4.3.2 第2课时等比数列习题课(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［１０］ 第四章　 数列 ４． ３　 ［４． ３． ２　 第２课时　 等比数列习题课］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．数列｛（－ １）ｎｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，则Ｓ２ ０２２ ＝ （Ａ ） Ａ． １ ０１１ Ｂ． － １ ０１１ Ｃ． ２ ０２２ Ｄ． － ２ ０２２ ２．已知数列｛ａｎ｝满足：当ｐ ＋ ｑ ＝ １１（ｐ，ｑ∈Ｎ， ｐ ＜ ｑ）时，ａｐ ＋ ａｑ ＝ ２ｐ，则｛ａｎ｝的前１０项和Ｓ１０ ＝ （Ｂ ） Ａ． ３１ Ｂ． ６２ Ｃ． １７０ Ｄ． １ ０２３ ３． １３ ＋ １ ３ ＋ ６ ＋ １ ３ ＋ ６ ＋ ９ ＋…＋ １ ３ ＋ ６ ＋ ９ ＋…＋ ３０ ＝ （Ｄ ） Ａ． ３１０ Ｂ． １０ ３３ Ｃ． ３ ５ Ｄ． ２０ ３３ ４．数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ｎｃｏｓ ｎπ２ ，其前ｎ项 和为Ｓｎ，则Ｓ２ ０１６等于 （Ａ ） Ａ． １ ００８ Ｂ． ２ ０１６ Ｃ． ５０４ Ｄ． ０ ５．数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋ ａｎ ＋１ ＝ １２（ｎ∈Ｎ ），ａ２ ＝ ２， Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，则Ｓ２１为（Ｂ ） Ａ． ５ Ｂ． ７２ Ｃ． ９ ２ Ｄ． １３ ２ 二、填空题 ６．若数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ （－ １）ｎ· （３ｎ － ２），则ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１０ ＝ １５　 　 ． ７．数列２２， ４ ２２ ，６ ２３ ，…，２ｎ ２ｎ ，…前ｎ项的和为　 　 　 　 　 　 　 　 ． ８．已知ｆ( )ｘ ＝ ２ｘ２ｘ － １，利用课本中推导等差数列 前ｎ项和的公式的方法，可求得(ｆ １ )２ ０２３ ＋ (ｆ ２ )２ ０２３ ＋…＋ (ｆ ２ ０２２ )２ ０２３ ＝ ２ ０２２　 ． 三、解答题 ９．已知各项均为正数的等比数列｛ａｎ｝满足 ａ２ａ３ ＝ ８ａ１，且ａ４，３６，２ａ６成等差数列． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）记ｂｎ ＝ ２ｎａｎ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ                                                                ． —０９６— １０．（２０２４·全国甲卷理）记Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和，已知４Ｓｎ ＝ ３ａｎ ＋ ４． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）设ｂｎ ＝（－ １）ｎ －１ ｎａｎ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ 项和Ｔｎ． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ ｌｏｇｎ ＋１（ｎ ＋ ２）（ｎ∈Ｎ），定 义：使ａ１·ａ２·…·ａｋ为整数的数ｋ（ｋ∈Ｎ） 叫做期盼数，则区间［１，２ ０２３］内的所有期盼 数的和等于 （Ｄ ） Ａ． ２ ０２３ Ｂ． ２ ０２４ Ｃ． ２ ０２５ Ｄ． ２ ０２６ ２．（２０２３·新课标全国Ⅱ卷）记Ｓｎ 为等比数列 ａ{ }ｎ 的前ｎ项和，若Ｓ４ ＝ － ５，Ｓ６ ＝ ２１Ｓ２，则Ｓ８ ＝ （　 ） Ａ． １２０ Ｂ． ８５ Ｃ． － ８５ Ｄ． － １２０ ３．（多选题）在递增的等比数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ是数 列｛ａｎ｝的前ｎ项和，若ａ１ａ４ ＝ ３２，ａ２ ＋ ａ３ ＝ １２， 则下列说法正确的是 （　 ） Ａ． ｑ ＝ １ Ｂ．数列｛Ｓｎ ＋ ２｝是等比数列 Ｃ． Ｓ８ ＝ ５１０ Ｄ．数列｛ｌｇ ａｎ｝是公差为２的等差数列 二、填空题 ４．等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ３ｎ ＋１ ＋ ａ（ａ为 常数），ｂｎ ＝ １ａ２ｎ，则数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为 　 　 　 　 ． ５．对于数列｛ａｎ｝，定义数列｛ａｎ ＋１ － ａｎ｝为数列 ｛ａｎ｝的“差数列”，若｛ａｎ｝的“差数列”是首项 为１２，公比为 １ ２的等比数列，若ａ１ ＝ １，则 ａ２ ０２３ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．（２０２２·全国甲卷理）记Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ 项和．已知２Ｓｎｎ ＋ ｎ ＝ ２ａｎ ＋ １． （１）证明：｛ａｎ｝是等差数列； （２）若ａ４，ａ７，ａ９成等比数列，求Ｓｎ的最小值． Ｃ组·探索创新 　 斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列 是其代表作之一，即数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ａ２ ＝ １，且ａｎ ＋２ ＝ ａｎ ＋１ ＋ ａｎ，则称数列｛ａｎ｝为斐波那 契数列．已知数列｛ａｎ｝为斐波那契数列，数列 ｛ｂｎ｝满足ｂｎ ＋３ ＋（－ １）ａｎ ｂｎ ＝ ｎ，若数列｛ｂｎ｝的 前１２项和为８６，则ｂ１ ＋ ｂ２ ＝ ８　 　 　                                                                       ． —０９７— 2A6,是以1为首项，2为公比的等比数列，6=2-， :a,|是以2为首项，1为公差的等差数列， +06）=2+2+…+25_2x(1,22=62. 1-2 六a,=n+1.,=a2-1=2-+1. 3.D 2 六0+ae+…+o=(1+2+2+…+2)+10=-29 由题意可设a=3+6+9+…+3n=(3n+3n 1-2 10=1024-1+10=1033 号（什中）则数列。的前0项的和5。=兮+与中6 故选A 3D此五个正三角形的边长。，形成等比数列：2,1，子子 寸++品）=子×-)器做选D 官这五个写角形的面现之和冬×+宁安4A中质数ym受的网期724路二个用期显 4×1-】 3415故选D 2 256 次为0，-10,1. 1一4 ∴.可分四组求和： 4 3 由a=a得(ag)2=ag, a1+as+…+a2o3=0, 4+a+…+44=-2-6-…-204=504x(-2-20l4 整理得g=1=3, 2 a -504×1008. 1 ..S=- ×(1-3.12四 .a3+a+…+a2a5=0 1-3一=3 a4+ag+…+a20a=4+8+…+2016 59前m组共有2+4+8+…+2.2×(2-山=2-2个 _504×(4+20161=504×1010. 2 2-1 .S26=0-504×1008+0+504×1010=504×(1010 数.由4.=2n=2018得n=1009,∴2018为第1009个偶数. 1008)=1008.故选A. 2”=512.20=1024. 前8组其有510个数.前9组共有102个数，因此2018位5.B0,+a4=宁4=2， 于第9组 1 -号n为奇数。 6(1)由题意得a=5=1+Aa,故A≠1，-入40. .0。= 2,n为偶数 由S.=1+Aa,S,t=1+Aa,1得a1=Aa1-Aa, 即a+i(A-1)=Aa, 六=1×(-）+10x2=子 由a1≠0，A≠0且A≠1得a。≠0. :6.15a1+2+…+a0=-1+4-7+10+…+(-1)0×(3× 所以三A 10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)°×(3×9-2) a.A- +(-1)×(3×10-2)]=3×5=15. 因此a是首项为亡入公比为亡一的等比数列， ① 1A 于是=1一入1 2 4.6 2n 2+1 ② 2)1)得又=1-（川 ①-②得 由s影得1-（登（产动 解得入=-1. 2n 2+ C组·探索创新 (1)42=1+d=b2=q,① a6=1+5d=43=97,② 成4器 由①②解得d=3,9=4 i8.2022 2x 2(1-x)-2(2x-1) 由f(x)+f1-x)=2x-+21-)-台= 2x-1 (2)假设存在常数a,b满足题意， =2. 由a.=1+(n-1)d=3n-2, b。=g-1=4-及a,=ogb,+b知 令50+2+…+8) (3-log4)n+(og4-b-2)=0. 3-bg4=0, neN{ig.4-b-2=0 解得a-年，b=1. 则s=+径82)+…+ 两式相加得：25=2022×2， 所以存在常数a=海，6=1满足等式 .S=2022 练案[10] 9.(1)因为a,4=8a1, 所以a1as=8a1,所以a=8, A组·基础自测 又a,36,2a。成等差数列，所以a4+2a6=72,所以a。=32,g 1.AS2m=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2019+2020)+ (-2021+2022)=1011. =44=4,9>0, 2BSm=(a1+am)+(a+a)+(a+as)+(a4+a)+(a: 所以9=2，所以8n=8·2-4=2- 159 方法二：设等比数列{a}的公比为g, 因为S=-5,5。=215,所以g≠-1，否则5。=0， .=1()+2…()+3(2)++(-1)… 从而，S2,5-S2,S。-5,S-5。成等比数列， 所以有(-5-S2)2=8,(21S,+5) (+(侵 解得品=-1或品=子 =1(2+2(）3(分）+*(-) 当52=-1时，52,54-52,5。-5,5-56，即为-1.-4，-16. S1+21. ()+() 易知S。+21=-64.即S1=-85: 两式相诚得： 当53=4时，5=a1+a*a+a4=(a+a)(1+9)=(1+ ·=()+(位+(*+( g)52>0, 与$。=-5矛盾，舍去 ( 放选C 3.BC由题意，可得a4=a14=32>0, 41+a3=12>0,放41>0,43>0 根据根与系数的关系，可知4,4是一元二次方程x-12x+ 1-7 32=0的两个根. 房以=8-a+2(付 解得a2=4,a3=8,或a1=8,a=4 放必有公比9>0，所以a=g>0 10.(1)当n=1时，45=4a1=3a1+4.解得a1=4. 当n≥2时，4S-1=3a-1+4,所以45。-4S。-1=4a。=3a,- 因为等比数列.是递增数列，所以g>1. 3nn-1即an=-3a.-l, 所以4=4,4=8满足题意所以9=2,4=丝=2 而41=4≠0，故a0,放8=-3. 放选项A不正确.a。=a·g-1=2 数列！，}是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以a, 因为5=21-22=2-2 =4·(-3)-1. 1-2 (2)6.=(-1)-1·n·4·(-3)-1=4n·3- 所以5+2=2"1=4·2-1 所以Tn=6,+b2+b3+…+6,=4·3°+8…3+12…32+… 所以数列S。+2{是以4为首项，2为公比的等比数列.故选 项B正确. +4n·3-, S,=2+-2=512-2=510.故选项C正确， 故3T.=4·3+8·32+12·3+…+4折·3”， 因为ga,=g2”=nlg2. 所以-2T=4+4·3+4·32+…+4·3-1-4n…3”, 所以数列|1ga{是公差为1g2的等差数列 =4+4.31-3-4n3=4+23.（3-1)-4n 故选项D不正确. 1-3 1 ·3”, 4. ×) S.为等比数列1a}的前n项和。 =(2-4n)·3-2,.T=(2n-1)·3"+1 B组·素养提升 且s=(3+) 1.D d.=lg..(n+2)=(m(neN). g(n+1) 号=-1a=-38=3-3 a%号等… g(k+2) .当n≥2时4，=5.-5.-1=(31-3)-(3”-3)=2×3”①， g(k+1) 又，a:=S=6符合①式…∴0n=2×3° 1og(k+2). 1 又：a1·2··…·a为整数 k+2必须是2的n次幂(neN),即k=2”-2,k∈[1,2023] 内所有的“期盼数”的和： 5=(22-2)+(23-2)+(2-2)+…+(2°-2) 核尚：项药红-付] 21-21-20 1-g 1-2 =2026. 宽) 2.C方法一：设等比数列{a,的公比为g,首项为a1, 若9=1，则S。=61=3×2a1=352,与题意不符.所以9≠1： .2-点根据题意4-4= 由3=-5,3=21s,可得，2.-5.02=21 则a2四=(a2m-a吧）+(am-a3mi）++(4-a）+a 1-4 1-g ×a1-2①， =2脑+2面++7+1=2-2画 1-g 2S. 由①可得，1+g+g=21,解得g2=4, 6.(1)证明：因为+n=2an+1,即2S.+n2=2na,+n①， 所以52.0-2x1+)=-5x1+16) 当n≥2时，25.-1+(n-1)2=2(n-1)a,-1+(n-1)②， 1-g 1-g ①-②得，25。+m2-25.-1-(n-1)2=2na.+n-2(n-1) =-85. a。-t-(n-1), 故选C 即2an+2n-1=2na.-2(n-1)a,-1+1, 160 即2(n-1)a.-2(n-1)a.-1=2(n-1) 题成立与否不确定，所以③正确 所以a,-an1=1,n≥2且neN”, 故答案为③ 所以{a,是以1为公差的等差数列 8.2 当n=k时成立， (2)由(1)可得a,=a1+3,a=a1+6,ag=a1+8 即)=1+1+1 又a4,a,a,成等比数列，所以a亏=a·ay, 2+3…+2 即(a+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a,=-12。 所以。=a-13,所以5=-2+0》=宁-空 则n=k+1成立时，有k+D=1+分+号+…+2名 2 ( +…+2+2-了 所以增加的项数是(2+2-1)-(2-1)=2 所以，当n=12或n=13时(S,)m=-78. 9.①当n=1时，左边=12-22=-3， C组·探索创新 右边=-1×(2×1+1)=-3，等式成立 8斐波那契数列：1,1,2,3.5,8,1321,34,55,89,144， ②假设当n=k时，等式成立，即2-2+3°-42+…+(2弘- 由b,3+(-1)"b。=n得6-b=1,b-b=2,b。+b=3, 1)2-(2k)2=-k(2k+1). 则b1+b+b+b=3+2(b1+b), 当n=k+1时， 同理6，-b=4,4-b5=5.bo-b=7,b1-b=8,62+bg=9, 12-22+32-4+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+ 得b=5+b,4=7+b,bo=12+b1,b:=15+b2, 1)]2 则b,+bg+bo+b:=39+2(b1+b2),b3+b。+b+b:=l12, =-k(2h+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]月 则S2=b1+b2+…+b2=54+4(b1+b)=86, =-2k2-5h-3 则b1+b2=8. =-(k+1)(2k+3) =-(k+1)[2(k+1)+1] 练案[11] 即当n=k+1时，等式也成立 A组·基础自测 由①2可知，对任意neN”,等式成立 1.B由数学归纳法的证明步骤可知.假设n=k(≥2)为偶数10.由已知得2b,=,+a4,a=b,6.+,a,=2,b=4, 时命题为真， 由此可得1=6，b=9,a1=12,b1=16,a4=20, 则还需要用归纳假设再证n=,+2, b=25 不是n=k+1,因为n是偶数，k+1是奇数 猜想a.=n(n+1),b,=(n+1)2. 故选B. 用数学归纳法证明如下： 2.Bn=1时.2=2,2×1+1=3.2°>2n+1不成立： ①当n=1时，可得结论成立 n=2时，22=4,2×2+1=5,2>2n+1不成立 ②假设当n=k(k≥1，kEN)时，结论成立， n=3时，2=8,2×3+1=7,2>2n+1成立，m的第一个取 即a,=k(k+1),b=(k+1)2. 值%=3 那么当n=k+1时， 3.A由“n=k时论断成立→n=k+】时论断也成立"的过程中 a4+:=2b-a1=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2). 必须运用假设 =k+1)户(k+2)=(k+2)月 4D由题意得当n=1时，八1)=1：当n=2时八2)=2：当n= b=b4 (k+1)2 3时J3)=3:当n=4时/(4)=5：当n=5时f(5)=8, .当n=k+1时，结论也成立. 骑里m:2-2o≥3 由①②可知，a.=n(n+1).b。=(n+I)对一切正整数n都 成立 5.C由题意将k替换为k+1,据此可得 B组·素养提升 1 1.C增加一个顶点，就增加n+1-3条经过该点的对角线，另 (k+)+7+(k+1)+2+(k+1)+3+…+2(k+1) 外原来的一边也变成了对角线，故n+1)=fn)+1+n+1-3 1 =+2++3++4++2k+ =f八n)+n-1.故选C 2Bn=1时，左边=(-1)21=1，右边=子+(-12· k+2+k+3*k+4+…+苏*2水++2k+可 (付+)=1，左边=右边，命题成立：假设n=k,k≥1，k后乙 =k+行+k+2+k+3+k+4+…+2亦+2k+1+20k+1可 1 时，命题成立，即1-2+3-4+5-6+…+(-0k=行 一k+1 +(-)(片+) +行++2+k+3++4+…+苏+2h+行2(k+ 则n=k+1时，左边=1-2+3-4+5-6+…+(-1)1·6 =5+2k+12(k+1可 +(-1)2·(k+1) 故选C. -号+(-)(+)+(-1)(* 62n n4=1,4=3=64=10=l,5=,= 4 =+(-1)【-(仔++k+】 冬5=号“，可归纳出8杂 2n =号+(-1)3·（仔+生）=右边，命题也成立： 7.③由题意可知.原命题成立则逆否命题成立.P(n)对n=10 时该命题不成立， 命题“1-2+3-4+5-6+…+(-1)1n= 可得P(n)对n=9不成立， 同理可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.由题意，n=11时命 （-1)(子+2）neN,”,是真题故选B 161