4.2.1 第1课时等差数列的概念(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［３］ 第四章　 数列 ４． ２　 ［４． ２． １　 第１课时　 等差数列的概念］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，则此数列 （Ａ ） Ａ．是公差为２的等差数列 Ｂ．是公差为５的等差数列 Ｃ．是首项为５的等差数列 Ｄ．是公差为ｎ的等差数列 ２．已知数列｛ａｎ｝，对任意的ｎ∈Ｎ，点Ｐｎ（ｎ， ａｎ）都在直线ｙ ＝ ２ｘ ＋ １上，则｛ａｎ｝为（Ａ ） Ａ．公差为２的等差数列 Ｂ．公差为１的等差数列 Ｃ．公差为－ ２的等差数列 Ｄ．非等差数列 ３．在两个实数ａ，ｂ（ａ≠ｂ）之间插入ｎ个数，使它 们与ａ，ｂ组成等差数列，则该数列的公差为 （Ｃ ） Ａ． ｂ － ａｎ Ｂ． ａ － ｂ ｎ ＋ １ Ｃ． ｂ － ａｎ ＋ １ Ｄ． ｂ － ａ ｎ ＋ ２ ４．已知数列｛ａｎ｝为等差数列，且ａ１ ＝ ２，ａ２ ＋ ａ３ ＝ １３，则ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６等于 （Ｂ ） Ａ． ４０ Ｂ． ４２ Ｃ． ４３ Ｄ． ４５ ５．设ｘ是ａ与ｂ的等差中项，ｘ２ 是ａ２ 与－ ｂ２ 的 等差中项，则ａ，ｂ的关系是 （Ｃ ） Ａ． ａ ＝ － ｂ Ｂ． ａ ＝ ３ｂ Ｃ． ａ ＝ － ｂ或ａ ＝ ３ｂ Ｄ． ａ ＝ ｂ ＝ ０ 二、填空题 ６．若｛ａｎ｝为等差数列，且ａ７ － ２ａ４ ＝ － １，ａ３ ＝ ０， 则公差ｄ ＝ 　 　 　 　 ． ７．已知ｆ（ｎ ＋ １）＝ ｆ（ｎ）－ １４（ｎ∈Ｎ ），且ｆ（２）＝ ２，则ｆ（１０１）＝ 　 　 　 　 ． ８．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根９节的 竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 ４节的容积共３升，下面３节的容积共４升， 则第５节的容积为　 　 　 　 升． 三、解答题 ９．三个数成等差数列，其和为９，前两项之积为 后一项的６倍，求这三个数． １０．已知ｂ是ａ，ｃ的等差中项，且ｌｇ（ａ ＋ １）， ｌｇ（ｂ － １），ｌｇ（ｃ － １）成等差数列，同时ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １５，求ａ，ｂ，ｃ的值                                                               ． —０８２— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）下列命题中正确的个数是（　 ） Ａ．若ａ，ｂ，ｃ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２一定成等 差数列 Ｂ．若ａ，ｂ，ｃ成等差数列，则２ａ，２ｂ，２ ｃ可能成等 差数列 Ｃ．若ａ，ｂ，ｃ成等差数列，则ｋａ ＋ ２，ｋｂ ＋ ２，ｋｃ ＋ ２一定成等差数列 Ｄ．若ａ，ｂ，ｃ成等差数列，则１ａ， １ ｂ， １ ｃ可能成等 差数列 ２．等差数列的首项为１２５，且从第１０项开始为比 １大的项，则公差ｄ的取值范围是 （Ｄ ） Ａ． ｄ ＞ ８７５ Ｂ． ｄ ＜ ３ ２５ Ｃ． ８７５ ＜ ｄ ＜ ３ ２５ Ｄ． ８ ７５ ＜ ｄ≤ ３ ２５ ３．（多选题）已知数列｛ａｎ｝满足：ａ１ ＝ ２，当ｎ≥２ 时，ａｎ ＝（ ａｎ －１槡 ＋ ２ ＋ １）２ － ２，则下列说法正 确的是 （　 ） Ａ． ａ２ ＝ ７ Ｂ．数列｛ａｎ｝为递增数列 Ｃ． ａｎ ＝ ｎ ２ ＋ ２ｎ － １ Ｄ．数列｛ａｎ｝为周期数列 二、填空题 ４．已知等差数列｛ａｎ｝的各项均为正数，ａ１ ＝ １， 且ａ２ ＋ ａ６ ＝ ａ８ ．若ｐ － ｑ ＝ １０，则ａｐ － ａｑ ＝ １０ＷＱＴＱ　 ． ５．等差数列｛ａｎ｝，首项为３３，公差为整数，若前７ 项均为正数，第７项以后各项都为负数，则数 列的通项公式为ａｎ ＝ ３８ － ５ｎ　 ． 三、解答题 ６．已知ｆ（ｘ）＝ ２ｘｘ ＋ ２，在数列｛ｘｎ｝中，ｘ１ ＝ １ ３，ｘｎ ＝ ｆ（ｘｎ －１）（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ），试说明数列１ｘ{ }ｎ 是等 差数列，并求ｘ９５的值． Ｃ组·探索创新 　 已知等差数列｛ａｎ｝：３，７，１１，１５，…． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）１３５，４ｍ ＋ １９（ｍ∈Ｎ）是数列｛ａｎ｝的项 吗？如果是，是第几项？ （３）若ａｍ，ａｔ（ｍ，ｔ∈Ｎ）是数列｛ａｎ｝中的项， 那么２ａｍ ＋ ３ａｔ是数列｛ａｎ｝的项吗？如果是， 是第几项                                                                      ？ —０８３— 练案[3] A组·基础自测 :3.ABC数列|a满足：41=2，当n≥2时，4.=（√a。-1+2+ 1.Aa.=2n+5,.a.-1=2n+3(n≥2)， 1)2-2. ∴a,-a.-4=2m+5-2n-3=2(n≥2)， .4+2=(√a.+2+1)2 ÷数列1a。|是公差为2的等差数列. 2.A由题意知a。=2n+1,则a+1-an=2.故选A ./a,+2=√a.-,+2+1, 3.Cb是等差数列的第n+2项。由等差数列的通项公式，得b 即数列|a,+21是首项为√a,+=2,公差为1的等差 数列. =a+(n+2-1)d,解得d=6-a n+1 √a.+2=2+(n-1)×1=n+1. 4.B设公差为d,则a+a3=偏1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d ∴.a。=n+2n-1,所以易知ABC正确，D借误.故选ABC =13,解得d=3,所以a:+西+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+4.10设等差数列1a,的公差为d(d>0),:a1=1,且+a (a1+5)=3m1+12d=42. =,2+6d=1+7d,解得d=1.若p-g=10,则a。-a,= 5C由等装中项的定义知：宁艺广= 10d=10. 2 5.a,=38-5n由题意可得=+6d>0, a,=a,+7d<0. 即a2-2ub-3b2=0.故a=-b或a=3弘. 即33+6d>0, l33+7d<0, 6-方方法一：由于4-2a,=4+6d-2(4+3=-4,= 解得-碧<d<-2又：deZd=-5 6 -1.则a,.又由于a,=a+24=1+2=0,解得d=-分 .a.=33+(n-1)×(-5)=38-5nm. 方法二：，=+4d=4d,a=a,+d=d,代人条件即可得d 6因为当n≥2时，x。=八xm-t), 7-生)川为等差数列，公差为-子 2+2n≥2.即成+26=2(2) 所以x。= )2)-()=2+=是 得24-24=1(n≥2)，即-1= XaY:-1 2(n≥2). n10)=)+104-号+100×(-）-头 又=3，所以数列{}是以3为首项，分为公差的等差数 x。 设此等差数列为口，{，公差为d,则 列，所以=3+a-x宁” ∫a++a+a=3, 4+a+4=4, 所以怎5所以。550 13 C组·探索创新 [4a,+6d=3, [a= 解得{ 22 (1)设数列|a.的公差为d, 13a+21d=4, 7 d=6 依题意.有41=3，d=7-3=4, .a=3+4(n-1)=4n-I(neN) a=a,+4=是+4×G (2)令4n-1=135,得n=34. 6666 ∴135是数列1a,|的项，是第34项。 9.设这三个数分别为a-d,a,a+d, 4m+19=4(m+5）-1,且meN°， 则3a=9,∴，a=3. 4m+19是数列{an|的项，是第m+5项。 这三个数分别为3-d,3,3+d (3)a.,a,是数列a。|中的项， 由题意，得3(3-d)=6(3+d),∴d=-1. .u.=4m-1,a,=41-1, “这三个数分别为4.3.2 ∴.2a.+3a,=2(4m-1)+3(41-1）=4(2m+31-1)-1 10.因为2b=n+c,a+b+c=15.所以3动=15，b=5.设等差数列 ,2m+31-1EN" a,b,c的公差为d,则a=5-d,e=5+d.由2g(b-I)=g(a .2n.+30,是数列a.}的项，是第2m+31-1项. +1)+lg(e-1)知： 2g4=lg(6-d)+lg(4+d0. 练案[4] 从而16=(6-d)(4+).即2-2d-8=0. A组·基础自测 所以d=4或d=-2. 所以a,bc三个数分别为1,5,9或7,5,3. 1.B1a,为等差数列a,=-)+5=2 2 B组·素养提升 故选B. 1.BCD对于A,令a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4.c2=9,A 错误；对于B,取a=b=c→2”-2-2，B正确：对于C,因为 2.A由于a4+06=a2+%=2a5,而3a=9, a,b,c成等差，所以a+e=26,所以(ka+2)+(6c+2)=k(a .4=3,方程为x2+6r+10=0,4=62-4×10<0.无实数 解.故选A. +c)+4=2(陆+2)，C正确：对于D,取a=b=c≠0，则=3.C:公差不为0的等差数列a,中，，-4，=a,-, =D正确 ∴.a4+,=a,+a,,即x+y=4+7=11. x,y∈N”, .x=1,y=10或x=2,y=9或x=3,y=8或x=4,y=7或x= 2D由题意o>L 25 +9d>1. 5,y=6或x=6,J=5,或x=7,J=4或x=8,y=3或x=9,y= lag≤1， +8d≤1， 2或x=10,y=1, 125 .y=10或18或24或28或30，不可能是22.故选C -151