5.3.2 第2课时函数的最大(小)值(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［１８］ 第五章　 一元函数的导数及其应用 ５． ３　 ［５． ３． ２　 第２课时　 函数的最大（小）值］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知ｆ（ｘ）＝ ２ｘ３ － ６ｘ２ ＋ ｍ（ｍ为常数）在［－ ２， ２］上有最大值３，那么此函数在［－ ２，２］上的 最小值是 （Ａ ） Ａ． － ３７ Ｂ． － ２９ Ｃ． － ５ Ｄ．以上都不对 ２．使函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ２ｃｏｓ ｘ在０，π[ ]２ 上取最大值 的ｘ是 （　 ） Ａ． ０ Ｂ． π６ Ｃ． π ３ Ｄ． π ２ ３．如图矩形ＡＢＣＤ，ＡＢ ＝ ６，沿ＰＱ对折使得点Ｂ 与ＡＤ边上的点Ｂ１重合，则ＰＱ的长度可以用 含α的式子表示，那么ＰＱ长度的最小值为 （　 ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． ６槡２ Ｄ． ９槡３２ ４．定义在闭区间［ａ，ｂ］上的连续函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）有 唯一的极值点ｘ ＝ ｘ０，且ｙ极小值＝ ｆ（ｘ０），则下列 说法正确的是 （　 ） Ａ．函数ｆ（ｘ）的最大值也可能是ｆ（ｘ０） Ｂ．函数ｆ（ｘ）有最小值，但不一定是ｆ（ｘ０） Ｃ．函数ｆ（ｘ）有最小值ｆ（ｘ０） Ｄ．函数ｆ（ｘ）不一定有最小值 ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ －３ｘ －１，若对于区间［－３，２］ 上的任意ｘ１，ｘ２，都有｜ ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ２）｜≤ｔ，则实 数ｔ的最小值是 （Ａ ） Ａ． ２０ Ｂ． １８ Ｃ． ３ Ｄ． ０ 二、填空题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １２ｘ ＋ ８在区间［－ ３，３］ 上的最大值与最小值分别为Ｍ，ｍ，则Ｍ － ｍ ＝ ３２　 　 　 ． ７．已知ｆ（ｘ）＝ － ｘ２ ＋ ｍｘ ＋ １在区间［－ ２，－ １］ 上的最大值就是函数ｆ（ｘ）的极大值，则ｍ的取 值范围是（－４，－２）　 ． ８．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ ｋ在区间［－ ４，４］ 上的最大值为１０，则其最小值为－ ７１　 ． 三、解答题 ９．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ ＋ ｂｘ ＋ ｃ在ｘ ＝ ２处取得极 值为ｃ － １６． （１）求ａ，ｂ的值； （２）若ｆ（ｘ）有极大值２８，求ｆ（ｘ）在［－ ３，３］上 的最小值                                                                ． —１１３— １０．设函数ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ２ｅｘ ． （１）求ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若当ｘ∈［－ ２，２］时，不等式ｆ（ｘ）＞ ｍ恒 成立，求实数ｍ的取值范围． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ａｘ － ａ在（０，１）内 有最小值，则ａ的值可以为 （　 ） Ａ． ０ Ｂ． １３ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ２．设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １ ｘ３ ，则 （Ａ ） Ａ．是奇函数，且在（０，＋ ∞）单调递增 Ｂ．是奇函数，且在（０，＋ ∞）单调递减 Ｃ．是偶函数，且在（０，＋ ∞）单调递增 Ｄ．是偶函数，且在（０，＋ ∞）单调递减 ３．若函数ｆ（ｘ）＝ ２ｘ ３ ＋ ３ｘ２ ＋ １，ｘ≤０， ｅａｘ，ｘ{ ＞ ０ 在［－ ２，２］ 上的最大值为２，则实数ａ的取值范围是 （Ｄ ） Ａ． １２ ｌｎ ２，＋[ )∞ Ｂ． ０，１２[ ]ｌｎ ２ Ｃ．（－ ∞，０］ Ｄ． － ∞，１２( ]ｌｎ ２ 二、填空题 ４．若Ｆ（ｘ）＝ ｘ － ２ｌｎ ｘ ＋ ２ａ，则Ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞） 上的最小值是２ － ２ｌｎ ２ ＋ ２ａ　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｌｎ ｘ ＋ ａ ｘ２ （ａ ＞ ０）．若当ｘ∈ （０，＋ ∞）时，ｆ（ｘ）≥２恒成立，则实数ａ的取 值范围是［ｅ，＋ ∞）　 ． 三、解答题 ６．已知ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ｌｎ ｘ，ａ∈Ｒ． （１）当ａ ＝ １时，求曲线ｆ（ｘ）在点（２，ｆ（２））处 的切线方程； （２）是否存在实数ａ，使ｆ（ｘ）在区间（０，ｅ］上 的最小值是３，若存在，求出ａ的值；若不存 在，说明理由． Ｃ组·探索创新 　 已知曲线Ｃ：ｙ ＝ １３ ｘ ３ － ｘ２ － ４ｘ ＋ １，直线ｌ：ｘ ＋ ｙ ＋ ２ｋ － １ ＝ ０，当ｘ∈［－ ３，３］时，直线ｌ恒在曲 线Ｃ的上方，则实数ｋ的取值范围是（Ｂ ） (Ａ． － ５６，＋ )∞ (Ｂ． － ∞，－ ５ )６ (Ｃ． － ∞，－ ３ )４ (Ｄ． － ３ ４，＋ )                                                                     ∞ —１１４— ·/(x)=2x+3-12x+1 ..f(x)在(0.e)内为增函数,在(e.+)为减函数 ($)由(1)得f'(x)=6}+6x-12=6(x+2)(x- 2./(x)有极大值无极小值; 令 '(x)=0x=-2或x=1. 当a<0时f(x)在(0.e)为减函数,在(e.+)为增函数 f'(x)>0x<-2或x>1f(x)<0.-2<x l. -.f(x)有极小值无极大值; 心f(x)递增区间是(-,-2).(1,+x),递减区间 4.实数a的取值范围(-x,0). 是(-2.1). C组·探索创新 ·fx)的极大值为ff-2)=21.极小值为f1)=-6 (1)当a=-2时f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x. 10.(1)f'(x)=(2x+3)e'+(x+3x+1)e=(x+5x+4)e’ =(x+1)(x+4)e. 因为y=2ln(1+x),y=-+x .当xE(-.-4)U(-1.+x)时f'(x)>0; 11在(-1.+×)上为增 当x=(-4.-1)时.f(x)<0./(x)的单调递增区间为 (-*,-4)和(-1.+x).单调递减区问为(-4.-1). 函数, (2)由(1)可知/(x)在x=-4处取得极大值,在x=-1处 故f'(x)在(-1.+x)上为增函数,而f'(0)=0 故当-1<x<0时f'(x)<0,当x>0时f(x)>0. 故/fx)在x=0处取极小值且极小值为f(0)=0.无极大值 (2)/'(x)=-aln(1+x)+1-a-1=-aln(1+x)- 为/(-1)--e--1 1+x (a+1)×x0. B组·素养提升 1. B '=e+m,则e+m=0必有根..m=-e'<0 1+ 2. BCD 函数f(x)=alnx+.的定义域为(0.+),求导 设s(x)--aln(1+x)(a+1)x0. 1+x (a+1) 则(x)= a(x+1)+a+1 (1+x){ 因为函数/f(x)既有极大值也有极小值,则函数f'(x)在(0. +x)上有两个变号零点,而a*0. 因此方程axr}-ba-2c=0有两个不等的正根x,. 当as-时,x(x)>0.故s(x)在(0,+x)上为增函数, 4-b+8ac0. 故s(x)>s(0)=0.即f(x)>0 所以/(x)在[0,+)上为增函数,故/(x)>f(0)=0 20. 当-<ao时,当0x-2a时(x)<0. 故s(s)在(o-2a)上为减函数,故在(0.-2)上&(x) abc<0.即bc<0.A错误.B.C.D正确.故选BCD. 3.CD f'(x)=3x-6x.令f'(x)=3x-6x>0.得x>2或x (0). 0;令f'(x)=3x-6x<0.得0<x<2..函数ffx)在区间 即在(o.-2a)上/'(x)<o即(x)为减函数, (-x,0),(2.+)上单调递增,在区间(0.2)上单调递减 当x-0和x=2时,函数f(x)分别取得极大值0和极小值 故在(0.-2a+1)上(x)<(0)-0.不合题意,舍。 -4.故选CD. 4.(3.1) )/'(x)--ax+2. 当a>0.此时s'(x)<0在(0.+)上恒成立。 舍:综上_- 同理可得在(0,+x)上/(x)</(0)=0恒成立,不合题意 .x×是/(x)=0的两个根. 由0<x<1<x.<3.结合二次函数的性质得: f'(0)=20. 练案[18] /'(3)-9-3+20. A组·基础自测 5.(o) 1. A /'(t)=6x*-12x=6x(t-2). 由题知,x>0/'(x)=lnx+1-2ax,由于函数f(x) ·fx)在(-2.0)上为增函数,在(0.2)上为减函数. 有两个极值点,则/'(x)=0有两个不等的正根,即函数y= .当x=0时f(x)=m最大. lnx+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0),则a>0; .m=3.从而/(-2)--37. 设函数y=lnx+1上任一点(x,1+lnxo)处的切线为1.则k! (2)=-5. 2.最小值为-37.:.故选A. 过2. B .f'(x)=1-2sinx=0,xe [0.吾]时,sinx-. 6./(x)-alnx-b(o), .当:e [0.吾)时/“(x)>0.)(x)是增函数. /'(x)-a(1-lnx)-be(x-1) 12} 当xe{ (吾吾]时/'(x)<0(x)是减函数, 由'(e)-0.则b-0.则/'(x)-a(1-lnx) 即x-时(x)取最大值,故选B. 当a0时f(x)在(0.e)内大于0.在(e.+x)内小于0. -169- 3. D 设|PO=. $PB =$PB |.乙 APB + B$ PB=1802 此时/f-3)=9+c=21$3)=-9 c=3.f2)=-1 16 +乙B. PB=180,则乙APB.=2a,则有|PB =ysina和$ -4. IPA =PB loos APB =|PBleos 2x. 因此(fx)在[-3.3]的最小值为f(2)=-4 代入|ABl=|PAl+|PBl-6.解得:y-sina(I+cos 2)= 6 一10.(1)'(t)=-x(t2). 06 -2sina(1-sina)' 由x(x+2)>0,解得x>0或x<-2. (o). 所以(-×,-2).(0.4)为fx)的增区间. 令g(t)=2t(1-?)和t=sinae 由x(x+2)<0.得-2<x<0. 所以(-2.0)为/(x)的减区间. 此时 #()-)-40.求得此时y-- 所以/(x)的单调增区问为(-.-2).(0.+x);单调减区 间为(-2.0). 故选D. (2)令f'(x)-0.得x=0或x=-2. 因为(-2)-2(2)-2^(0)=0. 4.C定义在闭区间[a.b]上的函数y=f(x)有唯一的极值点 x=x,且y=f(xo).函数/(x)在区间[a.xo)上单调递 所以/(x)e[0,2e]. 减,在区间(xo.b]上单调递增,.当x=x。时,函数f(x)有极 小值,也为最小值.选C. 又因为/f(x)>m恒成立,所以m<0 5.A 因为/(tx)=3*-3=3(x-1)(¥+1)令f'(x)=0.得 B组·素养提升$ 故m的取值范围为(-,0). =+1,所以-1.1为函数的极值点.又/f-3)=-19Jf-1 =1.f(1)=-3.f(2)=1,所以在区间[-3.2]上f(x)=. 1.BC f'(x)=3x-3a.且/'(x)=0有解, fx)=-19.又由题设知在区间[-3,2]上fx)-fx .a=}. 又xE(0.1). <7.从面1>20,所以.的最小值是20. :0<a<1. $$.3 2 \令f'(x)=3x-12=0.得x=-2或$t =$$ 2.A 因为函数/(x)-x-定义域为xtx*0{,其关于原点 列表得: -3(-3-2) -2(-2.2) (2.3) 对称,而/(-x)=-f(x). /“() 0 所以函数f(x)为奇函数. ,极大值24 () 17 ■极小值-8 ) 又因为函数y=x在(0,+x)上单调递增,在(-,0)上单 调递增, 可知M=24.m=-8..M-m=32. 故答案为32. 7.(-4.-2)/(x)=m-2x令/'(x)=0.得x=” 递减, 所以函数/(x)-r'-在(0.+)上单调递增,在(-,0) 由题设得-2<-<-1,故me(-4,-2). 上单调递增. 8. -71 f'()=3”-6x-9=3(x-3)(+1). 故选A. 由/'(x)=0得x=3或x=-1. 3.D 当x 0时f(x)=2+3r+1. 又$f-4)=k-76f3)=k-27 f-1)=k+5j(4)=k-20 '.f'(x)=6x*+6x. 由/(x)=0得x=-1或x=0 由f(x)=k+5=10.得k=5. 当xe[-1.0)时f(x)<0; .f(x)=k-76=-71. 当x=(-*,-1)时,f(x)>0;故函数在[-2.0]上的最大 9.(1)f(x)=ax+brx+c f'(x)=3ax}+b. 值为/f-1)=-2+3+1=2. ·/fx)在点x=2处取得极值c-16 又f(x)在[-2.2]上的最大值为2 .(2)-c-16. [/'(2)=0. 故/x)=e“在(0.2]上的最大值小于等于2 即12-o16 由e“<2在(0,2]上恒成立可知^*<2,即asn2. 18a+2+c=c-16 .a的取值范围是(-~,1n2].故选D. 化简得{12a+6=0. 14+b=-8. 过4.2-2n 2+2a令F'(t)-1-2-x-2-0得x2. 当xe(0.2)时F'(x)<0,当xE(2.+x)时,F'(x)>0 (2)由(1)知/(x)=-12x+cf'(x)=3x-12 .当x=2时F(x).=F(2)=2-2ln2+2 令/'(x)=0,得x=-2.x=2 5.[e.+x)f(x)>2即a>2x-2xlnx. 当x=(-*,-2)或xE(2.+x)时,f'(x)>0./(x)在 令g(x)=2x-2x2lnxx>0. (-,-2)和(2.+)上为增函数, 则g'(x)=2x(1-2lnx). 当xe(-2.2)时f'(x)<0f(x)在(-2.2)上为减函数 由g’(x)=0得x=. 由此可知/f(x)在x=-2处取得极大值/(-2)=16+c.f(x) 在x=2处取得极小值/(2)=c-16,由题设条件知16+c= 且o<x<e时,g'(x)>0;当xe时g(x)o 28得c=12. x=e时,g(x)取最大值g(e)=e..ae -170- 6.(1)当a=1时 (x)=x-lnxf'(x)=1-1x-1. 则g(x)=x+2x+a不能恒大于等于0. 故存在x使得g(x)<0. 即g(x)=x*+2x+a有2个不相等的实数根 即函数y=f'(x)的零点个数为2个,故选C. 4.B 函数y=/f(x)有零点等价于方程e-x=a有解,令g(x) = *-x.g'(x)=e-1. 即x-2y+2-2ln2=0 当x>0时,g’(x)>0.函数g(x)单调递增;当x<0时,g'(x) (2)假设存在实数a,使/(x)=ax-lnx在区间(0.e]上的最 <0.函数g(x)单调递减,又g(0)=1.所以a→1.故选B. 小值是3. 5.A 作轴截面如图所示,设圆杜体高为 /'(c)=-1-1 2h.则底面半径为 R-^,圆杜体体积 某 ①当a<0时Jf(x)在(0.e]上是减函数, 为V=π·(R-h)·2 h=2nR 故/f(x)=/(e)=ae-1-3, -2rh3. 解得。-4(舍去). 令=0得2-R-6mh-0 所以此时不存在符合题意的实数a; ②当0<<e.即a>士时,/(x)在(0.)上是减函数,在 的体积最大. 6.e/'(x)-(x-1),当x>o时,令/'(x)>0.解得x>1,令 (&上是增函数,故j(x)=f()-1+lna=3.解得。 ,2 f'(x)<0,解得0<x<1,故f(x)在(0.1)上单调递减,在(1. -e?,满足条件: +2)上单调递增,故f(x).=f(1)=e+a=2e,解得a=e. ③当士=e,即0<as一时,f(x)在(0.e]上是减函数,故 7.(7.+x)f'(x)=3x-x-2.令f'(x)=0 得-) fx)=)(e)=ae-1-3.解得a-4(舍去),所以此时不存 可求得/f(x)=f(2)=7. 在符合题意的实数a. 过8.[1.)/'(x)=(1nx-1). 所以对于任意x[-1.2].f(x)<m恒成立时,n>7 综上,存在实数a=e{,使fx)在区间(0.e]上的最小值是3. C组·探索创新 B 将问题转化为(-x-2k+1)-(-x°-4x+1)>0桓 令g(x)=lnx+1-1. 成立,再分离出k,再求函数的最小值即可. 则g(x)-1----1. 当xe[-3.3]时,直线恒在曲线C的上方, 82 ) 等价于当x[-3.3]时,(-x-2k+1)- 当0<x<1时,g(x)<0,函数单调递减. (-4x+1)o桓成立, 当x1时,g'(x)>0.函数单调递增; # 故g(x)>g(1)=0,即f'(x)=0恒成立. 从而/f(x)在(0.+x)上单调递增,且/f(1)=-e.故m>l 9.每月生产x吨时的利润为 (#x)#(24200)-(000 20分) -1-(3-)(14)(:e[-3.3). f'(x)>0时,-1<x<3;f'(x)<0时,-3<x<-1. 3#.24000. 所以函数(x)---x在[-3.-1)上单调递^ 由/(x)=- 解得x=200.x。=-200(舍去). 减,在(-1.3]上单调递增 因/(x)在[0.+×)内只有一个点x=200使f'(x)=0,故它就 是最大值点,且最大值为:f(200)--x200+240×200 选B. -50000=3150 000(元) 练案[19] 答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315 万元. A组·基础自测 过10.(1)由于/(x)-ax+1 1.C 瞬时变化率即为f'(x)=x{}-2x,为二次函数,且/'(x)= (x-1)?-1.又xe[0,5]. 当a0时,对于xe(0.+).有f(x)>0桓成立, 故x=1时f(x)=-1. 即/(x)在(0.+x)上是增函数. 1。(0+×). 当a<0时,由/(x)-0.得x--- 4.256 当0<x<8时.$<0.当x>8时.$>0.故x=8时$最小 3.C f'(x)=(x}+2x+a)e. 若函数f(x)=(+a)e*有最小值, -171-