：非常规空间几何体为载体 题型二：立体几何存在与探索性问题 题型三：立体几何折叠问题 题型四：立体几何作图问题 题型五：立体几何建系繁琐问题 题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 题型七：利用传统方法找几何关系建系 题型八：空间中的点不好求 题型九：数学文化与新定义问题 【方法技巧与总结】 高考立体几何解答题常考模型主要包括柱体、锥体、球体、旋转体、多面体等。这些模型常涉及体积、表面积的计算，截面问题，以及与其他几何体的组合或相交问题。此外，空间位置关系，如平行、垂直的判断与证明，也是常考内容。空间角的计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，同样是高考立体几何的重要考点。最后，空间距离的计算，如点到平面的距离、两平行平面间的距离等，也是解答题中常见的考查点。掌握这些模型的基本性质和解题方法，对于提高高考立体几何的解题能力至关重要。 【典型例题】 题型一：非常规空间几何体为载体 【例1】如图，三棱台中，底面，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【解析】（1）底面底面，. 又，,，. ，平面，平面，平面. 又平面，所以平面平面. （2）以点为原点，为轴，为轴，过点平行于为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则， . 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为. 同理，，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为可得. 所以， 故， 所以二面角的正弦值为. 【变式1-1】如图，已知半圆锥的顶点为，点是半圆弧上三等分点（靠近点），点是弧上的一点，平面平面，且，是中点．    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）由题可得平面，又平面，则. 因，平面，平面，则平面. 又平面，平面平面 ，则. 因点是半圆弧上三等分点，则，又，则. 又，则是等边三角形，得. 又，则，即OD平分. 又，则在等腰三角形AOC中，由三线合一可知. 又平面POD，，则平面. 又平面，则平面平面. （2）取弧中点为N，连接ON. 由（1），又. 则如图建立以O为原点的空间直角坐标系. 取，则，，. 则，. 设平面 法向量为，则. 取，则，即. 又平面的法向量为，则平面与平面夹角的余弦值 . 【变式1-2】如图，已知平面是圆柱的轴截面，底面直径，母线为底面圆心，为底面半圆弧上的动点（不含端点），为母线上的动点（含端点），． (1)请用的三角函数值表示三棱锥的体积，求的取值范围并求的最大值； (2)若三棱锥的体积为，当最小时，求直线与半圆柱底面所成角的大小． 【解析】（1）由题意，又，，所以， 过作于，因为，，面， 所以面， 因为 当时，． （2）由，则， ， 当且仅当，即时取得最小值， 此时，又，所以或， 由圆柱性质，底面，即与圆柱底面所成的角， 有 ①当时， ②当时， 综上，直线与半圆柱底面所成角的大小为或． 题型二：立体几何存在与探索性问题 【例2】如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 (1)证明：平面平面 (2)若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【解析】（1），E是MC的中点，， 平面ABC，平面ABC，， 又，又，平面MAC，平面MAC， 平面MAC， 又平面AEF，， 又，平面MBC，平面MBC， 平面MBC，又平面AEF 平面平面MBC （2）（i） 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面AEB的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点C到平面AEB的距离为； （ii） ， 设，则， ， 设平面NAC的法向量为 则，即， 令。可得， ， 化简得，解得或， 或. 【变式2-1】如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由. 【解析】（1），且， 故四边形是平行四边形，， 又四边形为等腰梯形，， ，可得是等边三角形， 故四边形为菱形，是等边三角形， 为中点，，同理， 又平面， 平面. （2）存在点，使得平面; 设平面与平面夹角为. 平面平面，平面平面平面， 平面，又，建立以为原点，所在的直线为轴的空间直角坐标系，如图所示，   ， 则， 设，则， 设平面的一个法向量，则，即， 令，则， 要使平面，则， 即，解得，故在侧棱上存在点，使得平面， 此时，， 设平面的一个法向量，则，即， 令，则，即， 易得平面的一个法向量， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式2-2】如图，在多面体中，底面为矩形，底面，，且，，． (1)当时，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题易得直线，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，，，，． 设平面的法向量为， 所以即得，取，则， 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （2）设的重心为，则，，，， 所以，，，． 设平面的法向量为， 所以即取，则，，即， 假设在平面内的射影恰好为的重心，则， 所以，无解，故不存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心． 题型三：立体几何折叠问题 【例3】如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，则， 又因为平面，则平面， 因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、，、、、， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【变式3-1】如图，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱． (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面所成的角的大小． 【解析】（1）在正方形中，因为， 所以三棱柱的底面三角形的边， 因为，所以，所以， 因为正方形，， 所以，又，平面 所以平面． 在直角梯形中，， 所以， 即四棱锥的体积为20． （2） ∵平面， ∴以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量， ∴，解得，取，则， 所以， 又平面的一个法向量， ∴， ∴平面与平面所成二面角大小为． 【变式3-2】如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题可知，，，， 又因为，所以． 所以．即， 且，平面，可得平面， 由平面，所以． （2）存在，理由如下： 因为，，，平面， 所以平面，二面角的平面角为， 如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴． 则，，，， 可得，， 设， 则 平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角， 可得，解得， 故位于中点时，满足条件. 题型四：立体几何作图问题 【例4】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，．    (1)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； (2)若四棱锥的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小． 【解析】（1）不能． 在梯形ABCD中，，，，则AD不平行于BC， 直线AD与BC必相交于一点，而平面，则直线与平面有公共点 又平面，因此直线与平面相交， 所以在侧面PBC中不能作AD的平行线. （2）过点B作于H，连接PH， 由平面ABCD，平面ABCD，得，而平面PCD， 则平面PCD，即PH是BP在平面PCD内的射影，是直线BP与平面PCD所成角， 在中，，，则是等边三角形，，， 又，则，即， 在中，，，又四棱锥的体积是， 即，解得， 在中，，因此， 所以直线BP与平面PCD所成角大小是. 【变式4-1】如图，在正三棱柱中，点，分别在，上，，记正三棱柱的体积为. (1)求棱锥的体积（结果用表示）； (2)当时， ①请在图中直接画出平面与平面的交线；（不写过程，保留作图痕迹） ②求证：平面平面. 【解析】（1）因为，则，所以， 设矩形的面积为，则，， 所以四棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 又三棱锥的体积等于，所以棱锥的体积为； （2）①当时，平面，延长、交于点， 连接， 因为，平面，，平面， 所以平面，平面， 又平面，平面， 所以平面与平面的交线为 ②因为，，所以，又为等边三角形， 所以，则，所以， 则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【变式4-2】在四棱锥中，，，，. (1)如图1，在侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； (2)如图2，若平面，证明：平面； (3)在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）不能. 假设在侧面内存在直线与平行，可得与侧面平行. 依据线面平行性质定理，可得与平行，这与已知条件矛盾. （2）在底面中，， 所以，又，， 由余弦定理得，所以，得 因为平面平面，所以． 又，平面，所以平面. （3）过点作直线垂直平面， 以为原点，分别为x，y轴正方向，为轴，向上为正方向建立空间直角坐标系. 则， 因为为棱上的点，设， 取， 设平面的法向量为，则， 令得，则平面BDE的一个法向量为， 因为平面，所以为平面的法向量， 因为二面角的大小为， 所以，得. 则， 设直线BE与PC所成角为， 则， 所以异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 题型五：立体几何建系繁琐问题 【例5】（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： (1)证明：平面； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）直角梯形中， 由相似可得， 因为，，可得，， 故可得，， 由，则由勾股定理逆定理得，，即， ， 翻折后可得，，， 又因为，在平面内， 故平面 （2）因为点为边的中点， 所以，又， 所以， 因为平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h， 因为为定值， 当h最大时，三棱锥的体积最大， 而，则， 当h=1时，. （3）由（2）得，当三棱锥的体积最大时， 点P到平面ABC的距离为，即平面． 故，， 又因为， 故，，两两垂直． 故可以为原点， 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题可得，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式5-1】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在四棱台中，为的中点，. (1)证明：平面； (2)若平面平面，，当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值. 【解析】（1）由棱台定义，可得的延长线必定交于一点， 在中，因为，所以为的中位线，所以. 又因为，则，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 因为平面，且平面，所以平面. （2）由平面平面，过点作， 因为平面平面，平面， 所以平面，即为四棱锥的高， 由，则在直角中，， 当且仅当时成立， 此时点与重合，此时，四棱锥取最大值. 如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以与平面夹角的正弦值为. . 【变式5-2】（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得为的中点,连接,构成三棱锥. (1)证明:; (2)当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角. 【解析】（1）因为平面平面ABC， 所以,又平面, 所以平面,又平面, 所以. （2）因为且, 所以当且仅当取等，此时点的位置刚好在半圆弧的中点. 因为两两垂直,如图,以点为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量，则令，则. 由(1)知平面，所以是平面的一个法向量，故 所以平面与平面所成角的余弦值为，所以平面与平面的夹角为. 题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【例6】（2024·河南·模拟预测）如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接． （1）证明:平面平面; （2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】解:（1）证明:因为是等边三角形,, 所以,可得． 因为点是的中点,则,, 因为,平面PBD,平面, 所以平面,因为平面, 所以平面平面． （2）如图,作,垂足为连接． 因为, 所以为二面角A-BD-C的平面角． 由已知二面角为,知． 在等腰三角形中,由余弦定理可得． 因为是等边三角形,则,所以． 在中,有,得, 因为,所以． 又,所以． 则,． 以为坐标原点,以向量的方向分别为轴,轴的正方向, 以过点垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系, 则,,向量, 平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为, 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式6-1】（2024·广西桂林·二模）如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是，的中点，，，且二面角的大小为. (1) 求证：； (2) 求二面角的余弦值. 【解析】（1）证明：作于点连接， ∵，，， ∴，∴， 即，，又， ∴平面，又平面， ∴. （2）∵二面角的大小为， ∴平面平面，平面平面，，∴平面. 以点为原点，,,所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， ∵, ∴. ∴，即. ∴，，，. ∴,， 设平面的法向量， 由，得 令，得. 易知为平面的一个法向量. 设二面角为，为锐角，则. 【变式6-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）当直线与平面所成的角为30°时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【解析】（1）过点作，垂足为，连结，. 在中，由，得，. 在中，由余弦定理得， 即，又，所以，即. 又，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）由（1）知，为直线与底面所成角，则，所以. 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，， 由于，所以. 设平面的法向量为，则，即，解得， 令得. 显然平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面所成二面角的余弦值为. 题型七：利用传统方法找几何关系建系 【例7】如图，在三棱锥中，平面，且. (1)求. (2)若的面积为，且，证明：平面. (3)过点作底面的垂线，垂足在的内部，且分别为，的中点，平面与平面所成的角为，求. 【解析】（1）因为平面，且平面， 所以， 所以. （2）因为， 所以，因为，所以， 由余弦定理得，所以. 注意到，因此. 且（1）中，因为， 所以平面. （3）连接，依题意可得平面，则与均垂直. 因为，所以. 设，由余弦定理计算得， 则， 则 由余弦定理得， 由（2）知，，则两两垂直. 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为，则 令，得. 易知平面的一个法向量为， 则. 【变式7-1】（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【解析】（1）因为，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，因为， 所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 在四边形中，因为，，，， 所以，所以， 因为，所以， 所以，，，，，，， ，， 设，则， 设为平面的法向量， 则，即，故取， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 两边同时平方得 所以，解得，或（舍去）， 所以，所以. 【变式7-2】斜三棱柱ABC－A1B1C1上，侧面AA1C1C⊥平面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，A1C＝AC＝BC＝，AB＝2，D为BB1的中点． (1)求二面角C－A1D－C1的余弦值； (2)记△ABC的外接圆上有一动点P，若二面角P－AA1－C与二面角C－A1D－C1相等，求AP的长． 【解析】（1）取的中点为，连接， 在菱形中，，则， 在三棱柱中，，故， 平面平面，平面平面，平面， 由，，，即，则， 以为原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，， 故的中点， 在平面内，取，， 设平面的法向量为，则，即，化简得， 令，则，故平面的一个法向量， 在平面内，取，， 设平面的法向量为，则，即，化简得， 令，则，故平面的一个法向量， . 由图可知，钝二面角的余弦值为. （2）由题意，取的中点，连接，延长与轴交于， 连接，在等边中，易知， 平面，平面，， ，且，平面，平面， 平面，， 故为二面角平面角的补角， 由二面角的余弦值为，可得二面角的余弦值为， 故，在中，， 在平面内，直线的方程为， 在的外接圆中，易知圆心为，则弦心距， 根据弦长公式，可得， 故此时 题型八：空间中的点不好求 【例8】如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则. 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，. 【变式8-1】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为D． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解法一：在三棱柱中，连接， ∵为等边三角形，D为中点，∴， ∵在平面内的射影为D，∴平面， ∵平面，∴， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵D，E分别为，中点，∴，∴， ∵，，平面，∴平面． 解法二：在三棱柱中，连接， ∵为等边三角形，D为中点，∴， ∵在平面内的射影为D，∴平面， ∵平面，∴，故直线，，两两垂直， 以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，． 设平面的一个法向量为，则， 令，得， ∴，即，∴平面． （2）由（1）知，直线，，两两垂直， 以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，． 设在棱存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为， 设，即， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 解得或（舍）． 故当点F为棱的中点时，平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：设在棱存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为， 设，即， 则， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 解得或（舍）． 故当点F为棱的中点时，平面与平面夹角的余弦值为． 【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，点为的中点，且. (1)求； (2)平面与线段、、分别交于、、三点，且，. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）是否存在，使得为直角三角形? 若存在，求；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由底面，、平面， 故、，又底面是矩形，故， 故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则、、、 则、， 由，则， 解得，即； （2）由，则、、， ， 则，，， 则， ，， （i）当时，，， 设平面的法向量为， 则有 ，则可取， 又，则， 则直线与平面所成角的正弦值为； （ii）若为直角，则有， 解得或，由，故无解； 若为直角，则有， 即，解得或，由，故； 若为直角， 则有 ，因，故无解. 综上所述：. 题型九：数学文化与新定义问题 【例9】在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）由直线的点方向式方程为可知直线的一个方向向量坐标为 由平面的一般式方程为可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为． （2）由平面可知平面的一个法向量为， 由平面可知平面的一个法向量为， 设两平面交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 因为，即，且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为 则，令，解得，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，令，则，，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得， 即， 故平面与平面夹角的余弦值为 ． 【变式9-1】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【解析】（1）根据离散曲率的定义得， ， 又因为 所以． （2）∵平面平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面 ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴， 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， 所以， 解得：或（舍） 故. 【变式9-2】空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”． (1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标； (2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】（1）由题可知，，则（提示：斜坐标的本质是将空间中的向量用基底表示后的系数）， 由题可知，，． 平面， 即 则，， 则的斜坐标为． （2）由题可得，， 设平面的法向量为（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求得法向量）， 由 得 即 取，可得，， 即． 则． 由（1）可知平面， 且， 则， ， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 【过关测试】 1．如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. (1)证明：平面； (2)若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 【解析】（1）由三棱台知，平面， 因为平面，且平面平面， 所以， 因为，所以，又，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，以为原点，为轴，为轴， 过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为， 则 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得平面的一个法向量， 易得平面的一个法向量， 设与平面夹角为， ， 所以 由，得， 由（1）知，所以， 解得，所以三棱台的体积. 2．如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点. (1)求证：平面平面； (2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【解析】（1）过作交弧上一点，连结，如图所示： 则为弧的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，所以. 由题意可知，，为等腰直角三角形，则； 因为为弧的中点，所以, 则为等腰直角三角形，则， 所以，则, 因为，则，又， 又因为、面， 所以平面，因为面， 所以平面平面. （2）由题意知，两两垂直，所以为坐标原点， 以分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 设，又， 则，，，，， ，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，， 设平面与平面的夹角为 ，解得（负舍）， 所以，，， 则， 所以点到直线的距离为. 3．图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接交于，在等腰梯形，，，易得， 因为是中点，所以，易知是菱形，即， 因为，平面， 所以平面，平面，所以 （2）由（1）可知，在菱形中，，因为，所以， 建立以为坐标原点，，为轴、轴、轴的坐标系，如图所示， ，，， （i），，，，， 设为平面的法向量，则，令，可得，即 设为平面的法向量，则，令，可得，即， ，二面角的平面角为，即 （ii）设，，，即 由（i）可知为平面的法向量，到平面的距离为， 即为中点，可得， 易知，，所以，， 设平面的法向量， 令，则，，则， 设直线与平面所成角为， 直线与平面所成角的正弦值 4．如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. (1)若O是CD的中点，证明:； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 【解析】（1）连接， 因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为四边形ABCD是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，所以. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则，可得， 所以二面角的正弦值为. （3）由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点Q，点Q为PC的中点. 5．如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. (1)求证：，，，四点共面： (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）取，的中点分别为，，连接，， 取，的中点分别为，，连接，，， 由题意知，都是等边三角形， 所以，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因为，的中点分别为，，所以 所以，所以， 所以，又因为， 所以， 因为，的中点分别为，， 所以， 所以，所以，，，四点共面； （2）连接，，且延长交于点，由题意知，， 所以，同理， 所以就是二面角的平面角， 设，则，，， 所以，同理， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 6．如图1，在直角梯形中，，，，，，过点作于点，将沿折叠至处（如图2），使得平面平面，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【解析】（1）证明：连接，交于点，连接． ，， ． ，， 四边形是矩形，为的中点， 又为的中点，， 又平面，平面， 平面， （2）平面平面，平面平面，， 平面，平面， 又平面，， 两两垂直， 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ，，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，， ， 平面与平面夹角的正弦值为. 7．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）如图， 在上取点，使，连接，， 因为，所以， 所以，且， 又在正方形中，， 所以，， 又在三棱台中，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）延长和交于一点，连接，如图， 则直线即为平面与平面的交线. （ii）由平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又，所以，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， ， 又因为，，所以在中，， 所以， ， 取直线的方向向量为， 设平面的法向量为， 由得，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 【解析】（1）时，为的四等分点（靠近）， 取中点为，取的四等分点（靠近）为，连接. 分别为的中点， ，且， 分别为的四等分点（靠近）， ，且， ，且，则四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面 （2）如图，平面中，与不平行，故与一定相交，设与交于点，连接，则点既在平面上，又在平面上，则为平面与平面的交线. （3）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，设与交于点, 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，，又，， 平面，又平面，， 又，，平面，又平面，. 所以为平面与平面所成的二面角. 假设存在满足条件的，即， 由已知可求得，所以， 所以，又， ，所以， 所以，， ， ， ，故， 由得， 又，所以，解得， 即存在使得平面与平面所成二面角的余弦值为. 9．在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且． (1)求证：平面； (2)求四棱台的高； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1）取的中点，连接， 则是梯形的中位线， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形AEFG是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）分别取的中点，如图所示： 因为侧面为等腰梯形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，所以底面， 因为，所以，平面， 所以平面，平面， 所以，即， 且，所以为与BC的距离， 所以，解得． 所以四棱台的高为2． （3）以OA，OB，所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则； 所以 所以； 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 10．如图，平面平面，四边形是正方形，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 11．如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 【解析】（1）过作，取中点为，连接, 由于，故四边形为等腰梯形， 故, 由于为等边三角形，故, 平面, 故平面, 平面,故 （2）若平面平面，且两平面的交线为,, 平面， 故平面, 建立如图所示的空间直角坐标系， ,故, , 则， 故, 故 故直线与直线所成角的余弦值为 （3）设到平面的距离为，则，且在底面的投影分别为， 由于,故为， 则为钝角时，此时在三角形的外部， ， ， 故， 当为锐角时，此时在三角形的内部， ， ， 故， 为直角时，也符合， 故， 设是（上半圆，不包括端点）上的任意一点， 则可看作是半圆上一点到的斜率， 根据图可知：当直线与半圆相切时，此时直线的斜率最小为, 因此到的斜率的取值为， 因此 12．如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 【解析】（1）因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． （2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量， 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量． 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以． （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，． ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD的一个法向量， 设EG与平面MAD所成角为，则 因为，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为． 13．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）如图，在平面ABC内过点作直线， ∵平面，平面，∴，， ∴以为坐标原点，分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∵为的中点，∴， ∴，，， ∴，即， 又∵平面，平面，， ∴平面. （2）设，即 则， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 令， 当时，取最小值，即， 即当时，取得最大值，， 14．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 【解析】（1）如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接， 即为斜线与平面所成角， 即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角， ，，， 又，，，平面， 平面， 平面，， 根据几何关系可得，， ． （2）取中点为，连接，，，，易知， ，． 又，，，平面，平面， 平面， 平面平面， 直线在平面上的射影必在交线上， 直线与底面所成角为， ，， 由三余弦定理得，得， ， 即直线与底面所成角的正弦值为． （3）证明：设，，，，，，直线与底面所成角为，直线在底面投影与AB夹角为，在底面投影与AC夹角． 由平行六面体的对称性，不妨令，， 由三余弦定理， 则. 由题意得， ， ， ， 由，可得： 则 ， 当且仅当且时等号成立． 15．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 【解析】（1）根据离散曲率的定义得， ，， ， 所以 （2）①因为平面，平面， 所以，且，，平面, 所以平面，平面, 所以， 所以， 所以，所以， 如图，将三棱锥补成正方体， 因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角， 而是等边三角形，所以，， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 依题意可得，，，， 所以,， 设，，， 在中，， 又，所以， 所以， 所以， 解得：或（舍） 故. 63 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题04 立体几何解答题常考模型归纳总结 【题型归纳目录】 题型一：非常规空间几何体为载体 题型二：立体几何存在与探索性问题 题型三：立体几何折叠问题 题型四：立体几何作图问题 题型五：立体几何建系繁琐问题 题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 题型七：利用传统方法找几何关系建系 题型八：空间中的点不好求 题型九：数学文化与新定义问题 【方法技巧与总结】 高考立体几何解答题常考模型主要包括柱体、锥体、球体、旋转体、多面体等。这些模型常涉及体积、表面积的计算，截面问题，以及与其他几何体的组合或相交问题。此外，空间位置关系，如平行、垂直的判断与证明，也是常考内容。空间角的计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，同样是高考立体几何的重要考点。最后，空间距离的计算，如点到平面的距离、两平行平面间的距离等，也是解答题中常见的考查点。掌握这些模型的基本性质和解题方法，对于提高高考立体几何的解题能力至关重要。 【典型例题】 题型一：非常规空间几何体为载体 【例1】如图，三棱台中，底面，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值. 【变式1-1】如图，已知半圆锥的顶点为，点是半圆弧上三等分点（靠近点），点是弧上的一点，平面平面，且，是中点．    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式1-2】如图，已知平面是圆柱的轴截面，底面直径，母线为底面圆心，为底面半圆弧上的动点（不含端点），为母线上的动点（含端点），． (1)请用的三角函数值表示三棱锥的体积，求的取值范围并求的最大值； (2)若三棱锥的体积为，当最小时，求直线与半圆柱底面所成角的大小． 题型二：立体几何存在与探索性问题 【例2】如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 (1)证明：平面平面 (2)若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【变式2-1】如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.    (1)求证：平面； (2)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由. 【变式2-2】如图，在多面体中，底面为矩形，底面，，且，，． (1)当时，求直线与平面所成角的正弦值． (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 题型三：立体几何折叠问题 【例3】如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式3-1】如图，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱． (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面所成的角的大小． 【变式3-2】如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型四：立体几何作图问题 【例4】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，．    (1)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； (2)若四棱锥的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小． 【变式4-1】如图，在正三棱柱中，点，分别在，上，，记正三棱柱的体积为. (1)求棱锥的体积（结果用表示）； (2)当时， ①请在图中直接画出平面与平面的交线；（不写过程，保留作图痕迹） ②求证：平面平面. 【变式4-2】在四棱锥中，，，，. (1)如图1，在侧面内能否作一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由； (2)如图2，若平面，证明：平面； (3)在（2）的条件下，E为棱上的点，二面角的大小为，求异面直线与所成角的余弦值. 题型五：立体几何建系繁琐问题 【例5】（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形，，，，为对角线与的交点．现以为折痕把折起，使点到达点的位置，点为的中点，如图所示： (1)证明：平面； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式5-1】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在四棱台中，为的中点，. (1)证明：平面； (2)若平面平面，，当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值. 【变式5-2】（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得为的中点,连接,构成三棱锥. (1)证明:; (2)当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角. 题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【例6】（2024·河南·模拟预测）如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接． （1）证明:平面平面; （2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值． 【变式6-1】（2024·广西桂林·二模）如图，四棱锥中，底面为边长是2的正方形，，分别是，的中点，，，且二面角的大小为. (1) 求证：； (2) 求二面角的余弦值. 【变式6-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面平面； （2）当直线与平面所成的角为30°时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 题型七：利用传统方法找几何关系建系 【例7】如图，在三棱锥中，平面，且. (1)求. (2)若的面积为，且，证明：平面. (3)过点作底面的垂线，垂足在的内部，且分别为，的中点，平面与平面所成的角为，求. 【变式7-1】（2024·江苏南京·二模）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.    (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【变式7-2】斜三棱柱ABC－A1B1C1上，侧面AA1C1C⊥平面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，A1C＝AC＝BC＝，AB＝2，D为BB1的中点． (1)求二面角C－A1D－C1的余弦值； (2)记△ABC的外接圆上有一动点P，若二面角P－AA1－C与二面角C－A1D－C1相等，求AP的长． 题型八：空间中的点不好求 【例8】如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为D． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点F，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，点为的中点，且. (1)求； (2)平面与线段、、分别交于、、三点，且，. （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）是否存在，使得为直角三角形? 若存在，求；若不存在，说明理由. 题型九：数学文化与新定义问题 【例9】在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为； 过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式9-1】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面…平面和平面为多面体M的所有以P为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若PA⊥平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度 【变式9-2】空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”． (1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标； (2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【过关测试】 1．如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. (1)证明：平面； (2)若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 2．如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点. (1)求证：平面平面； (2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离. 3．图1是等腰梯形，，，是中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，如图2.    (1)求证：； (2)若 （i）求二面角的平面角的正弦值； （ii）在棱上存在点，使得到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 4．如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. (1)若O是CD的中点，证明:； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 5．如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接. (1)求证：，，，四点共面： (2)求平面与平面所成角的余弦值. 6．如图1，在直角梯形中，，，，，，过点作于点，将沿折叠至处（如图2），使得平面平面，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 7．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 8．如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 9．在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且． (1)求证：平面； (2)求四棱台的高； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 10．如图，平面平面，四边形是正方形，． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 11．如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 12．如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 13．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 14．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 15．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． ①求直线与直线所成角的余弦值； ②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$