5.3.1 函数的单调性(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［１６］ 第五章　 一元函数的导数及其应用 ５． ３　 ［５． ３． １　 函数的单调性］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列函数中，在（０，＋ ∞）内为增函数的是 （Ｂ ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘｅ２ Ｃ． ｙ ＝ ｘ３ － ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｌｎ ｘ － ｘ ２．下面的命题中，正确的是 （Ｃ ） Ａ．可导的奇函数的导函数仍是奇函数 Ｂ．可导的偶函数的导函数仍是偶函数 Ｃ．可导的周期函数的导函数仍是周期函数 Ｄ．可导的单调函数的导函数仍是单调函数 ３．函数ｆ（ｘ）＝ ５ｘ ＋ ｌｎ ｘ的单调递减区间为 （Ｂ ） Ａ．（－ ∞，５） Ｂ．（０，５） Ｃ．（５，＋ ∞） Ｄ．（０，＋ ∞） ４．若函数ｆ（ｘ）＝ － ｃｏｓ ｘ ＋ ａｘ为增函数，则实数 ａ的取值范围为 （Ｂ ） Ａ．［－ １，＋ ∞） Ｂ．［１，＋ ∞） Ｃ．（－ １，＋ ∞） Ｄ．（１，＋ ∞） ５．设ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数，将ｙ ＝ ｆ（ｘ）和 ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图象画在同一个直角坐标系中， 下列选项不正确的是 （Ｄ ） 二、填空题 ６．（２０２４·沙市区校级期中）函数ｙ ＝ ｘ３ － ｘ２ － ｘ 的单调增区间为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ７．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ２ｃｏｓ ｘ（０≤ｘ≤２π）的单调递减 区间为　 　 　 　 　 　 　 　 ． ８．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２（ｘ － ａ）． （１）若ｆ（ｘ）在（２，３）上单调，则实数ａ的取值 范围是　 　 　 　 　 　 　 ． （２）若ｆ（ｘ）在（２，３）上不单调，则实数ａ的取 值范围是　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．求下列函数的单调区间： （１）ｆ（ｘ）＝ ３ｘ２ － ２ｌｎ ｘ； （２）ｆ（ｘ）＝ ｘ２·ｅ － ｘ                                                                ． —１０８— １０．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ａｘ － ２ｌｎ ｘ（ａ≥０），若函 数ｆ（ｘ）在其定义域上为单调函数，求ａ的取 值范围． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）＝ １３ ａｘ ３ ＋ ｘ２ ＋ ａｘ ＋ １有三个不同的单调区间，则实数ａ的取 值范围是 （Ｄ ） Ａ．（－ ∞，－ １）∪（１，＋ ∞）　 Ｂ．［－ １，０）∪（０，１］ Ｃ．（－ １，１） Ｄ．（－ １，０）∪（０，１） ２．（多选题）下列图象中，可以作为函数ｆ（ｘ）＝ １ ３ ｘ ３ ＋ ａｘ２ ＋（ａ２ －１）ｘ ＋１（ａ∈Ｒ）的导函数ｆ ′（ｘ） 的图象的是 （　 ） ３．（多选题）已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，其导 函数ｆ ′（ｘ）的图象如图所示，则对于任意ｘ１， ｘ２∈Ｒ（ｘ１≠ｘ２），下列结论正确的是（　 ） Ａ．（ｘ１ － ｘ２）［ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ２）］＜ ０ Ｂ．（ｘ１ － ｘ２）［ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ２）］＞ ０ Ｃ． (ｆ ｘ１ ＋ ｘ２ )２ ＞ ｆ（ｘ１）＋ ｆ（ｘ２） ２ Ｄ． (ｆ ｘ１ ＋ ｘ２ )２ ＜ ｆ（ｘ１）＋ ｆ（ｘ２） ２ 二、填空题 ４．在Ｒ上可导的函数ｆ（ｘ）的图象如图所示，则 关于ｘ的不等式ｘ ｆ ′（ｘ）＜ ０的解集为（－ ∞，－ １）∪（０，１）　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ３ － ｘ ２ ｅｘ 在区间（ｍ，ｍ ＋ ２）上单 调递减，则实数ｍ的取值范围为［－ １，１］　                                                                      ． —１０９— 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ，且ｆ ′（－１）＝０ （ａ≠１）． （１）试用含ａ的代数式表示ｂ； （２）求ｆ（ｘ）的单调区间． Ｃ组·探索创新 　 设函数ｆ（ｘ）＝ １ｘｌｎ ｘ（ｘ ＞ ０且ｘ≠１）． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）已知２ １ｘ ＞ ｘａ对任意ｘ∈（０，１）成立，求实 数ａ的取值范围                                                                    ． —１１０— 练案［１６］ Ａ组·基础自测 １． Ｂ　 对于Ｂ，ｙ ＝ ｘｅ２，则ｙ′ ＝ ｅ２，∴ ｙ ＝ ｘｅ２ 在Ｒ上为增函数，在 （０，＋ ∞）上也为增函数，选Ｂ． ２． Ｃ　 排除法，对于Ａ，取ｙ ＝ ｘ３ 可验证其错误；对于Ｂ，取ｙ ＝ ｘ２ 可验证其错误；对于Ｄ，取ｙ ＝ ｘ３可验证其错误． ３． Ｂ　 易知，函数ｆ（ｘ）定义域为（０，＋ ∞），ｆ ′（ｘ）＝ － ５ ｘ２ ＋ １ｘ ，令 ｆ ′（ｘ）＜０得０ ＜ ｘ ＜５．故ｆ（ｘ）的单调递减区间为（０，５）．故选Ｂ． ４． Ｂ　 由题意可得，ｆ ′（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ａ≥０恒成立，故ａ≥ － ｓｉｎ ｘ恒 成立．因为－ １≤ － ｓｉｎ ｘ≤１，所以ａ≥１．故选Ｂ． ５． Ｄ　 Ａ．将上方的图象记为ｆ（ｘ）的图象，将下方的图象记为ｆ ′ （ｘ）的图象，ｆ（ｘ）为增函数时ｆ ′（ｘ）＞ ０，反之ｆ（ｘ）为减函数而 ｆ ′（ｘ）＜ ０，符合函数的单调性与导数的关系，正确； Ｂ．①为ｆ（ｘ）的图象，②为ｆ ′（ｘ）的图象， ｆ（ｘ）为增函数而ｆ ′（ｘ）＞ ０，符合函数的单调性 与导数的关系，正确； Ｃ．将下方的图象记为ｆ（ｘ）的图象，上方的图 象记为ｆ ′（ｘ）的图象， ｆ（ｘ）为增函数，而ｆ ′（ｘ）≥０，符合函数的单调性与导数的关 系，正确； Ｄ．无论哪个函数的图象为ｆ ′（ｘ）的图象，都有ｆ ′（ｘ）≤０或 ｆ ′（ｘ）≥０恒成立， 即函数ｆ（ｘ）是单调函数，错误． 故选Ｄ． ６． － ∞，－( )１３ ，（１，＋ ∞）　 由ｙ ＝ ｘ３ － ｘ２ － ｘ，∴ ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ２ｘ － １ ＝ ３ ｘ ＋( )１３ （ｘ － １）． 令ｆ ′（ｘ）＞ ０，解得ｘ ＞ １或ｘ ＜ － １３ ． 函数ｆ（ｘ）的单调递增区间是－∞，－( )１３ ，（１，＋∞）． 故答案为－ ∞，－( )１３ ，（１，＋ ∞）． ７． π６ ， ５π( )６ 　 ∵函数ｙ ＝ ｘ ＋ ２ｃｏｓ ｘ，∴ ｙ′ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ ＜ ０， ∴ ｓｉｎ ｘ ＞ １２ ， 又∵ ｘ∈［０，２π］，∴ ｘ∈ π６ ， ５π( )６ ，故答案为π６ ，５π( )６ ． ８．（１）（－ ∞，３］∪ ９２ ，＋[ )∞ 　 由ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ａｘ２，得 ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ ｘ － ２ａ( )３ ． 若ｆ（ｘ）在（２，３）上单调，则有ｆ ′（２）＝ １２ － ４ａ≥０或ｆ ′（３）＝ ２７ － ６ａ≤０，∴ ａ≤３或ａ≥ ９２ ． （２） ３，( )９２ 　 由ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ａｘ２，得ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ２ａｘ ＝ ３ｘ ｘ － ２ａ( )３ ．若ｆ（ｘ）在（２，３）上不单调，则有 ２ａ ３ ≠０， ２ ＜ ２ａ３ ＜ ３ { ，可得 ３ ＜ ａ ＜ ９２ ． ９．（１）函数的定义域为Ｄ ＝（０，＋ ∞）． ∵ ｆ ′（ｘ）＝ ６ｘ － ２ｘ ，令ｆ ′（ｘ）＝ ０，得ｘ１ ＝槡 ３ ３ ，ｘ２ ＝ －槡 ３ ３ （舍去）． 用ｘ１分割定义域Ｄ，得下表： (ｘ ０，槡３ )３ 槡３ (３ 槡３３ ，＋ )∞ ｆ ′（ｘ） － ０ ＋ ｆ（ｘ）   ∴函数ｆ（ｘ） (的单调递减区间为０，槡３ )３ ， ( 单调递增区间为 槡３ ３ ，＋ )∞ ． （２）函数的定义域为Ｄ ＝（－ ∞，＋ ∞）． ∵ ｆ ′ （ｘ） ＝ （ｘ２）′ ｅ － ｘ ＋ ｘ２ （ｅ － ｘ）′ ＝ ２ｘｅ － ｘ － ｘ２ ｅ － ｘ ＝ ｅ － ｘ（２ｘ － ｘ２）， 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，由于ｅ － ｘ ＞ ０，∴ ｘ１ ＝ ０，ｘ２ ＝ ２． 用ｘ１，ｘ２分割定义域Ｄ，得下表： ｘ （－ ∞，０） ０ （０，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） － ０ ＋ ０ － ｆ（ｘ）    ∴ ｆ（ｘ）的单调递减区间为（－ ∞，０）和（２，＋ ∞），单调递增区 间为（０，２）． １０． ｆ ′（ｘ）＝ ａ ＋ ａ ｘ２ － ２ｘ ， 要使ｆ（ｘ）在定义域（０，＋ ∞）内为单调函数， 则在（０，＋ ∞）内ｆ ′（ｘ）恒大于等于０或恒小于等于０． 当ａ ＝ ０时，ｆ ′（ｘ）＝ － ２ｘ ＜ ０在（０，＋ ∞）内恒成立； 当ａ ＞ ０时，要使ｆ ′（ｘ）＝ ａ １ｘ － １( )ａ ２ ＋ ａ － １ａ ≥０恒成立， 则ａ － １ａ ≥０，解得ａ≥１． 综上，ａ的取值范围为｛ａ ｜ ａ ＝ ０或ａ≥１｝． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 根据题意知，ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ａ，若函数ｆ（ｘ）＝ １３ ａｘ ３ ＋ ｘ２ ＋ ａｘ ＋ １有三个不同的单调区间，则ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ａ ＝ ０ 有两个不相等的实根，Δ ＝ ４ － ４ａ２ ＞ ０，且ａ≠０，解得－ １ ＜ ａ ＜ １，且ａ≠０． 故实数ａ的取值范围是（－ １，０）∪（０，１）． ２． ＡＣ　 ∵ ｆ ′（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋（ａ２ － １），∴导函数ｆ ′（ｘ）的图象开 口向上．当ａ≠０时，ｆ ′（ｘ）不是偶函数，其图象不关于ｙ轴对 称，∴ ｆ ′（ｘ）的图象可以为Ｃ项图．当ａ ＝ ０时，ｆ ′（ｘ）＝ ｘ２ － １， 为Ａ项图．故选ＡＣ． ３． ＡＤ　 由题中图象可知，导函数ｆ ′（ｘ）的图象在ｘ轴下方，即 ｆ ′（ｘ）＜ ０，且其绝对值越来越小，因此过函数ｆ（ｘ）图象上任 一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来 越大的钝角，由此可得ｆ（ｘ）的大致图象如图所示． Ａ选项表示ｘ１ － ｘ２与ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ２）异号，即ｆ（ｘ）图象的割线 斜率ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ２）ｘ１ － ｘ２ 为负，故Ａ正确；Ｂ选项表示ｘ１ － ｘ２与ｆ（ｘ１                                                                       ） —１６７— － ｆ（ｘ２）同号，即ｆ（ｘ）图象的割线斜率ｆ（ｘ１）－ ｆ（ｘ２）ｘ１ － ｘ２ 为正，故Ｂ 不正确；ｆ ｘ１ ＋ ｘ２( )２ 表示ｘ１ ＋ ｘ２２ 对应的函数值，即图中点Ｂ的纵 坐标，ｆ（ｘ１）＋ ｆ（ｘ２）２ 表示当ｘ ＝ ｘ１和ｘ ＝ ｘ２ 时所对应的函数值 的平均值，即图中点Ａ 的纵坐标，显然有ｆ ｘ１ ＋ ｘ２( )２ ＜ ｆ（ｘ１）＋ ｆ（ｘ２） ２ ，故Ｃ不正确，Ｄ正确．故选ＡＤ． ４．（－ ∞，－ １）∪（０，１）　 由ｘ ｆ ′（ｘ）＜ ０，可得ｘ ＞ ０，ｆ ′（ｘ）{ ＜ ０或 ｘ ＜ ０， ｆ ′（ｘ）＞ ０{ ，由题图可知当－ １ ＜ ｘ ＜ １时，ｆ（ｘ）单调递减， ｆ ′（ｘ）＜ ０，当ｘ ＜ － １或ｘ ＞ １时，ｆ（ｘ）单调递增，ｆ ′（ｘ）＞ ０，则 ｘ ＞ ０， － １ ＜ ｘ{ ＜ １或ｘ ＜ ０，ｘ ＜ － １或ｘ ＞ １{ ，解得０ ＜ ｘ ＜ １或ｘ ＜ － １， ∴ ｘ ｆ ′（ｘ）＜ ０的解集为（－ ∞，－ １）∪（０，１）． ５．［－ １，１］　 ｆ ′（ｘ）＝（ｘ － ３）（ｘ ＋ １） ｅｘ ， 令ｆ ′（ｘ）＜ ０，解得－ １ ＜ ｘ ＜ ３， 故ｆ（ｘ）在（－ １，３）上递减，故（ｍ，ｍ ＋ ２）（－ １，３）， 故ｍ≥ － １， ｍ ＋ ２≤３{ ，解得－ １≤ｍ≤１，故答案为［－ １，１］． ６．（１）依题意，得ｆ ′（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ｂ， 由ｆ ′（－ １）＝ １ － ２ａ ＋ ｂ ＝ ０得ｂ ＝ ２ａ － １． （２）由（１）得ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ ＋ ａｘ２ ＋（２ａ － １）ｘ， 故ｆ ′（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ２ａ － １ ＝（ｘ ＋ １）（ｘ ＋ ２ａ － １）， ∵ ａ≠１，∴ －１≠１ － ２ａ． 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ － １或ｘ ＝ １ － ２ａ． ①当ａ ＞ １时，１ － ２ａ ＜ － １， 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ）与ｆ（ｘ）的变化情况如下表： ｘ （－ ∞，１ － ２ａ）（１ － ２ａ，－ １）（－ １，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ － ＋ ｆ（ｘ）    由此可得，函数ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－ ∞，１ － ２ａ）和（－ １， ＋ ∞），单调递减区间为（１ － ２ａ，－ １）． ②当ａ ＜ １时，１ － ２ａ ＞ － １，同理可得函数ｆ（ｘ）的单调递增区 间为（－ ∞，－ １）和（１ － ２ａ，＋ ∞），单调递减区间为（－ １，１ － ２ａ）． 综上，当ａ ＞ １时，函数ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－ ∞，１ － ２ａ） 和（－ １，＋ ∞），单调递减区间为（１ － ２ａ，－ １）； 当ａ ＜ １时，函数ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－ ∞，－ １）和（１ － ２ａ，＋ ∞），单调递减区间为（－ １，１ － ２ａ）． Ｃ组·探索创新 　 （１）ｆ ′（ｘ）＝ － ｌｎ ｘ ＋ １ ｘ２ ｌｎ２ｘ ．若ｆ ′（ｘ）＝ ０，则ｘ ＝ １ｅ ． 列表如下： ｘ ０，１( )ｅ １ｅ ，( )１ （１，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ － － ｆ（ｘ） 单调递增 单调递减 单调递减 所以ｆ（ｘ）的单调递增区间为０，１( )ｅ ，单调递减区间为 １ ｅ ，( )１ 和（１，＋ ∞）． （２）在２ １ｘ ＞ ｘａ两边取对数，得１ｘ ｌｎ ２ ＞ ａｌｎ ｘ． 由于０ ＜ ｘ ＜ １，所以ａｌｎ ２ ＞ １ ｘｌｎ ｘ．① 由（１）的结果知， 当ｘ∈（０，１）时，ｆ（ｘ）≤ｆ １( )ｅ ＝ － ｅ． 为使①式对所有ｘ∈（０，１）成立，当且仅当ａｌｎ ２ ＞ － ｅ，得ａ ＞ － ｅｌｎ ２． ∴实数ａ的取值范围为（－ ｅｌｎ ２，＋ ∞）． 练案［１７］ Ａ组·基础自测 １． Ｄ　 由函数极值的有关概念知Ａ、Ｂ、Ｃ说法都不正确，故选Ｄ． ２． Ｄ　 ｆ（ｘ）有极值的充要条件是ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ １ ＝ ０有两个 不相等的实根，即４ａ２ － ４ａ ＞ ０，解得ａ ＜ ０或ａ ＞ １．故选Ｄ． ３． Ｃ　 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负 右正，又函数ｆ（ｘ），ｘ∈Ｒ有唯一的极值，故当ｘ∈（－∞，１）时， ｆ ′（ｘ）≤０；当ｘ∈（１，＋∞）时，ｆ ′（ｘ）≥０． ４． Ｄ　 函数ｆ（ｘ）＝ ｘ（ｘ － ｃ）２的导数为ｆ ′（ｘ）＝（ｘ － ｃ）２ ＋ ２ｘ（ｘ － ｃ）＝（ｘ － ｃ）（３ｘ － ｃ）， 由ｆ（ｘ）在ｘ ＝２处有极大值，即有ｆ ′（２）＝０，即（ｃ －２）（ｃ －６）＝０， 解得ｃ ＝ ２或６，若ｃ ＝ ２时，ｆ ′（ｘ）＝ ０，可得ｘ ＝ ２或２３ ， 由ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ２处导数左负右正，取得极小值， 若ｃ ＝ ６，ｆ ′（ｘ）＝ ０ ，可得ｘ ＝ ６或２ ， 由ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ２处导数左正右负，取得极大值． 综上可得ｃ ＝ ６． ５． Ｄ　 ｙ′ ＝ ３ｘ２ － ２ａ，因为函数在（０，１） 内有极小值， 所以ｙ′ ＝ ３ｘ２ － ２ａ ＝ ０在（０，１）内必 有实数解， 记ｆ （ｘ） ＝ ３ｘ２ － ２ａ，如图所以 ｆ（０）＝ － ２ａ ＜ ０， ｆ（１）＝ ３ － ２ａ ＞ ０{ ，解得０ ＜ ａ ＜ ３２ ， 故选Ｄ． ６． － ∞，( )１４ 　 ∵ ｆ ′（ｘ）＝ ｘ２ － ｘ ＋ ｃ且ｆ（ｘ）有极值， ∴ ｆ ′（ｘ）＝ ０有不等的实数根， 即Δ ＝ １ － ４ｃ ＞ ０，解得ｃ ＜ １４ ． ７． ３　 ∵函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ ， ∴ ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ａ ｘ２ ， ∵ ｘ ＝ １是函数ｆ（ｘ）的一个极值点， ∴ ｆ ′（１）＝ ０，即３ － ａ ＝ ０，∴ ａ ＝ ３．经验证ａ ＝ ３符合题意．故 答案为３． ８． ３　 ｆ ′（ｘ）＝ ２ｘ（ｘ ＋ １）－（ｘ ２ ＋ ａ） （ｘ ＋ １）２ ＝ ｘ ２ ＋ ２ｘ － ａ （ｘ ＋ １）２ ， 由题意得ｆ ′（１）＝ ３ － ａ４ ＝ ０，解得ａ ＝ ３．经检验，ａ ＝ ３符合 题意． ９．（１）∵ ｆ（ｘ）＝ ２ｘ３ ＋ ３ｘ２ ＋ ａｘ ＋ ｂ， ∴ ｆ ′（ｘ）＝ ６ｘ２ ＋ ６ｘ ＋ ａ， 曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（０，ｆ（０））处的切线方程为ｙ ＝ － １２ｘ ＋ １， 所以ｆ（０）＝ ｂ ＝ １，ｆ ′（０）＝ ａ ＝ － １２                                                                       ， —１６８—