4.2.1 第2课时等差数列的性质及应用(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［３］ Ａ组·基础自测 １． Ａ　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，∴ ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ３（ｎ≥２）， ∴ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ５ － ２ｎ － ３ ＝ ２（ｎ≥２）， ∴数列｛ａｎ｝是公差为２的等差数列． ２． Ａ　 由题意知ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １，则ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ２．故选Ａ． ３． Ｃ　 ｂ是等差数列的第ｎ ＋ ２项．由等差数列的通项公式，得ｂ ＝ ａ ＋（ｎ ＋ ２ － １）ｄ，解得ｄ ＝ ｂ － ａｎ ＋ １． ４． Ｂ　 设公差为ｄ，则ａ２ ＋ ａ３ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ２ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ４ ＋ ３ｄ ＝ １３，解得ｄ ＝ ３，所以ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝（ａ１ ＋ ３ｄ）＋（ａ１ ＋ ４ｄ）＋ （ａ１ ＋ ５ｄ）＝ ３ａ１ ＋ １２ｄ ＝ ４２． ５． Ｃ　 由等差中项的定义知：ｘ ＝ ａ ＋ ｂ２ ，ｘ ２ ＝ ａ ２ － ｂ２ ２ ， ∴ ａ ２ － ｂ２ ２ ＝ ａ ＋ ｂ( )２ ２ ， 即ａ２ － ２ａｂ － ３ｂ２ ＝ ０．故ａ ＝ － ｂ或ａ ＝ ３ｂ． ６． － １２ 　 方法一：由于ａ７ － ２ａ４ ＝ ａ１ ＋ ６ｄ － ２（ａ１ ＋ ３ｄ）＝ － ａ１ ＝ － １，则ａ１ ＝ １，又由于ａ３ ＝ ａ１ ＋ ２ｄ ＝ １ ＋ ２ｄ ＝ ０，解得ｄ ＝ － １２ ． 方法二：ａ７ ＝ ａ３ ＋ ４ｄ ＝ ４ｄ，ａ４ ＝ ａ３ ＋ ｄ ＝ ｄ，代入条件即可得ｄ． ７． － ９１４ 　 ∵ ｛ｆ（ｎ）｝为等差数列，公差为－ １ ４ ， ∴ ｆ（１）＝ ｆ（２）－ －( )１４ ＝ ２ ＋ １４ ＝ ９４ ． ∴ ｆ（１０１）＝ ｆ（１）＋ １００·ｄ ＝ ９４ ＋ １００ × －( )１４ ＝ － ９１４ ． ８． ６７６６ 　 设此等差数列为｛ａｎ｝，公差为ｄ，则 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ３， ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＝ ４{ ， ∴ ４ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ３， ３ａ１ ＋ ２１ｄ ＝ ４{ ，解得 ａ１ ＝ １３ ２２， ｄ ＝ ７６６ { ． ∴ ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １３ ２２ ＋ ４ × ７ ６６ ＝ ６７ ６６ ． ９．设这三个数分别为ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ， 则３ａ ＝ ９，∴ ａ ＝ ３． ∴这三个数分别为３ － ｄ，３，３ ＋ ｄ． 由题意，得３（３ － ｄ）＝ ６（３ ＋ ｄ），∴ ｄ ＝ － １． ∴这三个数分别为４，３，２． １０．因为２ｂ ＝ ａ ＋ ｃ，ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １５，所以３ｂ ＝ １５，ｂ ＝ ５．设等差数列 ａ，ｂ，ｃ的公差为ｄ，则ａ ＝ ５ － ｄ，ｃ ＝ ５ ＋ ｄ．由２ｌｇ（ｂ － １）＝ ｌｇ（ａ ＋ １）＋ ｌｇ（ｃ － １）知： ２ｌｇ ４ ＝ ｌｇ（６ －ｄ）＋ ｌｇ（４ ＋ｄ）． 从而１６ ＝（６ － ｄ）（４ ＋ ｄ），即ｄ２ － ２ｄ － ８ ＝ ０． 所以ｄ ＝ ４或ｄ ＝ － ２． 所以ａ，ｂ，ｃ三个数分别为１，５，９或７，５，３． Ｂ组·素养提升 １． ＢＣＤ　 对于Ａ，令ａ ＝ １，ｂ ＝ ２，ｃ ＝ ３，则ａ２ ＝ １，ｂ２ ＝ ４，ｃ２ ＝ ９，Ａ 错误；对于Ｂ，取ａ ＝ ｂ ＝ ｃ２ａ ＝ ２ｂ ＝ ２ ｃ，Ｂ正确；对于Ｃ，因为 ａ，ｂ，ｃ成等差，所以ａ ＋ ｃ ＝ ２ｂ，所以（ｋａ ＋ ２）＋（ｋｃ ＋ ２）＝ ｋ（ａ ＋ ｃ）＋ ４ ＝ ２（ｋｂ ＋ ２），Ｃ正确；对于Ｄ，取ａ ＝ ｂ ＝ ｃ≠０，则１ａ ＝ １ ｂ ＝ １ ｃ ，Ｄ正确． ２． Ｄ　 由题意ａ１０ ＞ １， ａ９≤１{ ，∴ １ ２５ ＋ ９ｄ ＞ １， １ ２５ ＋ ８ｄ≤１ { ， ∴ ８７５ ＜ ｄ≤ ３ ２５ ． ３． ＡＢＣ　 ∵数列｛ａｎ｝满足：ａ１ ＝ ２，当ｎ≥２时，ａｎ ＝（ ａｎ － １槡 ＋ ２ ＋ １）２ － ２， ∴ ａｎ ＋ ２ ＝（ ａｎ － １槡 ＋ ２ ＋ １）２， ∴ ａｎ槡＋ ２ ＝ ａｎ － １槡 ＋ ２ ＋ １， 即数列｛ ａｎ槡＋ ２｝是首项为 ａ１槡＋ ２ ＝ ２，公差为１的等差数列． ∴ ａｎ槡＋ ２ ＝ ２ ＋（ｎ － １）× １ ＝ ｎ ＋ １， ∴ ａｎ ＝ ｎ ２ ＋ ２ｎ － １，所以易知ＡＢＣ正确，Ｄ错误．故选ＡＢＣ． ４． １０　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ（ｄ ＞ ０），∵ ａ１ ＝ １，且ａ２ ＋ ａ６ ＝ ａ８，∴ ２ ＋ ６ｄ ＝ １ ＋ ７ｄ，解得ｄ ＝ １．若ｐ － ｑ ＝ １０，则ａｐ － ａｑ ＝ １０ｄ ＝ １０． ５． ａｎ ＝ ３８ － ５ｎ　 由题意可得ａ７ ＝ ａ１ ＋ ６ｄ ＞ ０，ａ８ ＝ ａ１ ＋ ７ｄ ＜ ０{ ， 即３３ ＋ ６ｄ ＞ ０， ３３ ＋ ７ｄ ＜ ０{ ， 解得－ ３３６ ＜ ｄ ＜ － ３３ ７ ．又∵ ｄ∈Ｚ，∴ ｄ ＝ － ５． ∴ ａｎ ＝ ３３ ＋（ｎ － １）×（－ ５）＝ ３８ － ５ｎ． ６．因为当ｎ≥２时，ｘｎ ＝ ｆ（ｘｎ － １）， 所以ｘｎ ＝ ２ｘｎ － １ｘｎ － １ ＋ ２（ｎ≥２），即ｘｎｘｎ － １ ＋ ２ｘｎ ＝ ２ｘｎ － １（ｎ≥２）， 得２ｘｎ － １ － ２ｘｎｘｎｘｎ － １ ＝ １（ｎ≥２），即 １ ｘｎ － １ｘｎ － １ ＝ １２ （ｎ≥２）． 又１ｘ１ ＝ ３，所以数列 １ ｘ{ }ｎ 是以３为首项，１２为公差的等差数 列，所以１ｘｎ ＝ ３ ＋（ｎ － １）× １ ２ ＝ ｎ ＋ ５ ２ ， 所以ｘｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，所以ｘ９５ ＝ ２ ９５ ＋ ５ ＝ １ ５０ ． Ｃ组·探索创新 　 （１）设数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 依题意，有ａ１ ＝ ３，ｄ ＝ ７ － ３ ＝ ４， ∴ ａｎ ＝ ３ ＋ ４（ｎ － １）＝ ４ｎ － １（ｎ∈Ｎ）． （２）令４ｎ － １ ＝ １３５，得ｎ ＝ ３４， ∴ １３５是数列｛ａｎ｝的项，是第３４项． ∵ ４ｍ ＋ １９ ＝ ４（ｍ ＋ ５）－ １，且ｍ∈Ｎ， ∴ ４ｍ ＋ １９是数列｛ａｎ｝的项，是第ｍ ＋ ５项． （３）∵ ａｍ，ａｔ是数列｛ａｎ｝中的项， ∴ ａｍ ＝ ４ｍ － １，ａｔ ＝ ４ｔ － １， ∴ ２ａｍ ＋ ３ａｔ ＝ ２（４ｍ － １）＋ ３（４ｔ － １）＝ ４（２ｍ ＋ ３ｔ － １）－ １． ∵ ２ｍ ＋ ３ｔ － １∈Ｎ， ∴ ２ａｍ ＋ ３ａｔ是数列｛ａｎ｝的项，是第２ｍ ＋ ３ｔ － １项． 练案［４］ Ａ组·基础自测 １． Ｂ　 ∵ ｛ａｎ｝为等差数列，∴ ａ３ ＝ － １ ＋ ５２ ＝ ２． 故选Ｂ． ２． Ａ　 由于ａ４ ＋ ａ６ ＝ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ２ａ５，而３ａ５ ＝ ９， ∴ ａ５ ＝ ３，方程为ｘ２ ＋ ６ｘ ＋ １０ ＝ ０，Δ ＝ ６２ － ４ × １０ ＜ ０，无实数 解．故选Ａ． ３． Ｃ　 ∵公差不为０的等差数列｛ａｎ｝中，ａ４ － ａｘ ＝ ａｙ － ａ７， ∴ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ａｘ ＋ ａｙ，即ｘ ＋ ｙ ＝ ４ ＋ ７ ＝ １１． ∵ ｘ，ｙ∈Ｎ， ∴ ｘ ＝ １，ｙ ＝ １０或ｘ ＝ ２，ｙ ＝ ９或ｘ ＝ ３，ｙ ＝ ８或ｘ ＝ ４，ｙ ＝ ７或ｘ ＝ ５，ｙ ＝ ６或ｘ ＝ ６，ｙ ＝ ５，或ｘ ＝ ７，ｙ ＝ ４或ｘ ＝ ８，ｙ ＝ ３或ｘ ＝ ９，ｙ ＝ ２或ｘ ＝ １０，ｙ ＝ １， ∴ ｘｙ ＝ １０或１８或２４或２８或３０，不可能是２２，故选Ｃ                                                                       ． —１５１— ４． Ｃ　 由题意可知，每日所织数量构成等差数列｛ａｎ｝，且ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８ ＝ １５，ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ２８，设公差为ｄ，由 ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８ ＝ １５，得３ａ５ ＝ １５，所以ａ５ ＝ ５，由ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７ａ４ ＝ ２８，得ａ４ ＝ ４，则ｄ ＝ ａ５ － ａ４ ＝ １，所以ａ１５ ＝ ａ５ ＋ １０ｄ ＝ ５ ＋ １０ × １ ＝ １５． ５． Ｂ　 因为ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，ａ１≥０，ａ１ － ａ１ ＝ ０∈｛ａｎ｝，所以ａ１ ＝ ０． 因为０ ＝ ａ１ ＜ ａ３ － ａ２ ＜ ａ４ － ａ２ ＜…＜ ａｎ － ａ２ ＜ ａｎ，且ａ３ － ａ２，ａ４ － ａ２，…，ａｎ － ａ２∈｛ａｎ｝， 所以ａ３ － ａ２ ＝ ａ２，ａ４ － ａ２ ＝ ａ３，…，ａｎ － ａ２ ＝ ａｎ － １ ． 故ａ２ － ａ１ ＝ ａ３ － ａ２ ＝…＝ ａｎ － ａｎ － １， 则数列｛ａｎ｝的前６项可设为０，ｄ，２ｄ，３ｄ，４ｄ，５ｄ，则有ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３，Ｂ选项正确，其余选项错误． 故选Ｂ． ６． ｌｏｇ２５　 由题意得２ｌｇ（２ｘ － １）＝ ｌｇ ２ ＋ ｌｇ（２ｘ ＋ ３）， 所以（２ｘ － １）２ ＝ ２·（２ｘ ＋ ３），即（２ｘ － ５）（２ｘ ＋ １）＝ ０， 所以２ｘ ＝ ５，即ｘ ＝ ｌｏｇ２５． ７． ２　 因为等差数列的第２项、第４项和第６项仍然成等差数列 所以２（－ ３ｘ － ４）＝（ｘ － ５）＋（－ ６ｘ － ５），解得ｘ ＝ ２． 故答案为２． ８． ３ｎ － １　 设公差为ｄ， ∵ ａ２ ＋ ａ４ ＝ ａ１ ＋ ａ５ ＝ １６， ∴由ａ１ ＋ ａ５ ＝ １６， ａ１·ａ５ ＝ ２８{ ，解得 ａ１ ＝ ２， ａ５ ＝ １４{ ，或 ａ１ ＝ １４， ａ５ ＝ ２{ ． ∵等差数列｛ａｎ｝是递增数列， ∴ ａ１ ＝ ２，ａ５ ＝ １４． ∴ ｄ ＝ ａ５ － ａ１ ５ － １ ＝ １２ ４ ＝ ３， ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ２ ＋ ３（ｎ － １）＝ ３ｎ － １． ９．因为ａ１ ＋ ａ５ ＝ ２ａ３，所以 ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＝ － １２３ａ３ ＝ － １２ａ３ ＝ － ４ ａ１ａ３ａ５ ＝ ８０ }，  ａ１ａ５ ＝ － ２０， ａ１ ＋ ａ５ ＝ － ８{ ， 解得ａ１ ＝ － １０，ａ５ ＝ ２或ａ１ ＝ ２，ａ５ ＝ － １０，因为ｄ ＝ ａ５ － ａ１５ － １ ，所 以ｄ ＝ ３或－ ３， 所以ａｎ ＝ － １０ ＋ ３（ｎ － １）＝ ３ｎ － １３， 或ａｎ ＝ ２ － ３（ｎ － １）＝ － ３ｎ ＋ ５． １０．（１）∵ ａｎ ＝ ２ｎ － １，ｂｎ ＝ ａ２ｎ － １， ∴ ｂｎ ＝ ａ２ｎ － １ ＝ ２（２ｎ － １）－ １ ＝ ４ｎ － ３． （２）由ｂｎ ＝ ４ｎ － ３，知ｂｎ － １ ＝ ４（ｎ － １）－ ３ ＝ ４ｎ － ７（ｎ≥２）， ∵ ｂｎ － ｂｎ － １ ＝（４ｎ － ３）－（４ｎ － ７）＝ ４（ｎ≥２）， ∴ ｛ｂｎ｝是首项ｂ１ ＝ １，公差为４的等差数列． Ｂ组·素养提升 １． Ａ　 因为函数ｆ（ｘ）是Ｒ上的奇函数且是严格增函数， 所以ｆ（０）＝ ０，且当ｘ ＞ ０时，ｆ（ｘ）＞ ０；当ｘ ＜ ０时，ｆ（ｘ）＜ ０． 因为数列｛ａｎ｝是等差数列，ａ１ ０１１ ＞ ０，故ｆ（ａ１ ０１１）＞ ０． 再根据ａ１ ＋ ａ２ ０２１ ＝ ２ａ１ ０１１ ＞ ０，所以ａ１ ＞ － ａ２ ０２１，则ｆ（ａ１）＞ ｆ（－ ａ２ ０２１）＝ － ｆ（ａ２ ０２１）， 所以ｆ（ａ１）＋ ｆ（ａ２ ０２１）＞ ０． 同理可得ｆ（ａ２）＋ ｆ（ａ２ ０２０）＞ ０，ｆ（ａ３）＋ ｆ（ａ２ ０１９）＞ ０，…， 所以ｆ ａ( )１ ＋ ｆ ａ( )２ ＋ ｆ ａ( )３ ＋…＋ ｆ ａ( )２ ０２０ ＋ ｆ ａ( )２ ０２１ ＝［ｆ（ａ１）＋ ｆ（ａ２ ０２１）］＋［ｆ（ａ２）＋ ｆ（ａ２ ０２０）］＋…＋［ｆ（ａ１ ０１０）＋ ｆ（ａ１ ０１２）］＋ ｆ（ａ１ ０１１）＞ ０， 故选Ａ． ２． ＢＤ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，易知ｄ ＞ ０， ∵等差数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ１０１ ＝ ０， 且ａ１ ＋ ａ１０１ ＝ ａ２ ＋ ａ１００ ＝…＝ ａ５０ ＋ ａ５２ ＝ ２ａ５１， ∴ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ１０１ ＝（ａ１ ＋ ａ１０１）＋（ａ２ ＋ ａ１００）＋…＋（ａ５０ ＋ ａ５２）＋ ａ５１ ＝ １０１ａ５１ ＝ ０， ∴ ａ５１ ＝ ０，ａ１ ＋ ａ１０１ ＝ ａ２ ＋ ａ１００ ＝ ２ａ５１ ＝ ０， 故Ｂ，Ｄ正确，Ａ错误． 又∵ ａ５１ ＝ ａ１ ＋ ５０ｄ ＝ ０，∴ ａ１ ＝ － ５０ｄ， ∴ ａ３ ＋ ａ１００ ＝（ａ１ ＋２ｄ）＋（ａ１ ＋ ９９ｄ）＝２ａ１ ＋ １０１ｄ ＝２ ×（－５０ｄ）＋ １０１ｄ ＝ ｄ ＞０，故Ｃ错误．故选ＢＤ． ３． Ｃ　 先分析四个答案，Ａ举一反例ａ１ ＝ ２，ａ２ ＝ － １，则ａ３ ＝ － ４， ａ１ ＋ ａ２ ＞ ０，而ａ２ ＋ ａ３ ＜ ０，Ａ错误；Ｂ举同样反例ａ１ ＝ ２，ａ２ ＝ －１， ａ３ ＝ － ４，ａ１ ＋ ａ３ ＜ ０，而ａ１ ＋ ａ２ ＞ ０，Ｂ错误；（ａ２ － ａ１）（ａ２ － ａ３） ＝ － ｄ２≤０，Ｄ错误；下面针对Ｃ进行研究，｛ａｎ｝是等差数列， 若０ ＜ ａ１ ＜ ａ２，则ａ１ ＞ ０，设公差为ｄ，则ｄ ＞ ０，数列各项均为 正，由于ａ２２ － ａ１ａ３ ＝（ａ１ ＋ ｄ）２ － ａ１（ａ１ ＋ ２ｄ）＝ ａ２１ ＋ ２ａ１ｄ ＋ ｄ２ － ａ２１ － ２ａ１ｄ ＝ ｄ ２ ＞ ０，则ａ２２ ＞ ａ１ａ３ａ２ ＞ ａ１ａ槡３，选Ｃ． ４． ９　 依题意，等差数列｛ａｎ｝各项都为正数，所以ａ３ ＞ ０，ａ７ ＞ ０， 所以ａ３ａ７≤ ａ３ ＋ ａ７( )２ ２ ＝ ａ２５ ＝ ９．当且仅当ａ３ ＝ ａ７ ＝ ３时等号 成立． ５． － １２ 　 ∵ ａ４ ＋ λａ１０ ＋ ａ１６ ＝ １５，∴ （λ ＋ ２）ａ１０ ＝ １５， ∴ （λ ＋ ２）（ａ１ ＋ ９ｄ）＝ １５． 又ａ１ ＝ １，∴ λ ＋ ２ ＋ ９（λ ＋ ２）ｄ ＝ １５，∴ λ ＝ １５１ ＋ ９ｄ － ２． ∵ ｄ∈［１，２］，∴令ｔ ＝ １ ＋ ９ｄ，ｔ∈［１０，１９］，因此λ ＝ ｆ（ｔ）＝ １５ｔ － ２， 当ｔ∈［１０，１９］，函数ｆ（ｔ）是减函数，故当ｔ ＝ １０时，实数λ有 最大值，最大值为ｆ（１０）＝ － １２ ． ６． ∵ ｂ１ｂ２ｂ３ ＝ １ ８ ，又ｂｎ ＝ ( )１２ ａｎ，∴ ( )１２ ａ１·( )１２ ａ２·( )１２ ａ３ ＝ １８ ． ∴ ( )１２ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ １８ ，∴ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ３， 又｛ａｎ｝成等差数列∴ ａ２ ＝ １，ａ１ ＋ ａ３ ＝ ２，ｂ２ ＝ ( )１２ ａ２ ＝ １２ ， ∴ ｂ１ｂ３ ＝ １ ４ ，ｂ１ ＋ ｂ３ ＝ １７ ８ ， ∴ ｂ１ ＝ ２， ｂ３ ＝{ １８或ｂ１ ＝ １ ８ ｂ３ ＝ ２ { ，，即ａ１ ＝ － １，ａ３{ ＝ ３ 或ａ１ ＝ ３，ａ３ ＝ － １{ ， ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － ３或ａｎ ＝ － ２ｎ ＋ ５． ７．在Ｓｎ ＝ － ａｎ － ( )１２ ｎ － １ ＋ ２中，令ｎ ＝ １，可得Ｓ１ ＝ － ａ１ － １ ＋ ２ ＝ ａ１，即ａ１ ＝ １２ ．当ｎ≥２时，Ｓｎ － １ ＝ － ａｎ － １ － ( )１２ ｎ － ２ ＋ ２， ∴ ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ － ａｎ ＋ ａｎ － １ ＋ ( )１２ ｎ － １ ， ∴ ２ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ( )１２ ｎ － １ ，即２ｎａｎ ＝ ２ｎ － １ａｎ － １ ＋ １， ∵ ｂｎ ＝ ２ ｎａｎ，∴ ｂｎ ＝ ｂｎ － １ ＋ １， 即当ｎ≥２时，ｂｎ － ｂｎ － １ ＝ １， 又ｂ１ ＝ ２ａ１ ＝ １， ∴数列｛ｂｎ｝是首项和公差均为１的等差数列． 于是ｂｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·１ ＝ ｎ ＝ ２ｎａｎ，∴ ａｎ ＝ ｎ２ｎ ． Ｃ组·探索创新 　 ＡＢＤ　 由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ １５，ａ１３ ＝ １３５，则ｄ ＝ １０， 同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列｛ｂｎ｝，其中ｂ１ ＝ １３５，ｂ１３ ＝ １５，则ｄ′ ＝ － １０， 故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长１０寸，即一尺，故选 项Ａ正确； 因为春分的晷长为ｂ７，所以ｂ７ ＝ ｂ１ ＋ ６ｄ′ ＝ １３５ － ６０ ＝ ７５                                                                      ， —１５２— 因为秋分的晷长为ａ７，所以ａ７ ＝ ａ１ ＋ ６ｄ ＝ １５ ＋ ６０ ＝ ７５， 故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项Ｂ正确； 因为小雪的晷长为ａ１１，所以ａ１１ ＝ ａ１ ＋ １０ｄ ＝ １５ ＋ １００ ＝ １１５， 又１１５寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故 选项Ｃ错误； 因为立春的晷长和立秋的晷长分别为ｂ４，ａ４， 所以ａ４ ＝ ａ１ ＋ ３ｄ ＝ １５ ＋ ３０ ＝ ４５，ｂ４ ＝ ｂ１ ＋ ３ｄ′ ＝ １３５ － ３０ ＝ １０５， 所以ｂ４ ＞ ａ４，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项Ｄ正确． 故选ＡＢＤ． 练案［５］ Ａ组·基础自测 １． Ａ　 Ｓ３ ＝ ３ａ１ ＋ ３ × ２ ２ ｄ ＝ ９， 又∵ ａ１ ＝ １，∴ ｄ ＝ ２，∴ ａ２ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＝ ３． ２． Ｄ　 因为Ｓ２ｍ － １ ＝（２ｍ － １）ａｍ ＝ １２１，所以２ｍ － １ ＝ １１，故ｍ ＝ ６， 故选Ｄ． ３． Ａ　 易知｛ａｎ｝是等差数列且ａ１ ＝ － １，所以Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ｎ（１ － ３ｎ） ２ ＝ － ３ ２ ｎ ２ ＋ ｎ２ ．故选Ａ． ４． Ｃ　 由ａ２ ＋ ａ８ ＋ ａ１１ ＝ ３ａ１ ＋ １８ｄ ＝ ３２ （２ａ１ ＋ １２ｄ）＝ ３ ２ （ａ１ ＋ ａ１ ＋ １２ｄ）＝ ３２ （ａ１ ＋ ａ１３）为定值可知，ａ１ ＋ ａ１３为定值，而Ｓ１３ ＝ １３ ×（ａ１ ＋ ａ１３） ２ ，所以Ｓ１３为定值． ５． Ｂ　 由Ｓ１０ － Ｓ５ ＝ ａ６ ＋ ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＝ ５ａ８ ＝ ０，则ａ８ ＝ ０， 则等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ ＝ ａ８ － ａ５３ ＝ － １ ３ ，故ａ１ ＝ ａ５ － ４ｄ ＝ １ － ４ × －( )１３ ＝ ７３ ．故选Ｂ． ６． － １　 ∵ ａｎ ＝ ４ｎ － ５ ２ ， ∴ ｛ａｎ｝为等差数列，设其公差为ｄ，则ａ１ ＝ ３２ ，ｄ ＝ ４． ∴ ａｎ２ ＋ ｂｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ＝ ３２ ｎ ＋ ｎ（ｎ －１） ２ ×４ ＝２ｎ ２ － １２ ｎ． ∴ ａ ＝ ２，ｂ ＝ － １２ ， ∴ ａｂ ＝ － １． ７． ２　 由２Ｓ３ ＝ ３Ｓ２ ＋ ６可得２（ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３）＝ ３（ａ１ ＋ ａ２）＋ ６，化 简得２ａ３ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ６，即２（ａ１ ＋ ２ｄ）＝ ２ａ１ ＋ ｄ ＋ ６，解得ｄ ＝ ２． ８． １８０　 因为ａ１ ＋ ａ１８ ＝ ａ２ ＋ ａ１７ ＝ ２０， 所以Ｓ１８ ＝ １８ ×（ａ１ ＋ ａ１８）２ ＝ １８ ×（ａ２ ＋ ａ１７） ２ ＝ １８０． ９．（１）根据题意，得 ａ２ ＋ ａ４ ＝（ａ１ ＋ ｄ）＋（ａ１ ＋ ３ｄ）＝ ８， ａ２·ａ４ ＝（ａ１ ＋ ｄ）·（ａ１ ＋ ３ｄ）＝ １２{ ，解得 ａ１ ＝ ８， ｄ ＝ － ２{ ． （２）Ｓ１０ ＝ １０ａ１ ＋ １０ ×（１０ － １）２ ｄ ＝ １０ × ８ ＋ １０ × ９ ２ × （－ ２）＝ － １０． １０．（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 则由ａ１ ＋ ａ２ ＝ ５，Ｓ４ ＝ １４得， ２ａ１ ＋ ｄ ＝ ５， ４ａ１ ＋ ４ × ３ ２ ｄ ＝ １４{ ，即２ａ１ ＋ ｄ ＝ ５，２ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ７{ ， 解得ａ１ ＝ ２，ｄ ＝ １， 所以ａｎ ＝ ２ ＋（ｎ － １）＝ ｎ ＋ １． （２）由（１）可知，Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １）ｄ ２ ＝ ｎ（ｎ ＋ ３） ２ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 方法一：甲： ａ{ }ｎ 为等差数列，设其首项为ａ１，公差为ｄ， 则Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １）２ ｄ， Ｓｎ ｎ ＝ ａ１ ＋ ｎ － １ ２ ｄ ＝ ｄ ２ ｎ ＋ ａ１ － ｄ ２ ， Ｓｎ ＋ １ ｎ ＋ １ － Ｓｎ ｎ ＝ ｄ ２ ， 因此Ｓｎ{ }ｎ 为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙： Ｓｎ{ }ｎ 为等差数列，即Ｓｎ ＋ １ｎ ＋ １ － Ｓｎｎ ＝ ｎＳｎ ＋ １ －（ｎ ＋ １）Ｓｎｎ（ｎ ＋ １） ＝ ｎａｎ ＋ １ － Ｓｎ ｎ（ｎ ＋ １）为常数，设为ｔ， 即ｎａｎ ＋ １ － Ｓｎｎ（ｎ ＋ １）＝ ｔ，则Ｓｎ ＝ ｎａｎ ＋ １ － ｔ·ｎ（ｎ ＋ １），有Ｓｎ － １ ＝（ｎ － １） ａｎ － ｔ·ｎ（ｎ － １），ｎ≥２， 两式相减得：ａｎ ＝ ｎａｎ ＋ １ －（ｎ － １）ａｎ － ２ｔｎ，即ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ２ｔ，对 ｎ ＝ １也成立， 因此ａ{ }ｎ 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，Ｃ正确． 方法二：甲： ａ{ }ｎ 为等差数列，设数列ａ{ }ｎ 的首项为ａ１，公差 为ｄ，即Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １）２ ｄ， 则Ｓｎｎ ＝ ａ１ ＋ （ｎ － １） ２ ｄ ＝ ｄ ２ ｎ ＋ ａ１ － ｄ ２ ，因此 Ｓｎ{ }ｎ 为等差数列， 即甲是乙的充分条件； 反之，乙： Ｓｎ{ }ｎ 为等差数列，即Ｓｎ ＋１ｎ ＋１ － Ｓｎｎ ＝Ｄ，Ｓｎｎ ＝ Ｓ１ ＋（ｎ －１）Ｄ， 即Ｓｎ ＝ ｎＳ１ ＋ ｎ（ｎ － １）Ｄ，Ｓｎ － １ ＝（ｎ － １）Ｓ１ ＋（ｎ － １）（ｎ － ２）Ｄ， 当ｎ≥２时，上两式相减得Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ Ｓ１ ＋ ２（ｎ － １）Ｄ，当ｎ ＝ １ 时，上式成立， 于是ａｎ ＝ ａ１ ＋２（ｎ －１）Ｄ，又ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ａ１ ＋２ｎＤ －［ａ１ ＋２（ｎ －１） Ｄ］＝２Ｄ为常数， 因此ａ{ }ｎ 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 故选Ｃ． ２． Ｂ　 由已知可知等差数列中Ｓ１０ ＝ ２ ０００，Ｓ２０ ＝ ３ ５００， 因为Ｓ１０，Ｓ２０ － Ｓ１０，Ｓ３０ － Ｓ２０成等差数列， 所以２（Ｓ２０ － Ｓ１０）＝ Ｓ１０ ＋（Ｓ３０ － Ｓ２０）， 所以２ ×（３ ５００ － ２ ０００）＝ ２ ０００ ＋（Ｓ３０ － ３ ５００），解得Ｓ３０ ＝ ４ ５００，故选Ｂ． ３． ＡＢＤ　 由Ｓｎ ＝ ｄ２ ｎ ２ ＋ ａ１ － ｄ( )２ ｎ，根据二次函数的图象与性 质，可知当ｄ ＜ ０时数列｛Ｓｎ｝有最大项，选项Ａ，Ｂ正确；如果 数列｛Ｓｎ｝是递增数列，那么ｄ ＞ ０，但对任意的ｎ∈Ｎ ＋，Ｓｎ ＞ ０ 不一定成立，选项Ｃ错误；若对任意ｎ∈Ｎ ＋，均有Ｓｎ ＞０，对应的 抛物线开向上，所以ｄ ＞０，故数列｛Ｓｎ｝是递增数列，选项Ｄ正确． ４． ２　 ∵数列｛ａｎ｝为等差数列，设其公差为ｄ，则其前ｎ项和为 Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ， ∴ Ｓｎ ｎ ＝ ａ１ ＋ ｎ － １ ２ ｄ， ∴ Ｓｎ ＋ １ ｎ ＋ １ － Ｓｎ ｎ ＝ ｄ ２ ， ∴ Ｓｎ{ }ｎ 是公差为ｄ２的等差数列， ∴ Ｓ２ ０１５ ２ ０１５ － Ｓ１０ １０ ＝ ２ ００５ × ｄ ２ ＝ ２ ００５，解得ｄ ＝ ２． ５． － １５　 由ａ２３ ＋ ａ２８ ＋ ２ａ３ａ８ ＝ ９得（ａ３ ＋ ａ８）２ ＝ ９， ∵ ａｎ ＜ ０，∴ ａ３ ＋ ａ８ ＝ － ３． ∴ Ｓ１０ ＝ １０（ａ１ ＋ ａ１０） ２ ＝ １０（ａ３ ＋ ａ８） ２ ＝ １０ ×（－３） ２ ＝ －１５                                                                       ． —１５３— 练案［４］ 第四章　 数列 ４． ２　 ［４． ２． １　 第２课时　 等差数列的性质及应用］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知｛ａｎ｝为等差数列，ａ１ ＝ － １，ａ５ ＝ ５，则ａ３ ＝ （Ｂ ） Ａ． １　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 Ｄ． ４ ２．等差数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８ ＝ ９，那么关于ｘ 的方程：ｘ２ ＋（ａ４ ＋ ａ６）ｘ ＋ １０ ＝ ０ （Ａ ） Ａ．无实根 Ｂ．有两个相等实根 Ｃ．有两个不等实根 Ｄ．不能确定有无实根 ３．公差不为０的等差数列｛ａｎ｝中，ａ４ － ａｘ ＝ ａｙ － ａ７，则ｘｙ的值不可能是 （Ｃ ） Ａ． １０ Ｂ． ２４ Ｃ． ２２ Ｄ． ３０ ４．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善 织，日增等尺，七日织２８尺，第二日，第五日， 第八日所织之和为１５尺，则第十五日所织尺 数为 （Ｃ ） Ａ． １３ Ｂ． １４ Ｃ． １５ Ｄ． １６ ５．已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＞ ａｎ≥０，对任意ｐ≤ｑ ｐ，ｑ∈Ｎ( ) ，都有ａｑ － ａｐ是数列｛ａｎ｝中的项， 则 （Ｂ ） Ａ． ａ３ ＝ ａ１ ＋ ａ２ Ｂ． ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３ Ｃ． ａ５ ＝ ａ３ ＋ ａ４ Ｄ． ａ６ ＝ ａ４ ＋ ａ５ 二、填空题 ６．若ｌｇ ２，ｌｇ（２ｘ － １），ｌｇ（２ｘ ＋ ３）成等差数列，则 ｘ ＝ ｌｏｇ２５　 ． ７．已知ｘ － ５，－ ３ｘ － ４，－ ６ｘ － ５依次是等差数列 ｛ａｎ｝的第２项、第４项和第６项，则实数ｘ的 值是２　 　 　 ． ８．等差数列｛ａｎ｝是递增数列，若ａ２ ＋ ａ４ ＝ １６， ａ１·ａ５ ＝ ２８，则通项ａｎ ＝ ３ｎ － １　 ． 三、解答题 ９．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＝ － １２，且 ａ１·ａ３·ａ５ ＝ ８０，求通项ａｎ． １０．已知数列｛ａｎ｝，ａｎ ＝ ２ｎ － １，ｂｎ ＝ ａ２ｎ －１ ． （１）求｛ｂｎ｝的通项公式； （２）数列｛ｂｎ｝是否为等差数列？说明理由                                                              ． —０８４— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．已知函数( )ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的严格增函数且 为奇函数，数列｛ａｎ｝是等差数列，ａ１ ０１１ ＞ ０，则 ｆ ａ( )１ ＋ ｆ ａ( )２ ＋ ｆ ａ( )３ ＋…＋ ｆ ａ( )２ ０２０ ＋ ｆ ａ( )２ ０２１ 的值 （Ａ ） Ａ．恒为正数 Ｂ．恒为负数 Ｃ．恒为０ Ｄ．可正可负 ２．（多选题）已知单调递增的等差数列｛ａｎ｝满足 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ１０１ ＝ ０，则下列各式一定成 立的有 （　 ） Ａ． ａ１ ＋ ａ１０１ ＞ ０ Ｂ． ａ２ ＋ ａ１００ ＝ ０ Ｃ． ａ３ ＋ ａ１００≤０ Ｄ． ａ５１ ＝ ０ ３．设｛ａｎ｝是等差数列，下列结论中正确的是 （Ｃ ） Ａ．若ａ１ ＋ ａ２ ＞ ０，则ａ２ ＋ ａ３ ＞ ０ Ｂ．若ａ１ ＋ ａ３ ＜ ０，则ａ１ ＋ ａ２ ＜ ０ Ｃ．若０ ＜ ａ１ ＜ ａ２，则ａ２ ＞ ａ１ａ槡３ Ｄ．若ａ１ ＜ ０，则（ａ２ － ａ１）（ａ２ － ａ３）＞ ０ 二、填空题 ４．已知各项都为正数的等差数列｛ａｎ｝中，ａ５ ＝ ３，则ａ３ａ７的最大值为９　 　 　 ． ５．数列｛ａｎ｝是等差数列，ａ１ ＝ １，公差ｄ∈［１，２］， 且ａ４ ＋ λａ１０ ＋ ａ１６ ＝ １５，则实数λ的最大值为 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．设数列｛ａｎ｝是等差数列，ｂｎ (＝ １ )２ ａｎ又ｂ１ ＋ ｂ２ ＋ ｂ３ ＝ ２１ ８ ，ｂ１ｂ２ｂ３ ＝ １ ８，求通项ａｎ． ７．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ － ａｎ (－ １ )２ ｎ －１ ＋ ２（ｎ为正整数）．令ｂｎ ＝ ２ｎａｎ，求证数列｛ｂｎ｝ 是等差数列，并求数列｛ａｎ｝的通项公式． Ｃ组·探索创新 　 （多选题）我国天文学和数学著作《周髀算经》 中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷 长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器， 晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及 晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少 或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的 晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五 寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说 法正确的是 （　 ） Ａ．小寒比大寒的晷长长一尺 Ｂ．春分和秋分两个节气的晷长相同 Ｃ．小雪的晷长为一丈五寸 Ｄ．                                                                       立春的晷长比立秋的晷长长 —０８５—