精品解析：湖北省武汉市新洲区部分学校2024-2025高二上学期期末联考数学试题

2024~2025学年度上学期期末 新洲区部分学校高中二年级目标检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.01 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是直线一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方粮仓，圆筒粮仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 4. 已知等差数列，则是成立的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 5. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆：与圆：恰有三条切线，则的最大值为 A. B. -3 C. 3 D. 8. 如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角锐角，则 10. 设为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为或 11. 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为3 B. 二面角的余弦值为 C. 球的表面积为 D. 若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为_____. 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为______.；当焦点在轴时，双曲线的渐近线为______. 14. 棱长为2的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最大时，三棱锥外接球的体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程. 16. 设是公差不为零的等差数列，，. （1）求和； （2）求的前项和. 17. 已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 18. 如图，直角梯形中，，，，为的中点.平面外一点满足：，且. （1）证明：平面； （2）存在线段上一点，使得二面角的余弦值为，求三棱锥的体积. 19. 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． （1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； （2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； （3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上学期期末 新洲区部分学校高中二年级目标检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 考试时间：2025.01 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量求出直线的斜率，即可得答案. 【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ， 所以 ， 故选：D 2. 在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解. 【详解】由题 又由题，故. 故选：C. 3. 苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方粮仓，圆筒粮仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该圆锥的母线长为，高为，由题意可求得，，由锥体体积公式可求体积. 【详解】由题意，知该圆锥底面圆的半径为，设该圆锥的母线长为，高为. 由，得，，所以该圆锥的体积. 故选：A. 4. 已知等差数列，则是成立的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】正面证明得到充分性成立，举反例否定必要性即可. 【详解】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立，设首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立，无法推出，可得必要性不成立，即则是成立的充分不必要条件. 故选:B 5. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理可判定选项A、C，其它易证. 【详解】若，因为平面，， 所以，同理，过m上一点做直线n的平行线，则， 设由m和确定的平面为，则， 而，，同上可知，故，选项C正确； 有可能，所以选项A错误； 由上可知，且，所以，或，选项B错误； 如上图，不一定成立，选项D错误. 故选：C 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案. 【详解】解：设关于平分线的对称点为， 则三点共线， 设，则， 又，所以为等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 即，所以， 所以. 故选：B. 7. 若圆：与圆：恰有三条切线，则的最大值为 A. B. -3 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系，求得，再结合三角函数的性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，圆，可化为， 可得圆心，半径为， 圆可化为， 可得圆心，半径， 又由圆恰有三条切线，所以两圆相外切，即， 可得，即， 设，则， 当时，取得最大值，此时最大值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，以及最值问题的求解，其中解答中熟练应用圆与圆的位置关系，合理利用三角换元求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 8. 如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二面角的平面角易作图，但异面直线的夹角不好作图，这里用了向量和以及求模思想，来求这两条异面直线的夹角余弦值. 【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为． 因为，所以．又，所以， 取中点，连接，，则，， 所以，又因为，． 所以在中，，即， 又由，． 因为，所以 ． 所以，即 又因为，所以． 因为异面直线所成角范围为， 所以直线与所成角的余弦值取值范围是． 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 设为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点且与交于，两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 最小值为 C. 若，则 D. 若，则直线的斜率为或 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B项，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C项，由条件推理得点A的坐标，根据抛物线的定义可得可判断C的真假；对于D项，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将所求式代入化简，可求直线的斜率，判断D的真假. 【详解】如图： 对于A：根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，由，故A正确； 对于B：因为抛物线方程为，所以. 根据抛物线的定义，，所以，故B正确； 对于C：记直线与轴的交点为，过作于. 因为，，所以，所以. 根据抛物线的定义：，， 所以，故C错误； 对于D：当时，直线斜率存在且不为0，设直线：. 代入得：，整理得：. 设，，则，由，点在第一象限，得（）. 解得，故D错误. 故选：AB 11. 在正三棱锥中，，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为3 B. 二面角的余弦值为 C. 球的表面积为 D. 若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据题意求得棱锥的高，再结合棱锥的体积计算公式，求解即可；对B：根据二面角的定义，取中点为，找到二面角的平面角为，再利用余弦定理求解即可；对CD：根据棱锥内切球半径的计算公式，直接求解即可. 【详解】对A：根据题意，连接，作图如下： 由题可知为正三棱锥，故点为△的中心， 又底面是边长的等边三角形，故，因为面面，故， 则由勾股定理可得：； 又等边三角形的面积为，故，故A正确； 对B：连接，取中点为，连接，如下所示： 由A可知，，同理可得，又，故△，则，故， 且； 又，故，又面面，面面， 故即为二面角的平面角； 在△中，，在△中，； 在△中，，则由余弦定理可得：，故B错误； 对C：设内切球的半径为，的表面积为，则， 则，故可得； 又， 故，则球的表面积为，故C正确； 对D：易知在上，在上取点，使得， 过作平面的平行平面，交于点，如下所示： 显然也为正三棱锥，球即为该三棱锥内切球； 又，故，设球半径为，三棱锥表面积为， 则由C所得公式，以及三角形相似可得：， 故球的半径为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题CD选项的处理，考察了三棱锥内切球半径的求解，一般的，对任意三棱锥的内切球半径的求解，都可以采用的公式进行处理；属中档题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为______.；当焦点在轴时，双曲线的渐近线为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线定义，结合双曲线实轴和椭圆长轴的定义、椭圆离心率公式、双曲线渐近线方程进行求解即可. 【详解】椭圆和双曲线的对称性相同，不妨设两个曲线的焦点都在轴，设两个曲线标准方程分别为：，， 设两个曲线的焦点为，设为两曲线在第一象限的交点， 设，由椭圆和双曲线的定义可得：， 因为两曲线的交点与两焦点共圆， 所以有，于是有，把的结果代入中，得 ，设椭圆的离心率为， 因为双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分， 所以有，代入中，得，所以椭圆的离心率为； ，代入中，得， 所以双曲线的渐近线为， 故答案为：； 【点睛】关键点睛：根据椭圆和双曲线的定义是解题的关键. 14. 棱长为2的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且满足直线平面，当直线与平面所成角最大时，三棱锥外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】取为的中点，为的中点，连接，证明平面平面，从而可得点在线段上，再说明直线与平面所成角最大时，点的位置，再利用坐标法求出三棱锥外接球的半径，结合球的体积公式即可得解. 【详解】解：取为的中点，为的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 所以点线段上， 因为垂直平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 由，则当最小时，直线与平面所成角最大， 此时为的中点， 如图以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设三棱锥外接球球心的坐标为， 则，解得， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将点、的坐标代入圆的方程，结合圆心在直线上，即可求解； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为 【小问2详解】 由（1）知，圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 设是公差不为零的等差数列，，. （1）求和； （2）求的前项和. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，结合列方程组可求得，由此可得和. （2）讨论和可得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即， 由得，， 联立方程可得，， ∴，. 【小问2详解】 由得，时，，时， 当时，， 当时，， ∴. 17. 已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【小问1详解】 因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． 【小问2详解】 根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 18. 如图，直角梯形中，，，，为的中点.平面外一点满足：，且. （1）证明：平面； （2）存在线段上一点，使得二面角的余弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，可得，再利用全等三角形以及线面垂直判定以及性质定理，可得，结合线面垂直判定定理，可得答案. （2）由题意，建立空间直角坐标系，表示点的坐标，求得平面的法向量，根据公式，可得答案. 【小问1详解】 如图，连接与的交点记为点， 即 又，且，平面， 平面，又平面， 又，平面， 平面. 【小问2详解】 如图，以为原点，所在直线分别为轴，平行于为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，设，则，即点 则， 设平面的法向量， 由，取，则， 易知，平面的一个法向量为， 二面角的余弦值为， ， 整理得，解得（舍）或. ，此时点为线段靠近点的三等分点， 点到平面的距离，又， 三棱锥的体积为. 19. 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为． （1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； （2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； （3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由． 【答案】（1）或； （2）， （3）垂心在椭圆上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得； （2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值； （3）不妨设为椭圆上的任意一点，此时，的垂心的坐标为，连接，可求得，可得，利用可得结论. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，当时，，解得； 当时，，解得．则或； 【小问2详解】 易得，所以直线的方程分别为，， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，因为，即， 联立， 消去并整理得， 因为直线与椭圆相切，所以， 因为，即，则， 所以，当且仅当时，等号成立，此时． 故当时，取得最小值， 最小值为． 【小问3详解】 易知椭圆 不妨设为椭圆上的任意一点，此时，（1） 不妨设的垂心的坐标为，连接， 因为，又，所以， 因为，所以， 因为，所以，（2）， 联立（1）（2），解得， 因为点在椭圆上，所以．故的垂心在椭圆上． 【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $