微专题5.5 函数的最大（小）值8种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-5 函数的最大（小）值8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 函数的最值与极值的关系 题型2 求不含参函数的最值问题 题型3 求含参函数的最值问题 题型4 由函数的最值求参数问题 题型5 由极值与最值关系求参数范围 题型6 与最值有关的恒成立与存在性问题 题型7 利用最值证明不等式 题型8 导数在解决实际问题中的应用 知识点1 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点2 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 解题策略1 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 解题策略2含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 解题策略3求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 解题策略4由函数的最值求参数问题 1、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 2、函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内． 3、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 注：（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型1 函数的最值与极值的关系 【例1】函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ） A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【变式1】定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A．函数的极值点的个数为3 B．函数的单调递减区间为 C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D．当时，方程有4个不同的实根 题型2 求不含参函数的最值问题 【例2】函数的最小值为 . 【变式1】函数在上的最大值和最小值分别是（　 　） A．12， B．5， C．5， D．12， 【变式2】若函数在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则 . 【变式3】函数的最小值是 ． 【变式4】【多选】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个单调区间 B．有两个极值点 C．有最小值 D．有最大值e 【变式5】函数在区间上取得最大值时的值为（ ） A． B． C． D． 题型3 求含参函数的最值问题 【例3】已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值． 【变式1】已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 【变式2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最小值． 题型4 由函数的最值求参数问题 【例4】已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________． 【变式1】若函数的最小值为，则实数（     ） A． B． C．4 D． 【变式2】函数在内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）在区间最大值为5，求. 【变式4】已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 由极值与最值关系求参数范围 【例5】已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________． 【变式1】已知函数，若函数在区间上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是( )． A． B． C． D． 【变式2】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上既有最大值又有最小值，求a的取值范围． 【变式3】若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为______ 题型6 与最值有关的恒成立与存在性问题 【例6】已知函数f(x)＝ln x－ax，其中x∈，若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【变式1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ． 【变式3】已知函数和都存在最小值． (1)讨论函数的单调性： (2)若函数在上均恒成立，求a的取值范围． 【变式4】已知函数在和处取得极值. (1)求的值及的单调区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式5】已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ） A．[2，5] B． C． D． 题型7 利用最值证明不等式 【例7】已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证f(x)≥0恒成立． 【变式1】求证：当时，． 题型8 导数在解决实际问题中的应用 【例8】工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量满足函数关系式：，已知每日的利润，且当时． (1)求的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 【变式1】某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． (1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-5 函数的最大（小）值8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 函数的最值与极值的关系 题型2 求不含参函数的最值问题 题型3 求含参函数的最值问题 题型4 由函数的最值求参数问题 题型5 由极值与最值关系求参数范围 题型6 与最值有关的恒成立与存在性问题 题型7 利用最值证明不等式 题型8 导数在解决实际问题中的应用 知识点1 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． (3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点2 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 解题策略1 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 解题策略2含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 解题策略3求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 解题策略4由函数的最值求参数问题 1、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． 2、函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内． 3、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 注：（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型1 函数的最值与极值的关系 【例1】函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ） A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零 【解析】根据导函数图象可知当时，，在时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，故正确； 易知是函数的极小值点，故正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故不正确； 函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故正确. 故选：． 【变式1】定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（ ） -1 0 2 4 5 1 2 0 2 1 A．函数的极值点的个数为3 B．函数的单调递减区间为 C．若时，的最大值是2，则t的最大值为4 D．当时，方程有4个不同的实根 【解析】对于A：由的图象可知，当时，，且当时，，当时，，当时，，当时，，所以0，2，4是函数的极值点，故A选项正确； 对于B：由导函数的正负与函数之间的关系可知，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，，故B选项错误； 对于C：当时，函数的最大值是2，而的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数的大致图象如图所示，当时，直线与函数的图象有4个交点，故D选项正确． 故选：AD． 题型2 求不含参函数的最值问题 【例2】函数的最小值为 . 【答案】1 【解析】，，设，， 所以在R上单调递增，由，可得， 当时，，单调递减； 时，，单调递增． 所以， 故答案为： 【变式1】函数在上的最大值和最小值分别是（　 　） A．12， B．5， C．5， D．12， 【答案】C 【分析】将函数求导，得到导函数零点，在函数定义域上分析讨论函数的单调性，再考虑区间的端点值，即得函数的最值. 【详解】由求导得：， 令可解得：或，因，故， 由可解得：，由可解得：， 故函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数； 又，故当时，函数. 即函数在上的最大值和最小值分别是. 故选:C． 【变式2】若函数在区间上的最大值、最小值分别为m，n，则 . 【答案】20 【解析】函数，，求导得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此，而，则， 所以. 故答案为：20 【变式3】函数的最小值是 ． 【答案】 【解析】由， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此， 故答案为： 【变式4】【多选】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个单调区间 B．有两个极值点 C．有最小值 D．有最大值e 【答案】AC 【分析】求出导函数，结合导函数的正负分析原函数的单调性，进而得出极值最值情况. 【详解】由已知得， 由解得，由解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴只有一个极值点，且在处取得极小值也是最小值，无最大值， 故选：AC． 【变式5】函数在区间上取得最大值时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 令，即在区间上解得， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以当时，取得最大值.故选：B. 题型3 求含参函数的最值问题 【例3】已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值． 【解析】　f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①当≤0，即a≤0时， f(x)在[0,2]上单调递增， 从而f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当≥2，即a≥3时， f(x)在[0,2]上单调递减， 从而f(x)max＝f(0)＝0. ③当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ 【变式1】已知函数 (1)当时，求极值： (2)当时，求函数在上的最大值． 【解析】（1）当时，，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 综上，的极大值为，极小值为； （2），， 故，， 令得或， 因为，当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以，所以； 当，即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为， ， 所以； 综上： 【变式2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数在区间上的最小值． 【解析】（1）的定义域是， ， 时，恒成立，在上是减函数； 时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 综上，时，在上是减函数；时，在上是减函数，在上是增函数． （2）由（1）当时，在上递减，； 时，即时，在上递减，； ，即时，在上是减函数，在上是增函数，． 综上，或时，，时，． 题型4 由函数的最值求参数问题 【例4】已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________． 【解析】∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3 ＝－2(x－a)2＋3＋2a2， ∴f′(x)max＝3＋2a2＝5， ∵a>0，∴a＝1. ∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3， f′(1)＝－2＋4＋3＝5. 又f(1)＝－＋2＋3＝， ∴所求切线方程为y－＝5(x－1)． 即15x－3y－2＝0. 【变式1】若函数的最小值为，则实数（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 由题意，易知， 当时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时，取得最小值，即，解得； 当时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以无最小值，故舍去； 综上，实数. 故选：B. 【变式2】函数在内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 若，可得在上单调递增，无最小值； 若时，由，解得，当时，为增函数， 当时，为减函数， 所以在处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在内， 所以，所以. 故选：B. 【变式3】已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）在区间最大值为5，求. 【解析】. （1）当时，. 令，解得：或，所以递增区间为，； 令，解得：，所以递减区间为. （2）（i）当时，恒成立，所以在递增，，解得（舍去）； （ii）当时，恒成立，在递减，， 所以. （iii）当时，在递减，在递增， 所以在或取得最大值， 若，则，此时成立. 若，则（舍去） 综上：或. 【变式4】已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数讨论函数的性质，作出函数图形，由题意，结合图形可得，即可求解. 【详解】，， 令得， 且时，；时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，令时，解得或， 所以其图象如下： 由图可知，时存在最小值， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故选： 题型5 由极值与最值关系求参数范围 【例5】已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________． 【解析】f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题意得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2)． 【变式1】已知函数，若函数在区间上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是( )． A． B． C． D． 【解析】令， 若函数在区间上恰有一个最值点，则函数在区间上恰有一个极值点， 从而在区间上存在唯一一个变号零点， 故，即，解得， 此时在区间上恒成立，则在区间上单调递减， 即在区间上存在唯一一个零点，即在上恰有一个最值点． 从而实数a的取值范围是． 故选：A. 【变式2】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上既有最大值又有最小值，求a的取值范围． 【解析】（1）函数，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，，当或时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值， 由，即，得，即，解得或， 由，即，得，即，解得或， 作出函数的部分图象，如图， 因为在区间上既有最大值又有最小值，则有，解得， 所以a的取值范围是. 【变式3】若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】 讨论函数的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可作答. 【详解】由得：，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得，且， 即，解得， 所以实数的取值范围为.故答案为： 题型6 与最值有关的恒成立与存在性问题 【例6】已知函数f(x)＝ln x－ax，其中x∈，若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【解析】当x∈时，不等式f(x)≤0恒成立等价于a≥在上恒成立， 令g(x)＝，则g′(x)＝. 当0<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0； 所以g(x)max＝g(e)＝，所以a≥. 故选C. 【变式1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案. 【详解】由于函数，定义域为R，满足， 得是奇函数，且在R上为减函数. 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立，在上恒成立. 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ，即a的取值范围为， 故选：D. 【变式2】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数求导判单调性求值即可求解. 【详解】不等式可变形为． 设， 则． 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增． 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 【变式3】已知函数和都存在最小值． (1)讨论函数的单调性： (2)若函数在上均恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)在上为减函数，在上为增函数 (2). 【分析】（1）求出，利用导数求出函数的单调区间； （2）分离参数可得在上恒成立，求最小值，即可得出a． 【详解】（1）的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，故. 由的定义域为，而. 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数. （2）由题意知，，即在上恒成立， 即在上恒成立 设，则， 当，，在单调递减; 当，，在单调递增; 故，所以． 由（1）得， 由题意，即， 得， 综上所述可得：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值. 【变式4】已知函数在和处取得极值. (1)求的值及的单调区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）， 函数在和处取得极值． ，， 联立解得：，． ， 令，解得和， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；时，，函数单调递增． 故和是的极值点， 故函数单调递增区间为，；函数单调递减区间为． （2）由（1）知在单调递减，在单调递增， 要使得对任意，不等式恒成立，则需且， 故且， 解得，或， 的取值范围是,,． 【变式5】已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（ ） A．[2，5] B． C． D． 【解析】， 所以在[1，2]递减，在（2，3]递增， , 可得的值域为， 对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为， 若对，，使得， 可得的值域为的值域的子集. 则，且，解得， 故选：A. 题型7 利用最值证明不等式 【例7】已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证f(x)≥0恒成立． 【解析】由题意知f′(x)＝ex－＝， 设F(x)＝xex－e(x>0)，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0. 当x∈(0，1)时，F(x)<0，∴f′(x)＝<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0，∴f′(x)＝>0，f(x)单调递增． f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立． 【变式1】求证：当时，． 【答案】证明过程见详解 【分析】 构造新函数，对新函数求导，利用导函数研究函数的最值，从而得到新函数与0的大小，进而判断出结果 【详解】 设函数， 则恒成立， 当时，单调递增，所以在时，取得最大值， 所以，即， 所以. 题型8 导数在解决实际问题中的应用 【例8】工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量满足函数关系式：，已知每日的利润，且当时． (1)求的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 【解析】（1）由题意可得， 因为时，所以． 解得. （2）当时，， ，由可得：，（舍） 所以当时，，原函数是增函数，当时，，原函数是减函数，所以当时，取得最大值14300． 当时，． 所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元． 【变式1】某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． (1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 【解析】（1）设 由，可得，解得， 所以， 依题意得， ． （2）由（1）得，， 则， 令，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有， 答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元． $$