5.1.1 变化率问题(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［１２］ 第五章　 一元函数的导数及其应用 ５． １　 ［５． １． １　 变化率问题］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．函数ｙ ＝ ２ｘ在区间［ｘ０，ｘ０ ＋ Δｘ］上的平均变化 率为 （Ｄ ） Ａ． ｘ０ ＋ Δｘ　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ ＋ Δｘ Ｃ． ２ ＋ Δｘ Ｄ． ２ ２．某物体沿水平方向运动，其前进距离ｓ（米）与 时间ｔ（秒）的关系为ｓ（ｔ）＝ ５ｔ ＋ ２ｔ２，则该物体 在运动的前２秒的平均速度为 （Ｃ ） Ａ． １８米／秒 Ｂ． １３米／秒 Ｃ． ９米／秒 Ｄ． １３２米／秒 ３．（２０２４·杭州高二检测）设函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － １，当自变量ｘ由１变为１． １时，函数的平 均变化率为 （Ａ ） Ａ． ２． １ Ｂ． １． １ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ４．汽车行驶的路程ｓ和时间ｔ之间的函数图象 如图，在时间段［ｔ０，ｔ１］，［ｔ１，ｔ２］，［ｔ２，ｔ３］上的 平均速度分别为ｖ１，ｖ２，ｖ３，则三者的大小关系 为 （Ｂ ） Ａ． ｖ１ ＞ ｖ２ ＞ ｖ３ Ｂ． ｖ３ ＞ ｖ２ ＞ ｖ１ Ｃ． ｖ２ ＞ ｖ１ ＞ ｖ３ Ｄ． ｖ２ ＞ ｖ３ ＞ ｖ１ ５．一物体的运动方程是ｓ ＝ １２ ａｔ ２（ａ为常数），则 该物体在ｔ ＝ ｔ０时的瞬时速度是 （Ａ ） Ａ． ａｔ０ Ｂ． － ａｔ０ Ｃ． １ ２ ａｔ０ Ｄ． ２ａｔ０ 二、填空题 ６．一质点的运动方程是ｓ ＝ ４ － ２ｔ２，则在时间段 ［１，１ ＋ Δｔ］上相应的平均速度ｖ与Δｔ满足的 关系式为　 　 　 　 　 　 　 ． ７．由瞬时变化率的研究方法可求得，函数ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ２ｘ在ｘ ＝ １处的瞬时变化率为０　 　 ． ８．已知自由落体的运动方程为ｓ（ｔ）＝ ５ｔ２，则ｔ在 ２到２ ＋ Δｔ这一段时间内落体的平均速度为 ２０ ＋ ５Δｔ 　 　 ，落体在ｔ ＝ ２时的瞬时速度为 　 　 ２０　 ． 三、解答题 ９．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一 山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十 八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘 的感受，下面是一段登山路线图．同样是登 山，但是从Ａ处到Ｂ处会感觉比较轻松，而从 Ｂ处到Ｃ处会感觉比较吃力．想想看，为什 么？你能用数学语言来量化ＢＣ段曲线的陡 峭程度吗？                                                                —１００— １０．（２０２４·石家庄高二检测）一辆汽车按规律 ｓ ＝ ３ｔ２ ＋ １做直线运动（时间单位：ｓ，位移单 位：ｍ），求这辆汽车在ｔ ＝ ３ ｓ时的瞬时速度． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）已知某物体的运动方程为ｓ（ｔ）＝ ７ｔ２ ＋ ８（０≤ｔ≤５），则 （　 ） Ａ．该物体在［１，３］这段时间内的平均速度 是２８ Ｂ．该物体在ｔ ＝ ４时的瞬时速度是５６ Ｃ．该物体位移的最大值为４３ Ｄ．该物体在ｔ ＝ ５时的瞬时速度是７０ ２．（多选题）某物体做自由落体运动的位移ｓ（ｔ） ＝ １２ ｇｔ ２，ｇ ＝ ９． ８ ｍ ／ ｓ２，若ｌｉｍ Δｔ→０ ｓ（１ ＋ Δｔ）－ ｓ（１） Δｔ ＝ ９． ８ ｍ ／ ｓ，则对于数据９． ８ ｍ ／ ｓ，下列说法错 误的是 （　 ） Ａ．是从０ ｓ到１ ｓ这段时间的平均速度 Ｂ．是从１ ｓ到（１ ＋ Δｔ）ｓ这段时间的平均速度 Ｃ．是ｔ ＝ １ ｓ这一时刻的瞬时速度 Ｄ．是ｔ ＝ Δｔ ｓ这一时刻的瞬时速度 ３．已知曲线ｙ ＝ ２ｘ２ － ７在点Ｐ处的切线方程为 ８ｘ － ｙ － １５ ＝ ０，则切点Ｐ的坐标为 （Ｃ ） Ａ．（－ ２，１） Ｂ．（０，－ ７） Ｃ．（２，１） Ｄ．（３，１１） 二、填空题 ４．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － １在区间［１，ｍ］上的平均变 化率为３，则实数ｍ的值为２　 　 　 ． ５．设函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ ＋ ２，若ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － １ 处的切线斜率为３，则ａ ＝ １　 　 　 ． 三、解答题 ６．若一物体运动方程如下：（位移ｓ：ｍ，时间ｔ：ｓ） ｓ ＝ ｆ（ｔ）＝ ２９ ＋ ３（ｔ － ３） ２，０≤ｔ ＜ ３， ３ｔ２ ＋ ２，ｔ≥３{ ． 求：（１）物体在ｔ∈［３，５］内的平均速度； （２）物体的初速度ｖ０； （３）物体在ｔ ＝ １时的瞬时速度． Ｃ组·探索创新 　 将半径为Ｒ的球加热，若半径从Ｒ ＝ １到Ｒ ＝ ｍ时球的体积的平均变化率为２８π３ ，则ｍ的值 为２　 　 　                                                                       ． —１０１— 3.ABC用数学归纳法证明命题1+2+3+…+n2= 2(n2+12时 练案[12] 2 A组·基础自测 当n=1时，命题的左边为1，所以A不正确： :1.D由题意，可得平均变化率 n=时，左侧=1+2+3+…+2，当n=k+1时，命题左端在 n=k的基础上增加的部分是(k2+1)+(+2)+…+(k+ 0+4)-Rx2(+A）-2=2,故选D △r △r 1)己，所以选项D正确，C不正确，选项B不正确：故选ABC 2.C()=51+2,,该物体在运动前2秒的平均速度为 4.k+1当n=+1时，第+1条直线被前k条直线分成(k+1) 段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了(k+1)个区域 x(2)-s(0)_18=9(米/秒)，故选C 2 2 5(+2+1+23动小-1+2 21因为分母的3.A函数八x)=x-1的自变量x由1变成1.1，所以△r= 1.1-1=0.1,△y=(1.12-1)-(12-1)=0.21, 公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+2+小最后一个 小--21故 是+2}一)根据等差数列通项公式可求得共有4 日=4)-s() =,5=)二4=5 -l1 (21-1)-(2+1+1=2-21=2项。 2 与）-s=kc,由图象知k<k<kc选R. 5-2 2a(n∈N 6.(1)在数列a中，4=1,4+12+a, 5.A4=+4)-s(6).1 △ =3ad/+。, 2m12×1.2 当n=1时，2+2+有 im4s =at. 2x号1 6.P=-2△1-4△s=[4-2(1+△)2]-(4-2·12) 2 当n=2时，严2+出2+号 =4-2-4△r-2(4)2-4+2 =-41-2()2, ! 1 7=A=-44-2a =-4-241. 2= 当m=3时，42+42+之 7.0m1+4)- △r 所以山= 12 2 34=2=4=5 =m0+4-21+d)+ △x 结测：子 =lim△r=0 8.20+5△20由题物体在1=2到1=2+△1这一段时间内的 2 (2)证明：①当n=1时，，=中=1， 平均速度为=2+-5x2=20+54,则当4-0时7 △ 所以a,=1,所以n=1时，等式成立： +20,即1=2时的瞬时速度为20 ②假设当n=k时，等式成立，即a=中 2 9山路从4到B高度的平均变化率为：一兰-88兮山 2a 2×k+ 则a22+山2*K中 4 2 2 路从B到C商度的平均变化率为“=是-碧8子 2 2h+4=+2(k+1)+ .k>kw,∴山路从B到C比从A到B陡蛸. 10.设这辆汽车在38到(3+△1)8这段时间内的位移的增量为 所以n=k+1时，等式成立 △，则△=3·(3+△)2+1-28=3（△）2+18△. 综合①和2可知，对于任意的neN,=子均成立 所以尝=3+18，所以四(30+18)=8 C组·探索创新 故这辆汽车在1=3s时的瞬时速度为18m/s, ABD对于A.S1=0i1+a,1·a,当n=1时，S2=1+1= :B组·素养提升 2,a+aa1=2,等式成立， 1.AB即该物体在1≤1≤3时的平均速度是(3)-山： 假设m=(keN,)时，S1=a,+a44·a:成立，当n=k+ 3-1 1时，S2=S1+ai2=a1+a1·a,+a2=a:+a· 71-15=28,故A项正确： 2 (a,+a)=2+a:·a,则n=k+1时，等式也成立， 放A正确.对于B,a,+4++…+n=a。2-1,当n=1 物体在1=4时的瞬时速度是一4+-4=(56+ △ 时，41=a1-1=4,+山-1=1，等式成立， 7△)=56，故B项正确： 假设n=k(keN,)时，a1++a+…+a=at2-1成立， 物体的最大位移是7×5+8=183，故C项错误： 当n=k+1时，a1+2+a3+…+a4+4+1=a42-1++1= 3-1, 物体在1=5时的瞬时速度是m5+)-⑤=m(70+ 则n=+1,等式也成立，故B正确。 7△)=70，故D项正确 对于C,由题意得，a1=1,3=2,a4=3,a5=5,0s=8,4,=13. ∴a1+4=3≠a4-1,41++a5=8≠a6-1,故C错误 2.ABD根据题意，m1+△-山=9.8m,则物体在1= 对于D,6=年4(，-6)=4×牙(-d)=(a 1s这一时刻的际时速度为9.8m/s 故选ABD. ,-）·(a,+a-)=Ta。-2·a,4i,故D正确， 3.C设P点坐标为(，2x品-7)： -162 则im+小)-九) .B由x+3-3=0知斜率k=一分 =2+2+]-7-2E3 f'()=-2<0 r =im(4x+2△r)=4x 4.B由图象易知，点A,B处的切线斜率k,km满足k,<km<0. 所以4x。=8,解得x=2. 由导数的几何意义，得'(x)<∫'(x): 所以P的坐标为(2.1). 4.2根据题意，函数八x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化 B周数={产6 率为-m-1--D=m+1m+1=3则m=2 0+山=m21+A2）+4-2=-2 △x m-1 5.14y=-1+△x)-f(-1)=a(-1+△x)3+2-a(-1)3 6.3由导数的定义可知应为3. -2=a(4r)°-3a(△x)2+3aAx 7.(3,30)设点P(x,2x+4x。) 4y=a(△)'-3a(△m)2+3aA=a(4x)2-3u4x+3a.当 则)-5+a- △ △x △x无限趋近于0时，a(△x)2-3a△x+3无限趋近于3a.∴.k 2(△x)2+4x·△r+4小 =lim =4x+4, =30=3,∴.4=1. 令4x+4=16得和=3∴，点P的坐标为(3,30) 位移变化量为4=3x5°+2-(3×3+2)=3×(5-3)8。-7设点P(n,2+a).由导数的几何意义可得'()= 6.(1):物体在1∈[3,5]内的时间变化量为△1=5-3=2 =48, lim Ay=im 2(0+4)2+0-（2+a）=4杯=86=2， ∴.物体在1∈[3,5]内的平均速度为 .P(2,8+u).将x=2,y=8+a代人8x-y-15=0,得a= 兰-号=24(m -7. (2)求物体的初速度，即求物体在1=0时的瞬时速度。 9k=f'1)=r1+-四 “物体在1=0附近位移的平均变化率为 -im21+4)2-2×1 -0+4)-0】 △r 4△r+2(△r) .29+3(0+)-32-29-3(0-3)2 =im(4+2△x)=4, =3△1-18， .曲线在点A处的切线的斜率为4. ∴物体在1=0处位移的瞬时变化率为 (2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4， -(3-18)-18, .切线方程是y-2=4(x-1),即y=4x-2. 10将点P(2-D代入y=已得1=山， 即物体的初速度。=-18/8 (3)物体在：=1时的瞬时速度即为物体在1=1处位移的瞬时 所以y=亡 变化率 物体在=1附近位移的平均变化率为 A-1+△)=1) y=imx+△--lm-x+Am Ar Ar △ △x .29+3[(1+)-3-29-31-3》2=34-12. =im1-(x+4x)]0-x)4 六物体在1=1处位移的瞬时变化率为四产-四(30-12) =m(1--4x)1-)产(1-) =-12 (1)曲线在点P处的切线斜率为y1:0-2)=1 即物体在1=1时的瞬时速度为-12/ C组·探索创新 曲线在点Q处的切线斜率为八=本 4 2球的休积V与半径R的关系式为(R)=子πR,当半径 (2)曲线在点P处的切线方程为-(-1)=x-2. 即x-y-3=0. 从R=1到R=m时，4R=m-1.4=子m-子，所以有 线在点Q处的切线方程为y-子=x-(-)门. 3(m-) 4 即x-4y+3=0. 2 △R 3,解得m=2(m=-3舍去) B组·素养提升 1.D对于A,B,f(x)在a到b之间的平均变化率 练案[13] 是6)-La b-a A组·基础自测 1.B由导数的几何意义知B正确，故应选B. g(x)在a到6之间的平均变化率是(6)-a 6-a 2.C:y=f八x)的图象在点P(5,八5))处的切线方程为y=-x :b）-@=b〉-@，即二者相等： +8,可得y=fx)在点P(5,f八5))处的切点纵坐标和切线斜 6-a 6-往 率分别为f(5)=-5+8=3.f'(5)=-1,则f(5)+f(5】 ,.选项A、B错误： =2. 对于C,D,:函数尺x)在x=处的瞬时变化率是函数八x) -163