4.1 第2课时数列的道项公式与递推公式(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

练案［２］ 第四章　 数列 ４． １　 ［第２课时　 数列的通项公式与递推公式］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋２ ＋ ａｎ，ａ１ ＝ ２，ａ２ ＝ ５，则ａ６ ＝ （Ａ ） Ａ． － ３　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ４ Ｃ． － ５ Ｄ． ２ ２．在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １３，ａｎ ＝（－ １） ｎ·２ａｎ －１（ｎ ≥２），则ａ５等于 （Ｂ ） Ａ． － １６３ Ｂ． １６ ３ Ｃ． － ８３ Ｄ． ８ ３ ３．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ２ － ６ｎ ＋ ５， 则该数列中最小项的序号是 （Ａ ） Ａ． ３　 　 　 　 Ｂ． ４　 　 　 　 Ｃ． ５　 　 　 　 Ｄ． ６ ４．（多选题）下列叙述中，正确的是 （　 ） Ａ．通项公式为ａｎ ＝ ２的数列是常数列 Ｂ．数列（－ １）ｎ·１{ }ｎ 是摆动数列 Ｃ．数列 ｎ２ｎ{ }＋ １ 是递增数列 Ｄ．若数列｛ａｎ｝是递增数列，则数列｛ａｎ· ａｎ ＋１｝也是递增数列 ５．数列｛ａｎ｝的构成法则如下：ａ１ ＝ １，如果ａｎ － ２ 为自然数且之前未出现过，则用递推公式 ａｎ ＋１ ＝ ａｎ － ２，否则用递推公式ａｎ ＋１ ＝ ３ａｎ，则 ａ６ ＝ （Ｃ ） Ａ． － ７ Ｂ． ３ Ｃ． １５ Ｄ． ８１ 二、填空题 ６．数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＝ １ａｎ －１ ＋ ２（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ）， 当ａ１ ＝ １时，ａ４ ＝ 　 　 　 ． ７． 对于正项数列｛ａｎ ｝中，定义：Ｇｎ ＝ ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋ ｎａｎ ｎ 为数列｛ａｎ｝的“匀称 值”已知数列｛ａｎ｝的“匀称值”为Ｇｎ ＝ ｎ ＋ ２， 则该数列中的ａ１０ ＝ 　 　 　 ． ８．已知数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ３ｎ － １（ｎ∈ Ｎ），通过公式ｂｎ ＝ ａｎ ＋１ａｎ 构造一个新数列 ｛ｂｎ｝，那么｛ｂｎ｝的前５项为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｘ － ２ － ｘ，数列｛ａｎ｝满足 ｆ（ｌｏｇ２ａｎ）＝ － ２ｎ（ｎ∈Ｎ）． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）判断数列｛ａｎ｝的单调性                                                               ． —０８０— １０．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，其前ｎ项和是Ｓｎ， 对任意正整数ｎ，Ｓｎ ＝ ｎ２ａｎ，求此数列的通项 公式． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）如果｛ａｎ｝为递增数列，则｛ａｎ｝的通 项公式可以为 （　 ） Ａ． ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ３ Ｂ． ａｎ ＝ － ｎ ２ － ３ｎ ＋ １ Ｃ． ａｎ (＝ １ )２ ｎ Ｄ． ａｎ ＝ １ ＋ ｌｏｇ２ｎ ２．若数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ２，ａｎ ＋１ ＝ １ ＋ ａｎ１ － ａｎ（ｎ∈ Ｎ），则该数列的前２ ０２１项的乘积是（Ｃ ） Ａ． － ２ Ｂ． － １ Ｃ． ２ Ｄ． １ ３．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样１０ 条直线相交，交点的个数最多的是 （Ｂ ） Ａ ４０ Ｂ ４５ Ｃ ５０ Ｄ ５５ 二、填空题 ４．函数ｆ（ｘ）定义如下表，数列｛ｘｎ｝满足ｘ１ ＝ ５， 且对任意的正整数ｎ均有ｘｎ ＋１ ＝ ｆ（ｘｎ），则 ｘ２ ０２４ ＝ ２　 　 　 　 ． ｘ １ ２ ３ ４ ５ ｆ（ｘ） ５ １ ３ ４ ２ ５．若数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ － ２ｎ２ ＋ １３ｎ， 关于该数列，有以下四种说法： （１）该数列有无限多个正数项． （２）该数列有无限多个负数项． （３）该数列的最大项就是函数ｆ（ｘ）＝ － ２ｘ２ ＋ １３ｘ的最大值． （４）－ ７０是该数列中的一项． 其中正确说法的序号为（２）（４）　 ． 三、解答题 ６．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２ｎ２ － ３ｎ ＋ １， 求｛ａｎ｝的通项公式ａｎ． ７．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １２，ｎ≥２时，ａｎａｎ －１ ＝ ａｎ －１ － ａｎ，求数列｛ａｎ｝的通项公式． Ｃ组·探索创新 　 已知函数ｆ（ｘ）＝ （３ － ａ）ｘ － ６，ｘ≤１０， ａｘ －９，ｘ ＞ １０{ ． 若数列 ｛ａｎ｝满足ａｎ ＝ ｆ（ｎ），ｎ∈Ｎ，且｛ａｎ｝是递增数 列，则实数ａ的取值范围是 （Ｃ ） Ａ．（１，３） Ｂ．（１，２］ Ｃ．（２，３） Ｄ． １４１１，[ )                                                                      ３ —０８１— 练案［２］ Ａ组·基础自测 １． Ａ　 由ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ ２ ＋ ａｎ得ａ３ ＝ ３， ａ４ ＝ － ２，ａ５ ＝ － ５，ａ６ ＝ － ３． ２． Ｂ　 ∵ ａ１ ＝ １ ３ ，ａｎ ＝（－ １） ｎ·２ａｎ － １， ∴ ａ２ ＝（－ １）２ × ２ × １３ ＝ ２ ３ ， ａ３ ＝（－ １）３ × ２ × ２３ ＝ － ４ ３ ， ａ４ ＝（－ １）４ × ２ × －( )４３ ＝ － ８３ ， ａ５ ＝（－ １）５ × ２ × －( )８３ ＝ １６３ ． ３． Ａ　 因为ａｎ ＝（ｎ２ － ６ｎ ＋ ９）－ ４ ＝（ｎ － ３）２ － ４，故当ｎ ＝ ３时， ａｎ取得最小值－ ４，所以数列的第３项是最小项． ４． ＡＢＣ　 Ａ中每一项均为２，是常数列；Ｂ中项的符号由（－ １）ｎ 为调整，是摆动数列；Ｃ中ｎ２ｎ ＋ １可变形为 １ ２ ＋ １ｎ ，为递增数列； Ｄ中若ａｎ ＝ ｎ － ３，则ａｎａｎ ＋ １ ＝（ｎ － ３）（ｎ － ２）＝ ｎ２ － ５ｎ ＋ ６，不 是递增数列． ５． Ｃ　 由ａ１ ＝ １，ａ１ － ２ ＝ － １Ｎ，得ａ２ ＝ ３ａ１ ＝ ３． 又ａ２ － ２ ＝ １ ＝ ａ１，故ａ３ ＝ ３ａ２ ＝ ９． 又ａ３ － ２ ＝ ７∈Ｎ，故ａ４ ＝ ａ３ － ２ ＝ ７． 又ａ４ － ２ ＝ ５∈Ｎ，则ａ５ ＝ ａ４ － ２ ＝ ５． 又ａ５ － ２ ＝ ３ ＝ ａ２，所以ａ６ ＝ ３ａ５ ＝ １５．故选Ｃ． ６． １７７ 　 由ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ １ ａｎ － １ ＋ ２（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ），得ａ２ ＝ ３，ａ３ ＝ ７３ ， ａ４ ＝ １７ ７ ． ７． ２１１０ 　 Ｇｎ ＝ ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋ ｎａｎ ｎ ＝ ｎ ＋ ２，即ｎＧｎ ＝ ｎ ｎ( )＋ ２ ＝ ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋ ｎａｎ， 故ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋…＋ １０ａ１０ ( )＝ １０ × １０ ＋ ２ ；ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋ …＋ ９ａ９ ( )＝ ９ × ９ ＋ ２ ； 两式相减得１０ａ１０ ＝ ２１，所以ａ１０ ＝ ２１１０ ． ８． ５２ ， ８ ５ ， １１ ８ ， １４ １１， １７ １４ 　 ∵ ａｎ ＝ ３ｎ － １（ｎ∈Ｎ ）， ∴ ａｎ ＋ １ ＝ ３（ｎ ＋ １）－ １ ＝ ３ｎ ＋ ２， ∴ ｂｎ ＝ ａｎ ＋ １ ａｎ ＝ ３ｎ ＋ ２３ｎ － １． ∴ ｂ１ ＝ ５ ２ ，ｂ２ ＝ ８ ５ ，ｂ３ ＝ １１ ８ ，ｂ４ ＝ １４ １１，ｂ５ ＝ １７ １４ ． ９．（１）因为ｆ（ｘ）＝ ２ｘ － ２ － ｘ，ｆ（ｌｏｇ２ａｎ）＝ － ２ｎ， 所以２ｌｏｇ２ａｎ － ２ － ｌｏｇ２ａｎ ＝ － ２ｎ，即ａｎ － １ａｎ ＝ － ２ｎ， 所以ａ２ｎ ＋ ２ｎａｎ － １ ＝ ０，解得ａｎ ＝ － ｎ ± ｎ２槡＋ １． 因为ａｎ ＞ ０，所以ａｎ ＝ ｎ２槡＋ １ － ｎ，ｎ∈Ｎ ． （２）ａｎ ＋ １ａｎ ＝ （ｎ ＋ １）２槡 ＋ １ －（ｎ ＋ １） ｎ２槡＋ １ － ｎ ＝ ｎ ２槡＋ １ ＋ ｎ （ｎ ＋ １）２槡 ＋ １ ＋（ｎ ＋ １） ＜ １． 因为ａｎ ＞ ０，所以ａｎ ＋ １ ＜ ａｎ，所以数列｛ａｎ｝是递减数列． １０． ∵ Ｓｎ ＝ ｎ ２ａｎ，∴ ｎ≥２时， ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ｎ ２ａｎ －（ｎ － １）２ａｎ － １，化为ａｎａｎ － １ ＝ ｎ － １ ｎ ＋ １， ∴ ａｎ ＝ ａｎ ａｎ － １ ·ａｎ － １ａｎ － ２· ａｎ － ２ ａｎ － ３ ·…·ａ３ａ２· ａ２ ａ１ ·ａ１ ＝ ｎ － １ｎ ＋ １· ｎ － ２ ｎ · ｎ － ３ ｎ － １·…· ２ ４· １ ３·１ ＝ ２ｎ（ｎ ＋ １）， ｎ ＝ １时也成立，∴ ａｎ ＝ ２ｎ（ｎ ＋ １）． Ｂ组·素养提升 １． ＡＤ　 Ａ是ｎ的一次函数，一次项系数为２，所以为递增数列； Ｂ是ｎ的二次函数，二次项系数为－ １，且对称轴为ｎ ＝ － ３２ ， 所以为递减数列； Ｃ是ｎ的指数函数，且底数为１２ ，是递减数列； Ｄ是ｎ的对数型函数，且底数为２，是递增数列． ２． Ｃ　 因为数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ２，ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ａｎ１ － ａｎ（ｎ∈Ｎ ），所以ａ２ ＝ １ ＋ ａ１ １ － ａ１ ＝ １ ＋ ２１ － ２ ＝ － ３，同理可得ａ３ ＝ － １ ２ ，ａ４ ＝ １ ３ ，ａ５ ＝ ２，…， 所以数列｛ａｎ｝每四项重复出现，即ａｎ ＋ ４ ＝ ａｎ，且ａ１·ａ２·ａ３· ａ４ ＝ １，而２ ０２１ ＝ ５０５ × ４ ＋ １，所以该数列的前２ ０２１项的乘积 是ａ１·ａ２·ａ３·ａ４·…·ａ２ ０２１ ＝ １５０５ × ａ１ ＝ ２． ３． Ｂ　 交点个数依次组成数列为１，３，６，即２ × １２ ， ２ × ３ ２ ， ３ × ４ ２ ，由 此易得ａｎ ＝ ｎ（ｎ － １）２ ，∴ ａ１０ ＝ １０ × ９ ２ ＝ ４５． ４． ２　 由题意可知ｘ１、ｘ２、ｘ３、ｘ４、ｘ５、…的值分别为５，２，１，５，２，…， ｛ｘｎ｝周期为３． ∴ ｘ２ ０２４ ＝ ｘ３ × ６７４ ＋ ２ ＝ ｘ２ ＝ ２． ５．（２）（４）　 令－ ２ｎ２ ＋ １３ｎ ＞ ０，得０ ＜ ｎ ＜ １３２ ，故数列｛ａｎ｝有６项 是正数项，有无限个负数项，所以（１）错误，（２）正确；当ｎ ＝ ３ 时，数列｛ａｎ｝取到最大值，而当ｘ ＝ ３． ２５时，函数ｆ（ｘ）取到最 大值，所以（３）错误； 令－ ２ｎ２ ＋ １３ｎ ＝ － ７０，得ｎ ＝ １０，或ｎ ＝ － ７２ （舍去）． 即－ ７０是该数列的第１０项，所以（４）正确． ６．因为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２ｎ２ － ３ｎ ＋ １， 所以ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ × １２ － ３ × １ ＋ １ ＝ ０， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ （２ｎ２ － ３ｎ ＋ １）－ ［２（ｎ － １）２ － ３（ｎ － １）＋ １］＝ ４ｎ － ５． ｎ ＝ １时，４ｎ － ５ ＝ － １≠ ａ１，所以｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ０，ｎ ＝ １， ４ｎ － ５，ｎ≥{ ２（ｎ∈Ｎ）． ７．因为ａｎａｎ － １ ＝ ａｎ － １ － ａｎ， 所以ｎ≥ ２ 时，１ａｎ ＝ １ ａ１ ＋ １ａ２ － １ａ( )１ ＋ １ ａ３ － １ａ( )２ ＋…＋ １ ａｎ － １ａｎ( )－ １ ＝ ２ ＋ １ ＋ １ ＋…{ ＋ １共（ｎ － １）个１ ＝ ｎ ＋ １．所以１ａｎ ＝ｎ ＋１，所以当ｎ ≥２时，ａｎ ＝ １ｎ ＋１．当ｎ ＝１时，ａ１ ＝ １ ２也适合上式，所以ａｎ ＝ １ ｎ ＋１（ｎ ∈Ｎ）． Ｃ组·探索创新 Ｃ　 由题意知ａｎ ＝ （３ － ａ）ｎ － ６，ｎ≤１０，ａｎ － ９，ｎ ＞ １０{ ． 因为数列｛ａｎ｝是递增数列，所以当ｎ≤１０时，３ － ａ ＞ ０，即ａ ＜ ３， 当ｎ ＞ １０时，ａ ＞ １，且ａ１０ ＜ ａ１１，即（３ － ａ）× １０ － ６ ＜ ａ１１ － ９ ． 由上可得ａ的取值范围为｛ａ ｜２ ＜ ａ ＜ ３｝                                                                       ． —１５０—