4.1 第1课时数列的概念与简单表示法(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

书 练案［１］ 第四章　 数列 ４． １　 ［第１课时　 数列的概念与简单表示法］ Ａ组·基础自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或 它的有限子集｛１，２，３，…，ｎ｝）上的函数； ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群 孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是 （Ａ ） Ａ ①② Ｂ ①②③ Ｃ ②③ Ｄ ①②③④ ２． 已知数列｛ａｎ ｝的通项公式ａｎ ＝ ３ｎ － １（ｎ为奇数）， ２ｎ － ２（ｎ为偶数{ ），则ａ２ａ３的值是（Ｄ ） Ａ． ７０ Ｂ． ２８ Ｃ． ２０ Ｄ． １６ ３． ２ｎ是数列１，２，４，…，２ｎ，…的第　 　 项（Ｂ ） Ａ． ｎ Ｂ． ｎ ＋ １ Ｃ． ｎ － １ Ｄ． ｎ ＋ ２ ４．数列１，１２， ２ １， １ ３， ２ ２， ３ １， １ ４， ２ ３， ３ ２， ４ １，…，则 ４ ５ 是该数列的第　 　 项 （Ｄ ） Ａ． ９ Ｂ． １０ Ｃ． ３１ Ｄ． ３２ ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ２ｎｎ ＋ １，那么 这个数列是 （Ａ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．摆动数列 Ｄ．常数列 ６．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ － ２ｎ２ ＋ ２１ｎ，则该数列中的数值最大的项是（Ａ ） Ａ．第５项 Ｂ．第６项 Ｃ．第４项或第５项 Ｄ．第５项或第６项 二、填空题 ７．观察数列１，ｌｎ ２，ｓｉｎ ３，４，ｌｎ ５，ｓｉｎ ６，７，ｌｎ ８， ｓｉｎ ９，…，则该数列的第１１项等于ｌｎ １１　 ． ８．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ ＋ １３ｎ － １６（ｎ∈ Ｎ ＋），则数列｛ａｎ｝的最大项是第６　 　 　 项． 三、解答题 ９．写出下列数列的一个通项公式． （１）－ １１ ＋ １， １ ４ ＋ １，－ １ ９ ＋ １， １ １６ ＋ １，…； （２）２，３，５，９，１７，３３，…； （３）１２， ２ ５， ３ １０， ４ １７， ５ ２６，…； （４）１，４３，２， １６ ５ ，…； （５）－ １３， １ ８，－ １ １５， １ ２４，…； （６）２，６，１２，２０，３０，…                                                                ． —０７７— １０．已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＝ ｎ － １，ｎ为奇数， ｎ，ｎ为偶数{ ， 试 求ａ１ ＋ ａ１００和ａ１ － ａ２ ＋ ａ３ － ａ４ ＋…＋ ａ９９ － ａ１００ 的值． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．对任意的ａｎ∈（０，１），由关系式ａｎ ＋１ ＝ ｆ（ａｎ） 得到的数列满足ａｎ ＋１ ＞ ａｎ（ｎ∈Ｎ），则函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象可能是 （Ａ ） ２．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之 数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化 中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表 太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总 和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史 上的第一道数列题．其前１０项依次是０，２，４， ８，１２，１８，２４，３２，４０，５０，…，则此数列的第２０ 项为 （Ｂ ） Ａ． ２１２ Ｂ． ２００ Ｃ． １８６ Ｄ． １６２ ３．（多选题）已知ｎ∈Ｎ，给出下列四个表达式， 其中能作为数列：０，１，０，１，０，１，０，１，…的通项 公式的是 （　 ） Ａ． ａｎ ＝ ０，ｎ为奇数， １，ｎ{ 为偶数 Ｂ． ａｎ ＝ １ ＋（－ １） ｎ ２ Ｃ． ａｎ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ｎπ ２ Ｄ． ａｎ ＝ ｓｉｎ ｎπ２ 二、填空题 ４．已知数列２ａ － １，ａ － ３，３ａ － ５为递减数列，则 ａ的取值范围为（－ ２，１）　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝，ａｎ ＝ ｃｏｓ ｎθ，０ ＜ θ ＜ π６，ａ５ ＝ １ ２， 则ａ１０ ＝ 　 　 　 　                                                                       ． —０７８— 三、解答题 ６．数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ． （１）求数列的第７项； （２）求证：此数列的各项都在区间（０，１）内； （３） (区间１３， ) ２ ３ 内有无数列的项？若有，有 几项？ Ｃ组·探索创新 　 一辆邮车每天从Ａ地往Ｂ地运送邮件，沿途 （包括Ａ，Ｂ）共有８站．从Ａ地出发时，装上发 往后面７站的邮件各１件，到达后面各站后卸 下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站 发往后面各站的邮件各１件，试写出邮车在 各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，并 画出该数列的图象                                                                     ． —０７９— ［练案部分］ 练案［１］ Ａ组·基础自测 １． Ａ　 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表 示式可以不唯一．例如数列１，０，－ １，０，１，０，－ １，０，…的通项 可以是ａｎ ＝ ｓｉｎ ｎπ２ ，也可以是ａｎ ＝ ｃｏｓ （ｎ ＋ ３）π ２ 等等． ２． Ｄ　 ａ２ ＝ ２ × ２ － ２ ＝ ２，ａ３ ＝ ３ × ３ － １ ＝ ８，ａ２ａ３ ＝ １６．故选Ｄ． ３． Ｂ　 数列第１项为２０，第２项为２１，则２ｎ为ｎ ＋ １项． ４． Ｄ　 观察可得出，数列的特性：根据分子分母的和以及分子由 小到大排列． 分子分母和为２的有１项，和为３的有２项，和为４的有３项， …，和为ｎ的有ｎ － １项． ４ ５的分子分母之和为９，且为和为９中的第４项， 又１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ４ ＝ ３２，所以４５ 是数列中的第 ３２项． 故选Ｄ． ５． Ａ　 ａｎ ＝ ２ｎ ｎ ＋ １ ＝ ２ － ２ ｎ ＋ １单调递增．故选Ａ． ６． Ａ　 ａｎ ＝ －２ ｎ － ２１( )４ ２ ＋４４１８ ，因为ｎ∈Ｎ ，５ ＜ ２１４ ＜６，且ａ５ ＝ ５５， ａ６ ＝５４，所以数值最大的项为第５项．故选Ａ． ７． ｌｎ １１　 由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数 的顺序排列，且以３为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形 式，由１１ ＝ ３ × ３ ＋ ２，所以该数列的第１１项为ｌｎ １１． ８． ６　 ａｎ ＝ ｎ ＋ １ ３ｎ － １６ ＝ (１３ １ ＋ １９３ｎ )－ １６ ， 当ｎ ＞ ５时，ａｎ ＞ ０，且单调递减；当ｎ≤５时，ａｎ ＜ ０，且单调 递减， ∴当ｎ ＝ ６时，ａｎ最大． ９．（１）符号规律（－ １）ｎ，分子都是１，分母是ｎ２ ＋ １，∴ ａｎ ＝（－ １）ｎ ·１ ｎ２ ＋１ ． （２）ａ１ ＝ ２ ＝ １ ＋ １，ａ２ ＝ ３ ＝ ２ ＋ １，ａ３ ＝ ５ ＝ ２２ ＋ １， ａ４ ＝ ９ ＝ ２ ３ ＋ １，ａ５ ＝ １７ ＝ ２４ ＋ １，ａ６ ＝ ３３ ＝ ２５ ＋ １， ∴ ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ＋ １． （３）ａ１ ＝ １２ ＝ １ １１ ＋ １ ，ａ２ ＝ ２５ ＝ ２ ２２ ＋ １ ，ａ３ ＝ ３１０ ＝ ３ ３２ ＋ １ ，ａ４ ＝ ４１７ ＝ ４ ４２ ＋ １ ，…， ∴ ａｎ ＝ ｎ ｎ２ ＋ １ ． （４）ａ１ ＝ １ ＝ ２２ ，ａ２ ＝ ４ ３ ，ａ３ ＝ ２ ＝ ８ ４ ，ａ４ ＝ １６ ５ ，…， ∴ ａｎ ＝ ２ｎ ｎ ＋ １． （５）ａ１ ＝ － １３ ＝ － １ １ × ３，ａ２ ＝ １ ８ ＝ １ ２ × ４，ａ３ ＝ － １ １５ ＝ － １ ３ × ５， ａ４ ＝ １ ２４ ＝ １ ４ × ６， ∴ ａｎ ＝（－ １）ｎ· １ｎ（ｎ ＋ ２）． （６）ａ１ ＝ ２ ＝ １ × ２，ａ２ ＝ ６ ＝ ２ × ３，ａ３ ＝ １２ ＝ ３ × ４，ａ４ ＝ ２０ ＝ ４ × ５， ａ５ ＝ ３０ ＝ ５ × ６， ∴ ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）． １０． ∵ ａ１ ＝ １ － １ ＝ ０，ａ１００ ＝ １００． ∴ ａ１ ＋ ａ１００ ＝ １００． 又ａ１ ＝ ０，ａ３ ＝ ２，ａ５ ＝ ４，…，ａ９９ ＝ ９８， 而ａ２ ＝ ２，ａ４ ＝ ４，ａ６ ＝ ６，…，ａ９８ ＝ ９８，ａ１００ ＝ １００， ∴ ａ１ － ａ２ ＋ ａ３ － ａ４ ＋…＋ ａ９９ － ａ１００ ＝ ０ － ２ ＋ ２ － ４ ＋ ４ －…＋ ９８ － １００ ＝ － １００． Ｂ组·素养提升 １． Ａ　 据题意，由关系式ａｎ ＋ １ ＝ ｆ（ａｎ）得到的数列｛ａｎ｝，满足ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，即该函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象上任一点（ｘ，ｙ）都满足ｙ ＞ ｘ，结 合图象，只有Ａ满足，故选Ａ． ２． Ｂ　 由０，２，４，８，１２，１８，２４，３２，４０，５０，…，可得偶数项的通项公 式为ａ２ｎ ＝ ２ｎ２，则ａ２０ ＝ ２ × １０２ ＝ ２００，即此数列的第２０项 为２００． ３． ＡＢＣ　 Ａ中，ａｎ ＝ ０，ｎ为奇数，１，ｎ为偶数{ ，当ｎ为奇数时，ａｎ ＝ ０；当ｎ为 偶数时，ａｎ ＝ １，满足条件； Ｂ中，ａｎ ＝ １ ＋（－ １） ｎ ２ ，满足条件； Ｃ中，ａｎ ＝ １ ＋ ｃｏｓ ｎπ２ ，满足条件； Ｄ中，ａｎ ＝ ｓｉｎ ｎπ２ ，当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １；当ｎ ＝ ２时，ａ２ ＝ ０，以 此类推，不满足条件．故选ＡＢＣ． ４．（－ ２，１）　 ∵数列：２ａ － １，ａ － ３，３ａ － ５为递减数列， ∴ ２ａ － １ ＞ ａ － ３， ａ － ３ ＞ ３ａ － ５{ ，解得－ ２ ＜ ａ ＜ １． ∴ ａ的取值范围为（－ ２，１）． ５． － １２ 　 ａ５ ＝ ｃｏｓ ５θ ＝ １ ２ ， 又０ ＜ θ ＜ π６ ，∴ ０ ＜ ５θ ＜ ５ ６ π， ∴ ５θ ＝ π３ ，∴ ａ１０ ＝ ｃｏｓ １０θ ＝ ｃｏｓ ２ ３ π ＝ － １ ２ ． ６．（１）ａ７ ＝ ７ ２ ７２ ＋ １ ＝ ４９５０ ． （２）证明：∵ ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ＝ １ － １ ｎ２ ＋ １ ， ∴ ０ ＜ ａｎ ＜ １，故数列的各项都在区间（０，１）内． （３）∵ １３ ＜ ｎ２ ｎ２ ＋ １ ＜ ２３ ，∴ １ ２ ＜ ｎ ２ ＜ ２． 又ｎ∈Ｎ， ∴ ｎ ＝ １，即在区间１３ ，( )２３ 内有且只有一项ａ１ ． Ｃ组·探索创新 将Ａ、Ｂ之间所有站按序１，２，３，４，５，６，７，８编号，通过计算，上面 各站剩余邮件数依次排成数列：７，１２，１５，１６，１５，１２，７，０．填写 下表： 站号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 剩余邮件数 ７ １２ １５ １６ １５ １２ ７ ０ 该数列的图象如图所示． 它在｛１，２，３，４｝上是递增的，在｛４，５，６，７，８｝上是递减的                                                                   ． —１４９—