专题9.3 轴对称（5大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.3 轴对称（5大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合。 【知识点2】两个图形成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合. 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换. 轴对称图形与轴对称的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。 【知识点3】轴对称的有关概念与性质 1. 对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角. 2. 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 成轴对称的三个条件 （1） 找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 【知识点4】画对称轴 1. 画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2. 画对称轴的步骤： （1） 找：找到任意一对对应点； （2） 连：连接这对对应点； （3） 画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 【知识点5】画已知图形的轴对称图形 1. 方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 2. 步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找二画三连” （1）找：在原图形上找特殊点； （2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连：依次连接各对称点. 考点与题型目录 【考点一】轴对称图形的识别与性质的理解 【题型1】轴对称图形的识别.....................................................3 【题型2】成轴对称的两个图形的识别.............................................3 【题型3】轴对称图形性质的理解.................................................4 【考点二】根据成轴对称图形的特征进行求解 【题型4】根据成轴对称图形的特征进行求解.......................................5 【题型5】根据成轴对称图形的特征进行证明.......................................5 【题型6】根据成轴对称图形的特征解决折叠问题...................................6 【题型7】根据成轴对称图形的特征求最值.........................................7 【考点三】轴对称图形性质生产生活中的运用 【题型8】台球桌面上的轴对称问题...............................................9 【题型9】轴对称中的光线反射问题..............................................10 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接...........................................................11 【题型11】拓展延伸...........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】轴对称图形的识别与性质的理解 【题型1】轴对称图形的识别 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期末）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【题型2】成轴对称的两个图形的识别 【例2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·开学考试）观察下图，其中不成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】轴对称图形性质的理解 【例3】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点______，的对应边是______； （2）若，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 【变式2】（20-21七年级上·上海浦东新·期末）如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 【考点二】根据成轴对称图形的特征进行求解 【题型4】根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点、分别在边、上，且点、关于直线对称，连接．若，，且的周长为24．求的周长． 【变式1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，是的边上的高，且，点关于直线的对称点恰好落在的中点处，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【题型5】根据成轴对称图形的特征进行证明 【例5】（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称． （1）线段AD的对称线段是________，CD＝________，∠CBA＝________，∠ADC＝________． （2）AE与BF平行吗？为什么？ （3）若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？ 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（A、P、不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分、 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【变式2】（24-25八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线上，点N在射线上，当的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【题型6】根据成轴对称图形的特征解决折叠问题 【例6】（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． （1）求的度数； （2）求的值． 【变式1】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得C，D两点落在的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知长方形纸片中，点E，H在边上（点E在点H左侧），点F，G在边上（点F在点G左侧），现将点A，B，C，D分别沿、折叠至如图的点N，M，P，K处．若，且，则的度数为 ． 【题型7】根据成轴对称图形的特征求最值 【例7】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【考点三】轴对称图形性质生产生活中的运用 【题型8】台球桌面上的轴对称问题 【例8】（19-20八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q． （1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； （2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【变式1】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【题型9】轴对称中的光线反射问题 【例9】（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【变式1】（2024·河南商丘·二模）如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接 【例1】（2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（    ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【例2】（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 【题型11】拓展延伸 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.3 轴对称（5大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合。 【知识点2】两个图形成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴. 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合. 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换. 轴对称图形与轴对称的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。 【知识点3】轴对称的有关概念与性质 1. 对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角. 2. 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 成轴对称的三个条件 （1） 找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称. 【知识点4】画对称轴 1. 画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2. 画对称轴的步骤： （1） 找：找到任意一对对应点； （2） 连：连接这对对应点； （3） 画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 【知识点5】画已知图形的轴对称图形 1. 方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 2. 步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找二画三连” （1）找：在原图形上找特殊点； （2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连：依次连接各对称点. 考点与题型目录 【考点一】轴对称图形的识别与性质的理解 【题型1】轴对称图形的识别.....................................................3 【题型2】成轴对称的两个图形的识别.............................................4 【题型3】轴对称图形性质的理解.................................................5 【考点二】根据成轴对称图形的特征进行求解 【题型4】根据成轴对称图形的特征进行求解.......................................7 【题型5】根据成轴对称图形的特征进行证明.......................................9 【题型6】根据成轴对称图形的特征解决折叠问题..................................11 【题型7】根据成轴对称图形的特征求最值........................................14 【考点三】轴对称图形性质生产生活中的运用 【题型8】台球桌面上的轴对称问题..............................................19 【题型9】轴对称中的光线反射问题..............................................21 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接...........................................................23 【题型11】拓展延伸...........................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】轴对称图形的识别与性质的理解 【题型1】轴对称图形的识别 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的定义，熟记轴对称的定义是解本题的关键． 根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 解：选项中B，C，D均有对称轴，为轴对称图形， A不是轴对称图形， 故选：A 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期末）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【题型2】成轴对称的两个图形的识别 【例2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·开学考试）观察下图，其中不成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的轴对称，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，据此判断即可 解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； B、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； C、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，符合题意； D、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【题型3】轴对称图形性质的理解 【例3】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． （1）图中点的对应点是点______，的对应边是______； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算． （1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可． （2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题． 解：（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 【变式2】（20-21七年级上·上海浦东新·期末）如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 【答案】72 【分析】此题考查了折叠的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据折叠的性质得到，然后根据平角的概念求解即可． 解：把沿直线翻折后得到， ， ， ． 故答案为：72． 【考点二】根据成轴对称图形的特征进行求解 【题型4】根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点、分别在边、上，且点、关于直线对称，连接．若，，且的周长为24．求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据的周长为24，可得，再由，可求出，得出，再根据对称性可得，即可得出的周长． 解：的周长为24， ， ，， ， 解得：， ，， 点、关于直线对称， ， 的周长． 【变式1】（24-25八年级上·新疆伊犁·期末）如图，是的边上的高，且，点关于直线的对称点恰好落在的中点处，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据轴对称的性质，得到，由线段中点得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在的中点处， ∴，， ∴的周长为； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质得到，，据此求解即可． 解：∵点关于的对称点分别为、， ∴，， ∵的周长是， ∴， 故答案为：． 【题型5】根据成轴对称图形的特征进行证明 【例5】（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称． （1）线段AD的对称线段是________，CD＝________，∠CBA＝________，∠ADC＝________． （2）AE与BF平行吗？为什么？ （3）若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？ 【答案】（1）EH，GH，∠GFE，∠EHG；（2），原因见分析；（3）不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线 【分析】（1）根据对称的性质解答即可； （2）对称图形的每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，据此求解； （3）根据平面内两条直线的位置关系可回答． 解：（1）解：由对称的性质可知：线段AD的对称线段是EH，CD＝GH，，． 故答案为：EH，GH，∠GFE，∠EHG； （2）解：． 理由：因为每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分， 即，， 所以； （3）解：由，不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线． 【点拨】本题考查的是轴对称图形的性质，掌握其性质是解决此题关键． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（A、P、不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分、 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确， 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D错误， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线上，点N在射线上，当的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 【分析】本题主要考查了复杂作图-无刻度直尺作图、轴对称最短问题等知识点，学会利用轴对称解决最短问题是解题的关键．根据轴对称的性质解决最短问题即可． 解：如图，即为所求． 方法：作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 故答案为：作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 【题型6】根据成轴对称图形的特征解决折叠问题 【例6】（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，，则，由此即可得； （2）根据折叠的性质可得，，再根据线段的和差可得，由此即可得． 解：（1）解：由折叠的性质得：，， ∵在长方形中，， ∴， ∴． （2）解：∵在长方形纸片中，，， ∴由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得C，D两点落在的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠问题，平行线的性质，设，则，进而推出，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，，再根据平行线的性质，列出方程进行求解即可． 解：∵， ∴设，则 ∴ ∵ ∴ 由折叠的性质，得 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴． 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知长方形纸片中，点E，H在边上（点E在点H左侧），点F，G在边上（点F在点G左侧），现将点A，B，C，D分别沿、折叠至如图的点N，M，P，K处．若，且，则的度数为 ． 【答案】/98度 【分析】设与交于点Q，根据折叠的性质，得，，，继而得到 ，利用长方形的性质，平角定义，平行线的性质解答即可． 解： 设与交于点Q，根据折叠的性质，得，，， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【题型7】根据成轴对称图形的特征求最值 【例7】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：    （1）证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，    ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型． （2）问题解决 如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）    【答案】（1），，；（2）见分析 【分析】（1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系进行作答即可； （2）分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，则有，，那么的周长为，即三点共线，线段最短即可使得走过的路程，即的周长最小． 解：（1）解：由题意可知， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：    ∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴， 所以，， 那么的周长为， 所以三点共线， 即两点之间，线段最短，那么的周长最小． 【点拨】本题主要考查的是对称轴的性质以及两点之间，线段最短等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当时，最小，根据三角形的面积即可求得的最小值． 解：作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点拨】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【考点三】轴对称图形性质生产生活中的运用 【题型8】台球桌面上的轴对称问题 【例8】（19-20八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q． （1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； （2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 解：（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【变式1】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 解：，， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见分析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 【题型9】轴对称中的光线反射问题 【例9】（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 【变式1】（2024·河南商丘·二模）如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，轴对称的性质；根据已知可得，进而求得，根据对称可得，进而即可求解． 解：由题意，知， ∴． ∴． ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型10】中考链接 【例1】（2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（    ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】C 【分析】本题考查了折叠，根据折叠的定义逐项判断即可求解，掌握折叠的定义是解题的关键． 解：、工作中的雨刮器，属于旋转，不合题意； 、移动中的黑板，属于平移，不合题意； 、折叠中的纸片，属于翻折，符合题意； 、骑行中的自行车，属于平移，不合题意； 故选：． 【例2】（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】根据题意，，当点与点重合时，符合题意，据此即可求解． 解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点， ∴， 而, 当点与点重合时，，此时的长最小， ∴． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，图形的折叠，分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长、交于点，证明，则．熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键． 解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；    当在下方时，延长、交于点， 由折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$