5.3.3 利用导数解决与函数有关的问题(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

6)当a=1时)=x-n()=1-士 则g(x)=x2+2x+a不能恒大于等于0， 故存在x使得g(x)<0, 所求切线的斜率为f(2)=弓，切点为(2.2-h2). 即g(x)=x+2x+a有2个不相等的实数根， 即函数y=f'(x)的零点个数为2个，故选C 六所求切线的方程为y-(2-h2)=宁x-2)。 4.B函数y=f八x)行零点等价于方程e-x=a有解，令g(x) =e-x,g'(x)=e-1, 即x-2y+2-2ln2=0. 当x>0时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；当x<0时，g'(x) (2)假设存在实数a,使f(x）=x-lnx在区间(0，e]上的最 <0,函数g(x)单调递减，又g(0)=1,所以a≥1.故选B 小值是3， 5.A 作轴截面如图所示，设圆柱体高为 f')=0-“ x 2h,则底面半径为√R-h,圆柱体休积 ①当a≤0时x)在(0，e]上是减函数， 为V=π·(R-2)·2h=2πRn 故f八x)n=f八e)=ae-1=3, -2mh, 解得a=4(舍去)， 令=0得2mR-6云h2=0 所以此时不存在符合题意的实数a: :号儿即当2认：2R时，圈柱体 ②当0<<e,即a>时，(x)在(0，）上是减函数，在 的体积最大 6.ef(x)=-D,当x>0时，令'(x)>0,解得x>1,令 (行是增函数，故x)-=日)=1+na=3,解得 f'(x)<0,解得0<x<1,故fx)在(0,1)上单嗣递减，在(1， =e23,满足条件： +x）上单调递增，故/x)m,=f1)=e+a=2e,解得a=e ③当≥e,即0<a≤时)在0，e]上是减函数，故7.（亿.+），/'()=3--2，()=0 x)=e)=ae-1=3,解得a=4(舍去)，所以此时不存 得x=-子或x=1 可求得f八x)=f代2)=7 在符合题意的实数a. 所以对于任意xe[-12](x)<m恒成立时，m>7. 综上，存在实数a=e,使f八x)在区间(0，e]上的最小值是3. C组·探索创新 8[,+)f)=e(n+-l小 B将问题转化为(-x-2k+1)-(32--4+1)>0恒 令g)=nx+上-L, 成立，再分离出k,再求函数的最小值即可. 当x∈[-3,3]时，直线恒在曲线C的上方 则g士学 等价于当x∈[-3,3]时，(-x-2k+1)- 当0<x<1时，g'(x)<0,函数单调递减， (行--4标+小少>0恒成立， 当x>1时，g(x)>0,函数单调递增， 故g(x)≥g(1)=0,即'(x)≥0恒成立， 从而x)在(0，+)上单调递增，且(1)=-e.故m≥1. 9.每月生产x吨时的利润为 设右++ce-30则”e x)=(24200- 5r-(5000+200x) ++号-3-01+xe[-3》 =-+2400s-500(≥0. f"(x)>0时，-1<x<3:f'(x)<0时，-3<x<-1, 所以函数)=一名++子在[-3，-上单调递 r'(x)=-号2+24000=0， 3 解得1=200，=-200（舍去）. 减，在(-1,3]上单调递增. 因/八x)在[0，+)内只有一个点x=200使'(x)=0,故它就 所以当=-1时心)取得最小值-专，所以kc一 61 故 是最大值点，且敏大值为/20)=-与×20'+240×200 选B. -50000=3150000(元) 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315 练案[19] 万元 A组·基础自测 10.(1)由f(x)=+ 1.C瞬时变化率即为f‘(x)=x2-2x,为二次函数，且f'(x）= 2 (x-1)2-1,又xe[0,5], 当a≥0时.对于xe(0,+),有f'(x)>0恒成立。 故x=1时∫'(x）m=-1. 即(x)在(0，+)上是增函数 2.D设底面边长为x分米，则高为h=256,其表面积5=+ 当a<0时，'(x)=0,得x=-。∈(0，+0) 4.256.x=x+256×4,s=2x-256×4,令y=0,则x=8 当xe(0,-)时/"()>0)单调递增： 当0<x<8时，S<0.当x>8时，S>0,故x=8时S最小. 3.Cf'(x)=(x2+2x+a)e, 当e(÷+)时')<0)单调递减 若函数f八x)=(x2+a)e有最小值， (2)证明：当a=1时x-1)=h(x-)-后[2. -171 +》令h-)--2+5 由8=10得6=号 w=-222 1 （x-1)2 因此两项费用之和为y=公+学y=一碧+子令y 当x>2时，g'(x)<0,g(x)在(2，+)单调递减 20.4 又g(2)=0,所以g(x)在(2，+)恒为负 -+3=0,得x=5(x=-5舍去)，且当x>5时，y>0:当 所以当xe[2,+g)时，g(x)≤0， 0<x<5时，y<0,故当仓库建在离车站5千米处时，两项费 p-》-d-2x*530 用之和最小 故当a=1,且x≥2时八x-1)≤2x-5成立 6.(1)函数=ae-blnx的导数为'(x)=ae'-女， B组·素养提升 函数fx)=ae-blnx在点(l,J八I))处的切线斜率为k=ae 1.B由八x)=0得x2+r=0,得x=0或x=-1,即函数八x)有 -b. 两个零点，排除A,C,函数的导数'(x)=(2x+1)+(x2+ 由切线方程y=(e-1)x+1,可得ae-b=e-1,e=ae,解得a x)e=[x+(1+2)x+t]e, =1,b=1. 当一-时∫‘(x)>0,即在x轴最左侧，函数x)为增函 (2)f(x)=e*-In x, 数，排除D. ,x>0.易知f(x)为增函数 2.AD因为x∈(0，+)，有xf'(x)>f(x)>0,令g(x)= 导数为'(x)=e-1 型，则g'(x)=(国D>0,所以g(x)在(0，+0)上 旷'>0f'()<0 单调递增，由a>b>0,可得g(a)>g(b6),即@，，所以 b 所以存在me(宁(m)=0,即。°=品 a)>ab),故D正确： 且x>m时f'(x）>0,x)递增： 因为x∫'(x)>x)>0,令h(x)=八x),则h'(x)=xf'(x) 0<x<m时f'(x)<0f(x)递减. +f八x）>0.所以h(x)在(0，+e)上单调递增.由4>b>0.可 可得在x=m处代x)取得最小值 得h(a)>h(b),即aa)>b),故A正确. fm)=e”-lnm= +m>2, 3.ACD对A,因为函数八x)的定义域为R,而f'(x)=2(-1): (x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3). 可得x)>2成立. 易知当x∈(1,3)时.f'(x)<0,当x∈(-，1)或xe(3, !C组·探索创新 +x)时∫'(x)>0 （1)由题意，衢()=1-n+·(-) =-nx,所以当 函数(x)在(-，1)上单调递增，在(1,3)上单调递诚，在 (3,+)上单调递增，故x=3是函数八x)的极小值点，正确： xe(0,1)时∫'(x)>0,此时八x)单调递增： 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 当xe(1,+)时f'(x)<0,此时八x)单调速减 而由上可知，函数八x)在(0,1)上单调递增，所以八)> (2)证明：由加a-h6=a-6,得+}=+六，即 八x),错误： 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数代x)在 )) (1,3)上单调递减. 设b>a>0,由(1)知0<a<1,b>1, 所以f1)>f八2x-1)>f3).即-4<f2x-1)<0,正确： 对D,当-1<x<0时f2-x)-fx)=(1-x)2(-2-x)- 所以>1,0<<12-<1 (x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0. 设g(x)=八x-f2-x),1<x<2, 所以八2-x)>x),正确： 则g(x)=f'(x)+f'(2-x)=-lmx-ln(2-x)=-ln[x(2 故选ACD. -x)]>0, 4(0.）易()=2e+e=(+2)R 所以g(x)在(1,2)上是增函数，所以g(x)>g(1）=0, 令f'(x)=0,解得x=0或x=-2, 所以)>2-）所以)>2-)} 分析易知fx)在(-2,0)上单调递减，在(-，-2)和(0，+∞) 因为xe(0,I)时x)单调递增， 上单调递增， 所以0和-2是函数(x)的极值点，函数的极小值为八0)= 所以>2+>2 -,极大值为-2)=4e-2-a=号 同理设h(x)=八x)-八e-x),0<x<1, (x)=f'(x)+f'(e-x)=-In x-In(e-x)=-In[x(e- 函数∫(x)=x2e-a恰有三个零点，则 x)]. -2)=专-u>0解得0<a<专，故实数u的取值范围 4 因为y=x(e-x)在(0,1)上是增函数 4 所以(x)在(0.1)上是减函数，所以h(x)>h(1)>0. /0)=-a<0, 所以当xe(1,+)时f代x)>fe-x) 所以)小(e-)所以()>e-》 55侬题意可设每月士地占用费，=，每月库存货物的运 因为x∈(1，+)时x)单调递减， 费为=kx,其中x是仓库到车站的距离。 所以<e所以片+古< 于是，由2=0得=20 综上所2<女+<心 -172练案［１９］ 第五章　 一元函数的导数及其应用 ５． ３　 ［５． ３． ３　 利用导数解决与函数有关的问题］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油 进行冷却和加热，如果第ｘ小时时，原油温度 （单位：℃）为ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ － ｘ２ ＋ ８（０≤ｘ≤５）， 那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ８ Ｂ． ２０３ Ｃ． － １ Ｄ． － ８ ２．做一个容积为２５６升的方底无盖水箱，当用料 最省时，它的底面边长为 （Ｄ ） Ａ． ５分米 Ｂ． ６分米 Ｃ． ７分米 Ｄ． ８分米 ３．已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２ ＋ ａ）ｅｘ有最小值，则函数 ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的零点个数为 （Ｃ ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ．不确定 ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ｘ － ａ，若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）有 零点，则实数ａ的取值范围是 （Ｂ ） Ａ．（１，＋ ∞） Ｂ．［１，＋ ∞） Ｃ．（－ ∞，１） Ｄ．（－ ∞，１］ ５．内接于半径为Ｒ的球且体积最大的圆柱体的 高为 （　 ） Ａ． ２槡３３ Ｒ Ｂ．槡 ３ ３ Ｒ Ｃ． ３槡３２ Ｒ Ｄ．槡 ３ ２ Ｒ 二、填空题 ６．（２０２４·江苏省南京市期末）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ｘ ＋ ａ在（０，＋ ∞）上的最小值为２ｅ，则实数ａ 的值为ｅ　 　 　 　 ． ７．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １２ ｘ ２ － ２ｘ ＋ ５，若对于任意ｘ∈ ［－ １，２］，都有ｆ（ｘ）＜ ｍ，则实数ｍ的取值范 围是（７，＋ ∞）　 ． ８．（２０２４·桂林高一检测）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ（ｌｎ ｘ － １），使得ｆ（ｍ）≥ － ｅ成立的实数ｍ 的取值范围为［１，＋ ∞）　 ． 三、解答题 ９．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量ｘ （吨）与每吨产品的价格Ｐ（元／吨）之间的关 系为Ｐ ＝ ２４ ２００ － １５ ｘ ２，且生产ｘ吨的成本为 Ｒ ＝ ５０ ０００ ＋ ２００ｘ元．问每月生产多少吨该产 品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ （利润＝收入－成本）                                                                ． —１１５— １０．（２０２４·宁夏银川一中高三月考）已知函数 ｆ（ｘ）＝ ａｌｎ ｘ － １ｘ，ａ∈Ｒ． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）当ａ ＝ １，且ｘ≥２时，证明：ｆ（ｘ － １）≤ ２ｘ － ５． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２ ＋ ｔｘ）ｅｘ（实数ｔ为常数，且ｔ ＜ ０）的图象大致是 （Ｂ ） ２．（多选题）若ｆ（ｘ）是定义在（０，＋ ∞）上的可 导函数，且对于任意ｘ∈（０，＋ ∞），有ｘ ｆ ′（ｘ） ＞ ｆ（ｘ）＞ ０，设ａ ＞ ｂ ＞ ０，则下列不等式一定成 立的是 （　 ） Ａ． ａｆ（ａ）＞ ｂｆ（ｂ） Ｂ． ａｆ（ａ）＜ ｂｆ（ｂ） Ｃ． ａｆ（ｂ）＞ ｂｆ（ａ） Ｄ． ａｆ（ｂ）＜ ｂｆ（ａ） ３．（多选题）（２０２４·新课标Ⅰ卷）设函数ｆ（ｘ）＝ （ｘ － １）２（ｘ － ４），则 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ ３是ｆ（ｘ）的极小值点 Ｂ．当０ ＜ ｘ ＜ １时，ｆ（ｘ）＜ ｆ（ｘ２） Ｃ．当１ ＜ ｘ ＜ ２时，－ ４ ＜ ｆ（２ｘ － １）＜ ０ Ｄ．当－ １ ＜ ｘ ＜ ０时，ｆ（２ － ｘ）＞ ｆ（ｘ） 二、填空题 ４．（２０２４·黑龙江省大庆铁人中学期中）若函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２ｅｘ － ａ恰有三个零点，则实数ａ的取 值范围是　 　 　 　 　 　 ． ５．某公司租地建仓库，每月土地占用费ｙ１ 与仓 库到车站的距离成反比，而每月库存货物的 运费ｙ２与仓库到车站的距离成正比．如果在 距离车站１０千米处建仓库，这两项费用ｙ１和 ｙ２分别为２万元和８万元，那么，要使这两项 费用之和最小，仓库应建在离车站 ５　 　 　 千米处． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｅｘ － ｂｌｎ ｘ在点（１，ｆ（１））处 的切线方程为ｙ ＝（ｅ － １）ｘ ＋ １． （１）求ａ，ｂ的值； （２）求证：ｆ（ｘ）＞ ２． Ｃ组·探索创新 　 已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ（１ － ｌｎ ｘ）． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）设ａ，ｂ为两个不相等的正数，且ｂｌｎ ａ － ａｌｎ ｂ ＝ ａ － ｂ，证明：２ ＜ １ａ ＋ １ ｂ ＜ ｅ                                                                      ． —１１６—