5.1.2 导数的概念及其几何意义(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［１３］ 第五章　 一元函数的导数及其应用 ５． １　 ［５． １． ２　 导数的概念及其几何意义］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设ｆ ′（ｘ０）＝ ０，则曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（ｘ０， ｆ（ｘ０））处的切线 （Ｂ ） Ａ．不存在 Ｂ．与ｘ轴平行或重合 Ｃ．与ｘ轴垂直 Ｄ．与ｘ轴斜交 ２．（２０２４·阜阳高二检测）函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象 在点Ｐ（５，ｆ（５））处的切线方程是ｙ ＝ － ｘ ＋ ８， 则ｆ（５）＋ ｆ ′（５）＝ （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ３．如果曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线 方程为ｘ ＋ ２ｙ － ３ ＝ ０，那么 （Ｂ ） Ａ． ｆ ′（ｘ０）＞ ０ Ｂ． ｆ ′（ｘ０）＜ ０ Ｃ． ｆ ′（ｘ０）＝ ０ Ｄ． ｆ ′（ｘ０）不存在 ４．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图所示，则ｆ ′（ｘＡ） 与ｆ ′（ｘＢ）的大小关系是 （Ｂ ） Ａ． ｆ ′（ｘＡ）＞ ｆ ′（ｘＢ） Ｂ． ｆ ′（ｘＡ）＜ ｆ ′（ｘＢ） Ｃ． ｆ ′（ｘＡ）＝ ｆ ′（ｘＢ） Ｄ．不能确定 ５．如图所示，函数ｆ（ｘ）的图象是折线段ＡＢＣ，其 中Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为（０，４），（２，０），（６， ４），则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（１ ＋ Δｘ）－ ｆ（１） Δｘ ＝ （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． － ２ Ｃ． ２ Ｄ． ３ 二、填空题 ６．若ｆ ′（２）＝ ３，则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（２ ＋ Δｘ）－ ｆ（２） Δｘ ＝ ３　 ． ７．已知曲线ｆ（ｘ）＝ ２ｘ２ ＋ ４ｘ在点Ｐ处的切线的 斜率为１６，则点Ｐ的坐标为（３，３０）　 ． ８．（２０２４·河南郑州一中高二检测）已知曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ２ｘ２ ＋ ａ在点Ｐ处的切线方程为 ８ｘ － ｙ － １５ ＝ ０，则实数ａ的值为－ ７　 ． 三、解答题 ９．已知曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ２ｘ２上一点Ａ（１，２），求： （１）曲线在点Ａ处的切线的斜率； （２）曲线在点Ａ处的切线方程                                                                ． —１０２— １０．已知曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ １ｔ － ｘ上两点Ｐ（２，－ １）， (Ｑ － １， )１２ ． （１）求曲线在点Ｐ，Ｑ处的切线的斜率； （２）求曲线在Ｐ，Ｑ处的切线方程． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．已知函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的图象 如图所示，则下列说法正确的是 （Ｄ ） Ａ． ｆ（ｘ）在ａ到ｂ之间的平均变化率大于ｇ（ｘ） 在ａ到ｂ之间的平均变化率 Ｂ． ｆ（ｘ）在ａ到ｂ之间的平均变化率小于ｇ（ｘ） 在ａ到ｂ之间的平均变化率 Ｃ．对于任意ｘ０∈（ａ，ｂ），函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处 的瞬时变化率总大于函数ｇ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处 的瞬时变化率 Ｄ．存在ｘ０∈（ａ，ｂ），使得函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处 的瞬时变化率小于函数ｇ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的 瞬时变化率 ２．已知曲线ｙ ＝ １２ ｘ ２ － ２上一点 (Ｐ １，－ ３ )２ ，则 过点Ｐ的切线的倾斜角为 （Ｂ ） Ａ． ３０°　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ４５° Ｃ． １３５° Ｄ． １６５° ３．（多选题）已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在自变量ｘ０处的 改变量为Δｘ，函数值的改变量为Δｙ，ｆ（ｘ）在 ｘ０处的导数值为ｆ ′（ｘ０），下列等式中正确的 是 （　 ） Ａ． ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ Ｂ． ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍｘ→ｘ０ ｆ（ｘ）－ ｆ（ｘ０） ｘ － ｘ０ Ｃ． ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ［ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０）］ Ｄ． ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ 二、填空题 ４．已知二次函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的导数为 ｆ ′（ｘ），ｆ ′（０）＞ ０，且对于任意实数ｘ，有ｆ（ｘ） ≥０，则ｆ（１）ｆ ′（０）的最小值为２　 　 　 ． ５．设Ｐ为曲线Ｃ：ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ３上的点，且曲线 Ｃ在点Ｐ处切线倾斜角的取值范围为０，π[ ]４ ， 则点Ｐ横坐标的取值范围为　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ２ － ９ｘ － １（ａ ＜ ０），若曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的斜率最小的切线与直线１２ｘ ＋ ｙ ＝ ６ 平行，求ａ的值． Ｃ组·探索创新 　 过点（－ １，－ ２）且与曲线ｙ ＝ ２ｘ － ｘ３相切的直 线方程为ｙ ＝ ２ｘ或１９ｘ ＋ ４ｙ ＋ ２７ ＝ ０　                                                                      ． —１０３— 则1m名+Ar)-几】 30 3.B由x+2y-3=0知斜*=-之 =1m2G+24x+(4x)]-7-26+7 : 4f"()=-五<0， 10 △r lim(4xo +2Ax)=4xo 4.B由图象易知，点A,B处的切线斜率k,km满足k,<km<0 所以4x。=8,解得x=2 由导数的几何意义，得f'(x)<f'(x): 所以P的坐标为(2.1). 5.B函数)={-2x+4,0≤x≤2， 4.2根据题意，函数x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化 lx-2,2<x≤6 *为是- =m+1,∴.m+1=3则m=2. 1+-=-21+0+4-2-2 Ax m一1 6.3由导数的定义可知应为3. 5.1△y=f-1+△x)-f-1)=a(-1+△x)3+2-a(-1)2 -2=a(△x)3-3a(△x)2+3aAx 7.(3.30)设点P(x0,2x6+4x。) -a(△'-3a(△)'+3a△=a(4r)2-3a4r+3a.当 ()+8圆 △x △x △x无限趋近于0时，a(△x)2-3a△r+3a无限趋近于3a.k 24)2+4·△+4a=4。+4, = =30=3,,a=1. 令40+4=16得x。=3,∴.点P的坐标为(3,30) 位移变化量为4=3×子+2-(3×3°+2)=3×(5-3)8.-7设点P(,2+a).由导数的几何意义可得/'() 6(1)物体在1e[3,5]内的时间变化量为△1=5-3=2， =48, lim Ay=lim2 2(6+4x2+a-(26+a）=4。=8=2, ·物体在te[3,5]内的平均速度为 Ar -号-24amo .P(2,8+a).将x=2,y=8+a代人8x-y-15=0,得a= -7. (2)求物体的初速度，即求物体在1=0时的瞬时速度。 9.(1)k=f')==1+-四 △x :物体在：=0附近位移的平均变化率为 =1im21+4x2-2x2 Ar-0 △x f0+△)-0 △ _29+3(0+4r)-3]2-29-3(0-3 =与 =lim(4+2△x)=4, =3△h-18. “曲线在点A处的切线的斜率为4. ∴.物体在1=0处位移的瞬时变化率为 (2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4. -(3-18)=-l8, .切线方程是y-2=4(x-1),即y=4x-2. 即物体的初速度=-l8m/s 10将点P代2.-)代人y=亡得=1， (3)物体在：=1时的瞬时速度即为物体在=I处位移的瞬时 所以y产亡 变化率 1 ,物体在1=1附近位移的平均变化率为 4=1+△)-1) y=mx+△=包=m-x+A- △x △r -29+31+）-3-29-31-3》=34-12. =i1-(x+4x)](1-x)△ 1 物体在1=1处位移的瞬时变化*为四出=四(30-12) =m1-x-400-(1- =-12, ()曲线在点P处的切线斜率为八，：=1-2=1 即物体在1=1时的瞬时速度为-12m/ C组·探索创新 曲线在点Q处的切线斜率为y八：-1=4 4 2球的体积V与半径R的关系式为V(R)=子πR,当半径 (2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2, 即x-y-3=0. 从R=1到R=m时，△R=m-1,△V=4 m2-子，所以有 线在点Q处的切践方程为y-子=x-(-1。 能- 4 即x-4y+3=0. m128 m,解得m=2(m=-3舍去). B组·素养提升 1.D对于A,B,f(x)在a到b之间的平均变化举 练案[13] 是6)-a b-a A组·基础自测 1.B由导数的几何意义知B正确，故应选B. ()在a到b之间的平均变化率是b〉=( 6-a 2.C,y=f尺x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程为y=-x b)a_b)二，即二者相等： +8,可得y=f八x)在点P(5,(5))处的切点纵坐标和切线斜 b-a 6-a 率分别为f(5)=-5+8=3.f'(5)=-1.则f(5)+f"(5) ,选项A,B错误： =2. 对于C、D,,函数x)在x=x。处的瞬时变化率是函数f代x) 一163 在x=处的导数. ,.该切线斜率为-12 即函数x)在该点处的切线的斜率。 同理函数g(x)在x=x。处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x。 六-9-号=-12解得a=3 处的导数， 又a<0,a=-3 即函数g(x)在x=处的切线的斜率， :C组·探索创新 由图形知，选项C错误，D正确. 故选D. y2线19+47+27=0y' 2B=-2 2+a9-t2-2+=[2-3x-34x △r .ysj +a-2(-2到 (4r)2]=2-3x2. 设切点坐标为(x,2x。一x),则切线方程为y-2。+x后=(2 3x6)(x-和). a)2+·4 又切线过点(-1，-2)，-2-20+=(2-36)(-1-)， lim- 30 Ax 即22+36=0，解得6=0或6=-号 (+)x 六切点坐标为0.0)或(-子，音) 六y11=1. 六过点P,一)的切线的斜率为1， 当切点坐标为0.0)时，切线斜率k=二子二号=2，切线方程为 则切线的倾斜角为45° y=2x; 3,ABD根据导数的定义可知，A正确：对于B,若令x=和+ △x,当x→时，△x0,则 当切点坐标为(-子，号)时，切线斜率： 是-(-2 3 n）-6)=m6+)-='(6),B正确： -(-1) Ar 根据导数的定义6)=与气+》-九，所以，C错 一号，切线方程为y+2=-只(x+1),即19r+4+27=0 综上可知，过点(-1，一2)且与曲线y=2x-x相切的直线方 误：根据导数的定义可知，D正确.故选ABD 程为y=2x或19x+4y+27=0. 42由导数的定义.‘0)=一40 △x 练案[14] =lima△)'+6A+c-S=m(a·4x+b)=b A组·基础自测 又因为对于任意实数x,有f代x)≥0， 则[已。-40所以≥号所以e>0 D当，=时，=(r=(r在宁支D不正 a>0. 确.故应选D 2.C常数函数的导数为0. 所以=2E治=2 6 b B=(yr=安寺 当组仅当a=c=之时取等号 当1=4时，速度为= 5[-山，-】y=四+△2+2*3=24243 10万放选： Ar 3 :4.D =l5m(2x+2+4x) 切线的斜率=an子π=-1， =2x+2, 设切点P的坐标为(。%)，则f'()=-1. 且切线倾斜角0e[0,引， 又f"代)=-之一名=-1，解得6=1度-1 1 ·切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x+2≤1， ,切点P的坐标为(1,1)或(-1，-1).故选D 5.D因为函数x)=一写+3，所以(x)=-,所以 6.Ay=f八xo+△x)-f) f'(3)=-9,所以曲线y=f(x)在点(3，-6)处的切线方程为 =(+△x)3+a(x0+△x)2-9(x和+△x)-1-(x+ax6-9xo y+6=-9(x-3),即y=-9x+21,故选D -1) 6. 子号阴为=派中 =(3x号+2a。-9)△x+(3x+a)(4x)2+(△r)' 5 Ag=3+2a-9+(3+a)△x+(4x)2. 所W()=子专 当4无限趋近于零时，无限趋近于3式+2a-9 )号× 即f'()=3后+2ax。-9, f)=+号-9-号 号×)号 当6。一号时(6)取最小值-9-号 7.x+y-号=0因为号=0，即求曲线y=os,在点 :斜率最小的切线与12x+y=6平行， (受0处的切线方程。 164